تبليط خماسي

في الهندسة ، التبليط الخماسي هو تبليط للمستوى حيث تكون كل قطعة فردية على شكل خماسي .

يستحيل تبليط المستوى الإقليدي بخماسي منتظم لأن الزاوية الداخلية للخماسي المنتظم ، وهي 108 ° ، ليست قاسمًا للعدد 360°، وهو قياس زاوية دورة كاملة . مع ذلك، يمكن للخماسيات المنتظمة تبليط المستوى الزائدي بأربعة خماسيات حول كل رأس ( أو أكثر )، والكرة بثلاثة خماسيات ؛ وينتج عن هذا الأخير تبليط مكافئ طوبولوجيًا للمجسم ذي الاثني عشر وجهًا . ^[¹^]

تبليطات خماسية محدبة أحادية السطوح

من المعروف أن خمسة عشر نوعًا من الخماسيات المحدبة تُغطي المستوى بشكل أحادي السطوح (أي بنوع واحد من البلاطات). ^{[ 2 ]} وقد اكتُشف أحدثها في عام 2015. وقد أثبت راو (2017) اكتمال هذه القائمة ، وهذه النتيجة خاضعة لمراجعة الأقران . ^{[ 3 ]} وأظهر باجينا (2011) أن هناك ثمانية أنواع فقط من الخماسيات المحدبة ذات الحواف المتقابلة ، وهي نتيجة توصل إليها سوجيموتو (2012) بشكل مستقل . ^{[ 4 ]}

ادّعى مايكل راو، من المدرسة العليا للأساتذة في ليون، في مايو 2017، أنه وجد برهانًا على عدم وجود أشكال خماسية محدبة تُغطي أكثر من هذه الأنواع الخمسة عشر. ^{[ 3 ]} وفي 11 يوليو 2017، تم التحقق بشكل مستقل من النصف الأول من برهان راو (الرمز الحاسوبي متاح ^{[ 5 ]} ) بواسطة توماس هيلز، أستاذ الرياضيات في جامعة بيتسبرغ. ^{[ 6 ]} وحتى ديسمبر 2017، لم يكن البرهان قد خضع بعدُ لمراجعة الأقران بشكل كامل.

تحتوي كل عائلة من عائلات التبليط المذكورة على أشكال خماسية لا تنتمي إلى أي نوع آخر؛ ومع ذلك، قد ينتمي بعض الأشكال الخماسية الفردية إلى أنواع متعددة. بالإضافة إلى ذلك، تسمح بعض الأشكال الخماسية في أنواع التبليط المعروفة بأنماط تبليط بديلة تتجاوز التبليط القياسي الذي تُظهره جميع الأشكال من نوعها.

الأضلاع التي طولها $a$ و $b$ و $c$ و $d و$ e $تقع$ مباشرةً باتجاه عقارب الساعة من الزوايا عند الرؤوس $A$ و $B$ و $C$ و $D$ و $E$ على التوالي. (وبالتالي، فإن $A$ و $B$ و $C$ و $D$ و $E$ تقابل $d و$ e $و$ a $و$ b $و$ c $على$ التوالي).

15 بلاطة خماسية الشكل أحادية السطوح
1	2	3	4	5
$ب + ج = ١٨٠ درجة، أ + د + هـ = ٣٦٠ درجة$	$ج = هـ ب + د = 180°$	$أ = ب ، د = ج + هـ، أ = ج = د = ١٢٠°$	$ب = ج ، د = هـ ب = د = 90°$	$أ = ب ، د = هـ، أ = 60°، د = 120°$
6	7	8	9	10
$أ = د = هـ ، ب = ج ، ب + د = ١٨٠ درجة، ٢ ب = هـ$	$ب = ج = د = هـ ب + ٢ هـ = ٢ ج + د = ٣٦٠°$	$ب = ج = د = هـ 2 ب + ج = د + 2 هـ = 360°$	$ب = ج = د = هـ 2 أ + ج = د + 2 هـ = 360°$	$أ = ب = ج + هـ، أ = 90°، ب + هـ = 180° ، ب + 2 ج = 360°$
11	12	13	14	15
$2 أ + ج = د = هـ، أ = 90°، ج + هـ = 180° ، 2 ب + ج = 360°$	$2 أ = د = ج + هـ، أ = 90°، ج + هـ = 180° ، 2 ب + ج = 360°$	$د = ٢ أ = ٢هـ ب = هـ = ٩٠° ٢ أ + د = ٣٦٠°$	$2 أ = 2 ج = د = هـ أ = 90°، ب \approx 145.34°، ج \approx 69.32° د \approx 124.66°، هـ \approx 110.68° (2 ب + ج = 360°، ج + هـ = 180°)$	$أ = ج = هـ، ب = ٢ أ، أ = ١٥٠°، ب = ٦٠°، ج = ١٣٥° ، د = ١٠٥°، هـ = ٩٠°$

تتمتع العديد من أنواع البلاطات أحادية السطوح هذه بدرجات حرية. تشمل هذه الحريات اختلافات في الزوايا الداخلية وأطوال الحواف. في النهاية، قد تقترب أطوال الحواف من الصفر أو الزوايا من 180 درجة. تسمح الأنواع 1 و2 و4 و5 و6 و7 و8 و9 و13 بإمكانيات بارامترية مع البلاطات الأولية غير المحدبة.

تتميز التبليطات الدورية بتناظر مجموعة ورق الجدران ، فعلى سبيل المثال، يُعرَّف التبليط p2 (2222) بأربع نقاط دوران ثنائية. تُستخدم هذه التسمية في المخططات أدناه، حيث تُلوَّن البلاطات أيضًا وفقًا لمواقعها المتساوية السطوح k ضمن التناظر.

الوحدة الأولية هي جزء من التبليط الذي يولد التبليط بأكمله باستخدام عمليات النقل فقط، وهي أصغر ما يمكن.

راينهارت (1918)

اكتشف راينهارت (1918) الأنواع الخمسة الأولى من البلاط الخماسي. يمكن لجميع الأنواع الخمسة إنشاء تبليط متساوي الأوجه ، مما يعني أن تناظرات التبليط يمكن أن تنقل أي بلاطة إلى أي بلاطة أخرى (بشكل أكثر رسمية، تعمل مجموعة التشاكل الذاتي بشكل متعدٍ على البلاطات).

أثبت كلٌّ من ب. غرونباوم وج. س. شيبارد وجود أربعة وعشرين نوعًا متميزًا من التبليط متساوي الأوجه للمستوى باستخدام الخماسيات، وذلك وفقًا لتصنيفهما. ^{[ 7 ]} تستخدم جميعها بلاطات راينهارت، مع مراعاة الشروط الإضافية اللازمة للتبليط. يوجد نوعان من التبليط باستخدام بلاطات النوع 2 فقط، ونوع واحد باستخدام بلاطات من كل نوع من الأنواع الأربعة الأخرى. خمسة عشر نوعًا من التبليطات الثمانية عشر المتبقية هي حالات خاصة من بلاطات النوع 1. تسعة من التبليطات الأربعة والعشرين هي تبليطات متلاصقة الحواف. ^{[ 8 ]}

توجد أيضًا تبليطات ثنائية الأوجه من خلال حالات خاصة من البلاطات من النوع 1 والنوع 2 والنوع 4، وتبليطات ثلاثية الأوجه، جميعها متلاصقة الحواف، من خلال حالات خاصة من البلاطات من النوع 1. لا يوجد حد أعلى لقيمة k للتبليطات k-متساوية الأوجه من خلال بلاطات معينة تنتمي إلى كل من النوع 1 والنوع 2، وبالتالي لا يوجد حد أعلى لعدد البلاطات في الوحدة الأولية.

يُحدد تناظر مجموعة ورق الجدران لكل تبليط، مع استخدام رمز التناظر المداري بين قوسين. ويُحدد تناظر مجموعة أدنى ثانية في حال وجود تناظر حلزوني للبلاطة ، حيث تُعتبر الصور المتطابقة منفصلة. وتُعرض هذه الصور باللونين الأصفر والأخضر في هذه الحالات.

النوع 1

توجد العديد من بنى التبليط التي تحتوي على أشكال خماسية من النوع الأول. فيما يلي خمسة أمثلة على هذه البنى.

تبليطات من النوع الخماسي 1
ص2 (2222)	سم (2*22)	سم (*×)	pmg (22*)	pgg (22×)	ص2 (2222)	سم (2*22)
ص2 (2222)	سم (2*22)	p1 (°)	ص2 (2222)	ص2 (2222)	ص2 (2222)	سم (2*22)

وحدة أساسية مكونة من بلاطتين			وحدة أساسية مكونة من 4 بلاطات
$ب + ج = ١٨٠ درجة، أ + د + هـ = ٣٦٠ درجة$		$أ = ج ، د = هـ أ + ب = ١٨٠ درجة ج + د + هـ = ٣٦٠ درجة$	$أ = جـ، أ + ب = ١٨٠° ، جـ + د + هـ = ٣٦٠°$	$أ = هـ ب + ج = 180° أ + د + هـ = 360°$	$د = ج + هـ ، أ = 90°، 2 ب + ج = 360° ، ج + د = 180°، ب + هـ = 270°$

النوع 2

هذه الأمثلة من النوع الثاني متساوية الأوجه. أما المثال الثاني فهو تباين من حافة إلى حافة. وكلاهما يتمتع بتناظر pgg (22×). إذا اعتبرنا البلاطات المتطابقة (الأصفر والأخضر) منفصلة، فإن التناظر يكون p2 (2222).

النوع 2
pgg (22×)
ص2 (2222)

وحدة أساسية مكونة من 4 بلاطات
$ج = هـ ب + د = 180°$	$ج = هـ ، د = ب، ب + د = 180°$

الأنواع 3 و 4 و 5

النوع 3		النوع 4		النوع 5
ص3 (333)	ص31م (3*3)	ص4 (442)	p4g (4*2)	ص6 (632)


وحدة أساسية مكونة من 3 بلاطات		وحدة أساسية مكونة من 4 بلاطات		وحدة أساسية مكونة من 6 بلاطات	وحدة أساسية مكونة من 18 بلاطة
$أ = ب ، د = ج + هـ، أ = ج = د = ١٢٠°$		$ب = ج ، د = هـ ب = د = 90°$		$أ = ب ، د = هـ، أ = 60°، د = 120°$	$أ = ب = ج ، د = هـ ، أ = 60°، ب = 120°، ج = 90° ، د = 120°، هـ = 150°$

كيرشنر (1968) الأنواع 6، 7، 8

وجد كيرشنر (1968) ثلاثة أنواع أخرى من البلاط الخماسي، ليصل المجموع إلى ثمانية. وادعى خطأً أن هذه هي القائمة الكاملة للبلاط الخماسي الذي يمكن استخدامه لتبليط السطح.

هذه الأمثلة ثنائية التناظر ومتصلة من الحافة إلى الحافة. يحتوي النوعان 7 و8 على أزواج من البلاطات الكيرالية، حيث تُلوّن الأزواج باللون الأصفر المخضر، بينما يُلوّن الآخر بدرجتين من اللون الأزرق. يُختزل تناظر pgg إلى p2 عند اعتبار الأزواج الكيرالية منفصلة.

النوع 6	النوع 6 (وأيضًا النوع 5)	النوع 7	النوع 8
ص2 (2222)		pgg (22×)	pgg (22×)
ص2 (2222)		ص2 (2222)	ص2 (2222)


$أ = د = هـ ، ب = ج ، ب + د = ١٨٠ درجة، ٢ ب = هـ$	$أ = د = هـ ، ب = ج ، ب = 60° ، أ = ج = د = هـ = 120°$	$ب = ج = د = هـ ب + ٢ هـ = ٢ ج + د = ٣٦٠°$	$ب = ج = د = هـ 2 ب + ج = د + 2 هـ = 360°$
وحدة أساسية مكونة من 4 بلاطات	وحدة أساسية مكونة من 4 بلاطات	وحدة أساسية مكونة من 8 بلاطات	وحدة أساسية مكونة من 8 بلاطات

جيمس (1975) النوع 10

في عام 1975، اكتشف ريتشارد إي. جيمس الثالث نوعًا تاسعًا، بعد أن قرأ عن نتائج كيرشنر في عمود مارتن غاردنر " الألعاب الرياضية " في مجلة ساينتفك أمريكان الصادرة في يوليو 1975 (وأعيد نشره في غاردنر (1988) ). ^{[ 9 ]} وقد تم تصنيفه كنوع 10. التبليط ثلاثي الأوجه وغير متلاصق الحواف.

النوع 10
ص2 (2222)	سم (2*22)


$أ = ب = ج + هـ، أ = 90، ب + هـ = 180° ، ب + 2 ج = 360°$	$أ = ب = ٢ ج = ٢ هـ أ = ب = هـ = ٩٠° ج = د = ١٣٥°$
وحدة أساسية مكونة من 6 بلاطات

الأرز (1977) الأنواع 9، 11، 12، 13

اكتشفت مارجوري رايس ، وهي عالمة رياضيات هاوية، أربعة أنواع جديدة من الأشكال الخماسية المتداخلة في عامي 1976 و 1977. ^{[ 8 ]}^{[ 10 ]}

جميع التبليطات الأربعة متساوية الأوجه ثنائية. تُلوّن أزواج البلاطات الكيرالية باللونين الأصفر والأخضر لمجموعة متساوية الأوجه، وبدرجتين من اللون الأزرق للمجموعة الأخرى. يختزل تناظر pgg إلى p2 عند اعتبار الأزواج الكيرالية متميزة.

يتم تبليط البلاط من النوع 9 من الحافة إلى الحافة، أما الأنواع الأخرى فلا.

تحتوي كل وحدة أساسية على ثماني بلاطات.

النوع 9	النوع 11	النوع 12	النوع 13
pgg (22×)
ص2 (2222)


$ب = ج = د = هـ 2 أ + ج = د + 2 هـ = 360°$	$2 أ + ج = د = هـ، أ = 90°، 2 ب + ج = 360° ، ج + هـ = 180°$	$2 أ = د = ج + هـ، أ = 90°، 2 ب + ج = 360° ، ج + هـ = 180°$	$د = ٢ أ = ٢ هـ ب = هـ = ٩٠°، ٢ أ + د = ٣٦٠°$
وحدة أساسية مكونة من 8 بلاطات	وحدة أساسية مكونة من 8 بلاطات	وحدة أساسية مكونة من 8 بلاطات	وحدة أساسية مكونة من 8 بلاطات

شتاين (1985) النوع 14

تم اكتشاف نوع خماسي محدب رابع عشر بواسطة رولف شتاين في عام 1985. ^{[ 11 ]}

التبليط ثلاثي الأوجه وغير متصل بحوافه. يتكون من بلاطات محددة تمامًا، بدون أي درجات حرية. يتم تحديد النسب الدقيقة بواسطة ${\frac {b}{a}}={\sqrt {\frac {11{\sqrt {57}}-25}{8}}}$ والزاوية $ب$ منفرجة مع $\sin B={\frac {{\sqrt {57}}-3}{8}}.$ ويمكن استنتاج علاقات أخرى بسهولة.

تحتوي الوحدات الأولية على ستة بلاطات على التوالي. وهي تتمتع بتناظر p2 (2222).

النوع 14
	$2 أ = 2 ج = د = هـ أ = 90 درجة، ب \approx 145.34 درجة، ج \approx 69.32 درجة، د \approx 124.66 درجة، هـ \approx 110.68 درجة (2 ب + ج = 360 درجة، ج + هـ = 180 درجة)$ .	وحدة أساسية مكونة من 6 بلاطات

مان / ماكلاود / فون ديراو (2015) النوع 15

اكتشف علماء الرياضيات كيسي مان ، وجينيفر ماكلاود مان ، وديفيد فون ديراو من جامعة واشنطن بوثيل، في عام 2015، باستخدام خوارزمية حاسوبية ، شكلاً خماسياً محدباً أحادي السطوح من الدرجة الخامسة عشرة . ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} وهو شكل ثلاثي الأوجه متساوي الأوجه، غير متلاصق الحواف، مرسوم بستة ألوان، درجتان من ثلاثة ألوان، تمثل أزواجاً متماثلة من المواضع الثلاثة متساوية الأوجه. يُختزل تناظر pgg إلى p2 عند اعتبار الأزواج المتماثلة متميزة. يحتوي هذا الشكل على بلاطات محددة تماماً، بدون أي درجات حرية. تتكون الوحدات الأولية من اثنتي عشرة بلاطة. يتمتع بتناظر pgg (22×)، وتناظر p2 (2222) إذا اعتُبرت الأزواج المتماثلة متميزة.

النوع 15
(صورة أكبر)	$أ = ج = هـ ، ب = ٢ أ ، د = أ + \sqrt٢ / \sqrt٣ - ١ ، أ = ١٥٠°، ب = ٦٠°، ج = ١٣٥° ، د = ١٠٥°، هـ = ٩٠ °$	وحدة أساسية مكونة من 12 بلاطة

لا مزيد من أنواع التبليط الخماسي الدوري

في يوليو 2017، أنجز مايكل راو برهانًا بمساعدة الحاسوب يُثبت عدم وجود أنواع أخرى من الخماسيات المحدبة التي يمكنها تبليط المستوى. تشمل القائمة الكاملة للمضلعات المحدبة التي يمكنها تبليط المستوى الخماسيات الخمسة عشر المذكورة أعلاه، وثلاثة أنواع من السداسيات ، وجميع الأشكال الرباعية والمثلثات. ^{[ 6 ]} ومن نتائج هذا البرهان أنه لا يوجد مضلع محدب يُبلط المستوى بشكل غير دوري فقط، لأن جميع الأنواع المذكورة أعلاه تسمح بالتبليط الدوري.

تبليط خماسي أحادي السطوح غير دوري

يمكن أيضًا إنشاء تبليطات خماسية أحادية السطوح غير دورية، كما في المثال أدناه ذي التناظر الدوراني السداسي لمايكل هيرشهورن. الزوايا هي: $أ = ١٤٠°$ ، $ب = ٦٠°$ ، $ج = ١٦٠°$ ، $د = ٨٠°$ ، $هـ = ١٠٠°$ . ^{[ ١٤ ]}^{[ ١٥ ]}

في عام 2016، أثبت برنارد كلاسين أن كل نوع من أنواع التناظر الدوراني المنفصل يمكن تمثيله بتبليط خماسي أحادي السطوح من نفس فئة الخماسيات. ^{[ 16 ]} تُعرض أدناه أمثلة على التناظر الخماسي والسباعي. هذه التبليطات ممكنة لأي نوع من أنواع التناظر الدوراني ذي $n طية حيث$ $n > 2$ .

التناظر الدوراني الخماسي في تبليط خماسي الأضلاع أحادي السطوح	تبليط هيرشهورن الخماسي أحادي السطوح ذو التناظر الدوراني السداسي	التناظر الدوراني ذو السبعة أضعاف في تبليط خماسي أحادي السطوح

بلاط مزدوج موحد

توجد ثلاث تبليطات خماسية متساوية الأوجه ناتجة عن تبليطات منتظمة ثنائية ، أي تلك التي تحتوي على رؤوس ذات تكافؤ خماسي. وهي تمثل حالات تناظر أعلى خاصة من التبليطات أحادية الأوجه الخمسة عشر المذكورة أعلاه. جميع التبليطات المنتظمة وتبليطاتها الثنائية متلاصقة الحواف. تُسمى هذه التبليطات الثنائية أيضًا بتبليطات لافيس . تناظر التبليطات الثنائية المنتظمة هو نفسه تناظر التبليطات المنتظمة. ولأن التبليطات المنتظمة متساوية الزوايا ، فإن التبليطات الثنائية متساوية الأوجه .

سم (2*22)	p4g (4*2)	ص6 (632)

تبليط خماسي موشوري مثال من النوع 1 ^{[ 17 ]}	بلاط القاهرة الخماسي مثال من النوع 4 ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}	تبليط خماسي الشكل على شكل زهرة أمثلة من الأنواع 1 و 5 و 6 ^{[ 17 ]}
120 درجة، 120 درجة، 120 درجة، 90 درجة، 90 درجة V3.3.3.4.4	120 درجة، 120 درجة، 90 درجة، 120 درجة، 90 درجة V3.3.4.3.4	120 درجة، 120 درجة، 120 درجة، 120 درجة، 60 درجة V3.3.3.3.6

تبليطات ثنائية موحدة من النوع k

تحتوي التبليطات المنتظمة من الرتبة k ذات الرؤوس ذات التكافؤ 5 على تبليطات ثنائية خماسية، تتضمن نفس الأشكال الخماسية الثلاثة الموجودة في التبليطات الثنائية شبه المنتظمة المذكورة أعلاه، ولكنها تحتوي على مزيج من أنواع الأشكال الخماسية. تحتوي التبليطات المنتظمة من الرتبة k على تبليط ثنائي متساوي الأوجه من الرتبة k، ويتم تمثيلها بألوان ودرجات ألوان مختلفة كما هو موضح أدناه.

على سبيل المثال، هذه الثنائيات المنتظمة 2 و3 و4 و5 كلها خماسية الأضلاع: ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}

2-متساوي الأوجه		3-متساوي الأوجه
p4g (4*2)	pgg (22×)		ص2 (2222)	ص6 (*632)


رباعي الأوجه			5-متساوي الأوجه
pgg (22×)		ص2 (2222)		p6m (*632)


5-متساوي الأوجه
pgg (22×)			ص2 (2222)

التبليط الخماسي/السداسي

ترتبط الأشكال الخماسية بعلاقة مميزة مع الأشكال السداسية. وكما هو موضح في الرسم البياني أدناه، يمكن تقسيم بعض أنواع الأشكال السداسية إلى أشكال خماسية. على سبيل المثال، ينقسم الشكل السداسي المنتظم إلى شكلين خماسيين من النوع الأول. كما يمكن تقسيم الأشكال السداسية المحدبة إلى ثلاثة أشكال خماسية (النوع الثالث)، وأربعة أشكال خماسية (النوع الرابع)، وتسعة أشكال خماسية (النوع الثالث).

وبناءً على هذه العلاقة، يمكن تقسيم سطح مستوٍ إلى فسيفساء باستخدام شكل أولي خماسي واحد بطرق تُنتج تراكبات سداسية. على سبيل المثال:

التبليط المستوي بواسطة بليت خماسي واحد (النوع 1) مع طبقات من السداسيات المنتظمة (يتكون كل منها من خماسيين).	التبليط المستوي بواسطة بليت خماسي واحد (النوع 3) مع طبقات من السداسيات المنتظمة (يتكون كل منها من 3 خماسيات).	التبليط المستوي بواسطة بليت خماسي واحد (النوع 4) مع طبقات من السداسيات شبه المنتظمة (يتكون كل منها من 4 خماسيات).	التبليط المستوي بواسطة بوتيل خماسي واحد (النوع 3) مع طبقات من حجمين من السداسيات المنتظمة (تتكون من 3 و 9 خماسيات على التوالي).

الخماسيات غير المحدبة

مع الأشكال الخماسية التي لا يشترط أن تكون محدبة ، تصبح أنواع إضافية من التبليط ممكنة. ومن الأمثلة على ذلك تبليط أبو الهول ، وهو تبليط غير دوري يتكون من بلاطة خماسية متكررة . ^{[ 21 ]} يمكن أيضًا أن يُبلّط أبو الهول المستوى بشكل دوري، وذلك بتركيب بلاطتين من بلاطات أبو الهول معًا لتشكيل متوازي أضلاع ، ثم تبليط المستوى عن طريق إزاحة متوازي الأضلاع هذا، ^{[ 21 ]} وهو نمط يمكن تعميمه على أي شكل خماسي غير محدب له زاويتان متتاليتان مجموعهما يساوي $2π$ .

من الممكن تقسيم مثلث متساوي الأضلاع إلى ثلاثة أشكال خماسية متطابقة غير محدبة، تلتقي في مركز المثلث، ثم تبليط المستوى بالوحدة الخماسية الناتجة. ^{[ 22 ]} ويمكن استخدام طريقة مماثلة لتقسيم المربعات إلى أربعة أشكال خماسية متطابقة غير محدبة، أو السداسيات المنتظمة إلى ستة أشكال خماسية متطابقة غير محدبة، ثم تبليط المستوى بالوحدة الناتجة.

في الهندسة غير الإقليدية

تبليط كروي

يمكن اعتبار الشكل ذو الاثني عشر وجهًا تبليطًا منتظمًا من 12 خماسيًا على سطح كرة ، برمز شلافلي {5,3}، مع وجود ثلاثة خماسيات حول كل رأس.

يمكن للمرء أيضًا أن يعتبر التبليط المنحط بواسطة نصفي الكرة الأرضية ، مع تقسيم الدائرة الكبرى بينهما إلى خمسة أقواس متساوية، بمثابة تبليط خماسي برمز شلافلي {5,2}.

التبليط الزائدي المنتظم

في المستوى الزائدي ، يمكن للمرء أن يبني أشكالًا خماسية منتظمة لها أي زاوية داخلية $2\pi /n$ ل $n\geq 4$ تُغطي الأشكال الخماسية الناتجة سطح الأرض بانتظام، مع $n$ تُحيط أشكال خماسية بكل رأس. على سبيل المثال، يحتوي التبليط الخماسي من الرتبة الرابعة ، {5,4}، على أربعة أشكال خماسية قائمة الزاوية حول كل رأس. ومن الحالات الحدية التبليط الخماسي من الرتبة اللانهائية {5,∞} الناتج عن أشكال خماسية منتظمة مثالية. تتميز هذه الأشكال الخماسية بنقاط مثالية كرؤوس، بزاوية تساوي صفرًا.

جسم كروي		المستوى الزائدي
{5,2}	{5,3}	{5,4}	{5,5}	{5,6}	...	{5,∞}

تبليطات زائدية غير منتظمة

يوجد عدد لا نهائي من التبليطات الثنائية المنتظمة في المستوى الزائدي ذات الوجوه الخماسية غير المنتظمة متساوية الزوايا. ولها تكوينات وجوه مثل V3.3. p .3. q .

ترتيب p - q بلاط خماسي الشكل مزخرف
7-3	8-3	9-3	...	5-4	6-4	7-4	...	5-5
الإصدار 3.3.3.3.7	الإصدار 3.3.3.3.8	الإصدار 3.3.3.3.9	...	الإصدار 3.3.4.3.5	الإصدار 3.3.4.3.6	الإصدار 3.3.4.3.7	...	الإصدار 3.3.5.3.5

يشكل أحد أنواع التبليط الثنائي ، الذي تكون بلاطاته محددة بقطع مستقيمة زائدية بدلاً من أقواس الدوائر الأفقية ، تبليطات خماسية يجب أن تكون غير دورية، بمعنى أن مجموعات التناظر الخاصة بها يمكن أن تكون أحادية البعد ولكن ليس ثنائية البعد. ^{[ 23 ]}

مراجع

^ تشونغ، بينج نجاي؛ فرنانديز، ميغيل أ. لي، ييفي؛ مارا، مايكل. مورغان، فرانك. بلاتا، إيزامار روزا؛ شاه، نيرلي؛ فييرا، لويس سوردو؛ ويكنر ، إيلينا (2012-05-01)، “بلاط خماسي متساوي القياس” ، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 59 (5): 632، أرخايف : 1111.6161 ، دوى : 10.1090 / noti838 ، ISSN 0002-9920
↑ Grünbaum & Shephard 1987 ، القسم 9.3 التبليطات أحادية السطوح الأخرى بواسطة المضلعات المحدبة.
1 2 راو 2017 .
↑
- باجينا 2011
- سوغيموتو 2012
↑ "كود Mathematica للتحقق من تصنيف Rao-convex-pentagon-tiling" ، GitHub
1 2 وولتشوفر 2017 .
↑ غرونباوم وشيبارد 1978 .
1 2 شاتشنايدر 1978 .
↑ البنتاغونات السرية لمارجوري رايس، مجلة كوانتا
↑ مارجوري رايس، "التبليط" ، تبليط مثير للاهتمام ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 أغسطس 2015 – عبر مواقع جوجل
↑ شاتشنايدر 1985 .
↑ بيلوس 2015 .
^ مان وماكلود مان وفون ديراو 2018 .
^ شاتشنايدر 1978 ، الشكل 12.
↑ هيرشهورن وهانت 1985 .
↑ كلاسين 2016 .
1 2 3 Reinhardt 1918 ، ص 77-81 (تحذير: هناك خطأ واضح واحد على الأقل في هذه الورقة، أي أن مجموع زاوية γ+δ يجب أن يساوي π، وليس 2π بالنسبة لنوعي التبليط الأولين المحددين في الصفحة 77)
↑ تم إنشاء تبليط خماسي الأضلاع للقاهرة بواسطة استعلام من النوع 4 للخماسي الأضلاع واستعلام تبليط من النوع 2 للخماسي الأضلاع على موقع wolframalpha.com (تحذير: تعريف wolfram لتبليط النوع 2 للخماسي الأضلاع لا يتوافق مع النوع 2 الذي حدده راينهارت في عام 1918)
↑ تشافي 1989 .
↑ برايان غيلباخ، "مرحباً بكم في مجموعتي من التبليطات المنتظمة!" ، موقع probabilitysports.com
1 2 جودريش 1989 .
↑ جيرفر 2003 .
↑ فريتلوه، ديرك؛ غاربر، أليكسي (2015)، "تناظرات التبليطات أحادية التاج"، الرياضيات المتقطعة وعلوم الحاسوب النظرية ، 17 (2): 203-234 ، arXiv : 1402.4658 ، doi : 10.46298/dmtcs.2142 ، MR 3411398

فهرس

باجينا، أولغا (2004)، "تبليط المستوى بمضلعات خماسية محدبة متساوية الأضلاع متطابقة"، مجلة نظرية التوافيق، السلسلة أ ، 105 (2): 221-232 ، doi : 10.1016/j.jcta.2003.11.002 ، ISSN 1096-0899 ، MR 2046081
باجينا، أولغا (2011)،فسيفساء من المنازل الفاخرة[ تبليطات المستوى بمضلعات خماسية محدبة ] ، فيستنيك (باللغة الروسية)، 4 (48): 63-73 ، الرقم الدولي الموحد للدوريات 2078-1768 ، تاريخ الاسترجاع 29 يناير 2013
بيلوس، أليكس (11 أغسطس 2015)، "هجوم على البنتاغون يسفر عن اكتشاف بلاطة رياضية جديدة" ، صحيفة الغارديان
تشافي، د. (1989)، "التبليط بواسطة المضلعات المنتظمة - الجزء الثاني: فهرس التبليط" ، الحوسبة والرياضيات مع التطبيقات ، 17 ( 1-3 ): 147-165 ، doi : 10.1016/0898-1221(89)90156-9
غاردنر، مارتن (1988)، "التبليط بالمضلعات المحدبة"، السفر عبر الزمن وأمور رياضية أخرى محيرة ، نيويورك: دبليو إتش فريمان، رمز Bibcode : 1988ttom.book.....G ، ISBN 978-0-7167-1925-0، MR 0905872
جيرفر، إم إل (2003)، "نظريات حول التبليط بالمضلعات"، سبورنيك: الرياضيات ، 194 (6): 879-895 ، رمز Bibcode : 2003SbMat.194..879G ، doi : 10.1070/sm2003v194n06abeh000743 ، S2CID 250813440
جودريش، سي. (1989)، "أبو الهول: تبليط دوري محدود للمستوى"، مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة ، 22 (24): L1163– L1166، رمز Bibcode : 1989JPhA...22L1163G ، doi : 10.1088/0305-4470/22/24/006 ، MR 1030678
غرونباوم، برانكو ؛ شيبارد، جيفري سي. (1978)، "التبليط متساوي الأوجه للمستوى بواسطة المضلعات"، التعليقات الرياضية الهيلفيتية ، 53 : 542-571 ، doi : 10.1007/bf02566098 ، ISSN 0010-2571 ، S2CID 119897404
غرونباوم، برانكو ؛ شيبارد، جيفري سي. (1987)، "التبليط باستخدام المضلعات"، التبليط والأنماط ، نيويورك: دبليو إتش فريمان وشركاه، ISBN 978-0-7167-1193-3، MR 0857454
هيرشهورن، دكتور في الطب؛ هانت، دكتور في الطب (1985)، "خماسيات محدبة متساوية الأضلاع تبلط المستوى" (ملف PDF) ، مجلة نظرية التوافيق، السلسلة أ ، 39 (1): 1-18 ، doi : 10.1016/0097-3165(85)90078-0 ، ISSN 1096-0899 ، MR 0787713 ، تاريخ الاسترجاع : 30 أكتوبر 2020
كيرشنر، ريتشارد (1968)، "حول تمهيد المستوى"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 75 (8): 839-844 ، doi : 10.2307/2314332 ، ISSN 0002-9890 ، JSTOR 2314332 ، MR 0236822
كلاسين، برنارد (2016)، "التبليطات المتناظرة دورانيًا ذات الخماسيات والسداسيات المحدبة"، عناصر الرياضيات ، 71 (4): 137-144 ، arXiv : 1509.06297 ، doi : 10.4171/em/310 ، ISSN 0013-6018 ، S2CID 119738738
مان، كيسي. ماكلاود مان، جينيفر؛ فون ديراو ، ديفيد (2018) ، “الخماسي المحدب الذي يعترف $i$ -كتلة متعدية تبليط"، Geometriae Dedicata ، 194 (1): 141–167 ، أرخايف : 1510.01186 ، دوى : 10.1007/s10711-017-0270-9 ، S2CID 119176351
راو، مايكل (2017)، بحث شامل عن الأشكال الخماسية المحدبة التي تبلط المستوى (ملف PDF) ، arXiv : 1708.00274
راينهاردت، كارل (1918)، Über die Zerlegung der Ebene in Polygone (أطروحة) (في الألمانية)، بورنا-لايبزيغ: Druck von Robert Noske
شاتشنايدر، دوريس (1978)، "تبليط المستوى بمضلعات خماسية متطابقة" ، مجلة الرياضيات ، 51 (1): 29-44 ، doi : 10.2307/2689644 ، ISSN 0025-570X ، JSTOR 2689644 ، MR 0493766 ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 11-12-2023 ، تم استرجاعه بتاريخ 26-10-2015
شاتشنايدر، دوريس (1985)، "مُقَلِّم خماسي جديد"، مجلة الرياضيات ، 58 (5): 308، ويحتوي الغلاف على صورة للتبليط الجديد
سوغيموتو، تيروهيسا؛ أوغاوا، تورو (2005)، "دراسة منهجية للتبليط الخماسي المحدب. 1. حالة الخماسيات المحدبة ذات الأضلاع الأربعة متساوية الطول" ، فورما ، 20 : 1-18 ، MR 2240616
سوغيموتو، تيروهيسا؛ أوغاوا، تورو (2009)، "دراسة منهجية للتبليط الخماسي المحدب، الجزء الثاني: التبليط بخماسيات محدبة ذات أربعة أضلاع متساوية الطول" ، فورما ، 24 (3): 93-109 ، MR 2868775 ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 22-08-2020 ، تم استرجاعه بتاريخ 26-08-2015 ; الأخطاء المطبعية ، الشكل 25 (1): 49، 2010، السيد 2868824
سوغيموتو، تيروهيسا (2012)، "المضلعات الخماسية المحدبة للتبليط من الحافة إلى الحافة، الجزء الأول" ، فورما ، 27 (1): 93-103 ، MR 3030316
وولتشوفر، ناتالي (11 يوليو 2017)، "برهان تبليط البنتاغون يحل مشكلة رياضية عمرها قرن من الزمان" ، مجلة كوانتا

روابط خارجية

[1] تشونغ، بينج نجاي؛ فرنانديز، ميغيل أ. لي، ييفي؛ مارا، مايكل. مورغان، فرانك. بلاتا، إيزامار روزا؛ شاه، نيرلي؛ فييرا، لويس سوردو؛ ويكنر ، إيلينا (2012-05-01)، “بلاط خماسي متساوي القياس” ، إشعارات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 59 (5): 632، أرخايف : 1111.6161 ، دوى : 10.1090 / noti838 ، ISSN 0002-9920

[FOOTNOTEGrünbaumShephard1987Sec._9.3_Other_Monohedral_tilings_by_convex_polygons-2] Grünbaum & Shephard 1987 ، القسم 9.3 التبليطات أحادية السطوح الأخرى بواسطة المضلعات المحدبة.

[FOOTNOTERao2017-3] 1 2 راو 2017 .

[4] 
باجينا 2011
سوغيموتو 2012

[mwBYQ] باجينا 2011

[mwBYY] سوغيموتو 2012

[5] "كود Mathematica للتحقق من تصنيف Rao-convex-pentagon-tiling" ، GitHub

[FOOTNOTEWolchover2017-6] 1 2 وولتشوفر 2017 .

[FOOTNOTEGrünbaumShephard1978-7] غرونباوم وشيبارد 1978 .

[FOOTNOTESchattschneider1978-8] 1 2 شاتشنايدر 1978 .

[9] البنتاغونات السرية لمارجوري رايس، مجلة كوانتا

[10] مارجوري رايس، "التبليط" ، تبليط مثير للاهتمام ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 أغسطس 2015 – عبر مواقع جوجل

[FOOTNOTESchattschneider1985-11] شاتشنايدر 1985 .

[FOOTNOTEBellos2015-12] بيلوس 2015 .

[FOOTNOTEMannMcLoud-MannVon_Derau2018-13] مان وماكلود مان وفون ديراو 2018 .

[FOOTNOTESchattschneider1978Fig_12-14] شاتشنايدر 1978 ، الشكل 12.

[FOOTNOTEHirschhornHunt1985-15] هيرشهورن وهانت 1985 .

[FOOTNOTEKlaassen2016-16] كلاسين 2016 .

[Reinhardt1918-17] 1 2 3 Reinhardt 1918 ، ص 77-81 (تحذير: هناك خطأ واضح واحد على الأقل في هذه الورقة، أي أن مجموع زاوية γ+δ يجب أن يساوي π، وليس 2π بالنسبة لنوعي التبليط الأولين المحددين في الصفحة 77)

[18] تم إنشاء تبليط خماسي الأضلاع للقاهرة بواسطة استعلام من النوع 4 للخماسي الأضلاع واستعلام تبليط من النوع 2 للخماسي الأضلاع على موقع wolframalpha.com (تحذير: تعريف wolfram لتبليط النوع 2 للخماسي الأضلاع لا يتوافق مع النوع 2 الذي حدده راينهارت في عام 1918)

[FOOTNOTEChavey1989-19] تشافي 1989 .

[20] برايان غيلباخ، "مرحباً بكم في مجموعتي من التبليطات المنتظمة!" ، موقع probabilitysports.com

[FOOTNOTEGodrèche1989-21] 1 2 جودريش 1989 .

[FOOTNOTEGerver2003-22] جيرفر 2003 .

[23] فريتلوه، ديرك؛ غاربر، أليكسي (2015)، "تناظرات التبليطات أحادية التاج"، الرياضيات المتقطعة وعلوم الحاسوب النظرية ، 17 (2): 203-234 ، arXiv : 1402.4658 ، doi : 10.46298/dmtcs.2142 ، MR 3411398

[

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ ١٤ ]

[ ١٥ ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗