بلاط ريب

في هندسة التبليط ، يُعرف الشكل المُجزأ أو الزاحف بأنه شكل يمكن تقسيمه إلى نسخ أصغر منه. وقد صاغ هذا المصطلح عالم الرياضيات الهاوي سولومون دبليو غولومب، توريةً على كلمة "زواحف " ، وشاع استخدامه بفضل مارتن غاردنر في عموده " الألعاب الرياضية " في عدد مايو 1963 من مجلة ساينتفك أمريكان . ^{[ 1 ]} وفي عام 2012 ، قدم لي سالوز في مجلة الرياضيات تعميمًا للشكل المُجزأ يُسمى مجموعات البلاطات ذاتية التبليط . ^{[ 2 ]}

يُطلق على البلاطة المتكررة اسم rep- n إذا استخدم التقسيم n نسخة منها. يشكل هذا الشكل بالضرورة البلاطة الأولية لتبليط المستوى، وفي كثير من الحالات يكون التبليط غير دوري . يُطلق على تقسيم البلاطة المتكررة باستخدام أحجام مختلفة من الشكل الأصلي اسم بلاطة متكررة غير منتظمة أو غير متكررة. إذا استخدم التقسيم n نسخة، يُقال إن الشكل غير متكرر- n . إذا كانت جميع هذه البلاطات الفرعية بأحجام مختلفة، يُوصف التبليط أيضًا بأنه مثالي. الشكل الذي يكون rep- n أو غير متكرر- n يكون أيضًا غير متكرر-( kn − k + n ) لأي k > 1، وذلك باستبدال أصغر بلاطة في تقسيم rep -n بـ n بلاطة أصغر منها. رتبة الشكل، سواء باستخدام البلاطات المتكررة أو غير المتكررة، هي أصغر عدد ممكن من البلاطات التي تكفي. ^{[ 3 ]}      

كل مربع ، ومستطيل ، ومتوازي أضلاع ، ومعين ، ومثلث هو شكل ذو تكرار رباعي (rep-4). أما شكل أبو الهول السداسي المعيني (الموضح أعلاه) فهو ذو تكرار رباعي وتسعة، وهو أحد الأشكال الخماسية القليلة المعروفة ذاتية التكرار . جزيرة جوسبر ذات تكرار سباعي (rep-7). أما ندفة ثلج كوخ فهي ذات تكرار سباعي غير قابل للتكرار: ست ندفات ثلج صغيرة من نفس الحجم، بالإضافة إلى ندفة ثلج أخرى مساحتها ثلاثة أضعاف مساحة الندفات الأصغر، يمكن أن تتحد لتشكل ندفة ثلج واحدة أكبر.

المثلث القائم الزاوية الذي تكون أطوال أضلاعه بنسبة 1:2 يُسمى rep-5، ويُشكل تقسيمه إلى أجزاء rep-5 أساسًا لتبليط دولاب الهواء غير الدوري . وبحسب نظرية فيثاغورس ، فإن طول الوتر ، أو الضلع المائل في المثلث rep-5، يساوي √5 .

يُحدد المعيار الدولي ISO 216 أحجام أوراق الورق باستخدام الجذر التربيعي لـ 2 ، حيث يكون طول الضلع الأطول في ورقة مستطيلة هو الجذر التربيعي لضعف طول الضلع الأقصر. تُسمى المستطيلات بهذا الشكل rep-2. أما المستطيل (أو متوازي الأضلاع) فيُسمى rep -n إذا كانت نسبة أبعاده √n : 1. كما أن المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين يُسمى rep-2 أيضًا.

بعض الأشكال التكرارية، كالمربع والمثلث متساوي الأضلاع ، متناظرة وتبقى متطابقة عند انعكاسها في المرآة . بينما أشكال أخرى، كأبو الهول ، غير متناظرة وتوجد في صورتين مختلفتين مرتبطتين بالانعكاس المرآوي. ويتطلب تحليل شكل أبو الهول وبعض الأشكال التكرارية غير المتناظرة الأخرى استخدام كل من الشكل الأصلي وصورته المرآوية.

تعتمد بعض بلاطات التكرار على أشكال متعددة مثل المعينات المتعددة والمتعددات المربعة ، أو الأشكال التي يتم إنشاؤها عن طريق وضع المثلثات والمربعات متساوية الأضلاع جنبًا إلى جنب.

المربعات

إذا كان البوليومينو قابلاً للتصحيح، أي قادراً على تبليط مستطيل ، فسيكون أيضاً بلاطة تكرارية، لأن المستطيل سيكون له نسبة طول ضلع صحيحة، وبالتالي سيبلط مربعاً . يمكن ملاحظة ذلك في الأوكتومينو ، التي تتكون من ثمانية مربعات. نسختان من بعض الأوكتومينو ستبلطان مربعاً؛ لذلك فإن هذه الأوكتومينو هي أيضاً بلاطات تكرارية من النوع rep-16.

أربع نسخ من بعض قطع نونومينو ونوناكينغ ستغطي مربعًا، وبالتالي فإن هذه الأشكال المتعددة هي أيضًا قطع تكرارية من النوع rep-36.

المثلثات متساوية الأضلاع

وبالمثل، إذا كانت بلاطة متعددة الأضلاع تغطي مثلثًا متساوي الأضلاع، فستكون أيضًا بلاطة تكرارية.

المثلثات القائمة

المثلث القائم الزاوية هو مثلث يحتوي على زاوية قائمة واحدة قياسها 90 درجة. وقد لفت نوعان محددان من المثلثات القائمة الزاوية انتباه الباحثين في مجال الزواحف، وهما المثلث 45°-90°-45° والمثلث 30°-60°-90°.

مثلثات 45°-90°-45°

تُعرف الأشكال المتعددة القائمة على مثلثات قائمة الزاوية متساوية الساقين، بنسبة أطوال أضلاع 1 : 1 : √2 ، باسم "بوليابولوس" . يوجد عدد لا نهائي منها يُسمى "بلاطات تكرارية". في الواقع، أبسط هذه البلاطات هو مثلث قائم الزاوية متساوي الساقين. تكون هذه البلاطات تكرارية من الرتبة 2 عند تقسيمها بخط ينصف الزاوية القائمة على الوتر . البلاطات التكرارية من الرتبة 2 هي أيضًا تكرارية من الرتبة 2^ ⁿ ، وتُنتج المثلثات التكرارية من الرتبة 4 و8 و16+ بلاطات تكرارية أخرى. يتم إيجاد هذه البلاطات عن طريق حذف نصف النسخ الفرعية وتبديل الباقي حتى تصبح متناظرة انعكاسياً داخل مثلث قائم الزاوية. بعبارة أخرى، نسختان منها تُشكلان بلاطة مثلث قائم الزاوية. إحدى هذه البلاطات التكرارية الجديدة تُشبه السمكة المُشكّلة من ثلاثة مثلثات متساوية الأضلاع .    

مثلثات 30°-60°-90°

تُعرف الأشكال الهندسية المتعددة القائمة على مثلثات قائمة الزاوية بزوايا 30° و60° و90°، والتي تكون نسبة أضلاعها 1  : √ 3 : 2، باسم الأشكال الهندسية المتعددة . بعضها مطابق للأشكال الهندسية المتعددة المعينية . ^{[ 4 ]}   

العديد من البلاطات المتكررة الشائعة تكون تكرارها من الرتبة ^n² لجميع قيم n الصحيحة الموجبة . وينطبق هذا بشكل خاص على ثلاثة أشباه منحرفات، بما في ذلك شبه المنحرف المُشكّل من ثلاثة مثلثات متساوية الأضلاع، وعلى ثلاثة سداسيات متوازية المحاور (الترومينو L، والتترومينو L، والبنتومينو P)، وعلى شكل سداسي معيني على هيئة أبو الهول. ^{[ 5 ]} إضافةً إلى ذلك، يمكن تبليط العديد من البلاطات المتكررة، لا سيما تلك ذات التكرار الأعلى من الرتبة n ، بطرق مختلفة. على سبيل المثال، يحتوي التترومينو L ذو التكرار 9 على ما لا يقل عن أربعة عشر تبليطًا متكررًا مختلفًا. كما يمكن تبليط شكل سداسي معيني على هيئة أبو الهول ذي التكرار 9 بطرق مختلفة أيضًا. 

أكثر أشكال التكرار شيوعًا هي المضلعات ذات العدد المحدود من الأضلاع، ولكن بعض الأشكال ذات العدد اللانهائي من الأضلاع يمكن أن تكون أيضًا أشكال تكرار. على سبيل المثال، المثلث الثلاثي الأضلاع ، أو المثلث ذو القرون، هو تكرار من الدرجة الرابعة (rep-4). وهو أيضًا مثال على شكل تكرار كسري .

تُعدّ البلاطات التكرارية المثلثية والرباعية (ذات الأضلاع الأربعة) شائعة، بينما تُعدّ البلاطات التكرارية الخماسية نادرة. ولزمن طويل، ساد الاعتقاد بأنّ أبو الهول هو المثال الوحيد المعروف، لكن كارل شيرر وجورج سيشرمان اكتشفا أمثلة أخرى، بما في ذلك هرم مزدوج ونسخة مطوّلة من أبو الهول. ^{[ 6 ]} ومع ذلك، فإنّ أبو الهول ونسخه المطوّلة هما الشكلان الخماسيان الوحيدان المعروفان اللذان يمكن تكرارهما ببلاطات تكرارية متطابقة. ^{[ 7 ]}

من بين المضلعات المنتظمة، لا يمكن تقسيم سوى المثلث والمربع إلى نسخ أصغر متساوية الحجم. أما السداسي المنتظم، فيمكن تقسيمه إلى ستة مثلثات متساوية الأضلاع، ويمكن تقسيم كل مثلث منها إلى سداسي منتظم وثلاثة مثلثات متساوية الأضلاع أخرى. وهذا هو أساس التبليط اللانهائي للسداسي بسداسيات. ولذلك، يُعد السداسي شكلاً غير قابل للتمثيل اللانهائي (irrep - ∞) .

• فسيفساء – صورة مصنوعة من قطع صغيرة ملونة 
• التكرار الذاتي – نوع من سلوك النظام الديناميكي 
• مجموعة بلاطات ذاتية التبليط - مجموعة من الأشكال التي يمكن تبليطها بنسخ أصغر من نفس المجموعة 
• الزواحف (إم سي إيشر) – طباعة حجرية من عام 1943 للفنان إم سي إيشر 

• غاردنر، م. ( 2001)، "بلاطات التمثيل"، كتاب الرياضيات الضخم: الألغاز والمفارقات والمسائل الكلاسيكية ، نيويورك: دبليو دبليو نورتون، ص 46-58 
• غاردنر، م. ( 1991)، "الفصل 19: بلاطات التكرار، تكرار الأشكال على المستوى"، التعليق غير المتوقع وغيره من الانحرافات الرياضية ، شيكاغو، إلينوي: مطبعة جامعة شيكاغو، ص 222-233 
• لانغفورد، سي دي (1940)، "استخدامات لغز هندسي"، المجلة الرياضية ، 24 (260): 209-211 ، doi : 10.2307/3605717 ، JSTOR 3605717 
• Niţică، Viorel (2003)، “Rep-tiles revisited”، MASS Selecta ، Providence، RI: American Mathematical Society، pp. 205– 217، MR 2027179  
• سالوز، لي (2012)، "حول مجموعات البلاط ذاتية التبليط"، مجلة الرياضيات ، 85 (5): 323-333 ، doi : 10.4169/math.mag.85.5.323 ، MR 3007213 
• شيرر، كارل (1987)، رحلة محيرة إلى الزواحف والحيوانات ذات الصلة
• ويلز ، د. (1991)، قاموس بنجوين للهندسة الغريبة والمثيرة للاهتمام ، لندن: بنجوين، ص 213-214