الجذر التربيعي لـ 2

في العمارة الرومانية القديمة ، يصف فيتروفيوس استخدام تقنية الجذر التربيعي للعدد 2 أو تقنية ad quadratum . وتتلخص هذه التقنية في طريقة هندسية، وليست حسابية، لمضاعفة مربع، حيث يكون قطر المربع الأصلي مساويًا لضلع المربع الناتج. وينسب فيتروفيوس هذه الفكرة إلى أفلاطون . وقد استُخدم هذا النظام في بناء الأرصفة من خلال إنشاء مربع مماس لزوايا المربع الأصلي بزاوية 45 درجة. كما استُخدمت هذه النسبة أيضًا في تصميم الأتريومات بإعطائها طولًا مساويًا لقطر مربع، تكون أضلاعه مساوية لعرض الأتريوم المطلوب. ^{[ 8 ]}

توجد العديد من الخوارزميات لتقريب${\displaystyle {\sqrt {2}}}$كنسبة بين عددين صحيحين أو كعدد عشري. الخوارزمية الأكثر شيوعًا لهذا الغرض، والتي تُستخدم كأساس في العديد من أجهزة الحاسوب والآلات الحاسبة، هي طريقة بابل ^{[ 9 ]} لحساب الجذور التربيعية، وهي مثال على طريقة نيوتن لحساب جذور الدوال المختلفة. وتتلخص فيما يلي:

أولاً، اختر تخمينًا،${\displaystyle a_{0}>0}$تؤثر قيمة التخمين فقط على عدد التكرارات المطلوبة للوصول إلى تقريب بدقة معينة. ثم، باستخدام هذا التخمين، يتم التكرار عبر الحساب التكراري التالي :

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}+{\dfrac {2}{a_{n}}}\right)={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}$

تُحسّن كل تكرارة من دقة التقريب، مما يُضاعف تقريبًا عدد الأرقام الصحيحة. بدءًا من${\displaystyle a_{0}=1}$، وتؤدي التكرارات اللاحقة إلى:

${\displaystyle {\begin{alignat}{3}a_{1}&={\tfrac {3}{2}}&&=\mathbf {1} .5,\\a_{2}&={\tfrac {17}{12}}&&=\mathbf {1.41} 6\ldots ,\\a_{3}&={\tfrac {577}{408}}&&=\mathbf {1.41421} 5\ldots ,\\a_{4}&={\tfrac {665857}{470832}}&&=\mathbf {1.41421356237} 46\ldots ,\\&\qquad \vdots \end{alignat}}}$

قدّر البابليون العدد بـ${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421{\overline {296}}}$[ ^{3 ] [ 10 ]​}

إن التقريب العقلاني 99 / 70 ( ≈ 1.4142 857) يختلف عن القيمة الصحيحة بأقل من 1 / 10000 ( تقريبًا) .+0.72 × 10 ⁻⁴ ). وبالمثل، فإن 140 / 99 ( ≈ 1.414 1414...) لديه خطأ أصغر بشكل طفيف (تقريبًا).−0.72 × 10 ⁻⁴ ), و 239 / 169 ⁠ ( ≈ 1.4142 012) بها خطأ يبلغ تقريبًا−0.12 × 10 ⁻⁴ .

إن التقريب العقلاني للجذر التربيعي للعدد اثنين، والمستمد من أربع تكرارات للطريقة البابلية بعد البدء بقيمة 0 ₌ 1 ( 665857 / 470832 ) ، أكبر من القيمة الحقيقية بحوالي1.6 × 10⁻¹² ^؛ مربعها يساوي تقريبًا2.000 000 000 0045 . ^{[ 10 ]}

في عام 1997، كانت قيمة${\displaystyle {\sqrt {2}}}$تم حسابها بدقة تصل إلى 137,438,953,444 منزلة عشرية بواسطة فريق ياسوماسا كانادا . في فبراير 2006، تم تسجيل رقم قياسي في حساب${\displaystyle {\sqrt {2}}}$تضاءل استخدام الحاسوب المنزلي أمام هذا التطور. وقد حسب شيغيرو كوندو تريليون منزلة عشرية في عام 2010. ^{[ 11 ]} ومن الثوابت الرياضية الأخرى التي حُسبت توسعاتها العشرية بدقة مماثلة: π ، e ، والنسبة الذهبية . ^{[ 12 ]} توفر هذه الحسابات دليلاً تجريبياً على ما إذا كانت هذه الأرقام طبيعية .

هذا جدولٌ بالسجلات الحديثة في حساب أرقام${\displaystyle {\sqrt {2}}}$[ ^{12 ]​}

أحد الأدلة على عدم منطقية العدد هو البرهان التالي بالانحدار اللانهائي . وهو أيضًا برهان على النفي بالدحض : فهو يثبت العبارة "${\displaystyle {\sqrt {2}}}$"ليس عقلانيًا" من خلال افتراض أنه عقلاني ثم استنتاج زيف.

1. افترض أن${\displaystyle {\sqrt {2}}}$هو عدد نسبي، مما يعني أنه يوجد زوج من الأعداد الصحيحة تكون نسبتها بالضبط${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
2. إذا كان للعددين الصحيحين عامل مشترك ، فيمكن حذفه باستخدام خوارزمية إقليدس .
3. ثم${\displaystyle {\sqrt {2}}}$يمكن كتابتها على شكل كسر غير قابل للاختزال${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$بحيث يكون a و b عددين صحيحين أوليين فيما بينهما (ليس لهما عامل مشترك) مما يعني بالإضافة إلى ذلك أن واحدًا على الأقل من a أو b يجب أن يكون فرديًا .
4. ويترتب على ذلك أن${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}$و${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$. ( ( ⁠ a / b ⁠ ) ⁿ = ⁠ an ^/ b n ^⁠ ) ( a ² و b ² عددان صحيحان )
5. لذلك، فإن العدد 2 زوجي لأنه ^يساوي 2b² . ( ^2b² زوجي بالضرورة لأنه ضعف عدد صحيح آخر ⁾ .
6. ويترتب على ذلك أن يكون العدد زوجيًا (لأن مربعات الأعداد الصحيحة الفردية لا تكون زوجية أبدًا).
7. بما أن a عدد زوجي، فإنه يوجد عدد صحيح k يحقق${\displaystyle a=2k}$.
8. باستبدال قيمة 2k من الخطوة 7 بقيمة a في المعادلة الثانية من الخطوة 4:${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}=(2ك)^{2}=4ك^{2}}$وهو ما يعادل${\displaystyle b^{2}=2k^{2}}$.
9. لأن العدد 2k² يقبل القسمة على اثنين وبالتالي ^فهو عدد زوجي، ولأن${\displaystyle 2k^{2}=b^{2}}$وبالتالي فإن b ² هو أيضًا عدد زوجي، مما يعني أن b عدد زوجي.
10. في الخطوتين 5 و8، يكون كل من a و b زوجيين، وهو ما يتناقض مع الخطوة 3 (التي${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$(غير قابل للاختزال).

بما أنه تم استنتاج معلومة خاطئة، فإن الافتراض (1) هو أن${\displaystyle {\sqrt {2}}}$إذا كان عددًا نسبيًا، فلا بد أن تكون العبارة خاطئة. هذا يعني أن${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ليس عددًا نسبيًا؛ أي،${\displaystyle {\sqrt {2}}}$غير منطقي.

ألمح أرسطو إلى هذا البرهان في كتابه "التحليلات الأولية" ، الفقرة 1.23. ^{[ 13 ]} وقد ظهر لأول مرة كبرهان كامل في كتاب " الأصول " لإقليدس ، كقضية 117 من الكتاب العاشر. ومع ذلك، ومنذ أوائل القرن التاسع عشر، اتفق المؤرخون على أن هذا البرهان هو إضافة لاحقة وليس منسوبًا إلى إقليدس. ^{[ 14 ]}

لنفترض على سبيل التناقض أن${\displaystyle {\sqrt {2}}}$كانوا عقلانيين. عندها يمكننا أن نكتب${\displaystyle {\sqrt {2}}+1={\frac {q}{p}}}$ككسر غير قابل للاختزال في أبسط صورة، مع أعداد صحيحة موجبة أولية فيما بينها${\displaystyle q>p}$. منذ${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)=2-1^{2}=1}$وبناءً على ذلك${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$يمكن التعبير عنها ككسر غير قابل للاختزال${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ومع ذلك، بما أن${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$و${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$إذا اختلفا بعدد صحيح، فإن مقامات تمثيلاتهما الكسرية غير القابلة للاختزال يجب أن تكون متساوية، أي${\displaystyle q=p}$وهذا يُعطي التناقض المطلوب.

كما هو الحال مع البرهان بالانحدار اللانهائي، نحصل على${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$بما أن الكميتين متساويتان، فإن لكل جانب نفس التحليل إلى العوامل الأولية وفقًا لنظرية الحساب الأساسية ، وعلى وجه الخصوص، يجب أن يظهر العامل 2 بنفس عدد المرات. ومع ذلك، يظهر العامل 2 عددًا فرديًا من المرات على اليمين، وعددًا زوجيًا من المرات على اليسار، وهذا تناقض.

اللاعقلانية${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ويترتب على ذلك أيضًا نظرية الجذر النسبي ، التي تنص على أن الجذر النسبي لكثير الحدود ، إن وُجد، يجب أن يكون ناتج قسمة عامل الحد الثابت على عامل المعامل الرئيسي . في حالة${\displaystyle p(x)=x^{2}-2}$الجذور العقلانية الوحيدة الممكنة هي${\displaystyle \pm 1}$و${\displaystyle \pm 2}$. مثل${\displaystyle {\sqrt {2}}}$لا يساوي${\displaystyle \pm 1}$أو${\displaystyle \pm 2}$وبناءً على ذلك${\displaystyle {\sqrt {2}}}$غير نسبي. ويستند هذا التطبيق أيضًا إلى نظرية الجذر الصحيح، وهي نسخة أقوى من نظرية الجذر النسبي في حالة${\displaystyle p(x)}$هي كثيرة حدود أحادية ذات معاملات صحيحة ؛ بالنسبة لمثل هذه كثيرة الحدود، تكون جميع الجذور بالضرورة أعدادًا صحيحة (وهو ما${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ليس كذلك، لأن 2 ليس مربعًا كاملاً) أو غير نسبي.

يمكن استخدام نظرية الجذر النسبي (أو نظرية الجذر الصحيح) لإثبات أن أي جذر تربيعي لأي عدد طبيعي ليس مربعًا كاملًا هو عدد غير نسبي. للاطلاع على براهين أخرى تثبت أن الجذر التربيعي لأي عدد طبيعي غير مربع هو عدد غير نسبي، انظر: العدد غير النسبي التربيعي أو الانحدار اللانهائي .

بينما تكون البراهين بالانحدار اللانهائي صحيحةً من الناحية البنائية عندما يُعرَّف "غير النسبي" بأنه "ليس نسبيًا"، يمكننا الحصول على عبارة أقوى من الناحية البنائية باستخدام تعريف إيجابي لـ"غير النسبي" بأنه "مختلف كميًا عن كل عدد نسبي". ليكن a و b عددين صحيحين موجبين بحيث يكون ¹ < a / b < 3/2 (حيث أن 1 < 2 < 9/4 يحقق هذه الحدود). الآن، لا يمكن أن يكون 2b² ^و a² متساويين ، لأن الأول له عدد فردي من العوامل 2 بينما الثاني له عدد زوجي من العوامل 2. وبالتالي ^| 2b² - a² | ^≥ 1. بضرب الفرق المطلق | √2 - a ^/ b | في b² (√2 + a / b ) في البسط والمقام ، نحصل على ^{[ 18 ]} .

$\displaystyle \left|\sqrt{2}-\frac{a}{b}\right|=\frac{|2b^{2}-a^{2}|}{b^{2}\!\left(\sqrt{2}+\frac{a}{b}}\right)}}\geq\frac{1}{b^{2}\!\left(\sqrt{2}+\frac{a}{b}}\right)}}\geq\frac{1}{3b^{2}}},}$

المتباينة الأخيرة صحيحة لأنه يُفترض أن 1 < a / b < 3/2 ، مما يُعطي a / b + √2 ≤ 3 (وإلا لأمكن إثبات التباعد الكمي بسهولة). وهذا يُعطي حدًا أدنى قدره 1 / 3b² للفرق | √2 ^- a / b | ، مما يُقدم برهانًا مباشرًا على اللاعقلانية في صورته البنّاءة الأقوى، دون الاعتماد على قانون الوسط المرفوع . ^{[ 19} ] يُظهر هذا البرهان بنّاءً تناقضًا صريحًا ^بين${\displaystyle {\sqrt {2}}}$وأي منطق.

يستخدم هذا البرهان الخاصية التالية للأعداد الثلاثية الفيثاغورية الأولية :

إذا كانت a و b و c أعدادًا صحيحة موجبة أولية فيما بينها بحيث يكون ^a² + b² = c² ^{، فإن} c لا يكون زوجيًا أبدًا. ^{[ 20 ]}

يمكن استخدام هذه اللمة لإثبات أنه لا يمكن أبدًا جمع مربعين كاملين متطابقين لإنتاج مربع كامل آخر.

لنفترض العكس.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$هو أمر منطقي. لذلك،

${\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}$

أين${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$و${\displaystyle \gcd(a,b)=1}$

بتسوية كلا الجانبين،

${\displaystyle 2={a^{2} \over b^{2}}}$

${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}}$

${\displaystyle b^{2}+b^{2}=a^{2}}$

هنا، ( b , b , a ) ثلاثية فيثاغورسية أولية، ومن اللمة، لا يكون a زوجيًا أبدًا. ومع ذلك ^{، يتناقض هذا مع} المعادلة 2b² = a² التي تعني أن a يجب أن يكون زوجيًا.

تؤدي المتطابقة cos π / 4 = sin π / 4 = 1 / √2 ، بالإضافة إلى تمثيلات الضرب اللانهائي للجيب وجيب التمام ، إلى منتجات مثل

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots }$

و

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\!\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\!\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\!\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots }$

أو ما يعادل ذلك،

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\!\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .}$

يمكن أيضًا التعبير عن هذا العدد بأخذ متسلسلة تايلور لدالة مثلثية . على سبيل المثال ، متسلسلة cos π / 4 تعطي

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}{\bigl (}{\frac {\pi }{4}}{\bigr )}^{2k}}{(2k)!}}.}$

سلسلة تايلور${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$مع x = 1 وباستخدام مضروب العدد المضاعف n !! نحصل على

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots =1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {5}{128}}+{\frac {7}{256}}+\cdots .}$

يمكن تسريع تقارب هذه السلسلة باستخدام تحويل أويلر ، مما ينتج عنه

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{2^{3k+1}{(k!)}^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .}$

من غير المعروف ما إذا كان${\displaystyle {\sqrt {2}}}$يمكن تمثيلها بصيغة من نوع BBP . تُعرف صيغ نوع BBP بـ${\displaystyle \pi {\sqrt {2}}}$و​${\displaystyle {\sqrt {2}}\ln \left(1+{\sqrt {2}}~\!\right)}$ومع ذلك. ^{[ 25 ]}

يمكن تمثيل العدد بسلسلة لانهائية من الكسور المصرية ، مع تعريف المقامات بواسطة الحدين النونيين ^لعلاقة تكرارية تشبه فيبوناتشي a ( n ) = 34 a ( n −1) − a ( n −2)، a (0) = 0، a (1) = 6: ^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{a(2^{n})}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{204}}+{\frac {1}{235416}}+\dots \right).}$

الجذر التربيعي للعدد اثنين له التمثيل الكسري المستمر التالي :

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}.}$

تشكل المتقاربات ⁠ p / q ⁠ التي تشكلت عن طريق اقتطاع هذا التمثيل سلسلة من الكسور التي تقارب الجذر التربيعي لاثنين بدقة متزايدة، والتي يتم وصفها بواسطة أرقام بيل (أي p ² − 2 q ² = ±1 ). المتتاليات الأولى هي : 1/1 ، 3/2 ، 7/5 ، 17/12 ، 41/29 ، 99/70 ، 239/169 ، 577/408 ، والمتتالية التالية لـ p / q هي p + 2q / p + q . تختلف المتتالية p / q عن​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​${\displaystyle {\sqrt {2}}}$تقريبًا بالضبط${\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}}$، وهو ما يترتب على:

${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|2q^{2}-p^{2}|}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}={\frac {1}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}\thickapprox {\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}}$

تتقارب تعابير المربعات المتداخلة التالية إلى${\textstyle {\sqrt {2}}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}&={\tfrac {3}{2}}-2\left({\tfrac {1}{4}}-\left({\tfrac {1}{4}}-{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}-\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\[10mu]&={\tfrac {3}{2}}-4\left({\tfrac {1}{8}}+\left({\tfrac {1}{8}}+{\bigl (}{\tfrac {1}{8}}+\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}}$

في عام 1786، اكتشف أستاذ الفيزياء الألماني جورج كريستوف ليشتنبرغ ^{[ 27 ]} أن أي ورقة يكون حافتها الطويلة${\displaystyle {\sqrt {2}}}$يمكن طي ورقة أطول من حافتها القصيرة إلى نصفين ومحاذاتها مع حافتها الأقصر لإنتاج ورقة بنفس أبعاد الورقة الأصلية تمامًا. تضمن هذه النسبة بين طول الحافة الأطول إلى الحافة الأقصر أن قص ورقة إلى نصفين على طول خط ينتج عنه ورقتان أصغر بنفس النسبة (التقريبية) للورقة الأصلية. عندما قامت ألمانيا بتوحيد أحجام الورق في بداية القرن العشرين، استخدمت نسبة ليشتنبرغ لإنشاء سلسلة أحجام الورق "A" . ^{[ 27 ]} اليوم، تبلغ نسبة أبعاد أحجام الورق (التقريبية) وفقًا لمعيار ISO 216 (A4، A0، إلخ) 1:${\displaystyle {\sqrt {2}}}$تبلغ أبعاد A0 841 مم × 1189 مم، مما يعطي نسبة 0.707317...، أي أكبر بنحو 0.0297% من القيمة الدقيقة. ^{[ 28 ]}

دليل:

يترك${\displaystyle S=}$طول أقصر و${\displaystyle L=}$طول أطول لجوانب ورقة، مع

${\displaystyle R={\frac {L}{S}}={\sqrt {2}}}$كما هو مطلوب بموجب معيار ISO 216.

يترك${\displaystyle R'={\frac {L'}{S'}}}$إذا كانت النسبة المماثلة للورقة المقسمة إلى نصفين،

${\displaystyle R'={\frac {S}{L/2}}={\frac {2S}{L}}={\frac {2}{(L/S)}}={\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}=R.}$

توجد بعض الخصائص المثيرة للاهتمام المتعلقة بالجذر التربيعي للعدد 2 في العلوم الفيزيائية :

• الجذر التربيعي للعدد اثنين هو نسبة تردد فاصلة ثلاثية في موسيقى الاثني عشر نغمة ذات التوزيع المتساوي .
• يشكل الجذر التربيعي للعدد اثنين العلاقة بين فتحات العدسة في العدسات الفوتوغرافية، مما يعني بدوره أن نسبة المساحات بين فتحتين متتاليتين هي 2.
• يُساوي خط العرض السماوي (الميل) للشمس خلال نقاط عبور اليوم الفلكية للكوكب ميل محور الكوكب مقسومًا على${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• يوجد في الدماغ خلايا شبكية، اكتشفها عام 2005 فريق بقيادة ماي-بريت وإدفارد موزر. "وُجدت هذه الخلايا في المنطقة القشرية المجاورة مباشرةً للحصين [...] في أحد طرفي هذه المنطقة القشرية، يكون حجم الشبكة صغيرًا، وفي الطرف الآخر يكون كبيرًا جدًا. ومع ذلك، فإن الزيادة في حجم الشبكة ليست عشوائية، بل تزداد بمقدار الجذر التربيعي للعدد اثنين من منطقة إلى أخرى." ^{[ 29 ]}