دالة التوافقيات الفرعية المتعددة

في الرياضيات ، تُشكّل الدوال شبه التوافقية المتعددة (يُشار إليها أحيانًا بالاختصار psh أو plsh أو دوال Plush ) فئةً مهمةً من الدوال المستخدمة في التحليل العقدي . على مشعب كاهلر ، تُشكّل الدوال شبه التوافقية المتعددة مجموعةً جزئيةً من الدوال شبه التوافقية . مع ذلك، وعلى عكس الدوال شبه التوافقية (المُعرّفة على مشعب ريماني )، يُمكن تعريف الدوال شبه التوافقية المتعددة بشكلٍ عام على الفضاءات التحليلية العقدية .

وظيفة​${\displaystyle f\colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \},}$ مع النطاق${\displaystyle G\subset {\mathbb {C} }^{n}}$يُطلق عليه اسم التوافقيات الفرعية المتعددة إذا كان شبه متصل من الأعلى ، ولكل خط مركب

${\displaystyle \{a+bz\mid z\in {\mathbb {C} }\}\subset {\mathbb {C} }^{n},}$مع ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {C} }^{n},}$

الوظيفة${\displaystyle z\mapsto f(a+bz)}$هي دالة توافقية فرعية على المجموعة

${\displaystyle \{z\in {\mathbb {C} }\mid a+bz\in G\}.}$

بشكل عام، يمكن تعريف المفهوم على أي مشعب معقد أو حتى على فضاء تحليلي معقد${\displaystyle X}$كما يلي. دالة شبه متصلة من الأعلى${\displaystyle f\colon X\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$يُقال إنها متعددة التوافقيات الفرعية إذا كان لأي خريطة هولومورفية${\displaystyle \varphi \colon \Delta \to X}$الوظيفة${\displaystyle f\circ \varphi \colon \Delta \to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}}$هو توافق فرعي ، حيث${\displaystyle \Delta \subset {\mathbb {C} }}$يشير إلى القرص الوحدوي .

العلاقة بمتشعب كاهلر: على الفضاء الإقليدي المركب ذي الأبعاد n${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$،${\displaystyle f(z)=|z|^{2}}$ هو متعدد التوافقيات الفرعية. في الواقع،${\displaystyle i\partial {\overline {\partial }}f}$ يساوي شكل كاهلر القياسي على${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$حتى مضاعفات ثابتة. وبشكل أعم، إذا${\displaystyle g}$يرضي

${\displaystyle i\partial {\overline {\partial }}g=\omega }$

لبعض أشكال كاهلر${\displaystyle \omega }$، ثم${\displaystyle g}$هو متعدد التوافقيات الفرعية، والذي يُسمى جهد كاهلر. ويمكن توليد هذه الجهود بسهولة عن طريق تطبيق مبرهنة ddbar على أشكال كاهلر على مشعب كاهلر.

العلاقة بدالة ديراك: في الفضاء الإقليدي المركب أحادي البعد${\displaystyle \mathbb {C} ^{1}}$،${\displaystyle u(z)=\log |z|}$هو متعدد التوافقيات الفرعية. إذا${\displaystyle f}$إذا كانت دالة من الفئة C∞ ^ذات دعم مضغوط ، فإن صيغة كوشي التكاملية تنص على

${\displaystyle f(0)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dzd{\bar {z}}}{z}},}$

والتي يمكن تعديلها إلى

${\displaystyle {\frac {i}{\pi }}\partial {\overline {\partial }}\log |z|=dd^{c}\log |z|}$.

إنها ليست سوى مقياس ديراك عند نقطة الأصل 0.

أمثلة أخرى

• لو${\displaystyle f}$إذا كانت دالة تحليلية على مجموعة مفتوحة ، فإن${\displaystyle \log |f|}$هو متعدد التوافقيات الفرعية على تلك المجموعة المفتوحة.
• الدوال المحدبة هي دوال فرعية متعددة.
• لو$أوميغا$إذا كان مجالًا للشكل الكامل،${\displaystyle -\log(dist(z,\Omega ^{c}))}$هو متعدد التوافقيات الفرعية.

تم تعريف الدوال التعددية دون التوافقية في عام 1942 بواسطة كيوشي أوكا ^{[ 1 ]} وبيير ليلونج . ^{[ 2 ]}

• تتمتع مجموعة الدوال التوافقية الفرعية المتعددة بالخصائص التالية مثل المخروط المحدب :

• لو${\displaystyle f}$هي دالة توافقية فرعية متعددة و${\displaystyle c>0}$إذا كان عددًا حقيقيًا موجبًا، فإن الدالة${\displaystyle c\cdot f}$هو متعدد التوافقيات الفرعية،
• لو${\displaystyle f_{1}}$و${\displaystyle f_{2}}$إذا كانت دوالًا فرعية متعددة، فإن المجموع${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$هي دالة توافقية فرعية متعددة.

• خاصية التوافقية الفرعية المتعددة هي خاصية محلية، أي أن الدالة تكون توافقية فرعية متعددة إذا وفقط إذا كانت توافقية فرعية متعددة في جوار كل نقطة.
• لو${\displaystyle f}$هو متعدد التوافقيات الفرعية و${\displaystyle \varphi$ إذا كانت الدالة محدبة ومتزايدة، فإن ℝ → ℝ ${\displaystyle \varphi \circ f}$هو متعدد التوافقيات الفرعية. (${\displaystyle \varphi (-\infty )}$يُفسر على النحو التالي${\displaystyle \lim _{x\rightarrow -\infty }\varphi (x)}$.)
• لو${\displaystyle f_{1}}$و${\displaystyle f_{2}}$إذا كانت دوالًا فرعية متعددة، فإن الدالة${\displaystyle \max(f_{1},f_{2})}$هو متعدد التوافقيات الفرعية.
• النهاية النقطية لتسلسل متناقص من الدوال التوافقية الفرعية المتعددة هي توافقية فرعية متعددة.
• يمكن الحصول على كل دالة توافقية فرعية متعددة متصلة كحد لمتتالية متناقصة من الدوال التوافقية الفرعية المتعددة الملساء. علاوة على ذلك، يمكن اختيار هذه المتتالية متقاربة بانتظام. ^{[ 3 ]}
• تتحقق المتباينة في شرط شبه الاستمرارية المعتاد على أنها مساواة، أي إذا${\displaystyle f}$هل هو متعدد التوافقيات الفرعية إذن${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})}$.
• الدوال شبه التوافقية المتعددة هي شبه توافقية ، لأي مقياس كاهلر .
• لذلك، فإن الدوال التوافقية الفرعية المتعددة تحقق مبدأ القيمة القصوى ، أي إذا${\displaystyle f}$يكون متعدد التوافقيات الفرعية على المجال${\displaystyle D}$و${\displaystyle \sup _{x\in D}f(x)=f(x_{0})}$إلى حد ما${\displaystyle x_{0}\in D}$ثم${\displaystyle f}$ثابت.

في العديد من المتغيرات المعقدة ، تُستخدم الدوال التوافقية الفرعية المتعددة لوصف المجالات شبه المحدبة ، ومجالات الهولومورفية ، ومتشعبات شتاين .

إن التطبيق الهندسي الرئيسي لنظرية الدوال التوافقية الفرعية المتعددة هو النظرية الشهيرة التي أثبتها كيوشي أوكا في عام 1942. ^{[ 1 ]}

دالة متصلة${\displaystyle f:\;M\mapsto {\mathbb {R} }}$ يُطلق عليها اسم شاملة إذا كانت الصورة الأصلية${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,c])}$ صغير الحجم للجميع${\displaystyle c\in {\mathbb {R} }}$تُسمى الدالة f ذات التوافقيات الفرعية المتعددة ذات توافقيات فرعية قوية إذا كانت على الصورة التالية :${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}f-\omega }$ إيجابي ، بالنسبة لبعض أشكال كاهلر${\displaystyle \omega }$على M.​

نظرية أوكا: ليكن M متعدد شعب عقدي، يقبل دالة سلسة وشاملة ومتعددة التوافقيات الفرعية بقوة. عندئذٍ يكون M متعدد شعب شتاين . والعكس صحيح، أي متعدد شعب شتاين يقبل مثل هذه الدالة.

• بريمرمان، هـ. ج. (1956). "التحدب المركب" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 82 (1): 17-51 . doi : 10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2 . JSTOR 1992976 . 
• ستيفن ج. كرانز. نظرية الدوال لعدة متغيرات معقدة، دار نشر تشيلسي التابعة للجمعية الرياضية الأمريكية، بروفيدنس، رود آيلاند، 1992.
• روبرت سي. غانينغ . مقدمة في الدوال الهولومورفية في عدة متغيرات، وادزورث وبروكس/كول.
• كليميك، نظرية تعدد القدرات، مطبعة كلارندون 1992.

• "دالة التوافقيات الفرعية المتعددة" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]