شبه متواصل

وظيفة${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$يُطلق عليها اسم شبه متصلة علوية عند نقطة${\displaystyle x_{0}\in X}$إذا كان لكل حقيقي${\displaystyle y>f\left(x_{0}\right)}$يوجد حي${\displaystyle U}$ل${\displaystyle x_{0}}$بحيث${\displaystyle f(x)<y}$للجميع${\displaystyle x\in U}$[ ^{2 ]} وبالمثل ^،${\displaystyle f}$يكون شبه متصل علويًا عند${\displaystyle x_{0}}$إذا وفقط إذا $${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})}$$ حيث lim sup هي النهاية العليا للدالة${\displaystyle f}$عند النقطة${\displaystyle x_{0}}$، كما هو مُعرَّف $${\displaystyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\inf _{x_{0}\in U}\sup _{x\in U}f(x)}$$ حيث يكون الحد الأدنى على جميع أحياء النقطة${\displaystyle x_{0}}$[ ^{3 ] [ 4 ] [ 5 ]​}

لو${\displaystyle X}$هو فضاء متري ذو دالة مسافة${\displaystyle d}$و${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$ويمكن إعادة صياغة ذلك باستخدام${\displaystyle \varepsilon }$-${\displaystyle \delta }$صياغة مشابهة لتعريف الدالة المتصلة . أي، لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد${\displaystyle \delta >0}$بحيث${\displaystyle f(x)<f(x_{0})+\varepsilon }$حينما${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

وظيفة${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$يُطلق عليها اسم شبه متصلة من الأعلى إذا كانت تحقق أيًا من الشروط المكافئة التالية: ^{[ 2 ]}

(1) الدالة شبه متصلة من الأعلى عند كل نقطة من مجالها .

(2) لكل${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$المجموعة${\displaystyle f^{-1}([-\infty ,y))=\{x\in X:f(x)<y\}}$مفتوح في​${\displaystyle X}$، أين${\displaystyle [-\infty ,y)=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t<y\}}$.

(3) لكل${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$، ال${\displaystyle y}$- مجموعة المستوى الفائق${\displaystyle f^{-1}([y,\infty ))=\{x\in X:f(x)\geq y\}}$مغلق في​${\displaystyle X}$.

(4) الرسم البياني${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\leq f(x)\}}$مغلق في${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$.

(5) الدالة${\displaystyle f}$تكون متصلة عندما يكون المجال المقابل${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$تُعطى طوبولوجيا الترتيب الأيسر . وهذا مجرد إعادة صياغة للشرط (2) لأن طوبولوجيا الترتيب الأيسر تتولد من جميع الفترات.${\displaystyle [-\infty ,y)}$.

وظيفة${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$يُطلق عليها اسم شبه متصلة سفلية عند نقطة${\displaystyle x_{0}\in X}$إذا كان لكل حقيقي${\displaystyle y<f\left(x_{0}\right)}$يوجد حي${\displaystyle U}$ل${\displaystyle x_{0}}$بحيث${\displaystyle f(x)>y}$للجميع${\displaystyle x\in U}$أو بعبارة أخرى،${\displaystyle f}$يكون شبه متصل من الأسفل عند${\displaystyle x_{0}}$إذا وفقط إذا $${\displaystyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})}$$ أين${\displaystyle \liminf }$هل النهاية الدنيا للدالة${\displaystyle f}$عند النقطة${\displaystyle x_{0}.}$

لو${\displaystyle X}$هو فضاء متري ذو دالة مسافة${\displaystyle d}$و${\displaystyle f(x_{0})\in \mathbb {R} ,}$ويمكن إعادة صياغة ذلك على النحو التالي: لكل${\displaystyle \varepsilon >0}$يوجد${\displaystyle \delta >0}$بحيث${\displaystyle f(x)>f(x_{0})-\varepsilon }$حينما${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta .}$

وظيفة${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$تُسمى الدالة شبه متصلة من الأسفل إذا استوفت أيًا من الشروط المكافئة التالية:

(1) الدالة شبه متصلة من الأسفل عند كل نقطة من مجالها .

(2) لكل${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$المجموعة${\displaystyle f^{-1}((y,\infty ])=\{x\in X:f(x)>y\}}$مفتوح في​${\displaystyle X}$، أين${\displaystyle (y,\infty ]=\{t\in {\overline {\mathbb {R} }}:t>y\}}$.

(3) لكل${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$، ال${\displaystyle y}$- مجموعة المستويات الفرعية${\displaystyle f^{-1}((-\infty ,y])=\{x\in X:f(x)\leq y\}}$مغلق في​${\displaystyle X}$.

(4) النقش${\displaystyle \{(x,t)\in X\times \mathbb {R} :t\geq f(x)\}}$مغلق في${\displaystyle X\times \mathbb {R} }$[ ^{6 ] : 207​}

(5) الدالة${\displaystyle f}$تكون متصلة عندما يكون المجال المقابل${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$يتم إعطاء بنية الترتيب الصحيح . هذا مجرد إعادة صياغة للشرط (2) لأن بنية الترتيب الصحيح يتم توليدها بواسطة جميع الفترات${\displaystyle (y,\infty ]}$.

يترك${\displaystyle f,g:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$.

• لو${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$إذا كانت الدوال شبه متصلة من الأسفل، فإن المجموع${\displaystyle f+g}$تكون شبه متصلة من الأسفل ^{[ 9 ]} (بشرط أن يكون المجموع محددًا جيدًا، أي،${\displaystyle f(x)+g(x)}$ليس الشكل غير المحدد${\displaystyle -\infty +\infty }$وينطبق الأمر نفسه على الدوال شبه المتصلة من الأعلى.
• لو${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$إذا كانت الدوال شبه متصلة من الأسفل وغير سالبة، فإن دالة الضرب${\displaystyle fg}$تكون الدالة شبه متصلة من الأسفل. وينطبق الأمر نفسه على الدوال شبه المتصلة من الأعلى.
• الوظيفة${\displaystyle f}$تكون شبه متصلة من الأسفل إذا وفقط إذا${\displaystyle -f}$هي شبه متصلة علوية.
• لو${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$هي شبه متصلة علوية و${\displaystyle f}$إذا كانت غير متناقصة ، فإن التركيب${\displaystyle f\circ g}$هي شبه متصلة من الأعلى. من ناحية أخرى، إذا${\displaystyle f}$إذا لم تكن غير متناقصة،${\displaystyle f\circ g}$قد لا تكون شبه متصلة من الأعلى. على سبيل المثال، خذ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$يُعرَّف بأنه${\displaystyle f(x)=-x}$. ثم${\displaystyle f}$متصل و ${\displaystyle f\circ g=-g}$والتي لا تكون شبه متصلة من الأعلى إلا إذا${\displaystyle g}$متصل.
• لو${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$هي دوال شبه متصلة من الأسفل، وقيمها العظمى والصغرى (عند نقطة معينة) محددة بواسطة${\displaystyle x\mapsto \max\{f(x),g(x)\}}$و${\displaystyle x\mapsto \min\{f(x),g(x)\}}$كما أنها دوال شبه متصلة من الأسفل. وبالتالي، فإن مجموعة جميع الدوال شبه المتصلة من الأسفل من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$(أو إلى)${\displaystyle \mathbb {R} }$) تشكل شبكة . تنطبق العبارات المقابلة أيضًا على الدوال شبه المتصلة من الأعلى.

• الحد الأعلى (النقطي) لعائلة عشوائية${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$من الدوال شبه المتصلة السفلى${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$(محدد بواسطة${\displaystyle f(x)=\sup\{f_{i}(x):i\in I\}}$) شبه متصلة من الأسفل. ^{[ 10 ]}

على وجه الخصوص، نهاية متتالية متزايدة رتيبة${\displaystyle f_{1}\leq f_{2}\leq f_{3}\leq \cdots }$تكون الدوال المتصلة شبه متصلة من الأسفل. (توفر نظرية باير أدناه عكسًا جزئيًا لهذه النظرية). تكون دالة النهاية شبه متصلة من الأسفل فقط بشكل عام، وليست متصلة. ومن الأمثلة على ذلك الدوال${\displaystyle f_{n}(x)=1-(1-x)^{n}}$محدد لـ${\displaystyle x\in [0,1]}$ل${\displaystyle n=1,2,\ldots .}$

وبالمثل، فإن الحد الأدنى لأي مجموعة من الدوال شبه المتصلة من الأعلى هو دالة شبه متصلة من الأعلى. كما أن نهاية متتالية متناقصة رتيبة من الدوال المتصلة هي دالة شبه متصلة من الأعلى.

• لو${\displaystyle C}$هو فضاء متراص (على سبيل المثال، فترة مغلقة ومحدودة)${\displaystyle [a,b]}$) و${\displaystyle f:C\to {\overline {\mathbb {R} }}}$إذا كانت شبه متصلة من الأعلى، فإن${\displaystyle f}$يبلغ أقصى قيمة له في${\displaystyle C.}$لو${\displaystyle f}$يكون شبه متصل سفليًا على${\displaystyle C,}$ويبلغ الحد الأدنى في${\displaystyle C.}$

( إثبات حالة شبه الاستمرارية العليا : بحسب الشرط (5) في التعريف،${\displaystyle f}$تكون متصلة عندما${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$يتم إعطاء طوبولوجيا الترتيب الأيسر. لذا فإن صورتها${\displaystyle f(C)}$تكون المجموعة متراصة في تلك الطوبولوجيا. والمجموعات المتراصة في تلك الطوبولوجيا هي تحديدًا المجموعات التي تحتوي على قيمة عظمى. (للحصول على برهان بديل، انظر المقال الخاص بنظرية القيمة القصوى ).

• ( نظرية باير ) ^{[ ملاحظة 1 ]} ليكن${\displaystyle X}$ليكن فضاءً متريًا . كل دالة شبه متصلة من الأسفل${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$هي نهاية متتالية متزايدة نقطيًا من الدوال الحقيقية المتصلة الممتدة على${\displaystyle X.}$على وجه الخصوص، يوجد تسلسل${\displaystyle \{f_{i}\}}$من الدوال المتصلة${\displaystyle f_{i}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$بحيث

$${\displaystyle f_{i}(x)\leq f_{i+1}(x)\quad \forall x\in X,\ \forall i=0,1,2,\dots }$$و

$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }f_{i}(x)=f(x)\quad \forall x\in X.}$$

لو${\displaystyle f}$لا يأخذ القيمة${\displaystyle -\infty }$يمكن اعتبار الدوال المتصلة ذات قيم حقيقية. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

بالإضافة إلى ذلك، كل دالة شبه متصلة علوية${\displaystyle f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$هي نهاية متتالية متناقصة رتيبة من الدوال الحقيقية المتصلة الممتدة على${\displaystyle X;}$لو${\displaystyle f}$لا يأخذ القيمة${\displaystyle \infty ,}$يمكن اعتبار الدوال المتصلة ذات قيم حقيقية.

• أي دالة شبه متصلة عليا${\displaystyle f:X\to \mathbb {N} }$على فضاء طوبولوجي عشوائي${\displaystyle X}$ثابت محليًا على مجموعة فرعية مفتوحة كثيفة من${\displaystyle X.}$

• إذا كان الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$إذا كان متسلسلاً ، فـ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$تكون الدالة شبه متصلة من الأعلى إذا وفقط إذا كانت متصلة من الأعلى بالتتابع، أي إذا كان لأي${\displaystyle x\in X}$وأي تسلسل${\displaystyle (x_{n})_{n}\subset X}$التي تتقارب نحو${\displaystyle x}$، هناك يحمل${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }f(x_{n})\leqslant f(x)}$أو بعبارة أخرى، في فضاء متسلسل،${\displaystyle f}$تكون شبه متصلة من الأعلى إذا وفقط إذا كانت مجموعات المستوى الأعلى الخاصة بها${\displaystyle \{\,x\in X\,|\,f(x)\geqslant y\,\}}$يتم إغلاقها بالتتابع للجميع${\displaystyle y\in \mathbb {R} }$بشكل عام، تكون الدوال شبه المتصلة من الأعلى متصلة من الأعلى بالتتابع، ولكن قد يكون العكس غير صحيح.

خريطة ذات قيم متعددة${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$يكون شبه متصل علويًا عند${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$إذا كان لكل مجموعة مفتوحة${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$بحيث${\displaystyle F(x)\subset U}$يوجد حي${\displaystyle V}$ل${\displaystyle x}$بحيث${\displaystyle F(V)\subset U.}$^{[ 13 ] : التعريف 2.1}

خريطة ذات قيم متعددة${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$يكون شبه متصل من الأسفل عند${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{m}}$إذا كان لكل مجموعة مفتوحة${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$بحيث${\displaystyle x\in F^{-1}(U),}$يوجد حي${\displaystyle V}$ل${\displaystyle x}$بحيث${\displaystyle V\subset F^{-1}(U).}$^{[ 13 ] : التعريف 2.2}

كما يتم تعريف شبه الاستمرارية العليا والسفلى ذات القيم المتعددة بشكل أعم بالنسبة للخرائط ذات القيم المتعددة بين الفضاءات الطوبولوجية عن طريق استبدال${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$و${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$في التعريفات المذكورة أعلاه مع الفضاءات الطوبولوجية العشوائية. ^{[ 13 ]}

تجدر الإشارة إلى أنه لا يوجد تطابق مباشر بين شبه الاستمرارية الدنيا والعليا للدوال أحادية القيمة وشبه الاستمرارية الدنيا والعليا للدوال متعددة القيم. فالدالة أحادية القيمة شبه المستمرة من الأعلى ليست بالضرورة شبه مستمرة من الأعلى عند اعتبارها دالة متعددة القيم. ^{[ 13 ] : 18} على سبيل المثال، الدالة${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$محدد بواسطة $${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}x<0,\\1&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$$ هي دالة شبه متصلة من الأعلى بمعنى القيمة الواحدة، ولكنها دالة متعددة القيم${\displaystyle x\mapsto F(x):=\{f(x)\}}$ليست شبه متصلة من الأعلى بالمعنى الذي تكون فيه القيم مجموعة.

دالة متعددة القيم${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$يُطلق عليه اسم شبه متصل داخلي عند${\displaystyle x}$إذا لكل${\displaystyle y\in F(x)}$وكل متتالية متقاربة${\displaystyle (x_{i})}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$بحيث${\displaystyle x_{i}\to x}$يوجد تسلسل${\displaystyle (y_{i})}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بحيث${\displaystyle y_{i}\to y}$و${\displaystyle y_{i}\in F\left(x_{i}\right)}$لجميع الأحجام الكبيرة بما فيه الكفاية${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$^{[ 14 ] [ ملاحظة 2 ]}

دالة متعددة القيم${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{m}\rightrightarrows \mathbb {R} ^{n}}$يُطلق عليه اسم شبه متصل خارجي عند${\displaystyle x}$إذا كان لكل متتالية تقارب${\displaystyle (x_{i})}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$بحيث${\displaystyle x_{i}\to x}$وكل متتالية متقاربة${\displaystyle (y_{i})}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$بحيث${\displaystyle y_{i}\in F(x_{i})}$لكل${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,}$التسلسل${\displaystyle (y_{i})}$يتقارب إلى نقطة في${\displaystyle F(x)}$(إنه،${\displaystyle \lim _{i\to \infty }y_{i}\in F(x)}$). ^{[ 14 ]}

يُعدّ حساب التفاضل والتكامل أحد التطبيقات المهمة لمفهوم شبه الاستمرارية . وتستمد أهميته في هذا السياق من النظرية التالية. ^{[ 19 ]} ليكن${\displaystyle X}$ليكن فضاءً طوبولوجيًا، و${\displaystyle F:X\to (-\infty ,+\infty ]}$المتتالية المُصغِّرة هي متتالية${\displaystyle x_{k}}$في${\displaystyle X}$بحيث $${\displaystyle \lim _{k\to \infty }F(x_{k})=\inf _{X}F.}$$ تنص النظرية على أنه إذا${\displaystyle F}$هي شبه متصلة سفلية متتابعة و${\displaystyle x_{k}}$هي متتالية تتناقص قيمتها وتتقارب إلى${\displaystyle x_{0}}$، ثم$${\displaystyle F(x_{0})=\inf _{X}F.}$$ إنه،${\displaystyle x_{0}}$الحد الأدنى المطلق لـ${\displaystyle F}$.

غالبًا ما يُدمج هذا مع نتائج مثل نظرية تونيللي في التحليل الوظيفي ، التي تُحدد شبه الاستمرارية السفلية الضعيفة للدوال غير الخطية على فضاءات Lp بدلالة تحدب دالة أخرى. تُفيد نتائج أكثر تخصصًا من هذا النوع في الصياغات التباينية لمسائل المعادلات التفاضلية الجزئية ، والتي تربط شبه استمرارية الدوال المُعطاة بالتكامل بخصائص تحدب الدالة المُكاملة، والتي غالبًا ما تُعرف على ^فضاء سوبوليف . المثال النموذجي هو مسألة ديريشليه لمؤثر لابلاس ، والتي يُمكن صياغتها كمسألة تصغير للطاقة ، مع مراعاة الشروط الحدية . $${\displaystyle F(u)=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2},}$$ أي، تكامل مربع معيار تدرج دالة على نطاق محدود في الفضاء الإقليدي. الدالة المراد تكاملها محدبة في فضاء سوبوليف مناسب، لذا فإن نهاية متتالية صغرى هي حل لمسألة ديريشليه. ولهذا آثار، على سبيل المثال، على حلول العناصر المحدودة ، مما يوفر طريقة لإنشاء متتالية صغرى.

إلى جانب افتراضات التحدب، يلعب كل من شبه الاستمرارية العليا والسفلى دورًا في النظريات التي تضمن وجود نقاط سرجية للدوال على فضاءات متجهة طوبولوجية محدبة محليًا . إحدى هذه النتائج هي نظرية المينيماكس لفان وسيون . ^{[ 20 ]} تنص هذه النظرية على أنه إذا${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbb {R} }$هي دالة من زوج من المجموعات المحدبة المغلقة غير الفارغة${\displaystyle X,Y}$ينتمي إلى فضاءات باناخ الانعكاسية ، بحيث

• ${\displaystyle f(x,\cdot )}$يكون مقعرًا وشبه متصل من الأعلى لكل${\displaystyle x\in X}$و
• ${\displaystyle f(\cdot ,y)}$تكون محدبة وشبه متصلة من الأسفل لكل${\displaystyle y\in Y}$،

ثم مجموعة نقاط السرج لـ${\displaystyle f}$محدبة. إذا كان كل من التحدب والتقعر صارمين، فإنه يوجد على الأكثر نقطة سرجية واحدة. إذا كانت المجموعات${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$إذا كانت الدوال محدودة، فإن مجموعة النقاط السرجية غير فارغة. النقطة السرجية، بحسب تعريفها، هي نقطة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$عندها $${\displaystyle f(x_{0},y_{0})=\inf _{x\in X}\sup _{y\in Y}f(x,y)=\sup _{y\in Y}\inf _{x\in X}f(x,y).}$$

العديد من الدوال ذات القيم الصحيحة المهمة هي أيضًا دوال شبه متصلة. على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا مجسمًا متعدد السطوح${\displaystyle K}$(أو، بشكل أعم، مجموعة محدبة مغلقة) في${\displaystyle n}$فضاء متجهي ذو أبعاد n. وجه من${\displaystyle K}$هي بحكم تعريفها مجموعة القيم العظمى لدالة خطية ما على${\displaystyle K}$عرّف الدالة $${\displaystyle f(x)=\inf\{\dim F|F{\text{ is a face of }}K{\text{ and }}x\in F\}.}$$ ثم${\displaystyle f}$هي شبه متصلة من الأسفل. وهذا بديهي لأنه في ظل أي اضطرابات صغيرة، يمكنك الانتقال من وجه ذي بُعد أقل، مثل حافة أو رأس، إلى وجه ذي بُعد أعلى، ولكن لا يمكن نقل أي نقطة من وجه ذي بُعد أعلى إلى وجه ذي بُعد أقل إذا كان الاضطراب صغيرًا بما فيه الكفاية.

ومن الأمثلة الأخرى على هذه الخاصية المماثلة أن رتبة المصفوفة هي دالة شبه متصلة من الأسفل على فضاء${\displaystyle n\times m}$المصفوفات. وذلك لأن الرتبة يمكن أن تزداد عند المصفوفات المجاورة، ولكن ليس عند المصفوفات التي تقترب منها. ونتيجة لذلك، بالإضافة إلى نظرية الدالة الضمنية ، عندما تؤثر زمرة لي بسلاسة على مشعب أملس ، يكون بُعد المدار المار بنقطة ما شبه متصل من الأسفل (أي أن الدالة${\displaystyle f(x)=\dim(G\cdot x)}$). ^{[ 21 ]}

تلعب نسخ أكثر تطوراً من هذه الفكرة نفسها دوراً أساسياً في الهندسة الجبرية ، حيث من المعروف أن العديد من دوال الأبعاد ذات المجال المقابل في الأعداد الصحيحة شبه متصلة. (على سبيل المثال، عند تطبيقها على جسم نيوتن-أوكونكوف ).

بشكل عام، دع${\displaystyle X}$و${\displaystyle S}$كن مخططات و${\displaystyle f:X\to S}$ليكن تشاكلًا مسطحًا ومناسبًا ذو عرض منتهٍ.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$كن${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$- وحدة مسطحة وذات عرض محدود على${\displaystyle S}$ثم لأي${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$الوظيفة $${\displaystyle h^{i}:S\to \mathbb {Z} _{\geq 0},s\mapsto {\text{dim}}_{\kappa (s)}H^{i}(X_{s},{\mathcal {F}}_{s})}$$ هي شبه متصلة من الأعلى. ^{[ 22 ]} حالة خاصة مهمة لهذه النظرية عندما بالإضافة إلى ذلك${\displaystyle X,S}$هم من أتباع النوثرية،${\displaystyle f}$هو إسقاطي و${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يمكن العثور على "متماسك" في الكتاب المدرسي القياسي لهارتشورن . ^{[ 23 ] : 288.} يمكن العثور على العمل الأصلي بلغة علم التماثل الفائق في EGA III ^{[ 24 ]} Théorème (7.7.5)، مع الإشارة أيضًا إلى الأعمال السابقة، ولا سيما غراورت في الإطار التحليلي المعقد.

يترك${\displaystyle X,Y}$كن مخططات و${\displaystyle f:X\to Y}$تشاكل من النوع المحدود. الدالة $${\displaystyle n_{X/Y}:Y\to \mathbb {Z} _{\geq 0}\cup \{\infty \},y\mapsto {\text{dim}}_{\text{top}}X_{y}}$$ شركاء لأي${\displaystyle y\in Y}$أبعاد الألياف${\displaystyle X_{y}}$. لو${\displaystyle f}$إذا كان تشاكلًا مسطحًا لمخططات ذات عرض محدود،${\displaystyle n_{X/Y}}$هي شبه متصلة من الأسفل. ^{[ 25 ]} إذا${\displaystyle f}$إذا كان تشاكلاً صحيحاً بين المخططات،${\displaystyle n_{X/Y}}$هي شبه متصلة من الأعلى. ^{[ 26 ]}

قام فاكيل بجمع قائمة بنتائج شبه الاستمرارية الإضافية في الهندسة الجبرية. ^{[ 27 ]}

تُستخدم الدوال شبه المتصلة في نظرية المجموعات الوصفية لتحديد طبقات الفضاءات الطوبولوجية باستخدام مقاييس التعقيد مثل البُعد أو الرتبة أو الارتفاع الترتيبي . ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]} غالبًا ما تأخذ هذه الدوال قيمًا ترتيبية ، ويضمن شبه اتصالها أن المجموعات${\displaystyle \{x:f(x)\geq \alpha \}}$مغلقة (وبالتالي بوريل في فضاء بولندي ).

ومن الأمثلة الأساسية دالة الترتيب على الأشجار ذات الأساس الجيد. ليكن${\displaystyle {\mathcal {T}}\subseteq \omega ^{<\omega }}$لتكن شجرة مشفرة بنقطة في فضاء باير${\displaystyle \omega ^{\omega }}$الرتبة​${\displaystyle \rho ({\mathcal {T}})\in \omega _{1}\cup \{\infty \}}$يُعرَّف بأنه الحد الأعلى لأطوال المتتاليات التنازلية في${\displaystyle {\mathcal {T}}}$الدالة التي تحدد الرتبة${\displaystyle \rho ({\mathcal {T}})}$كل شجرة شبه متصلة من الأسفل بالنسبة للطوبولوجيا الطبيعية على رموز الأشجار. هذا الترتيب يقسم فضاء الأشجار إلى مجموعات مغلقة${\displaystyle \{{\mathcal {T}}:\rho ({\mathcal {T}})\geq \alpha \}}$على غرار كيفية تقسيم رتبة المصفوفة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times m}}$.

بشكل عام، تُستخدم الدوال شبه المتصلة السفلية ذات القيم الترتيبية لقياس تعقيد النقاط أو البنى في فضاء بولندي ، مثل رتب سكوت للبنى القابلة للعد، والرتب الإسقاطية للمجموعات، أو تعقيدات لوسين-نوفيكوف لعلاقات التكافؤ. تُمكّن هذه الدوال من التصنيف الدقيق، وهي ضرورية لتحديد المجموعات الشاملة والمعاملات الفعالة في المستويات العليا من التسلسل الهرمي الإسقاطي .

لأن الصورة العكسية لفترة${\displaystyle [\alpha ,\infty ]}$عندما تكون دالة شبه متصلة دنيا مغلقة، فإن هذه الدوال تُنتج تصنيفات أساسية للفضاءات الطوبولوجية إلى أجزاء مغلقة (وبالتالي بوريل) ذات تعقيد متزايد. تُستخدم هذه الخاصية غالبًا في براهين مبادئ الانعكاس ، ونظريات الفصل ، وفي التصنيف الفعال لعلاقات تكافؤ بوريل .

في نظرية الإرجودية والديناميكا الطوبولوجية ، تنشأ شبه الاستمرارية بشكل طبيعي عند دراسة الدوال على فضاء المقاييس الثابتة لنظام ديناميكي . وأهم مثال على ذلك دالة الإنتروبيا ، التي تُسند لكل مقياس ثابت إنتروبيته الخاصة بنظرية القياس . ^{[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}

يترك${\displaystyle (X,T)}$ليكن نظامًا ديناميكيًا طوبولوجيًا مع${\displaystyle X}$صغير الحجم و${\displaystyle T:X\to X}$متصل. الفضاء${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$ل${\displaystyle T}$مقاييس احتمالية بوريل الثابتة هي مجموعة فرعية محدبة مضغوطة من المجموعة الثنائية لـ${\displaystyle C(X)}$في ظل طوبولوجيا * الضعيفة. خريطة الإنتروبيا${\displaystyle \mu \mapsto h_{\mu }(T)}$هي دالة شبه متصلة من الأعلى على${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$: $${\displaystyle \limsup _{\mu _{n}\to \mu }h_{\mu _{n}}(T)\leq h_{\mu }(T).}$$

تلعب هذه الخاصية دورًا رئيسيًا في مبدأ التباين ، الذي يؤكد أن الإنتروبيا الطوبولوجية${\displaystyle h_{\mathrm {top} }(T)}$هو أعلى مستوى لـ${\displaystyle h_{\mu }(T)}$على جميع المقاييس الثابتة. يضمن شبه الاستمرار العلوي أن يتم الوصول إلى هذه القيمة العليا عندما يكون فضاء المقاييس مضغوطًا.

بشكل عام، فإن العديد من الدوال الوظيفية ذات الأهمية - مثل أسس ليابونوف ، وأطياف الأبعاد، وإحصاءات زمن العودة - تكون شبه متصلة على فضاء المقاييس الثابتة. في بعض الحالات، تُستخدم خصائص شبه الاتصال هذه لإثبات وجود مقاييس تُعظّم أو تُصغّر كمية معينة، أو لتحديد الخصائص البنيوية للمُعقّد البسيط.${\displaystyle {\mathcal {M}}_{T}(X)}$(على سبيل المثال، أن المقاييس الإرجودية تشكل باقية كثيفة)${\displaystyle G_{\delta }}$-تعيين).

تظهر أفكار مماثلة في نظرية الوصلات ، حيث تُدرس الاقترانات الثابتة بين الأنظمة. وتكون مجموعة الوصلات متراصة في طوبولوجيا * الضعيفة، ويُستخدم شبه الاستمرارية لتحليل انفصال وتفرد الاقترانات الثابتة.