النظرية الأساسية في الحساب

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 40 صور
الموسوعة الحرة
في كتاب Disquisitiones Arithmeticae (1801) أثبت غاوس نظرية التحليل الفريد [ 1 ] واستخدمها لإثبات قانون التبادل التربيعي . [ 2 ]

في الرياضيات ، تنص النظرية الأساسية للحساب ، والتي تُسمى أيضًا نظرية التحليل إلى عوامل أولية ونظرية التحليل إلى عوامل أولية ، على أن كل عدد صحيح أكبر من 1 إما أن يكون عددًا أوليًا أو يمكن تمثيله بشكل فريد كحاصل ضرب أعداد أولية ، حتى رتبة العوامل. [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] على سبيل المثال،

1200=24⋅31⋅52=(2⋅2⋅2⋅2)⋅3⋅(5⋅5)=5⋅2⋅5⋅2⋅3⋅2⋅2=...{\displaystyle 1200=2^{4}\cdot 3^{1}\cdot 5^{2}=(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)\cdot 3\cdot (5\cdot 5)=5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 3\cdot 2\cdot 2=\ldots }

تنص النظرية على أمرين بخصوص هذا المثال: أولاً، أنه يمكن تمثيل 1200 كحاصل ضرب أعداد أولية، وثانياً، أنه بغض النظر عن كيفية القيام بذلك، سيكون هناك دائمًا أربعة أعداد 2 بالضبط، وعدد 3 واحد، وعددين 5، ولا توجد أعداد أولية أخرى في الناتج.

يُعدّ شرط أن تكون العوامل أولية ضروريًا: فالتحليلات التي تحتوي على أعداد مركبة قد لا تكون فريدة (على سبيل المثال،12=2⋅6=3⋅4{\displaystyle 12=2\cdot 6=3\cdot 4}).

باستخدام الاصطلاحات القياسية لضرب متتالية (قيمة الضرب الفارغ هي1 وضرب عامل واحد هو العامل نفسه)، وغالبًا ما يتم صياغة النظرية على النحو التالي: يمكن تمثيل كل عدد صحيح موجب بشكل فريد كضرب أعداد أولية، حتى رتبة العوامل .

تُعد هذه النظرية أحد الأسباب الرئيسية لعدم اعتبار العدد 1 عددًا أوليًا : فلو كان 1 عددًا أوليًا، لما كان تحليله إلى عوامله الأولية فريدًا؛ على سبيل المثال،2=2⋅1=2⋅1⋅1=...{\displaystyle 2=2\cdot 1=2\cdot 1\cdot 1=\ldots }

تُعمَّم هذه النظرية لتشمل بنى جبرية أخرى تُسمى مجالات التحليل الفريد ، بما في ذلك مجالات المثاليات الرئيسية ، والمجالات الإقليدية ، وحلقات كثيرات الحدود على حقل . مع ذلك، لا تنطبق هذه النظرية على الأعداد الصحيحة الجبرية . [ أ ] يُعدّ هذا القصور في التحليل الفريد أحد أسباب صعوبة برهان نظرية فيرما الأخيرة . إن الاستخدام الضمني للتحليل الفريد في حلقات الأعداد الصحيحة الجبرية هو السبب وراء خطأ العديد من البراهين الخاطئة التي كُتبت خلال 358 عامًا بين صياغة فيرما وبرهان وايلز .

تاريخ

يمكن استخلاص النظرية الأساسية من الكتاب السابع، القضايا 30 و31 و32، والكتاب التاسع، القضية 14 من كتاب الأصول لإقليدس .

إذا كان حاصل ضرب عددين ينتج عنه عدد ما، وكان أي عدد أولي يقيس الناتج، فإنه سيقيس أيضًا أحد العددين الأصليين.

— إقليدس، كتاب العناصر السابع ، القضية 30

(بالمصطلحات الحديثة: إذا كان العدد الأولي p يقسم حاصل ضرب ab ، فإن p يقسم إما a أو b أو كليهما.) يُشار إلى القضية 30 باسم ليمّة إقليدس ، وهي المفتاح في إثبات النظرية الأساسية للحساب.

أي عدد مركب يُقاس بعدد أولي ما.

— إقليدس، كتاب العناصر السابع ، القضية 31

(بالمصطلحات الحديثة: كل عدد صحيح أكبر من واحد يقسم بالتساوي على عدد أولي ما.) يتم إثبات القضية 31 مباشرة عن طريق الانحدار اللانهائي .

أي عدد إما أن يكون عدداً أولياً أو يتم قياسه بواسطة عدد أولي ما.

— إقليدس، كتاب الأصول السابع ، القضية 32

تم اشتقاق القضية 32 من القضية 31، وتثبت أن التفكيك ممكن.

إذا كان العدد هو الأصغر الذي يتم قياسه بالأعداد الأولية، فلن يتم قياسه بأي عدد أولي آخر باستثناء تلك التي تقيسه في الأصل.

— إقليدس، كتاب العناصر التاسع ، القضية 14

(باستخدام المصطلحات الحديثة: المضاعف المشترك الأصغر لعدة أعداد أولية ليس مضاعفًا لأي عدد أولي آخر). يُشتق الكتاب التاسع، القضية 14 من الكتاب السابع، القضية 30، وتُثبت جزئيًا أن التفكيك فريد - وهي نقطة أشار إليها أندريه ويل بشكل نقدي . [ ب ] في الواقع، في هذه القضية، جميع الأسس تساوي واحدًا، لذلك لا يُذكر شيء عن الحالة العامة.

بينما خطا إقليدس الخطوة الأولى نحو إثبات وجود التحليل إلى العوامل الأولية، خطا كمال الدين الفارسي الخطوة الأخيرة [ ج ] ووضع لأول مرة النظرية الأساسية في الحساب. [ د ]

يبدو أن المادة 16 من كتاب غاوس Disquisitiones Arithmeticae هي أول برهان على جزء التفرد من النظرية. [ 1 ]

التطبيقات

التمثيل المتعارف عليه لعدد صحيح موجب

يمكن تمثيل كل عدد صحيح موجب n > 1 بطريقة واحدة فقط كحاصل ضرب قوى أعداد أولية

ن=ص1ن1ص2ن2⋯صكنك=∏أنا=1كصأنانأنا،{\displaystyle n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots p_{k}^{n_{k}}=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}},}

حيث p 1 < p 2 < ... < p k أعداد أولية، و n i أعداد صحيحة موجبة. يُعمم هذا التمثيل عادةً ليشمل جميع الأعداد الصحيحة الموجبة، بما في ذلك 1، وذلك بافتراض أن حاصل الضرب الفارغ يساوي 1 (حيث يقابل حاصل الضرب الفارغ k = 0 ).

يُطلق على هذا التمثيل اسم التمثيل المتعارف عليه [ 6 ] لـ n ، أو الشكل القياسي [ 7 ] [ 8 ] لـ n . على سبيل المثال،

999 = 3 × 37
1000 = 2 3 × 5 3 ،
1001 = 7×11×13.

يمكن إدخال العوامل p ≥ 1 دون تغيير قيمة n (على سبيل المثال، 1000 = 2 ≥ 3 × 3 ≥ 0 × 5 ≥ 3 ). في الواقع، يمكن تمثيل أي عدد صحيح موجب بشكل فريد كحاصل ضرب لانهائي يشمل جميع الأعداد الأولية الموجبة، كما يلي:

ن=2ن13ن25ن37ن4⋯=∏أنا=1∞صأنانأنا،{\displaystyle n=2^{n_{1}}3^{n_{2}}5^{n_{3}}7^{n_{4}}\cdots =\prod _{i=1}^{\infty }p_{i}^{n_{i}},}

حيث يكون عدد محدود من n i أعدادًا صحيحة موجبة، والباقي يساوي صفرًا.

إن السماح بالأسس السالبة يوفر شكلاً قياسياً للأعداد النسبية الموجبة .

العمليات الحسابية

يمكن التعبير عن التمثيلات الأساسية للناتج، والقاسم المشترك الأكبر (GCD)، والمضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعددين a و b ببساطة بدلالة التمثيلات الأساسية لـ a و b أنفسهما:

أ⋅ب=2أ1+ب13أ2+ب25أ3+ب37أ4+ب4⋯=∏صأناأأنا+بأنا،القاسم المشترك الأكبر(أ،ب)=2مين(أ1،ب1)3مين(أ2،ب2)5مين(أ3،ب3)7مين(أ4،ب4)⋯=∏صأنامين(أأنا،بأنا)،المضاعف المشترك الأصغر⁡(أ،ب)=2الأعلى(أ1،ب1)3الأعلى(أ2،ب2)5الأعلى(أ3،ب3)7الأعلى(أ4،ب4)⋯=∏صأناالأعلى(أأنا،بأنا).{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}a\cdot b&=2^{a_{1}+b_{1}}3^{a_{2}+b_{2}}5^{a_{3}+b_{3}}7^{a_{4}+b_{4}}\cdots &&=\prod p_{i}^{a_{i}+b_{i}},\\\gcd(a,b)&=2^{\min(a_{1},b_{1})}3^{\min(a_{2},b_{2})}5^{\min(a_{3},b_{3})}7^{\min(a_{4},b_{4})}\cdots &&=\prod p_{i}^{\min(a_{i},b_{i})},\\\operatorname {lcm} (a,b)&=2^{\max(a_{1},b_{1})}3^{\max(a_{2},b_{2})}5^{\max(a_{3},b_{3})}7^{\max(a_{4},b_{4})}\cdots &&=\prod p_{i}^{\max(a_{i},b_{i})}.\end{alignedat}}}

ومع ذلك، فإن تحليل الأعداد الصحيحة إلى عواملها الأولية ، وخاصة الأعداد الكبيرة، أكثر صعوبة بكثير من حساب حاصل الضرب، أو القاسم المشترك الأكبر، أو المضاعف المشترك الأصغر، لذلك فإن هذه الصيغ لها استخدام محدود في الممارسة العملية.

الدوال الحسابية

تُعرَّف العديد من الدوال الحسابية باستخدام التمثيل المتعارف عليه. وعلى وجه الخصوص، تُحدَّد قيم الدوال الجمعية والضربية من خلال قيمها على قوى الأعداد الأولية.

دليل

يستخدم برهان التفرد ليمّة إقليدس ( الأصول السابع، 30): إذا قسم عدد أولي حاصل ضرب عددين صحيحين، فإنه يجب أن يقسم على الأقل أحد هذين العددين الصحيحين.

وجود

يجب إثبات أن كل عدد صحيح أكبر من 1 إما أولي أو حاصل ضرب أعداد أولية. ليكن n عددًا صحيحًا أكبر من 1، ولنفترض بالاستقراء أن كل عدد صحيح أكبر من 1 وأصغر من n إما أولي أو حاصل ضرب أعداد أولية. إذا كان n عددًا أوليًا، فلا حاجة لإثبات شيء آخر. وإلا، فهناك عددان صحيحان a و b ، حيث n = ab ، و 1 < a ≤ b < n . وفقًا لفرضية الاستقراء، فإن a = p₁p₂ ... pₖ و b = q₁q₂ ... qₖ هما حاصل ضرب أعداد أولية . ولكن عندئذٍ ، فإن n = ab = p₁p₂ ... pₖ q₁q₂ ... qₖ هو حاصل ضرب أعداد أولية .

رجل فريد

لنفترض ، على العكس، وجود عدد صحيح له تحليلان مختلفان إلى عوامل أولية. ليكن n أصغر عدد صحيح من هذا النوع، ولنكتب n = p₁ p₂ ... pₖ = q₁ q₂ ... qₖ ، حيث كل من pᵢ و qᵢ عددان أوليان . نلاحظ أن p₁ يقسم q₁ q₂ ... qₖ ، لذا فإن p₁ يقسم عددًا ما qᵢ وفقًا لفرضية إقليدس . دون فقدان للعمومية ، لنفترض أن p₁ يقسم q₁ . بما أن p₁ و q₁ كلاهما أوليان ، فإن p₁ = q₁ . بالعودة إلى تحليلات n ، يمكننا حذف هذين العاملين لنستنتج أن p₂ ... pₖ = q₂ ... qₖ . لدينا الآن تحليلان مختلفان إلى عوامل أولية لعدد صحيح أصغر من n ، وهو ما يناقض شرط صغر حجم n .

التفرد بدون معضلة إقليدس

يمكن إثبات النظرية الأساسية للحساب دون استخدام ليمّة إقليدس. [ 9 ] البرهان التالي مستوحى من النسخة الأصلية لخوارزمية إقليدس .

افترض أنs{\displaystyle s}هو أصغر عدد صحيح موجب ينتج عن ضرب عددين أوليين بطريقتين مختلفتين. وهذا يعني ضمناً أنs{\displaystyle s}إذا وُجد، فيجب أن يكون عددًا مركبًا أكبر من1{\displaystyle 1}والآن، قل

s=ص1ص2⋯صم=q1q2⋯qن.{\displaystyle {\begin{aligned}s&=p_{1}p_{2}\cdots p_{m}\\&=q_{1}q_{2}\cdots q_{n}.\end{aligned}}}

كلصأنا{\displaystyle p_{i}}يجب أن يكون متميزًا عن كلqج.{\displaystyle q_{j}.}وإلا، على سبيل المثالصأنا=qج،{\displaystyle p_{i}=q_{j},}عندها سيكون هناك عدد صحيح موجبت=s/صأنا=s/qج{\displaystyle t=s/p_{i}=s/q_{j}}وهو أصغر من s وله تحليلان مختلفان إلى عوامل أولية. يمكن للمرء أيضًا أن يفترض أنص1<q1،{\displaystyle p_{1}<q_{1},}عن طريق تبديل التحليلين، إذا لزم الأمر.

جلسةP=ص2⋯صم{\displaystyle P=p_{2}\cdots p_{m}}وسؤال=q2⋯qن،{\displaystyle Q=q_{2}\cdots q_{n},}يمتلك المرءs=ص1P=q1سؤال.{\displaystyle s=p_{1}P=q_{1}Q.} أيضًا، بما أنص1<q1،{\displaystyle p_{1}<q_{1},}يمتلك المرءسؤال<P.{\displaystyle Q<P.} ويترتب على ذلك أن

s-ص1سؤال=(q1-ص1)سؤال=ص1(P-سؤال)<s.{\displaystyle s-p_{1}Q=(q_{1}-p_{1})Q=p_{1}(PQ)<s.}

بما أن الأعداد الصحيحة الموجبة الأقل من s يفترض أن يكون لها تحليل إلى عوامل أولية فريدة،ص1{\displaystyle p_{1}}يجب أن يحدث ذلك في تحليل إماq1-ص1{\displaystyle q_{1}-p_{1}}أو Q. الحالة الأخيرة مستحيلة، لأن Q ، لكونها أصغر من s ، يجب أن يكون لها تحليل إلى عوامل أولية وحيدة، وص1{\displaystyle p_{1}}يختلف عن كلqج.{\displaystyle q_{j}.}الحالة الأولى مستحيلة أيضاً، كما لو،ص1{\displaystyle p_{1}}هو قاسم لـq1-ص1،{\displaystyle q_{1}-p_{1},}يجب أن يكون أيضًا قاسمًا لـq1،{\displaystyle q_{1},}وهو أمر مستحيل لأنص1{\displaystyle p_{1}}وq1{\displaystyle q_{1}}هي أعداد أولية متميزة.

لذلك، لا يمكن أن يوجد عدد صحيح أصغر له أكثر من تحليل واحد مميز إلى عوامل أولية. يجب أن يكون كل عدد صحيح موجب إما عددًا أوليًا بحد ذاته، والذي يمكن تحليله إلى عوامل أولية بشكل فريد، أو عددًا مركبًا يمكن تحليله أيضًا إلى عوامل أولية بشكل فريد، أو في حالة العدد الصحيح1{\displaystyle 1}لا يدخل في أي عدد أولي.

التعميمات

يُمكن إيجاد أول تعميم لهذه النظرية في دراسة غاوس الثانية (1832) حول التبادلية الثنائية التربيعية . وقد قدّمت هذه الورقة ما يُعرف الآن بحلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية ، وهي مجموعة جميع الأعداد المركبة a + bi حيث a و b عددان صحيحان. ويُرمز لها الآن بـZ[أنا].{\displaystyle \mathbb {Z} [i].}أظهر أن هذه الحلقة تحتوي على الوحدات الأربع ±1 و ± i ، وأن الأعداد غير الصفرية وغير الوحدية تنقسم إلى فئتين، الأعداد الأولية والأعداد المركبة، وأن للأعداد المركبة تحليلًا فريدًا كحاصل ضرب أعداد أولية ( حتى الرتبة والضرب في الوحدات). [ 10 ]

وبالمثل، في عام 1844 أثناء عمله على التبادلية المكعبة ، قدم أيزنشتاين الحلقةZ[ω]{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}، أينω=-1+-32\omega = \frac {-1 + \sqrt {-3}}{2}هو الجذر التكعيبي للوحدة (أي،ω3=1{\displaystyle \omega ^{3}=1}هذه هي حلقة أعداد أيزنشتاين الصحيحة ، وقد أثبت أنها تحتوي على ست وحدات±1،±ω،±ω2{\displaystyle \pm 1,\pm \omega ,\pm \omega ^{2}}وأن لها تحليلًا فريدًا.

ومع ذلك، فقد اكتُشف أيضاً أن التحليل إلى عوامل وحيدة لا يكون صحيحاً دائماً. ويُقدّم مثال على ذلك ما يلي:Z[-5]{\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}في هذه الحلقة يوجد [ 11 ]

6=2⋅3=(1+-5)(1--5).{\displaystyle 6=2\cdot 3=\left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right).}

أدت أمثلة كهذه إلى تعديل مفهوم "العدد الأولي".Z[-5]{\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}يمكن إثبات أنه إذا أمكن تمثيل أي من العوامل المذكورة أعلاه كحاصل ضرب، على سبيل المثال، 2 = ab ، فإن أحد a أو b يجب أن يكون عددًا أوليًا. هذا هو التعريف التقليدي للعدد الأولي. كما يمكن إثبات أن أيًا من هذه العوامل لا يخضع لقاعدة إقليدس؛ على سبيل المثال، 2 لا يقسم أيًا منهما. (1+-5){\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})}ولا(1--5){\displaystyle (1-{\sqrt {-5}})}على الرغم من أنه يقسم حاصل ضربهما 6. في نظرية الأعداد الجبرية، يُطلق على العدد 2 اسم العدد غير القابل للاختزال .Z[-5]{\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}(لا يقبل القسمة إلا على نفسه أو على وحدة) ولكنه ليس عددًا أوليًا فيZ[-5]{\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}(إذا قسمت ناتجًا، فلا بد أن تقسم أحد العوامل). ذكرZ[-5]{\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}هذا مطلوب لأن 2 عدد أولي وغير قابل للاختزال فيZ.{\displaystyle \mathbb {Z} .}باستخدام هذه التعريفات، يمكن إثبات أنه في أي مجال تكاملي، يجب أن يكون العدد الأولي غير قابل للاختزال. ويمكن إعادة صياغة ليمّة إقليدس الكلاسيكية على النحو التالي: "في حلقة الأعداد الصحيحة".Z{\displaystyle \mathbb {Z} }كل عدد غير قابل للاختزال هو عدد أولي. وهذا ينطبق أيضًا علىZ[أنا]{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}وZ[ω]،{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ],}لكن ليس فيZ[-5].{\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}].}

تُسمى الحلقات التي يكون فيها التحليل إلى عوامل غير قابلة للاختزال فريدًا بشكل أساسي بمجالات التحليل الفريدة . ومن الأمثلة المهمة عليها حلقات كثيرات الحدود على الأعداد الصحيحة أو على حقل ، والمجالات الإقليدية، ومجالات المثاليّات الرئيسية .

في عام 1843، قدم كومر مفهوم العدد المثالي ، الذي طوره ديديكيند (1876) لاحقًا في النظرية الحديثة للمثاليات ، وهي مجموعات جزئية خاصة من الحلقات. ويُعرَّف الضرب للمثاليات، وتُسمى الحلقات التي يكون فيها تحليل وحيد للمثاليات مجالات ديديكيند .

هناك نسخة من التحليل الفريد للأعداد الترتيبية ، على الرغم من أنها تتطلب بعض الشروط الإضافية لضمان التفرد.

أي أحادي موبيوس تبديلي يحقق نظرية التحليل إلى عوامل وحيدة، وبالتالي يمتلك خصائص حسابية مشابهة لخصائص شبه المجموعة الضربية للأعداد الصحيحة الموجبة. في الواقع، تُعدّ النظرية الأساسية للحساب حالة خاصة من نظرية التحليل إلى عوامل وحيدة في أحاديات موبيوس التبديلية.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ في حلقة من الأعداد الصحيحة الجبرية ، قد لا يكون التحليل إلى عناصر أولية فريدًا، ولكن يمكن للمرء استعادة تحليل فريد إذا قام بالتحليل إلى مثاليات .
  2. ↑ ويل (2007 ، ص 5): "حتى في كتاب إقليدس، لم نجد بيانًا عامًا حول تفرد تحليل عدد صحيح إلى عوامل أولية؛ من المؤكد أنه ربما كان على دراية بذلك، لكن كل ما لديه هو بيان (إقليدس 9.14) حول المضاعف المشترك الأصغر لأي عدد من الأعداد الأولية المعطاة."
  3. ↑ أ. جوكسيل أجارجون وإ. محمد أوزكان. "دراسة تاريخية للنظرية الأساسية في الحساب" (ملف PDF) . مجلة التاريخ الرياضي : 209. يمكن القول إن إقليدس خطا الخطوة الأولى نحو إثبات وجود التحليل إلى العوامل الأولية، بينما خطا الفارسي الخطوة الأخيرة بإثباته وجود تحليل نهائي إلى عوامل أولية محدودة في قضيته الأولى.
  4. ↑ راشد، رشدي (11-09-2002). موسوعة تاريخ العلوم العربية . روتليدج. ص 385. ISBN  9781134977246قام الفيزيائي والرياضي الشهير كمال الدين الفارسي بتأليف بحثٍ سعى فيه عمداً إلى إثبات نظرية ابن قرة بطريقة جبرية. وقد دفعه ذلك إلى فهم الدوال الحسابية الأولى وإلى إعدادٍ كاملٍ مكّنه من صياغة النظرية الأساسية للحساب لأول مرة .

الاقتباسات

  1. 1 2 جاوس (1986 ، المادة 16)
  2. ↑ جاوس (1986 ، المادة 131)
  3. ↑ لونغ (1972 ، ص 44) 
  4. ↑ بيتوفريزو وبيركيت (1970 ، ص 53) 
  5. ↑ هاردي ورايت (2008 ، الفصل 2)
  6. ↑ لونغ (1972 ، ص 45) 
  7. ↑ بيتوفريزو وبيركيت (1970 ، ص 55) 
  8. ↑ هاردي ورايت (2008 ، § 1.2)
  9. ↑ داوسون، جون دبليو. (2015)، لماذا نثبت ذلك مرة أخرى؟ براهين بديلة في الممارسة الرياضية. ، سبرينغر، ص 45، ISBN  9783319173689
  10. ↑ جاوس، BQ، §§ 31–34
  11. ↑ هاردي ورايت (2008 ، § 14.6)

مراجع

تُرجم كتاب "Disquisitiones Arithmeticae" من اللاتينية إلى الإنجليزية والألمانية. تتضمن النسخة الألمانية جميع أبحاثه في نظرية الأعداد: جميع براهين التبادلية التربيعية، وتحديد إشارة مجموع غاوس، والبحوث المتعلقة بالتبادلية التربيعية الثنائية، وملاحظات غير منشورة.

  • غاوس، كارل فريدريش (1986)، Disquisitiones Arithemeticae (الطبعة الثانية المصححة) ، ترجمة كلارك، آرثر أ.، نيويورك: سبرينغر ، ISBN 978-0-387-96254-2
  • Gauss، Carl Friedrich (1965)، Unter suchungen über hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae وأوراق أخرى حول نظرية الأعداد) (الطبعة الثانية) (في الألمانية)، ترجمة Maser، H.، نيويورك: تشيلسي، ISBN 0-8284-0191-8

يحتوي الكتابان اللذان نشرهما غاوس حول التبادلية الثنائية التربيعية على أقسام مرقمة بالتسلسل: الأول يتضمن الفقرات من 1 إلى 23، والثاني يتضمن الفقرات من 24 إلى 76. وتأتي الحواشي التي تشير إلى هذه الأقسام على النحو التالي: "غاوس، BQ، الفقرة ن ". أما الحواشي التي تشير إلى كتاب Disquisitiones Arithmeticae فتأتي على النحو التالي: "غاوس، DA، المادة ن ".

  • غاوس ، كارل فريدريش (1828)، Theoria residuorum biquadraticorum، Commentatio prima ، غوتنغن: تعليق. شركة نفط الجنوب. العلوم الملكية، غوتنغن 6
  • غاوس ، كارل فريدريش (1832)، Theoria residuorum biquadraticorum، Commentatio secunda ، غوتنغن: تعليق. شركة نفط الجنوب. العلوم الملكية، غوتنغن 7

هذه موجودة في أعمال جاوس ، المجلد الثاني، الصفحات  65-92 و93-148؛ والترجمات الألمانية موجودة في الصفحات  511-533 و534-586 من الطبعة الألمانية من Disquisitiones .