التسلسل الطيفي

حدد فئة تبديلية ، مثل فئة الوحدات النمطية فوق حلقة ، وعددًا صحيحًا غير سالب.${\displaystyle r_{0}}$المتتالية الطيفية المتجانسة هي متتالية${\displaystyle \{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}}$من الأشياء${\displaystyle E_{r}}$والتشكلات الداخلية${\displaystyle d_{r}:E_{r}\to E_{r}}$بحيث يكون لكل${\displaystyle r\geq r_{0}}$

1. ${\displaystyle d_{r}\circ d_{r}=0}$،
2. ${\displaystyle E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})}$، تماثل​${\displaystyle E_{r}}$بالنسبة إلى${\displaystyle d_{r}}$.

عادةً ما يتم حذف التشاكلات ونكتب${\displaystyle E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})}$بدلاً من ذلك. كائن${\displaystyle E_{r}}$يُطلق عليه اسم ورقة (كما في ورقة من الورق )، أو أحيانًا صفحة أو مصطلح ؛ تشاكل داخلي${\displaystyle d_{r}}$يُطلق عليها اسم خريطة الحدود أو التفاضل . أحيانًا${\displaystyle E_{r+1}}$يُطلق عليه اسم الكائن المشتق من${\displaystyle E_{r}}$.

في الواقع، تحدث المتتابعات الطيفية في الغالب ضمن فئة الوحدات النمطية ذات التدرج المزدوج على حلقة R (أو حزم الوحدات النمطية ذات التدرج المزدوج على حزمة من الحلقات)، أي أن كل ورقة هي وحدة نمطية R ذات تدرج مزدوج${\textstyle E_{r}=\bigoplus _{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}E_{r}^{p,q}.}$ لذا في هذه الحالة، فإن المتتالية الطيفية المتماثلة هي متتالية${\displaystyle \{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}}$من وحدات R ثنائية الدرجات${\displaystyle \{E_{r}^{p,q}\}_{p,q}}$ولكل وحدة، المجموع المباشر للتشاكلات الداخلية${\displaystyle d_{r}=(d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1})_{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}}$من الدرجة الثانية${\displaystyle (r,1-r)}$بحيث يكون لكل${\displaystyle r\geq r_{0}}$وينص على ما يلي:

1. ${\displaystyle d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0}$،
2. ${\displaystyle E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})}$.

يُطلق على الترميز المستخدم هنا اسم الدرجة التكميلية . يكتب بعض المؤلفين ${\displaystyle E_{r}^{d,q}}$بدلاً من ذلك، حيث${\displaystyle d=p+q}$يمثل r الدرجة الكلية . اعتمادًا على التسلسل الطيفي، يمكن أن تكون درجة خريطة الحدود في الورقة الأولى مساوية لـ r = 0 أو r = 1 أو r = 2. على سبيل المثال، بالنسبة للتسلسل الطيفي لمركب مُرشَّح، الموصوف أدناه، فإن _r₀ = 0، بينما بالنسبة للتسلسل الطيفي لغروتينديك ، _فإن r₀ = 2. عادةً ما تكون r₀ صفرًا _أو واحدًا أو اثنين. في الحالة غير المُدرَّجة الموصوفة أعلاه، لا تُؤخذ r₀ في الاعتبار _.

في الغالب، تكون الكائنات التي نتحدث عنها عبارة عن سلاسل معقدة ، تظهر بترتيب تنازلي (كما في المثال أعلاه) أو تصاعدي. في الحالة الأخيرة، عن طريق استبدال${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$مع${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$و${\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}}$مع${\displaystyle d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{pr,q+r-1}^{r}}$(شهادة مزدوجة)${\displaystyle (-r,r-1)}$)، يتلقى المرء تعريفًا لتسلسل طيفي متماثل بشكل مماثل للحالة المتماثلة.

تشكل مجموعة المتتاليات الطيفية المتماثلة فئة: وهي عبارة عن تشاكل للمتتاليات الطيفية.${\displaystyle f:E\to E'}$هي بحكم تعريفها مجموعة من الخرائط${\displaystyle f_{r}:E_{r}\to E'_{r}}$والتي تتوافق مع التروس التفاضلية، أي${\displaystyle f_{r}\circ d_{r}=d'_{r}\circ f_{r}}$ومع التشاكلات المعطاة بين علم التماثل ^للخطوة r و ⁠${\displaystyle (r+1)}$الصفائح رقم 1 من E ^و E ′ ، على التوالي:${\displaystyle f_{r+1}(E_{r+1})\,=\,f_{r+1}(H(E_{r}))\,=\,H(f_{r}(E_{r}))}$في حالة الدرجات المزدوجة، ينبغي عليهم أيضاً احترام التخرج:${\displaystyle f_{r}(E_{r}^{p,q})\subset {E'_{r}}^{p,q}.}$

يُضفي ضرب الكأس بنية حلقية على مجموعة التماثل، محولاً إياها إلى حلقة تماثل . لذا، من الطبيعي النظر في متتالية طيفية ذات بنية حلقية أيضاً.${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$لتكن متتالية طيفية من النوع المتماثل. نقول إن لها بنية ضربية إذا (i)${\displaystyle E_{r}}$(ii) هي جبر تفاضلي متدرج (مزدوج التدرج) و (ii) الضرب على${\displaystyle E_{r+1}}$ينتج عن ذلك على${\displaystyle E_{r}}$عن طريق الانتقال إلى علم التماثل.

ومن الأمثلة النموذجية على ذلك التسلسل الطيفي المتجانس لسيري للاهتزاز الليفي.${\displaystyle F\to E\to B}$عندما تكون مجموعة المعاملات حلقة R ، فإنها تمتلك بنية ضربية ناتجة عن حاصل ضرب الكأس للألياف والقاعدة على${\displaystyle E_{2}}$-صفحة. ^{[ 1 ]} ومع ذلك، بشكل عام، الحد الأقصى${\displaystyle E_{\infty }}$^{[ 2 ]} لا يُعدّ متماثلاً كجبر متدرج مع H( E ; R ). ^{[ 3 ]} يمكن أن يكون التركيب الضربي مفيدًا جدًا لحساب التفاضلات على المتتالية.

تُعدّ طريقة ويليام ماسي للأزواج التامة تقنية أخرى لبناء المتتاليات الطيفية . وتُستخدم الأزواج التامة بكثرة في الطوبولوجيا الجبرية، إلا أنها غير شائعة في الجبر المجرد ، حيث تُستمد معظم المتتاليات الطيفية من المركبات المُرشّحة.

لتعريف الأزواج التامة، نبدأ مجددًا بفئة أبيلية. وكما في السابق، فإن هذه الفئة هي عادةً فئة الوحدات المتدرجة مرتين على حلقة. الزوج التام هو زوج من الكائنات ( A ، C )، بالإضافة إلى ثلاثة تشاكلات بين هذه الكائنات: f  : A → A ، و g  : A → C، و h  : C → A، وذلك وفقًا لشروط تامة معينة.

• الصورة f = النواة g
• الصورة g = النواة h
• الصورة h = النواة f

سنختصر هذه البيانات بالرموز ( A ، C ، f ، g ، h ). عادةً ما تُمثَّل الأزواج المتطابقة بمثلثات. سنرى أن C يُطابق الحد E₀ من التسلسل الطيفي _، وأن A بيانات مساعدة.

للانتقال إلى الورقة التالية من التسلسل الطيفي، سنقوم بتكوين الزوج المشتق . نضع:

• د = غ أو ح
• A ' = f ( A )
• C ' = Ker d / Im d
• f ' = f | _{A '} ، أي تقييد f على A '
• h '  : C ' → A ' مستحثة بواسطة h . من السهل أن نرى أن h تستحث مثل هذه الخريطة.
• يُعرَّف g '  : A ' → C ' على العناصر كما يلي: لكل عنصر a في A ' ، يُكتب a على الصورة f ( b ) لبعض b في A. يُعرَّف g ' ( a ) بأنه صورة g ( b ) في C ' . بشكل عام، يمكن إنشاء g ' باستخدام إحدى نظريات التضمين للفئات الأبيلية.

_{من هنا ،} يسهل التحقق من أن ( A ' , C ' , f ' , g ' , h ' ) زوج تام. يُمثل C ' الحد E1 من المتتالية الطيفية. يمكننا تكرار هذه العملية للحصول على أزواج تامة ( A ^{( n )} , C ^{( n )} , f ^{( n )} , g ^{( n )} , h ^{( n )} ).

من أجل إنشاء تسلسل طيفي، دع E _n يكون C ^{( n )} و d _n يكون g ^{( n )} o h ^{( n )} .

يُعدّ التسلسل الطيفي الناتج عن مُركّب السلسلة المُصفّى نوعًا شائعًا جدًا ، حيث يُنتج بطبيعته كائنًا ثنائي التدرج. لنفترض مُركّب سلسلة${\displaystyle (C^{\bullet },d)}$بالإضافة إلى عملية ترشيح تنازلية، ${\textstyle ...\supset \,F^{-2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{-1}C^{\bullet }\supset F^{0}C^{\bullet }\,\supset \,F^{1}C^{\bullet }\,\supset \,F^{2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{3}C^{\bullet }\,\supset ...\,}$نشترط أن تكون خريطة الحدود متوافقة مع عملية الترشيح، أي${\textstyle d(F^{p}C^{n})\subset F^{p}C^{n+1}}$وأن عملية الترشيح شاملة ، أي اتحاد مجموعة جميع${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$هل السلسلة بأكملها معقدة؟${\textstyle C^{\bullet }}$ثم توجد متتالية طيفية مع${\textstyle E_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}}$و${\textstyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(F^{p}C^{\bullet }/F^{p+1}C^{\bullet })}$^{[ 5 ]} لاحقًا ، سنفترض أيضًا أن الترشيح هو ترشيح هاوسدورف أو ترشيح منفصل ، أي تقاطع مجموعة جميع${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$يساوي صفرًا.

تُعدّ عملية الترشيح مفيدة لأنها تُعطي مقياسًا لقرب القيمة من الصفر: فكلما زادت قيمة p ،${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$ يقترب هذا الرقم أكثر فأكثر من الصفر. سنقوم بإنشاء متتالية طيفية من هذه التصفية، حيث تقترب الحدود المشتركة والحلقات المشتركة في الطبقات اللاحقة أكثر فأكثر من الحدود المشتركة والحلقات المشتركة في المركب الأصلي. هذه المتتالية الطيفية مُدرجة بشكل مزدوج بواسطة درجة التصفية p والدرجة المُكملة q = n − p .

من المتتاليات الطيفية الشائعة الأخرى متتالية الطيف للمركب المزدوج. المركب المزدوج هو مجموعة من العناصر C i,j لجميع الأعداد الصحيحة i و j، بالإضافة إلى تفاضلين، d I و d II . يُفترض أن d I يُنقص i ، ويُفترض أن d II يُنقص j . علاوة على ذلك، نفترض أن التفاضلين مضادان للتبادل ، بحيث يكون d I d II + d II d I = 0. هدفنا هو مقارنة التماثلات المتكررة.${\displaystyle H_{i}^{\textrm {I}}(H_{j}^{\textrm {II}}(C_{\bullet ,\bullet }))}$و${\displaystyle H_{j}^{\textrm {II}}(H_{i}^{\textrm {I}}(C_{\bullet ,\bullet }))}$سنقوم بذلك عن طريق ترشيح المركب المزدوج بطريقتين مختلفتين. إليكم الترشيحات التي سنستخدمها:

${\displaystyle (C_{i,j}^{\textrm {I}})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{if }}i\geq p\end{cases}}}$

${\displaystyle (C_{i,j}^{\textrm {II}})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{if }}j\geq p\end{cases}}}$

للحصول على متتالية طيفية، سنعود إلى المثال السابق. نُعرّف المركب الكلي T ( C _•,• ) بأنه المركب الذي حده النوني هو${\displaystyle \bigoplus _{i+j=n}C_{i,j}}$والمُتَماثِلُ هـ d ^I + d ^II . هذا مُعَقَّدٌ لأن d ^I و d ^II مُتَماثِلان مُضادَّان للتبادل. يُعطي الترشيحان على C _i,j ترشيحين على المُعَقَّد الكلي:

${\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}}$

${\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {II}}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j}}$

لإثبات أن هذه المتتاليات الطيفية تُعطي معلومات حول التماثلات المتكررة ، سنحسب الحدود E0 ^و E1 و ^E2 لترشيح I على T ⁽ C • _,• ) . الحد E0 واضح ^:

${\displaystyle {}^{\textrm {I}}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{\textrm {I}}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q},}$

حيث n = p + q .

لإيجاد الحد E1 ^، نحتاج إلى تحديد dI + dII على E0 ^. لاحظ أن التفاضل يجب أن يكون من الدرجة ^-1 بالنسبة ^إلى n ، لذلك نحصل على دالة

${\displaystyle d_{p,q}^{\textrm {I}}+d_{p,q}^{\textrm {II}}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{\textrm {I}}=C_{p,q}\rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{\textrm {I}}=C_{p,q-1}}$

_{وبالتالي، فإن} التفاضل على E₀ هو التطبيق Cₚ _{, q →} Cₚ _{, q − 1} الناتج عن dI + dII . لكن درجة ^dI غير مناسبة لاستحداث مثل هذا التطبيق، لذا ^{يجب أن} يكون dI مساويًا للصفر على E₀ ^{. هذا يعني أن} التفاضل هو dII تحديدًا ^، فنحصل ^على

${\displaystyle {}^{\textrm {I}}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{\textrm {II}}(C_{p,\bullet }).}$

لإيجاد E ² ، نحتاج إلى تحديد

${\displaystyle d_{p,q}^{\textrm {I}}+d_{p,q}^{\textrm {II}}:H_{q}^{\textrm {II}}(C_{p,\bullet })\rightarrow H_{q}^{\textrm {II}}(C_{p+1,\bullet })}$

بما أن E1 هي التماثل التام بالنسبة إلى dII، فإن dII يساوي ^{صفرًا على} E1 . وبالتالي ^، نحصل ^على

${\displaystyle {}^{\textrm {I}}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{\textrm {I}}(H_{q}^{\textrm {II}}(C_{\bullet ,\bullet })).}$

إن استخدام الترشيح الآخر يعطينا تسلسلًا طيفيًا مختلفًا مع مصطلح E ² مشابه :

${\displaystyle {}^{\textrm {II}}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{\textrm {II}}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).}$

ما تبقى هو إيجاد علاقة بين هاتين المتتاليتين الطيفيتين. سيتضح أنه مع ازدياد قيمة r ، ستصبح المتتاليتان متشابهتين بدرجة كافية تسمح بإجراء مقارنات مفيدة.

لنفترض أن E _r متتالية طيفية، تبدأ بـ r = 1. عندئذٍ توجد متتالية من الكائنات الفرعية

${\displaystyle 0=B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{r}\subset \dots \subset Z_{r}\subset \dots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}=E_{1}}$

بحيث${\displaystyle E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1}}$في الواقع، ندع بشكل متكرر${\displaystyle Z_{0}=E_{1},B_{0}=0}$ودع${\displaystyle Z_{r},B_{r}}$بحيث يكون ذلك ${\displaystyle Z_{r}/B_{r-1},B_{r}/B_{r-1}}$النواة وصورة${\displaystyle E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.}$

ثم تركنا${\displaystyle \textstyle Z_{\infty }=\bigcap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\bigcup _{r}B_{r}}$و

${\displaystyle E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty }}$؛

يُطلق عليه اسم الحدّ . (بالطبع، مثل هذا${\displaystyle E_{\infty }}$ليس من الضروري أن تكون موجودة في الفئة، ولكن هذا عادة لا يمثل مشكلة، على سبيل المثال في فئة الوحدات النمطية، توجد مثل هذه الحدود، أو لأنه عمليًا، يميل التسلسل الطيفي الذي نعمل به إلى التدهور؛ لا يوجد سوى عدد محدود من التضمينات في التسلسل أعلاه.

نقول إن متتالية طيفية تتقارب تقارباً ضعيفاً إذا كان هناك جسم متدرج${\displaystyle H^{\bullet }}$مع نظام ترشيح${\displaystyle F^{\bullet }H^{n}}$لكل${\displaystyle n}$ولكل${\displaystyle p}$يوجد تماثل${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}\cong F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}}$يتقارب إلى​${\displaystyle H^{\bullet }}$إذا كانت عملية الترشيح${\displaystyle F^{\bullet }H^{n}}$هو هاوسدورف، أي${\displaystyle \textstyle \bigcap _{p}F^{p}H^{\bullet }=0}$نكتب

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n}}$

بمعنى أنه كلما كان p + q = n ،${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$يتقارب إلى${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$نقول إن المتتالية الطيفية${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$يجاور${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$( دعامة التسلسل الطيفي)) إذا كان لكل${\displaystyle p,q}$هنالك${\displaystyle r(p,q)}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle r\geq r(p,q)}$،${\displaystyle E_{r}^{p,q}=E_{r(p,q)}^{p,q}}$. ثم${\displaystyle E_{r(p,q)}^{p,q}=E_{\infty }^{p,q}}$هو الحدّ الأقصى. يكون التسلسل الطيفي منتظمًا أو متدهورًا عند${\displaystyle r_{0}}$إذا كانت الفروق${\displaystyle d_{r}^{p,q}}$صفر للجميع${\displaystyle r\geq r_{0}}$إذا كان هناك على وجه الخصوص${\displaystyle r_{0}\geq 2}$بحيث${\displaystyle r_{0}^{th}}$إذا كانت الورقة مُركّزة على صف واحد أو عمود واحد، نقول إنها تنهار . بالرموز، نكتب:

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}}$

يشير الحرف p إلى معامل الترشيح. من الشائع جدًا كتابة${\displaystyle E_{2}^{p,q}}$الحد الموجود على الجانب الأيسر من الدعامة، لأنه الحد الأكثر فائدة في معظم المتتاليات الطيفية. تتلاشى المتتالية الطيفية لمركب سلسلة غير مُرشَّح عند الصفيحة الأولى (انظر المثال الأول): بما أنه لا يحدث شيء بعد الصفيحة الصفرية، فإن الصفيحة الحدية${\displaystyle E_{\infty }}$هو نفسه${\displaystyle E_{1}}$.

يربط التسلسل الدقيق المكون من خمسة حدود في التسلسل الطيفي بين حدود معينة منخفضة الدرجة وحدود E _∞ .

لاحظ أن لدينا سلسلة من العناصر المضمنة:

${\displaystyle Z_{0}^{p,q}\supseteq Z_{1}^{p,q}\supseteq Z_{2}^{p,q}\supseteq \cdots \supseteq B_{2}^{p,q}\supseteq B_{1}^{p,q}\supseteq B_{0}^{p,q}}$

يمكننا أن نسأل ماذا يحدث إذا قمنا بتعريف

${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q},}$

${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q},}$

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\frac {Z_{\infty }^{p,q}}{B_{\infty }^{p,q}+Z_{\infty }^{p+1,q-1}}}.}$

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$يُعدّ هذا مرشحًا طبيعيًا لربط هذه المتتالية الطيفية. لا يحدث التقارب تلقائيًا، ولكنه يحدث في كثير من الحالات. على وجه الخصوص، إذا كانت عملية الترشيح محدودة وتتكون من r خطوة غير تافهة بالضبط، فإن المتتالية الطيفية تتلاشى بعد الورقة رقم r . يحدث التقارب أيضًا إذا كان كل من المركب وعملية الترشيح محدودين من الأسفل أو من الأعلى.

لوصف تداخل تسلسلنا الطيفي بمزيد من التفصيل، لاحظ أن لدينا الصيغ التالية:

${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1})}$

${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }({\mbox{im }}d^{p,q-r}:F^{p-r}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

لنرى ما يعنيه هذا بالنسبة لـ${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}}$تذكر أننا افترضنا أن الترشيح منفصل. هذا يعني أنه مع زيادة قيمة r ، تتقلص النوى، حتى يتبقى لدينا${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1})}$. ل${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}}$تذكر أننا افترضنا أن عملية الترشيح شاملة. هذا يعني أنه مع ازدياد قيمة r ، تكبر الصور حتى نصل إلى${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}={\text{im }}(C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$نختتم

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })}$،

أي أن امتداد التسلسل الطيفي هو الجزء المتدرج رقم p من التماثل (p+q) لـ C. إذا تقارب تسلسلنا الطيفي، فإننا نستنتج ما يلي:

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}H^{p+q}(C^{\bullet })}$

باستخدام الدعامة لمركب مُرشَّح، نجد أن:

${\displaystyle H_{p}^{\textrm {I}}(H_{q}^{\textrm {II}}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{p}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

${\displaystyle H_{q}^{\textrm {II}}(H_{p}^{\textrm {I}}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{q}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

بشكل عام، التقييمان على${\displaystyle H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$⁠ متميزة. على الرغم من ذلك، لا يزال من الممكن الحصول على معلومات مفيدة من هذين التسلسلين الطيفيين.

لنفترض وجود متتالية طيفية حيث${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$يختفي للجميع${\displaystyle p}$أقل من بعض${\displaystyle p_{0}}$وللجميع${\displaystyle q}$أقل من بعض${\displaystyle q_{0}}$. لو${\displaystyle p_{0}}$و${\displaystyle q_{0}}$يمكن اختيار قيمة تساوي صفرًا، وهذا ما يُسمى بالمتتالية الطيفية للربع الأول . تتجاور المتتالية لأن${\displaystyle E_{r+i}^{p,q}=E_{r}^{p,q}}$ينطبق على الجميع${\displaystyle i\geq 0}$لو${\displaystyle r>p}$و${\displaystyle r>q+1}$لتوضيح ذلك، لاحظ أن مجال أو مجال الدالة التفاضلية يساوي صفرًا في الحالات المدروسة. بصريًا، تستقر الصفائح في مستطيل متزايد (انظر الصورة أعلاه). مع ذلك، لا يشترط أن تتلاشى المتتالية الطيفية، لأن الدوال التفاضلية قد لا تساوي جميعها صفرًا في آن واحد. وبالمثل، تتقارب المتتالية الطيفية أيضًا إذا${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$يختفي للجميع${\displaystyle p}$أكبر من بعض${\displaystyle p_{0}}$وللجميع${\displaystyle q}$أكبر من بعض${\displaystyle q_{0}}$.

يترك${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$ليكن تسلسلًا طيفيًا متجانسًا بحيث${\displaystyle E_{p,q}^{2}=0}$لجميع قيم p باستثناء 0 و1. بصريًا، هذا هو التسلسل الطيفي مع${\displaystyle E^{2}}$-صفحة

${\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&E_{1,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&E_{1,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&E_{1,0}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,-1}^{2}&E_{1,-1}^{2}&0&\cdots \\&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\end{matrix}}}$

التفاضلات في الصفحة الثانية من الدرجة (-2، 1)، لذا فهي من الشكل التالي:

${\displaystyle d_{p,q}^{2}:E_{p,q}^{2}\to E_{p-2,q+1}^{2}}$

جميع هذه الخرائط تساوي صفرًا لأنها

${\displaystyle d_{0,q}^{2}:E_{0,q}^{2}\to 0}$،${\displaystyle d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0}$

وبالتالي فإن التسلسل الطيفي يتدهور:${\displaystyle E^{\infty }=E^{2}}$لنفترض أنها تتقارب إلى${\displaystyle H_{*}}$مع نظام ترشيح

${\displaystyle 0=F_{-1}H_{n}\subset F_{0}H_{n}\subset \dots \subset F_{n}H_{n}=H_{n}}$

بحيث${\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}}$. ثم${\displaystyle F_{0}H_{n}=E_{0,n}^{2}}$،${\displaystyle F_{1}H_{n}/F_{0}H_{n}=E_{1,n-1}^{2}}$،${\displaystyle F_{2}H_{n}/F_{1}H_{n}=0}$،${\displaystyle F_{3}H_{n}/F_{2}H_{n}=0}$إلخ. وبالتالي، يكون التسلسل الدقيق هو: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle 0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0}$.

بعد ذلك، دعنا${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$لتكن متتالية طيفية تتكون صفحتها الثانية من خطين فقط q = 0، 1. لا يشترط أن تتدهور هذه المتتالية عند الصفحة الثانية، ولكنها تتدهور عند الصفحة الثالثة لأن تفاضلاتها من الدرجة (-3، 2). ملاحظة${\displaystyle E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})}$لأن المقام يساوي صفرًا. وبالمثل،${\displaystyle E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})}$. هكذا،

${\displaystyle 0\to E_{p,0}^{\infty }\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to E_{p-2,1}^{\infty }\to 0}$.

والآن، لنفترض أن التسلسل الطيفي يتقارب إلى H مع ترشيح F كما في المثال السابق. بما أن${\displaystyle F_{p-2}H_{p}/F_{p-3}H_{p}=E_{p-2,2}^{\infty }=0}$،${\displaystyle F_{p-3}H_{p}/F_{p-4}H_{p}=0}$إلخ، لدينا:${\displaystyle 0\to E_{p-1,1}^{\infty }\to H_{p}\to E_{p,0}^{\infty }\to 0}$وبجمع كل شيء معًا، نحصل على: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \cdots \to H_{p+1}\to E_{p+1,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-1,1}^{2}\to H_{p}\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to H_{p-1}\to \dots .}$

يمكن تعميم الحساب الوارد في القسم السابق بطريقة مباشرة. لنفترض وجود تليف فوق كرة:

${\displaystyle F{\overset {i}{\to }}E{\overset {p}{\to }}S^{n}}$

حيث n تساوي 2 على الأقل. يوجد تسلسل طيفي لسير :