نموذج آرو-ديبرو

في الاقتصاد الرياضي ، يُعد نموذج آرو-ديبرو نموذجًا نظريًا للتوازن العام . ويفترض هذا النموذج أنه في ظل افتراضات اقتصادية معينة ( التفضيلات المحدبة ، والمنافسة الكاملة ، واستقلال الطلب)، يجب أن تكون هناك مجموعة من الأسعار بحيث يتساوى إجمالي العرض مع إجمالي الطلب على كل سلعة في الاقتصاد. ^{[ 1 ]}

يُعدّ هذا النموذج أساسيًا لنظرية التوازن العام (الاقتصادي) ، ويُستخدم كمرجع عام لنماذج الاقتصاد الجزئي الأخرى. وقد اقترحه كلٌّ من كينيث آرو وجيرار ديبرو عام 1954، [ ^{1 ] وليونيل} دبليو ماكنزي بشكل مستقل عام 1954، ^{[ 2 ]} مع إدخال تحسينات لاحقة عليه عام 1959. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

يُعدّ نموذج الطلب الكلي أحد أكثر نماذج الاقتصاد التنافسي عمومية، وهو جزء أساسي من نظرية التوازن العام ، إذ يُمكن استخدامه لإثبات وجود توازن عام (أو توازن والراس ) في الاقتصاد. وبشكل عام، قد توجد عدة توازنات.

حصل كل من آرو (1972) وديبرو (1983) على جائزة نوبل في الاقتصاد بشكل منفصل لتطويرهما النموذج. أما ماكنزي، فلم يحصل على الجائزة. ^{[ 5 ]}

بيان رسمي

إن محتوى كلتا النظريتين [النظريتين الأساسيتين في اقتصاديات الرفاه] يمثل معتقدات قديمة في علم الاقتصاد. وقد تناول آرو وديبرو هذه المسألة مؤخراً باستخدام تقنيات تسمح بتقديم البراهين.

— جيرار ديبرو، توازن التقييم وأمثلية باريتو (1954)

هذا القول صحيح تمامًا؛ فبعد أن كانت هناك معتقدات، أصبحت هناك معرفة. لقد غيّر نموذج آرو-ديبرو، كما ورد في نظرية القيمة، المفاهيم الأساسية، وسرعان ما أصبح النموذج المعياري لنظرية الأسعار. إنه النموذج المرجعي في مجالات التمويل، والتجارة الدولية، والمالية العامة، والنقل، وحتى الاقتصاد الكلي... وفي فترة وجيزة، لم يعد كما كان عليه الحال في نظرية مارشال وهيكس وسامويلسون، بل أصبح هو نفسه كما هو عليه في نظرية القيمة.

— هوغو سونينشاين، تصريحات في مؤتمر ديبرو، بيركلي، 2005

يتبع هذا القسم العرض الوارد في ^{[ 6 ]} والذي يستند إليه ^{[ 7 ] .}

وصف بديهي لنموذج آرو-ديبرو

يُصوّر نموذج آرو-ديبرو الاقتصاد على أنه مزيج من ثلاثة أنواع من الفاعلين: الأسر، والمنتجون، والسوق. وتتعامل الأسر والمنتجون مع السوق، ولكن ليس فيما بينهم بشكل مباشر.

تمتلك الأسر موارد (مجموعات من السلع التي تبدأ بها)، يمكن اعتبارها "ميراثًا". ولتوضيح الحسابات، يجب على جميع الأسر بيع كامل مواردها في السوق في البداية. وإذا رغبت في الاحتفاظ ببعض هذه الموارد، فعليها إعادة شرائها من السوق لاحقًا. وقد تكون هذه الموارد ساعات عمل، أو استخدامًا للأراضي، أو أطنانًا من الذرة، وما إلى ذلك.

تمتلك الأسر حصصًا نسبية في المنتجين، الذين يمكن اعتبارهم شركات مساهمة . الربح الذي يحققه المنتج $j$ يتم تقسيمها بين الأسر بما يتناسب مع كمية المخزون الذي تمتلكه كل أسرة لصالح المنتج $j$ يتم فرض الملكية في البداية، ولا يجوز للأسر بيعها أو شرائها أو إنشائها أو التخلص منها.

تحصل الأسر على ميزانية، ودخل من بيع الهبات، وأرباح من إنتاج السلع. وتمتلك هذه الأسر تفضيلات على مجموعات من السلع، مما يجعلها، وفقًا للافتراضات المذكورة، تسعى إلى تعظيم منفعتها . وتختار الأسر خطة الاستهلاك التي تحقق لها أعلى منفعة ممكنة ضمن ميزانيتها.

يستطيع المنتجون تحويل مجموعات السلع إلى مجموعات أخرى. ليس لدى المنتجين دوال منفعة منفصلة، بل إنهم جميعًا يسعون إلى تعظيم الربح فقط.

لا يملك السوق سوى القدرة على "اختيار" متجه سعر السوق، وهو قائمة أسعار لكل سلعة، يتبناها كل منتج وأسرة (لا مجال للمساومة - كل منتج وأسرة متلقٍ للسعر ). لا يحقق السوق أي منفعة أو ربح. بل يهدف إلى اختيار متجه سعر السوق بحيث، على الرغم من سعي كل أسرة ومنتج إلى تعظيم منفعتهم وربحهم، "تنسجم" خطط استهلاكهم وإنتاجهم. أي أن " السوق يحقق التوازن ". بعبارة أخرى، يلعب السوق دور " بائع مزادات والراس ".

كيف ينتقل نموذج آرو-ديبرو من البداية إلى النهاية.
الأسر	المنتجين
الحصول على هبة وملكية المنتجين
بيع جميع الأصول في السوق
	تخطيط الإنتاج لتحقيق أقصى ربح
	إبرام اتفاقيات شراء بين السوق وبين بعضهم البعض
	تنفيذ خطة الإنتاج
	بيع كل شيء في السوق
	يتم توزيع جميع الأرباح على الأسر بما يتناسب مع نسبة ملكيتها.
تخطيط الاستهلاك لتحقيق أقصى قدر من المنفعة في ظل قيود الميزانية
شراء الاستهلاك المخطط له من السوق

إعداد الترميز

بشكل عام، نكتب مؤشرات العناصر كأرقام علوية ومؤشرات إحداثيات المتجهات كأرقام سفلية.

رموز مفيدة للمتجهات الحقيقية

$x\succeq y$ لو $\forall n,x_{n}\geq y_{n}$
$\mathbb {R} _{+}^{N}$ هي مجموعة $x$ بحيث $x\succeq 0$
$\mathbb {R} _{++}^{N}$ هي مجموعة $x$ بحيث $x\succ 0$
$\Delta _{N}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:x_{1},...,x_{N}\geq 0,\sum _{n\in 1:N}x_{n}=1\right\}$ هو المصفوفة N-simplex . غالباً ما نسميها مصفوفة السعر لأننا أحياناً نقيس متجه السعر ليقع عليها.

سوق

يتم فهرسة السلع على النحو التالي : $n\in 1:N$ . هنا $N$ يمثل عدد السلع في الاقتصاد. وهو عدد محدود.
متجه السعر $p=(p_{1},...,p_{N})\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ هو متجه طوله $N$ حيث يمثل كل إحداثي سعر سلعة ما. قد تكون الأسعار صفرًا أو موجبة.

الأسر

يتم فهرسة الأسر على النحو التالي : $i\in I$ .
تبدأ كل أسرة بمجموعة من السلع $r^{i}\in \mathbb {R} _{+}^{N}$ .
تبدأ كل أسرة بمجموعة من ملكيات المنتجين $\alpha ^{i,j}\geq 0$ تُرضي الملكية $\sum _{i\in I}\alpha ^{i,j}=1\quad \forall j\in J$ .
الميزانية التي تتلقاها الأسرة هي مجموع دخلها من بيع الهبات بسعر السوق، بالإضافة إلى الأرباح الناتجة عن ملكيتها للمنتجين: $M^{i}(p)=\langle p,r^{i}\rangle +\sum _{j\in J}\alpha ^{i,j}\Pi ^{j}(p)$ ( $M$ (يرمز إلى المال )
لكل أسرة مجموعة إمكانيات استهلاكية ${\mathit {CPS}}^{i}\subset \mathbb {R} _{+}^{N}$ .
لكل أسرة علاقة تفضيلية $\succeq ^{i}$ زيادة ${\mathit {CPS}}^{i}$ .
مع افتراضات حول $\succeq ^{i}$ (كما هو موضح في القسم التالي)، يمكن تمثيل كل علاقة تفضيلية بدالة منفعة. $u^{i}:{\mathit {CPS}}^{i}\to [0,1]$ بحسب نظريات ديبرو . وبالتالي، بدلاً من تعظيم التفضيل، يمكننا أن نقول بشكل مكافئ أن الأسرة تعمل على تعظيم منفعتها.
خطة الاستهلاك هي عامل مؤثر في ${\mathit {CPS}}^{i}$ ، مكتوبة على النحو التالي $x^{i}$ .
$U_{+}^{i}(x^{i})$ هل مجموعة خطط الاستهلاك لا تقل تفضيلاً عن $x^{i}$ .
مجموعة الميزانية هي مجموعة خطط الاستهلاك التي يمكن تحملها: $B^{i}(p)=\{x^{i}\in {\mathit {CPS}}^{i}:\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\}$ .
لكل متجه سعري $p$ تمتلك الأسرة متجه طلب على السلع، كما $D^{i}(p)\in \mathbb {R} _{+}^{N}$ تُعرَّف هذه الدالة بأنها حل لمسألة تعظيم القيود. وهي تعتمد على كل من الوضع الاقتصادي والتوزيع الأولي. $D^{i}(p):=\arg \max _{x^{i}\in B^{i}(p)}u^{i}(x^{i})$ قد لا يكون تعريفها واضحاً للجميع $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ ومع ذلك، سنستخدم افتراضات كافية لتكون محددة جيدًا عند متجهات أسعار التوازن.

المنتجين

يتم فهرسة المنتجين على النحو التالي: $j\in J$ .
لكل منتج مجموعة من إمكانيات الإنتاج ${\mathit {PPS}}^{j}$ لاحظ أن متجه الإمداد قد يحتوي على إحداثيات موجبة وسالبة. على سبيل المثال، $(-1,1,0)$ يشير ذلك إلى خطة إنتاج تستخدم وحدة واحدة من السلعة 1 لإنتاج وحدة واحدة من السلعة 2.
تُعد خطة الإنتاج عاملاً أساسياً في ${\mathit {PPS}}^{j}$ ، مكتوبة على النحو التالي $y^{j}$ .
لكل متجه سعري $p$ يمتلك المنتج ناقلاً لإمداد السلع، كما $S^{j}(p)\in \mathbb {R} ^{N}$ سيتم تعريف هذه الدالة على أنها حل لمسألة تعظيم القيود. وهي تعتمد على كل من الوضع الاقتصادي والتوزيع الأولي. $S^{j}(p):=\arg \max _{y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}}\langle p,y^{j}\rangle$ قد لا يكون تعريفها واضحاً للجميع $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ ومع ذلك، سنستخدم افتراضات كافية لتكون محددة جيدًا عند متجهات أسعار التوازن.
الربح هو $\Pi ^{j}(p):=\langle p,S^{j}(p)\rangle =\max _{y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}}\langle p,y^{j}\rangle$

المجاميع

مجموعة إمكانيات الاستهلاك الإجمالي ${\mathit {CPS}}=\sum _{i\in I}{\mathit {CPS}}^{i}$ .
مجموعة إمكانيات الإنتاج الإجمالية ${\mathit {PPS}}=\sum _{j\in J}{\mathit {PPS}}^{j}$ .
إجمالي الموارد $r=\sum _{i}r^{i}$
الطلب الكلي $D(p):=\sum _{i}D^{i}(p)$
إمدادات إجمالية $S(p):=\sum _{j}S^{j}(p)$
الطلب الزائد $Z(p)=D(p)-S(p)-r$

الاقتصاد بأكمله

الاقتصاد عبارة عن مجموعة من العناصر $(N,I,J,{\mathit {CPS}}^{i},\succeq ^{i},{\mathit {PPS}}^{j})$ . إنها مجموعة من العناصر تحدد السلع، وتفضيلات المستهلك، ومجموعات إمكانيات الاستهلاك، ومجموعات إمكانيات الإنتاج للمنتجين.
الاقتصاد ذو التوزيع الأولي هو اقتصاد، بالإضافة إلى مجموعة التوزيع الأولي $(r^{i},\alpha ^{i,j})_{i\in I,j\in J}$ من أجل الاقتصاد.
حالة الاقتصاد هي مجموعة من الأسعار وخطط الاستهلاك وخطط الإنتاج لكل أسرة ومنتج: $((p_{n})_{n\in 1:N},(x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})$ .
تكون الدولة قابلة للتطبيق إذا وفقط إذا كان كل $x^{i}\in {\mathit {CPS}}^{i}$ ، كل $y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}$ ، و $\sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r$ .
مجموعة إمكانيات الإنتاج الممكنة، بالنظر إلى الموارد المتاحة. $r$ ، يكون ${\mathit {PPS}}_{r}:=\{y\in {\mathit {PPS}}:y+r\succeq 0\}$ .
بالنظر إلى اقتصاد ذي توزيع، فإن الحالة المقابلة لمتجه السعر $p$ يكون $(p,(D^{i}(p))_{i\in I},(S^{j}(p))_{j\in J})$ .
في ظل اقتصاد ذي توزيع، متجه سعري $p$ يمثل متجه سعر التوازن للاقتصاد ذي التوزيع الأولي، إذا وفقط إذا $Z(p)_{n}{\begin{cases}\leq 0{\text{ if }}p_{n}=0\\=0{\text{ if }}p_{n}>0\end{cases}}$ أي أنه إذا لم تكن السلعة مجانية، فإن العرض يساوي الطلب تمامًا، وإذا كانت السلعة مجانية، فإن العرض يساوي أو يزيد عن الطلب (نسمح بزيادة المعروض من السلع المجانية).
تكون الحالة حالة توازن إذا وفقط إذا كانت هي الحالة المقابلة لمتجه سعر التوازن.

الافتراضات

في الأسر
افتراض	توضيح	هل يمكننا تخفيف ذلك؟
${\mathit {CPS}}^{i}$ مغلق	الافتراضات التقنية ضرورية لكي تنجح البراهين.	لا، إنه ضروري لوجود دوال الطلب.
عدم الإشباع المحلي: $\forall x\in {\mathit {CPS}}^{i},\epsilon >0,$ $\exists x'\in {\mathit {CPS}}^{i},x'\succ ^{i}x,\\|x'-x\\|<\epsilon$	ترغب الأسر دائماً في استهلاك المزيد.	لا. إنه ضروري لكي يصح قانون والراس.
${\mathit {CPS}}^{i}$ محدب تمامًا	المنفعة الحدية المتناقصة تمامًا	نعم، إلى مجرد التحدب، مع نظرية النقطة الثابتة لكاكوتاني. انظر القسم التالي.
${\mathit {CPS}}^{i}$ محدب	تناقص المنفعة الحدية	نعم، بالنسبة لعدم التحدب، مع مبرهنة شابلي-فولكمان .
الاستمرارية: $U_{+}^{i}(x^{i})$ مغلق.	الافتراض التقني الضروري لوجود دوال المنفعة وفقًا لنظريات ديبرو .	لا. إذا لم يكن التفضيل مستمراً، فقد لا تكون دالة الطلب الزائد مستمرة.
$U_{+}^{i}(x^{i})$ محدب تمامًا.	بالنسبة لمجموعتين استهلاكيتين، فإن أي مجموعة بينهما أفضل من الأقل.	نعم، إلى مجرد التحدب، مع نظرية النقطة الثابتة لكاكوتاني. انظر القسم التالي.
$U_{+}^{i}(x^{i})$ محدب.	بالنسبة لمجموعتين استهلاكيتين، فإن أي مجموعة بينهما ليست أسوأ من المجموعة الأقل منها.	نعم، بالنسبة لعدم التحدب، مع مبرهنة شابلي-فولكمان .
تمتلك الأسرة دائماً خطة استهلاك واحدة قابلة للتطبيق على الأقل.	لا إفلاس	لا، إنه ضروري لوجود دوال الطلب.

عن المنتجين
افتراض	توضيح	هل يمكننا تخفيف ذلك؟
${\mathit {PPS}}^{j}$ محدب تمامًا	عدم وفورات الحجم	نعم، إلى مجرد التحدب، مع نظرية النقطة الثابتة لكاكوتاني. انظر القسم التالي.
${\mathit {PPS}}^{j}$ محدب	لا توجد وفورات الحجم	نعم، بالنسبة لعدم التحدب، مع مبرهنة شابلي-فولكمان .
${\mathit {PPS}}^{j}$ يحتوي على 0.	يمكن للمنتجين إغلاق أعمالهم مجاناً.
${\mathit {PPS}}^{j}$ هي مجموعة مغلقة	الافتراضات التقنية ضرورية لكي تنجح البراهين.	لا، إنه ضروري لوجود وظائف الإمداد.
${\mathit {PPS}}\cap \mathbb {R} _{+}^{N}$ محدود	لا يوجد شيء اسمه "غداء مجاني" كبير بشكل تعسفي.	لا. الاقتصاد يحتاج إلى الندرة.
${\mathit {PPS}}\cap (-{\mathit {PPS}})$ محدود	لا يمكن للاقتصاد أن يعكس التحولات الكبيرة بشكل تعسفي.

فرض قيود مصطنعة

الوظائف $D^{i}(p),S^{j}(p)$ ليست بالضرورة محددة جيدًا لجميع متجهات الأسعار $p$ على سبيل المثال، إذا كان المنتج 1 قادراً على التحويل $t$ وحدات من السلعة 1 إلى ${\sqrt {(t+1)^{2}-1}}$ وحدات من السلعة 2، ولدينا $p_{1}/p_{2}<1$ عندها يستطيع المنتج وضع خطط ذات ربح لا محدود، وبالتالي $\Pi ^{j}(p)=+\infty$ ، و $S^{j}(p)$ غير مُعرَّف.

وبالتالي، نُعرّف " السوق المقيد " بأنه نفس السوق، باستثناء وجود حد أعلى عالمي. $C$ بحيث يُطلب من كل منتج استخدام خطة إنتاج $\|y^{j}\|\leq C$ يُطلب من كل أسرة استخدام خطة استهلاك $\|x^{i}\|\leq C$ استخدم علامة التلدة (~) للإشارة إلى الكميات المقابلة في السوق المقيد. على سبيل المثال، ${\tilde {Z}}(p)$ ^[⁸^] هي دالة الطلب الزائد في السوق المقيد.

$C$ يتم اختيارها لتكون "كبيرة بما يكفي" للاقتصاد بحيث لا يكون التقييد ساري المفعول في ظل ظروف التوازن (انظر القسم التالي). بالتفصيل، $C$ يتم اختيارها لتكون كبيرة بما يكفي بحيث:

لأي خطة استهلاك $x$ بحيث $x\succeq 0,\|x\|=C$ إن الخطة "باهظة" لدرجة أنه حتى لو قام جميع المنتجين بالتنسيق، فإنهم سيظلون عاجزين عن تلبية الطلب.
لأي قائمة بخطط الإنتاج للاقتصاد $(y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j})_{j\in J}$ ، لو $\sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0$ ، ثم $\|y^{j}\|<C$ لكل $j\in J$ بمعنى آخر، بالنسبة لأي خطة إنتاج قابلة للتحقيق في ظل الموارد المتاحة. $r$ يجب أن تلتزم خطة الإنتاج الفردية لكل منتج بالقيود المفروضة بدقة.

كل متطلب قابل للتنفيذ.

حدد مجموعة خطط الإنتاج الإجمالية الممكنة لتكون ${\mathit {PPS}}_{r}=\left\{\sum _{j\in J}y^{j}:y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}{\text{ for each }}j\in J,{\text{ and }}\sum _{j\in J}y^{j}+r\succeq 0\right\}$ ثم في ظل الافتراضات المذكورة أعلاه للمنتجين (وخاصة افتراض "عدم وجود غداء مجاني كبير بشكل تعسفي")، ${\mathit {PPS}}_{r}$ محدود لأي $r\succeq 0$ (تم حذف البرهان). وبالتالي فإن الشرط الأول قابل للتحقيق.
حدد مجموعة خطط الإنتاج الفردية القابلة للتحقيق لتكون ${\mathit {PPS}}_{r}^{j}:=\{y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}:y^{j}{\text{ is a part of some attainable production plan under endowment }}r\}$ ثم في ظل الافتراضات المذكورة أعلاه للمنتجين (وخاصة افتراض "عدم وجود تحولات كبيرة بشكل تعسفي")، ${\mathit {PPS}}_{r}^{j}$ محدود لأي $j\in J,r\succeq 0$ (تم حذف البرهان). وبالتالي فإن الشرط الثاني قابل للتحقيق.

يشير الشرطان معًا إلى أن القيد ليس قيدًا حقيقيًا عندما تكون خطط الإنتاج وخطط الاستهلاك " داخلية " للقيد.

بأي سعر متجه $p$ ، لو $\|{\tilde {S}}^{j}(p)\|<C$ ، ثم $S^{j}(p)$ موجود ويساوي ${\tilde {S}}^{j}(p)$ بمعنى آخر، إذا كانت خطة إنتاج منتج مقيد تقع ضمن نطاق القيد المصطنع، فإن المنتج غير المقيد سيختار خطة الإنتاج نفسها. وقد تم إثبات ذلك من خلال استغلال الشرط الثاني على $C$ .
إذا كان كل شيء $S^{j}(p)={\tilde {S}}^{j}(p)$ إذاً، فإن الأسر المقيدة وغير المقيدة لديها نفس الميزانية. الآن، إذا كان لدينا أيضاً $\|{\tilde {D}}^{i}(p)\|<C$ ، ثم $D^{i}(p)$ موجود ويساوي ${\tilde {D}}^{i}(p)$ بمعنى آخر، إذا كانت خطة استهلاك أسرة مقيدة ضمن نطاق القيد المصطنع، فإن الأسرة غير المقيدة ستختار خطة الاستهلاك نفسها. وقد تم إثبات ذلك من خلال استغلال الشرط الأول على $C$ .

هذان الافتراضان يعنيان أن التوازنات في السوق المقيدة هي توازنات في السوق غير المقيدة:

نظرية — إذا $p$ إذا كان متجه سعر التوازن للسوق المقيد، فإنه يكون أيضًا متجه سعر التوازن للسوق غير المقيد. علاوة على ذلك، لدينا ${\tilde {D}}^{i}(p)=D^{i}(p),{\tilde {S}}^{j}(p)=S^{j}(p)$ .

وجود التوازن العام

كآخر جزء من عملية البناء، نُعرّف قانون والراس :

السوق غير المقيد يفي بقانون والراس عند $p$ إذا كان كل $S^{j}(p),D^{i}(p)$ يتم تعريفها، و $\langle p,Z(p)\rangle =0$ ، إنه، $\sum _{j\in J}\langle p,S^{j}(p)\rangle +\langle p,r\rangle =\sum _{i\in I}\langle p,D^{i}(p)\rangle$
السوق المقيد يفي بقانون والراس عند $p$ إذا $\langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle =0$ .

يمكن تفسير قانون والراس من كلا الجانبين:

أما بالنسبة للأسر، فيُقال إن إجمالي إنفاقها يساوي إجمالي أرباحها وإجمالي دخلها من بيع الأصول. بعبارة أخرى، تنفق كل أسرة كامل ميزانيتها.
أما من جانب المنتجين، فيقول ذلك أن إجمالي الربح بالإضافة إلى إجمالي التكلفة يساوي إجمالي الإيرادات.

نظرية — ${\tilde {Z}}$ يفي بقانون والراس الضعيف : لكل $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ ، $\langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle \leq 0$ وإذا $\langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle <0$ ، ثم ${\tilde {Z}}(p)_{n}>0$ بالنسبة للبعض $n$ .

رسم توضيحي

إذا كانت قيمة فائض الطلب الإجمالية تساوي صفرًا تمامًا، فإن كل أسرة تكون قد أنفقت كامل ميزانيتها. وإلا، فإن بعض الأسر مقيدة بإنفاق جزء فقط من ميزانيتها. وبالتالي، فإن سلة استهلاك تلك الأسرة تقع على حدود هذا القيد، أي $\|{\tilde {D}}^{i}(p)\|=C$ لقد اخترنا (في القسم السابق) $C$ أن يكون حجمه كبيراً لدرجة أنه حتى لو نسق جميع المنتجين جهودهم، فسيظلون عاجزين عن تلبية الطلب. وبالتالي، توجد سلعة ما $n$ بحيث ${\tilde {D}}^{i}(p)_{n}>{\tilde {S}}(p)_{n}+r_{n}$

نظرية — يوجد متجه سعر توازن للسوق المقيد، وعند هذه النقطة يفي السوق المقيد بقانون والراس.

رسم توضيحي

بحسب تعريف التوازن، إذا $p$ إذا كان متجه سعر التوازن للسوق المقيد، فعند تلك النقطة، فإن السوق المقيد يفي بقانون والراس.

${\tilde {Z}}$ متصلة لأن جميع ${\tilde {S}}^{j},{\tilde {D}}^{i}$ متصلة.

عرّف دالة $f(p)={\frac {\max(0,p+\gamma {\tilde {Z}}(p))}{\sum _{n}\max(0,p_{n}+\gamma {\tilde {Z}}(p)_{n})}}$ على أساس سعر سيمبلكس، حيث $\gamma$ هو ثابت موجب ثابت.

بحسب قانون والراس الضعيف، فإن هذه الدالة مُعرَّفة تعريفًا جيدًا. وبحسب نظرية النقطة الثابتة لبروير، فإن لها نقطة ثابتة. وبحسب قانون والراس الضعيف، فإن هذه النقطة الثابتة هي توازن السوق.

لاحظ أن البرهان أعلاه لا يقدم خوارزمية تكرارية لإيجاد أي توازن، حيث لا يوجد ضمان بأن الدالة $f$ هو انكماش . وهذا ليس مفاجئاً، إذ لا يوجد ضمان (بدون افتراضات إضافية) بأن أي توازن في السوق هو توازن مستقر.

النتيجة - يوجد متجه سعر توازن للسوق غير المقيد، وعند هذه النقطة يفي السوق غير المقيد بقانون والراس.

دور التحدب

في عام ١٩٥٤، أثبت كلٌ من ماكنزي وأرو وديبرو ، بشكل مستقل ، وجود نقاط توازن عامة باستخدام نظرية كاكوتاني للنقاط الثابتة، والتي تُعنى بالنقاط الثابتة لدالة متصلة من مجموعة محدبة مضغوطة إلى نفسها . في منهج أرو وديبرو، يُعد التحدب شرطًا أساسيًا، لأن نظريات النقاط الثابتة هذه لا تنطبق على المجموعات غير المحدبة. على سبيل المثال، لا توجد نقاط ثابتة عند تدوير دائرة الوحدة بزاوية ٩٠ درجة، على الرغم من أن هذا التدوير يُعد تحويلًا متصلًا لمجموعة مضغوطة إلى نفسها؛ فدائرة الوحدة، على الرغم من كونها مضغوطة، إلا أنها غير محدبة. في المقابل، عند تطبيق التدوير نفسه على الغلاف المحدب لدائرة الوحدة، تبقى النقطة (٠،٠) ثابتة. تجدر الإشارة إلى أن نظرية كاكوتاني لا تنص على وجود نقطة ثابتة واحدة فقط. فعكس قرص الوحدة حول المحور الصادي يُبقي قطعة رأسية ثابتة، وبالتالي فإن هذا الانعكاس يحتوي على عدد لا نهائي من النقاط الثابتة.

عدم التحدب في الاقتصادات الكبيرة

حال افتراض التحدب دون تطبيق العديد من هذه التطبيقات، والتي نوقشت في مجلة الاقتصاد السياسي بين عامي 1959 و 1961 من قِبل فرانسيس إم. باتور، وإم. جيه. فاريل ، وتجالينج كوبمانز ، وتوماس جيه. روثنبرج . ^{[ 9 ]} أثبت روس إم. ستار ( 1969 ) وجود توازنات اقتصادية حتى عندما لا تكون بعض تفضيلات المستهلك محدبة بالضرورة . ^[⁹^] في بحثه، أثبت ستار أن الاقتصاد "المحدب" له توازنات عامة تُقاربها "شبه توازنات" الاقتصاد الأصلي؛ وقد استخدم ستار في برهانه نظرية شابلي-فولكمان . ^[¹⁰^]

نظرية أوزاوا للتكافؤ

أظهر ( أوزاوا ، 1962) ^{[ 11 ]} أن وجود توازن عام في اقتصاد يتميز بدالة طلب زائدة مستمرة تحقق قانون والراس يُكافئ نظرية براور للنقطة الثابتة. وبالتالي، فإن استخدام نظرية براور للنقطة الثابتة ضروري لإثبات وجود التوازن بشكل عام. ^{[ 12 ]}

النظريات الأساسية لاقتصاديات الرفاه

في اقتصاديات الرفاهية، يتمثل أحد الشواغل المحتملة في إيجاد خطة باريتو المثلى للاقتصاد.

بشكل بديهي، يمكن اعتبار مشكلة اقتصاديات الرفاه بمثابة المشكلة التي يواجهها المخطط الرئيسي للاقتصاد بأكمله: بالنظر إلى الموارد الأولية... $r$ بالنسبة للمجتمع بأكمله، يجب على المخطط اختيار خطة رئيسية قابلة للتنفيذ لخطط الإنتاج والاستهلاك $((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})$ يتمتع المخطط الرئيسي بحرية واسعة في اختيار الخطة الرئيسية، ولكن أي مخطط عاقل سيوافق على أنه إذا أمكن زيادة منفعة فئة معينة دون المساس بمنفعة الآخرين، فإن الخطة تُعدّ أفضل. أي أنه ينبغي اتباع مبدأ باريتو.

حدد ترتيب باريتو على مجموعة جميع الخطط $((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})$ بواسطة $((x^{i})_{i\in I},(y^{j})_{j\in J})\succeq ((x'^{i})_{i\in I},(y'^{j})_{j\in J})$ إذا $x^{i}\succeq ^{i}x'^{i}$ للجميع $i\in I$ .

ثم نقول إن الخطة فعالة من حيث باريتو فيما يتعلق بالوقف الأولي. $r$ ، إذا كان ذلك ممكناً، ولم تكن هناك خطة أخرى ممكنة أفضل بشكل صارم في ترتيب باريتو.

بشكل عام، هناك سلسلة متصلة من الخطط الفعالة وفقًا لمبدأ باريتو لكل وقف ابتدائي. $r$ .

مع هذا الإعداد، لدينا نظريتان أساسيتان في اقتصاديات الرفاهية: ^{[ 13 ]}

النظرية الأساسية الأولى لاقتصاديات الرفاهية - أي حالة توازن سوقية هي حالة كفاءة باريتو.

رسم توضيحي

يفصل المستوى السعري بين الإنتاجات الممكنة والاستهلاكات المثلى وفقًا لمبدأ باريتو. أي المستوى $\langle p^{*},q\rangle =\langle p^{*},D(p^{*})\rangle$ يفصل $r+{\mathit {PPS}}_{r}$ و $U_{++}$ ، أين $U_{++}$ هي مجموعة الكل $\sum _{i\in I}x'^{i}$ بحيث $\forall i\in I,x'^{i}\in {\mathit {CPS}}^{i},x'^{i}\succeq ^{i}x^{i}$ ، و $\exists i\in I,x'^{i}\succ ^{i}x^{i}$ أي أنها مجموعة من المجاميع لجميع خطط الاستهلاك الممكنة التي تعتبر أفضل من الناحية الباريتية.

تقع مستويات الإنتاج الممكنة في الجانب الأدنى من مستوى الأسعار، بينما تقع مستويات الاستهلاك الأمثل وفقًا لمبدأ باريتو في الجانب الأعلى منه. وبالتالي، فإن أي خطة أفضل وفقًا لمبدأ باريتو غير قابلة للتحقيق.

أي خطة استهلاك أفضل وفقًا لمبدأ باريتو يجب أن تكلف على الأقل نفس المبلغ لكل أسرة، وأن تكلف أكثر لأسرة واحدة على الأقل.
يجب أن تحقق أي خطة إنتاج قابلة للتنفيذ أقصى قدر من الربح لكل منتج.

النظرية الأساسية الثانية في اقتصاديات الرفاه - لأي إجمالي موارد $r$ وأي حالة فعالة وفقًا لمبدأ باريتو يمكن تحقيقها باستخدام تلك الموارد، يوجد توزيع للموارد. $\{r^{i}\}_{i\in I}$ والملكيات الخاصة $\{\alpha ^{i,j}\}_{i\in I,j\in J}$ من المنتجين، بحيث تكون الحالة المعطاة حالة توازن سوقي لمتجه سعر معين $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ .

فكرة البرهان: أي خطة استهلاك مثلى وفقًا لمبدأ باريتو تفصلها عن مجموعة خطط الاستهلاك الممكنة مسافة فائقة . يمثل ميل هذه المسافة الفائقة أسعار التوازن. تحقق من أنه في ظل هذه الأسعار، سيجد كل منتج وأسرة الحالة المعطاة مثلى. تحقق من صحة قانون والراس، وبالتالي فإن النفقات تتطابق مع الدخل مضافًا إليه الربح، وبالتالي من الممكن تزويد كل أسرة بالميزانية اللازمة بالضبط.

دليل

بما أن هذه الحالة قابلة للتحقيق، فقد $\sum _{i\in I}x^{i}\preceq \sum _{j\in J}y^{j}+r$ لا تتحقق المساواة بالضرورة، لذلك نحدد مجموعة الاستهلاكات الإجمالية الممكنة $V:=\{r+y-z:y\in {\mathit {PPS}},z\succeq 0\}$ أي مجموعة استهلاك إجمالية في $V$ يمكن تحقيقه، وأي شيء خارج عن المألوف ليس كذلك.

ابحث عن سعر السوق $p$ .

يُعرِّف

U_{++}

أن تكون مجموعة الكل

\sum _{i\in I}x'^{i}

بحيث

\forall i\in I,x'^{i}\in {\mathit {CPS}}^{i},x'^{i}\succeq ^{i}x^{i}

، و

\exists i\in I,x'^{i}\succ ^{i}x^{i}

أي أنها مجموعة مجاميع جميع خطط الاستهلاك الممكنة التي تُعتبر أفضل وفقًا لمبدأ باريتو.

{\mathit {CPS}}^{i}

محدبة، وكل تفضيل محدب، المجموعة

U_{++}

وهو محدب أيضاً.

الآن، بما أن الحالة مثالية وفقًا لمبدأ باريتو، فإن المجموعة

U_{++}

يجب أن يكون غير قابل للتحقيق بالموارد المتاحة. أي،

U_{++}

منفصل عن

V

بما أن كلا المجموعتين محدبتان، فإنه يوجد مستوى فاصل بينهما.

لنفترض أن المستوى الفائق مُعرَّف بـ

\langle p,q\rangle =c

، أين

p\in \mathbb {R} ^{N},p\neq 0

، و

c=\sum _{i\in I}\langle p,x^{i}\rangle

يتم اختيار العلامة بحيث

\langle p,U_{++}\rangle \geq c

و

\langle p,r+{\mathit {PPS}}\rangle \leq c

.

مطالبة: $p\succ 0$ .

لنفترض عكس ذلك، إذن يوجد شيء ما

n\in 1:N

بحيث

p_{n}<0

. ثم

\langle p,r+0-ke_{n}\rangle >c

لو

k

كبيرة بما يكفي، ولكن لدينا أيضًا

r+0-ke_{n}\in V

، تناقض.

لدينا عن طريق البناء $\langle p,\sum _{i\in I}x^{i}\rangle =c$ ، و $\langle p,V\rangle \leq c$ والآن ندّعي: $\langle p,U_{++}\rangle >c$ .

لكل أسرة

i

، يترك

U_{+}^{i}(x^{i})

لتكن مجموعة خطط الاستهلاك لـ

i

التي لا تقل جودة عن

x^{i}

، و

U_{++}^{i}(x^{i})

لتكن مجموعة خطط الاستهلاك لـ

i

التي هي أفضل بكثير من

x^{i}

.

بسبب عدم الإشباع المحلي لـ

\succeq ^{i}

، نصف الفضاء المغلق

\langle p,q\rangle \geq \langle p,x^{i}\rangle

يتضمن

U_{+}^{i}(x^{i})

.

باستمرار

\succeq ^{i}

، نصف الفضاء المفتوح

\langle p,q\rangle >\langle p,x^{i}\rangle

يتضمن

U_{++}^{i}(x^{i})

.

وبجمعها، نجد أن نصف الفضاء المفتوح

\langle p,q\rangle >c

يتضمن

U_{++}

.

الادعاء (قانون والراس): $\langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle =c=\langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle$

وبما أن الإنتاج ممكن، فقد

r+\sum _{j}y^{j}\succeq \sum _{i}x^{i}

و منذ ذلك الحين

p\succ 0

لدينا

\langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle \geq \langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle

.

من خلال بناء المستوى الفاصل، لدينا أيضًا

\langle p,r+\sum _{j}y^{j}\rangle \leq c=\langle p,\sum _{i}x^{i}\rangle

وبالتالي لدينا مساواة.

الادعاء: بالسعر $p$ كل منتج $j$ يحقق أقصى ربح في $y^{j}$ ،

إذا كانت هناك خطة إنتاج

y'^{j}

بحيث يمكن للمنتج الواحد تحقيق ربح أعلى

\langle p,y'^{j}\rangle >\langle p,y^{j}\rangle

، ثم

\langle p,r\rangle +\sum _{j\in J}\langle p,y'^{j}\rangle >\langle p,r\rangle +\sum _{j\in J}\langle p,y^{j}\rangle =c

لكن حينها سيكون لدينا وجهة نظر في

r+{\mathit {PPS}}

على الجانب الآخر من المستوى الفاصل، مما ينتهك تصميمنا.

الادعاء: بالسعر $p$ والميزانية $\langle p,x^{i}\rangle$ ، أُسرَة $i$ يحقق أقصى فائدة عند $x^{i}$ .

وإلا، فهناك بعض

x'^{i}

بحيث

x'^{i}\succ ^{i}x^{i}

و

\langle p,x'^{i}\rangle \leq \langle p,x^{i}\rangle

ثم، ضع في اعتبارك سلة الاستهلاك الإجمالية

q':=\sum _{i'\in I,i'\neq i}x^{i}+x'^{i}

إنه في

U_{++}

ولكنه يرضي أيضاً

\langle p,q'\rangle \leq \sum \langle p,x^{i}\rangle =c

لكن هذا يناقض الادعاء السابق بأن

\langle p,U_{++}\rangle >c

.

بحسب قانون والراس، فإن إجمالي دخل الوقف وأرباحه يساوي تمامًا إجمالي الإنفاق. ويبقى توزيعها بحيث تحصل كل أسرة على $i$ يحصل بالضبط $\langle p,x^{i}\rangle$ هذا أمرٌ تافه، كما هو الحال في ميزانيتها.

إليك خوارزمية جشعة للقيام بذلك: أولاً، وزّع كل موارد السلعة 1 على الأسرة 1. إذا استطاعت الأسرة 1 الوصول إلى ميزانيتها قبل توزيعها بالكامل، فانتقل إلى الأسرة 2. وإلا، فابدأ بتوزيع كل موارد السلعة 2، وهكذا. وينطبق الأمر نفسه على ملكيات المنتجين.

التحدب مقابل التحدب الصارم

يمكن تخفيف افتراضات التحدب الصارم إلى التحدب. هذا التعديل يحوّل دوال العرض والطلب من دوال ذات قيم نقطية إلى دوال ذات قيم متعددة (أو "مطابقات")، ويطبق نظرية النقطة الثابتة لبروير على نظرية النقطة الثابتة لكاكوتاني.

هذا التعديل مشابه لتعميم نظرية المينيماكس لوجود توازنات ناش .

تبقى النظريتان الأساسيتان في اقتصاديات الرفاهية قائمتين دون تعديل.

التحويل من التحدب الصارم إلى التحدب
حالة محدبة تمامًا	الحالة المحدبة
${\mathit {PPS}}^{j}$ محدب تمامًا	${\mathit {PPS}}^{j}$ محدب
${\mathit {CPS}}^{i}$ محدب تمامًا	${\mathit {CPS}}^{i}$ محدب
$\succeq ^{i}$ محدب تمامًا	$\succeq ^{i}$ محدب
${\tilde {S}}^{j}(p)$ لها قيمة نقطية	${\tilde {S}}^{j}(p)$ هي مجموعة قيم
${\tilde {S}}^{j}(p)$ متصل	${\tilde {S}}^{j}(p)$ له رسم بياني مغلق ("شبه متصل علويًا")
$\langle p,{\tilde {Z}}(p)\rangle \leq 0$	$\langle p,z\rangle \leq 0$ لأي $z\in {\tilde {Z}}(p)$
...	...
يوجد توازن وفقًا لنظرية النقطة الثابتة لبروير	يوجد توازن وفقًا لنظرية النقطة الثابتة لكاكوتاني

التوازن مقابل "شبه التوازن"

يفترض تعريف توازن السوق أن كل أسرة تسعى إلى تحقيق أقصى قدر من المنفعة، مع مراعاة قيود الميزانية. أي، ${\begin{cases}\max _{x^{i}}u^{i}(x^{i})\\\langle p,x^{i}\rangle \leq M^{i}(p)\end{cases}}$ تتمثل المشكلة المزدوجة في تقليل التكاليف مع مراعاة قيود المنفعة. أي، ${\begin{cases}u^{i}(x^{i})\geq u_{0}^{i}\\\min _{x^{i}}\langle p,x^{i}\rangle \end{cases}}$ لبعض الأعداد الحقيقية $u_{0}^{i}$ إن فجوة الازدواجية بين المسألتين غير سالبة، وقد تكون موجبة. ونتيجة لذلك، يدرس بعض الباحثين المسألة المزدوجة وخصائص "شبه التوازن" الخاص بها ^{[ 14 ]} (أو "التوازن المُعَوَّض" ^{[ 15 ]} ). كل توازن هو شبه توازن، ولكن العكس ليس صحيحًا بالضرورة. ^{[ 15 ]}

الإضافات

مراعاة المفاوضة الاستراتيجية

في هذا النموذج، جميع المنتجين والأسر هم " متلقون للسعر "، مما يعني أنهم يتعاملون مع السوق باستخدام متجه السعر. $p$ وعلى وجه الخصوص، لا يتم نمذجة سلوكيات مثل الكارتل والاحتكار وتحالفات المستهلكين، وما إلى ذلك. تُظهر نظرية إيدجوورث الحدية أنه في ظل افتراضات أقوى معينة، لا يمكن للأسر أن تحقق أداءً أفضل من قبول السعر عند حد اقتصاد كبير لا نهائي.

يثبت

بالتفصيل، نواصل العمل بالنموذج الاقتصادي القائم على الأسر والمنتجين، لكننا نعتمد طريقة مختلفة لتصميم إنتاج وتوزيع السلع مقارنةً باقتصاد السوق. ويمكن تفسير ذلك على أنه نموذج لاقتصاد "اشتراكي".

لا يوجد مال، ولا سوق، ولا ملكية خاصة للمنتجين.
بما أننا ألغينا الملكية الخاصة، والمال، ودافع الربح، فلا جدوى من التمييز بين منتج وآخر. وبالتالي، بدلاً من أن يخطط كل منتج على حدة $y^{j}\in {\mathit {PPS}}^{j}$ يبدو الأمر كما لو أن المجتمع بأكمله لديه منتج واحد عظيم ينتج $y\in {\mathit {PPS}}$ .
لا تزال الأسر تتمتع بنفس التفضيلات والموارد، لكنها لم تعد تملك ميزانيات.
لا ينتج المنتجون بهدف تحقيق أقصى ربح، لأنه لا يوجد ربح. تتحد جميع الأسر لتكوين دولة. $((x_{i})_{i\in I},y)$ —خطة إنتاج واستهلاك للاقتصاد بأكمله—مع مراعاة القيود التالية: $x^{i}\in {\mathit {CPS}}^{i},y\in {\mathit {PPS}},y\succeq \sum _{i}(x^{i}-r^{i})$
يمكن لأي مجموعة فرعية غير فارغة من الأسر أن تقضي على جميع الأسر الأخرى، مع الاحتفاظ بالسيطرة على المنتجين.

وبالتالي، فإن هذا الاقتصاد عبارة عن لعبة تعاونية حيث تمثل كل أسرة لاعباً، ولدينا المفاهيم التالية من نظرية الألعاب التعاونية:

التحالف المعرقل هو مجموعة فرعية غير فارغة من الأسر، بحيث توجد خطة أفضل وفقًا لمبدأ باريتو حتى لو قاموا بإلغاء جميع الأسر الأخرى.
تعتبر الدولة دولة أساسية إذا لم تكن هناك تحالفات مانعة.
جوهر الاقتصاد هو مجموعة الدول الأساسية.

بما أننا افترضنا أن أي مجموعة فرعية غير فارغة من الأسر يمكنها إقصاء جميع الأسر الأخرى مع الاحتفاظ بالسيطرة على المنتجين، فإن الحالات الوحيدة التي يمكن تنفيذها هي الحالات الأساسية. وأي حالة ليست حالة أساسية ستُقابل باعتراض فوري من تحالف الأسر.

نحتاج إلى افتراض آخر بشأن ${\mathit {PPS}}$ أي أنه مخروطي الشكل . $k\cdot {\mathit {PPS}}\subset {\mathit {PPS}}$ لأي $k\geq 0$ هذا الافتراض يستبعد طريقتين ليصبح الاقتصاد تافهاً.

لعنة الغداء المجاني: في هذا النموذج، كل ${\mathit {PPS}}$ متاح لأي تحالف غير فارغ، حتى لو كان تحالفًا من شخص واحد. وبالتالي، إذا لم يكن لدى أي شخص أي هبة، ومع ذلك ${\mathit {PPS}}$ يحتوي على بعض "الوجبات المجانية" $y\succ 0$ إذن (بافتراض أن التفضيلات رتيبة) سترغب كل أسرة في الحصول على كل $y$ لذاتها، وبالتالي لا وجود لدولة مركزية. وبشكل بديهي، فإن صورة العالم هي لجنة من الأشخاص الأنانيين، يرفضون أي خطة لا تمنحهم كامل المكاسب المجانية.
حدود النمو: لنفترض مجتمعًا يمتلك سلعتين. إحداهما هي "العمل" والأخرى هي "الغذاء". لا تملك الأسر سوى العمل كمورد، لكنها لا تستهلك سوى الغذاء. ${\mathit {PPS}}$ يبدو الأمر كمنحدر ذي سطح مستوٍ. لذا، فإن بذل ما بين 0 و1000 ساعة عمل ينتج ما بين 0 و1000 كيلوغرام من الطعام، بشكل خطي، ولكن أي جهد إضافي لا ينتج أي طعام. لنفترض الآن أن كل أسرة لديها 1000 ساعة عمل. من الواضح أن كل أسرة ستعيق جميع الأسر الأخرى فورًا، لأنه من الأفضل دائمًا لأي أسرة استخدام كامل ساعات العمل المتاحة. ${\mathit {PPS}}$ لذاتها.

النتائج الرئيسية (ديبرو وسكارف، 1963)

الفرضية — توازنات السوق هي حالات أساسية.

دليل

حدد مستوى السعر الفائق $\langle p,q\rangle =\langle p,\sum _{j}y^{j}\rangle$ بما أنه مستوى فائق داعم لـ ${\mathit {PPS}}$ ، و ${\mathit {PPS}}$ إذا كان المخروط محدبًا، فإن المستوى الفائق للسعر يمر بنقطة الأصل. وبالتالي $\langle p,\sum _{j}y^{j}\rangle =\langle p,\sum _{i}x^{i}-r^{i}\rangle =0$ .

منذ $\sum _{j}\langle p,y^{j}\rangle$ يمثل الربح الإجمالي، ويمكن لكل منتج على الأقل تحقيق ربح صفري (أي، $0\in {\mathit {PPS}}^{j}$ وهذا يعني أن الربح يساوي صفرًا تمامًا لكل منتج. وبالتالي، فإن ميزانية كل أسرة تتكون بالكامل من عائدات بيع الموارد.

$\langle p,x^{i}\rangle =\langle p,r^{i}\rangle$

من خلال تعظيم المنفعة، تقوم كل أسرة بالفعل بأقصى ما في وسعها. وبالتالي، لدينا $\langle p,U_{++}^{i}(x^{i})\rangle >\langle p,r^{i}\rangle$ .

على وجه الخصوص، بالنسبة لأي ائتلاف $I'\subset I$ وأي خطة إنتاج $x'^{i}$ هذا أفضل وفقًا لمبدأ باريتو، لدينا

$\sum _{i\in I'}\langle p,x'^{i}\rangle >\sum _{i\in I'}\langle p,r^{i}\rangle$ وبالتالي، النقطة $\sum _{i\in I'}x'^{i}-r^{i}$ يقع فوق مستوى السعر الفائق، مما يجعله غير قابل للتحقيق.

في ورقة ديبرو وسكارف، حددوا طريقة معينة للتعامل مع اقتصاد كبير بلا حدود، وذلك من خلال "تكرار الأسر". أي، لأي عدد صحيح موجب $K$ عرّف اقتصادًا حيث يوجد $K$ الأسر التي لديها نفس مجموعة إمكانيات الاستهلاك وتفضيلاته تمامًا مثل الأسرة $i$ .

يترك $x^{i,k}$ يمثل خطة استهلاك $k$ النسخة رقم - من الأسرة $i$ عرّف الخطة بأنها عادلة إذا وفقط إذا $x^{i,k}\sim ^{i}x^{i,k'}$ لأي $i\in I$ و $k,k'\in K$ .

بشكل عام، ستكون الحالة معقدة للغاية، حيث تعامل كل نسخة بشكل مختلف. ومع ذلك، فإن الحالات الأساسية أبسط بكثير: فهي عادلة، وتعامل كل نسخة على قدم المساواة.

الفرضية : أي دولة أساسية عادلة.

دليل

نحن نستخدم "تحالف المستضعفين".

لنفترض دولة أساسية $x^{i,k}$ عرّف التوزيعات المتوسطة ${\bar {x}}^{i}:={\frac {1}{K}}\sum _{k\in K}x^{i,k}$ .

إنه أمر قابل للتحقيق، لذلك لدينا $K\sum _{i}({\bar {x}}^{i}-r^{i})\in {\mathit {PPS}}$

لنفترض وجود أي متباينة، أي بعض $x^{i,k}\succ ^{i}x^{i,k'}$ ثم، بحسب تحدب التفضيلات، لدينا ${\bar {x}}^{i}\succ ^{i}x^{i,k'}$ ، أين $k'$ هي أسوأ أسرة من نوعها من حيث المعاملة $i$ .

والآن، حدد "تحالف المستضعفين" الذي يتألف من أسوأ الأسر تضرراً من كل نوع، ويقترحون التوزيع وفقاً لـ ${\bar {x}}^{i}$ هذا أفضل للائتلاف وفقًا لمبدأ باريتو، ولأن $PP$ هو مخروطي، ولدينا أيضًا $\sum _{i}({\bar {x}}^{i}-r^{i})\in {\mathit {PPS}}$ إذن، الخطة قابلة للتحقيق. تناقض.

وبالتالي، عند دراسة الدول الأساسية، يكفي النظر في خطة استهلاك واحدة لكل نوع من أنواع الأسر. الآن، عرّف $C_{K}$ أن تكون مجموعة جميع الحالات الأساسية للاقتصاد مع $K$ نسخ لكل أسرة. من الواضح أن $C_{1}\supset C_{2}\supset \cdots$ لذلك يمكننا تحديد مجموعة الحدود للحالات الأساسية $C:=\cap _{K=1}^{\infty }C_{K}$ .

لقد رأينا ذلك $C$ تحتوي على مجموعة توازنات السوق للاقتصاد الأصلي. والعكس صحيح في ظل افتراض إضافي بسيط: ^{[ 16 ]}

(ديبرو وسكارف، 1963) — إذا ${\mathit {PPS}}$ هو مخروط متعدد الأضلاع، أو إذا كان كل ${\mathit {CPS}}^{i}$ له مساحة داخلية غير فارغة بالنسبة إلى $\mathbb {R} ^{N}$ ، ثم $C$ هي مجموعة توازنات السوق للاقتصاد الأصلي.

الافتراض أن ${\mathit {PPS}}$ هو مخروط متعدد الأضلاع، أو كل ${\mathit {CPS}}^{i}$ إن امتلاكها لداخل غير فارغ ضروري لتجنب المشكلة التقنية المتمثلة في "شبه التوازن". وبدون هذا الافتراض، لا يمكننا إلا إثبات أن $C$ وهي موجودة في مجموعة شبه التوازنات.

مراعاة عدم التحدب

يُعدّ افتراض أن مجموعات إمكانيات الإنتاج محدبة قيدًا قويًا، إذ يعني ذلك عدم وجود وفورات الحجم. وبالمثل، يمكننا النظر في مجموعات إمكانيات استهلاك غير محدبة وتفضيلات غير محدبة. في مثل هذه الحالات، تكون دوال العرض والطلب $S^{j}(p),D^{i}(p)$ قد يكون غير متصل بالنسبة لمتجه السعر، وبالتالي قد لا يوجد توازن عام.

ومع ذلك، يمكننا "تحدب" الاقتصاد، وإيجاد توازن له، ثم وفقًا لنظرية شابلي-فولكمان-ستار ، يكون هذا توازنًا تقريبيًا للاقتصاد الأصلي.

بالتفصيل، بالنظر إلى أي اقتصاد يستوفي جميع الافتراضات المذكورة، باستثناء تحدب ${\mathit {PPS}}^{j},{\mathit {CPS}}^{i}$ و $\succeq ^{i}$ نُعرّف "الاقتصاد المحدب" بأنه نفس الاقتصاد، باستثناء أن

${\mathit {PPS}}'^{j}=\mathrm {Conv} ({\mathit {PPS}}^{j})$
${\mathit {CPS}}'^{i}=\mathrm {Conv} ({\mathit {CPS}}^{i})$
$x\succeq '^{i}y$ إذا $\forall z\in {\mathit {CPS}}^{i},y\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))\implies x\in \mathrm {Conv} (U_{+}^{i}(z))$ .

أين $\mathrm {Conv}$ يشير إلى الغلاف المحدب .

وبناءً على ذلك، فإن أي توازن عام للاقتصاد المحدب هو أيضاً توازن تقريبي للاقتصاد الأصلي. أي، إذا $p^{*}$ يمثل متجه سعر التوازن للاقتصاد المحدب، إذن ^{[ 17 ]} ${\begin{aligned}d(D'(p^{*})-S'(p^{*}),D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\\d(r,D(p^{*})-S(p^{*}))&\leq N{\sqrt {L}}\end{aligned}}$ أين $d(\cdot ,\cdot )$ هي المسافة الإقليدية، و $L$ أي حد أعلى على أنصاف الأقطار الداخلية لجميع ${\mathit {PPS}}^{j},{\mathit {CPS}}^{i}$ (انظر الصفحة الخاصة بنظرية شابلي-فولكمان-ستار لتعريف أنصاف الأقطار الداخلية).

قد لا يفي الاقتصاد المحدب بالافتراضات. على سبيل المثال، المجموعة $\{(x,0):x\geq 0\}\cup \{(x,y):xy=1,x>0\}$ مغلق، لكن غلافه المحدب ليس مغلقًا. وبافتراض أن الاقتصاد المحدب يحقق الافتراضات أيضًا، نجد أن الاقتصاد الأصلي دائمًا ما يكون له توازن تقريبي.

مراعاة الوقت والمكان وعدم اليقين

تُعدّ السلع في نموذج آرو-ديبرو مجردة تمامًا. لذا، ورغم أنه يُصوَّر عادةً كسوق ثابتة، إلا أنه يُمكن استخدامه لنمذجة الزمان والمكان وعدم اليقين من خلال تقسيم سلعة واحدة إلى عدة سلع، كل منها مشروط بزمان ومكان وحالة معينة للعالم. على سبيل المثال، يُمكن تقسيم "التفاح" إلى "تفاح في نيويورك في سبتمبر إذا كان البرتقال متوفرًا" و"تفاح في شيكاغو في يونيو إذا لم يكن البرتقال متوفرًا".

يمكن نمذجة التداول بين الوكلاء على أنه يحدث بإحدى طريقتين. إما أن يتم تداول أوراق مالية من نوع Arrow-Debreu في بداية الوقت، مع كل تحقق ممكن للشكوك، ثم لا يحدث أي تداول مرة أخرى ؛ أو يتم تداول أوراق مالية من نوع Arrow بشكل متسلسل في كل فترة .

تُعرف سندات آرو-ديبرو أيضًا باسم سندات سعر الحالة ، أو السندات البحتة ، أو السندات الأولية . وهي عبارة عن عقود تنص على دفع وحدة واحدة من وحدة قياس (عملة أو سلعة) إذا تحققت حالة معينة في وقت محدد في المستقبل، ودفع صفر وحدة قياس في جميع الحالات الأخرى. سعر هذه السند هو سعر الحالة المحددة في العالم. متجه سعر الحالة هو متجه أسعار جميع الحالات. ^{[ 18 ]}

سندات آرو هي أداة مالية ذات عائد ثابت قدره وحدة واحدة في ولاية محددة، ولا يوجد عائد في الولايات الأخرى. ^{[ 19 ]}

مثال

تخيل عالماً حيث توجد حالتان محتملتان غداً: السلام (P) والحرب (W). لنرمز للمتغير العشوائي الذي يمثل الحالة بـ ω، ولنرمز للمتغير العشوائي للغد بـ ω₁ _. بالتالي، يمكن أن يأخذ ω₁ _قيمتين : ω₁ ₌ P و ω₁ ₌ W.

لنتخيل ذلك:

يوجد سند يدفع جنيهًا إسترلينيًا واحدًا إذا كانت حالة الغد "P"، ولا يدفع شيئًا إذا كانت الحالة "W". سعر هذا السند هو q _P
يوجد سند يدفع جنيهًا إسترلينيًا واحدًا إذا كانت حالة الغد "W"، ولا يدفع شيئًا إذا كانت الحالة "P". سعر هذا السند هو q _W

الأسعار q _P و q _W هي أسعار الدولة.

العوامل التي تؤثر على أسعار هذه الولايات هي:

"التفضيلات الزمنية للاستهلاك وإنتاجية رأس المال". ^{[ 20 ]} أي أن القيمة الزمنية للنقود تؤثر على أسعار الدولة.
احتمالات ω ₁ =P و ω ₁ =W. كلما زاد احتمال الانتقال إلى W، ارتفع سعر q _W ، لأن q _W يؤمن الوكيل ضد حدوث الحالة W. سيطلب بائع هذا التأمين قسطًا أعلى (إذا كان الاقتصاد كفؤًا) .
تفضيلات الوكيل. لنفترض أن لدى الوكيل دالة منفعة مقعرة قياسية تعتمد على حالة العالم. لنفترض أن الوكيل يخسر مقدارًا مساويًا لما يربحه إذا كانت الحالة "W". الآن، حتى لو افترضنا أن الاحتمالات المذكورة أعلاه ω₁ ₌ P و ω₁ ₌ W متساوية، فإن التغيرات في منفعة الوكيل ليست كذلك: نظرًا لتناقص منفعته الحدية ، فإن المنفعة المكتسبة من "عائد السلام" غدًا ستكون أقل من المنفعة المفقودة من حالة "الحرب". لو كان وكيلنا عقلانيًا ، لدفع مبلغًا أكبر للتأمين ضد الحالة السلبية مقارنةً بصافي مكسبه من الحالة الإيجابية.

في مجال التمويل

يمكن تطبيق أسعار الحالة في تسعير المشتقات والتحوط: يمكن تحليل عقد تكون قيمة تسويته دالةً لأصل أساسي غير مؤكد القيمة في تاريخ العقد، إلى توليفة خطية من أوراقه المالية وفقًا لنموذج آرو-ديبرو، وبالتالي إلى مجموع مرجح لأسعار حالته؛ [ ^{21 ] [}^{22 ] انظر} تحليل المطالبات المشروطة . وقد أرست دراسة بريدن وليتزنبرغر عام 1978 ^[²³^] الاستخدام الأخير والأكثر عمومية لأسعار الحالة في التمويل.

منذ عملهم، استخدم عدد كبير من الباحثين الخيارات لاستخراج أسعار آرو-ديبرو لمجموعة متنوعة من التطبيقات في الاقتصاد المالي . ^{[ 24 ]}

وبالمثل، بالنسبة لمتغير عشوائي مستمر يشير إلى سلسلة متصلة من الحالات الممكنة، يتم إيجاد القيمة عن طريق التكامل على كثافة سعر الحالة .

تفسير وجود النقود

لا يتم تقديم أي نظرية للنقود هنا، ويفترض أن الاقتصاد يعمل دون مساعدة سلعة تعمل كوسيط للتبادل.

— جيرار ديبرو، نظرية القيمة: تحليل بديهي للتوازن الاقتصادي (1959)

بالنسبة للمنظّر النظري البحت، فإنّ الجانب الأكثر إثارة للاهتمام وتحدياً في الوقت الراهن فيما يتعلق بالنقود هو عدم وجود مكان لها في اقتصاد آرو-ديبرو. وينبغي أن يكون لهذا الظرف أهمية كبيرة أيضاً بالنسبة لخبراء الاقتصاد الكلي، ولكنه نادراً ما يُؤخذ بعين الاعتبار.

— فرانك هان ، أسس النظرية النقدية (1987)

عادةً ما ينظر الاقتصاديون إلى وظائف النقود على أنها وحدة حساب، ومخزن للقيمة، ووسيلة للتبادل، ومعيار للدفع المؤجل. إلا أن هذا يتعارض مع نموذج السوق الكامل لأرو-ديبرو الموصوف أعلاه. ففي هذا النموذج، لا توجد سوى معاملة واحدة في السوق "في بداية الزمن". بعد ذلك، تقتصر عمليات الإنتاج والاستهلاك والتسليم المخطط لها للسلع على الأسر والمنتجين حتى نهاية الزمن. وبالتالي، لا حاجة لتخزين القيمة أو كوسيلة للتبادل. ولا يقتصر هذا على نموذج السوق الكامل لأرو-ديبرو فحسب، بل يشمل أيضاً نماذج أخرى (مثل تلك التي تتضمن أسواقاً للسلع المشروطة وعقود تأمين أرو) تختلف عنه في الشكل، ولكنها مكافئة له رياضياً. ^{[ 25 ]}

حساب التوازنات العامة

كانت خوارزمية سكارف (1967) ^{[ 26 ]} أول خوارزمية لحساب التوازن العام. انظر سكارف (2018) ^{[ 27 ]} وكوبلر (2012) ^{[ 28 ]} للاطلاع على مراجعات.

عدد نقاط التوازن

قد تمتلك بعض الاقتصادات، عند مستويات معينة من الموارد، عددًا لا نهائيًا من متجهات أسعار التوازن. مع ذلك، "بشكل عام"، لا يمتلك الاقتصاد إلا عددًا محدودًا من متجهات أسعار التوازن. هنا، تعني كلمة "بشكل عام" "على جميع النقاط، باستثناء مجموعة مغلقة ذات قياس ليبيغ يساوي صفرًا"، كما في نظرية سارد . ^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}

توجد العديد من نظريات العمومية هذه. ومن الأمثلة على ذلك ما يلي: ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}

العمومية - لأي توزيع وقف إيجابي تمامًا $r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ وأي متجه سعر موجب تمامًا $p\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ ، تحديد الطلب الزائد $Z(p,r^{1},...,r^{I})$ كما كان من قبل.

إن كان على الإطلاق $p,r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ ،

$Z(p,r^{1},...,r^{I})$ محدد جيدًا،
$Z$ قابلة للتفاضل،
$\nabla _{p}Z$ لديه $(N-1)$ ،

ثم بالنسبة لأي توزيع للأموال بشكل عام $r^{1},...,r^{I}\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ ، لا يوجد سوى عدد محدود من حالات التوازن $p^{*}\in \mathbb {R} _{++}^{N}$ .

إثبات (رسم تخطيطي)

عرّف "المتشعب المتوازن" بأنه مجموعة الحلول لـ $Z=0$ بحسب قانون والراس، فإن أحد القيود زائد عن الحاجة. بناءً على افتراضات أن $\nabla _{p}Z$ لديه رتبة $(N-1)$ لم تعد هناك قيود زائدة. وبالتالي، فإنّ مشعب التوازن له بُعد $N\times I$ ، وهو ما يساوي فضاء جميع توزيعات الموارد الإيجابية تمامًا $\mathbb {R} _{++}^{N\times I}$ .

باستمرار $Z$ وبالتالي، فإن الإسقاط مغلق. وعليه، وفقًا لنظرية سارد، فإن الإسقاط من مشعب التوازن إلى $\mathbb {R} _{++}^{N\times I}$ الأمر حرج فقط على مجموعة ذات قياس 0. ويبقى التحقق من أن الصورة الأصلية للإسقاط ليست منفصلة بشكل عام، ولكنها محدودة أيضًا.

انظر أيضاً

نموذج (اقتصادي)
الأسواق غير الكاملة
سوق التبادل آرو-ديبرو - نموذج سوق أبسط، حيث لا يوجد سوى الأسر (التي يمكن أن تكون مشترين وبائعين)، ولكن لا يوجد منتجون.
سوق فيشر - نموذج سوق أبسط، حيث يوجد مشترون فقط؛ يتم تحديد الكمية الإجمالية لكل منتج، ويأتي كل مشترٍ بميزانية نقدية فقط.
قائمة مقالات تسعير الأصول
الاقتصاد المالي § الاقتصاد الأساسي

مراجع

1 2 آرو، كيه جيه؛ ديبرو، جي. (1954). "وجود توازن لاقتصاد تنافسي". إيكونومتريكا . 22 (3): 265-290 . doi : 10.2307/1907353 . JSTOR 1907353 .
↑ ماكنزي، ليونيل و. (1954). "حول التوازن في نموذج غراهام للتجارة العالمية وأنظمة المنافسة الأخرى". إيكونومتريكا . 22 (2): 147-161 . doi : 10.2307/1907539 . JSTOR 1907539 .
↑ ماكنزي، ليونيل و. (1959). "حول وجود التوازن العام لاقتصاد تنافسي". إيكونومتريكا . 27 (1): 54-71 . doi : 10.2307/1907777 . JSTOR 1907777 .
↑ للاطلاع على شرح البرهان، انظر: تاكاياما، أكيرا (1985). الاقتصاد الرياضي ( الطبعة الثانية). لندن: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 265-274 . ISBN 978-0-521-31498-5.
↑ دوب، تيل؛ وينتروب، إي. روي (31-12-2014). إيجاد التوازن . برينستون: مطبعة جامعة برينستون. doi : 10.1515/9781400850129 . ISBN 978-1-4008-5012-9.
↑ ستار، روس م. (2011). نظرية التوازن العام: مقدمة ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521533867.
↑ آرو، كيه جيه (1962). "محاضرات حول نظرية التوازن التنافسي". ملاحظات غير منشورة لمحاضرات ألقيت في جامعة نورث وسترن.
↑ تم وصف أسلوب السوق المقيد في (ستار 2011)، القسم 18.2. تم استخدام هذا الأسلوب في المنشور الأصلي بواسطة آرو وديبرو (1954).
1 2 ستار، روس م. (1969)، "التوازنات شبهية في الأسواق ذات التفضيلات غير المحدبة (الملحق 2: نظرية شابلي-فولكمان، ص 35-37)"، Econometrica ، 37 (1): 25-38 ، CiteSeerX 10.1.1.297.8498 ، doi : 10.2307/1909201 ، JSTOR 1909201 .
↑ ستار، روس م. (2008). "نظرية شابلي-فولكمان" . في: دورلاف، ستيفن ن.؛ بلوم، لورانس إي. (محرران). قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد . المجلد 4 ( الطبعة الثانية). بالغراف ماكميلان. الصفحات 317-318 . doi : 10.1057/9780230226203.1518 . ISBN 978-0-333-78676-5.
^ أوزاوا، هيروفومي (1962). "نظرية وجود والراس ونظرية النقطة الثابتة لبروير " . 13 (1): 59-62 . دوى : 10.11398/اقتصاديات1950.13.1_59 .
↑ (ستار 2011)، القسم 18.4
↑ (ستار 2011)، الفصل 19
↑ ديبرو، جيرارد (1959-01-01). نظرية القيمة: تحليل بديهي للتوازن الاقتصادي . مطبعة جامعة ييل. ISBN 978-0-300-01559-1.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
1 2 آرو، كينيث ج. (2007). التحليل التنافسي العام . نورث هولاند. ISBN 978-0-444-85497-1. OCLC 817224321 .
↑ (ستار 2011) النظرية 22.2
↑ (ستار 2011)، النظرية 25.1
↑ ليونغكفيست، لارس؛ سارجنت، توماس ج. (2004). "8. التوازن مع الأسواق الكاملة" . نظرية الاقتصاد الكلي التكرارية ( الطبعة الثانية). مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ISBN 978-0-262-12274-0.
↑ لينغويلر، إيفان. الأسس الجزئية للاقتصاد المالي: مقدمة في تسعير الأصول في التوازن العام. مطبعة جامعة برينستون، 2009. ص 41.
↑ كوبلاند، توماس إي؛ ويستون ، ج. فريد؛ شاستري، كولديب (2004). النظرية المالية وسياسة الشركات ( الطبعة الرابعة). أديسون-ويسلي. ص 81. ISBN 0321127218.
↑ ريبوناتو، ريكاردو (8 يوليو 2005). التقلب والترابط: المحصّن المثالي والثعلب . جون وايلي وأولاده. ص 323 وما بعدها. ISBN 978-0-470-09140-1.
↑ ديمبستر؛ بليسكا؛ برونو دوبير (13 أكتوبر 1997). رياضيات الأوراق المالية المشتقة، الفصل "التسعير والتحوط باستخدام معامل الابتسامة" . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 103 وما بعدها. ISBN 978-0-521-58424-1.
↑ بريدن، دوغلاس ت.؛ ليتزنبرغر، روبرت هـ. (1978). "أسعار المطالبات المشروطة بالحالة الضمنية في أسعار الخيارات". مجلة الأعمال . 51 (4): 621-651 . doi : 10.1086/296025 . JSTOR 2352653 .
↑ ألميدا، كايو؛ فيسنتي، خوسيه (2008). "هل خيارات أسعار الفائدة مهمة لتقييم مخاطر أسعار الفائدة؟" (ملف PDF) . سلسلة أوراق العمل رقم 179، البنك المركزي البرازيلي .
↑ (ستار 2011) التمرين 20.15
↑ سكارف، هربرت (سبتمبر 1967). "تقريب النقاط الثابتة لتطبيق متصل" . مجلة SIAM للرياضيات التطبيقية . 15 (5): 1328-1343 . doi : 10.1137/0115116 . ISSN 0036-1399 .
↑ سكارف، هربرت إي. (2018)، "حساب التوازنات العامة" ، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، لندن: بالغراف ماكميلان المملكة المتحدة، ص 1973-1984 ، doi : 10.1057/978-1-349-95189-5_451 ، ISBN 978-1-349-95188-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 2023-01-06
↑ كوبلر، فيليكس (2012)، "حساب التوازنات العامة (تطورات جديدة)" ، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد، إصدار 2012 ، باسينغستوك: بالغراف ماكميلان، doi : 10.1057/9781137336583.0296 ، ISBN 9781137336583تم الاطلاع عليه بتاريخ 2023-01-06
↑ ديبرو، جيرار (يونيو 2000)، "ستيفن سميل والنظرية الاقتصادية للتوازن العام" ، الأوراق المجمعة لستيفن سميل ، دار النشر العالمية العلمية، الصفحات 243-258 ، doi : 10.1142/9789812792815_0025 ، ISBN 978-981-02-4991-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 2023-01-06
↑ سميل، ستيف (1981-01-01)، الفصل 8: التحليل العالمي والاقتصاد ، دليل الاقتصاد الرياضي، المجلد 1، إلسيفير، الصفحات 331-370 ، doi : 10.1016/S1573-4382(81)01012-6 ، ISBN 978-0-444-86126-9تم الاطلاع عليه بتاريخ 2023-01-06
↑ ديبرو، جيرار (ديسمبر 1984). "النظرية الاقتصادية في النمط الرياضي" . المجلة الإسكندنافية للاقتصاد . 86 (4): 393-410 . doi : 10.2307/3439651 . ISSN 0347-0520 . JSTOR 3439651 .
↑ (ستار 2011) القسم 26.3

للمزيد من القراءة

أثريا، كارتيك ب. (2013). "النهج الاقتصادي الكلي الحديث ونموذج آرو-ديبرو-ماكنزي". أفكار رئيسية في الاقتصاد الكلي: نظرة غير تقنية . كامبريدج: مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 11-46 . ISBN 978-0-262-01973-6.
جياناكوبولوس، جون (1987). "نموذج آرو-ديبرو للتوازن العام". قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد . المجلد 1. الصفحات 116-124 .
تاكاياما، أكيرا (1985). الاقتصاد الرياضي ( الطبعة الثانية). لندن: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 255-284 . ISBN 978-0-521-31498-5.
دوب، تيل (2012). "أرو وديبرو: تفكيك التجانس". مجلة تاريخ الفكر الاقتصادي . 34 (4): 491-514 . CiteSeerX 10.1.1.416.2120 . doi : 10.1017/s1053837212000491 . S2CID 15771197 .

روابط خارجية

ملاحظات حول نموذج آرو-ديبرو-ماكنزي للاقتصاد ، بقلم البروفيسور كيم سي. بوردر، معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا
النظرية الأساسية في التمويل ؛ الجزء الثاني . الأستاذ مارك روبنشتاين ، كلية هاس للأعمال

[:0-1] 1 2 آرو، كيه جيه؛ ديبرو، جي. (1954). "وجود توازن لاقتصاد تنافسي". إيكونومتريكا . 22 (3): 265-290 . doi : 10.2307/1907353 . JSTOR 1907353 .

[2] ماكنزي، ليونيل و. (1954). "حول التوازن في نموذج غراهام للتجارة العالمية وأنظمة المنافسة الأخرى". إيكونومتريكا . 22 (2): 147-161 . doi : 10.2307/1907539 . JSTOR 1907539 .

[3] ماكنزي، ليونيل و. (1959). "حول وجود التوازن العام لاقتصاد تنافسي". إيكونومتريكا . 27 (1): 54-71 . doi : 10.2307/1907777 . JSTOR 1907777 .

[4] للاطلاع على شرح البرهان، انظر: تاكاياما، أكيرا (1985). الاقتصاد الرياضي ( الطبعة الثانية). لندن: مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 265-274 . ISBN 978-0-521-31498-5.

[5] دوب، تيل؛ وينتروب، إي. روي (31-12-2014). إيجاد التوازن . برينستون: مطبعة جامعة برينستون. doi : 10.1515/9781400850129 . ISBN 978-1-4008-5012-9.

[:1-6] ستار، روس م. (2011). نظرية التوازن العام: مقدمة ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521533867.

[7] آرو، كيه جيه (1962). "محاضرات حول نظرية التوازن التنافسي". ملاحظات غير منشورة لمحاضرات ألقيت في جامعة نورث وسترن.

[8] تم وصف أسلوب السوق المقيد في (ستار 2011)، القسم 18.2. تم استخدام هذا الأسلوب في المنشور الأصلي بواسطة آرو وديبرو (1954).

[s69-9] 1 2 ستار، روس م. (1969)، "التوازنات شبهية في الأسواق ذات التفضيلات غير المحدبة (الملحق 2: نظرية شابلي-فولكمان، ص 35-37)"، Econometrica ، 37 (1): 25-38 ، CiteSeerX 10.1.1.297.8498 ، doi : 10.2307/1909201 ، JSTOR 1909201 .

[Starr08-10] ستار، روس م. (2008). "نظرية شابلي-فولكمان" . في: دورلاف، ستيفن ن.؛ بلوم، لورانس إي. (محرران). قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد . المجلد 4 ( الطبعة الثانية). بالغراف ماكميلان. الصفحات 317-318 . doi : 10.1057/9780230226203.1518 . ISBN 978-0-333-78676-5.

[11] أوزاوا، هيروفومي (1962). "نظرية وجود والراس ونظرية النقطة الثابتة لبروير " . 13 (1): 59-62 . دوى : 10.11398/اقتصاديات1950.13.1_59 .

[12] (ستار 2011)، القسم 18.4

[13] (ستار 2011)، الفصل 19

[14] ديبرو، جيرارد (1959-01-01). نظرية القيمة: تحليل بديهي للتوازن الاقتصادي . مطبعة جامعة ييل. ISBN 978-0-300-01559-1.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[:2-15] 1 2 آرو، كينيث ج. (2007). التحليل التنافسي العام . نورث هولاند. ISBN 978-0-444-85497-1. OCLC 817224321 .

[16] (ستار 2011) النظرية 22.2

[17] (ستار 2011)، النظرية 25.1

[18] ليونغكفيست، لارس؛ سارجنت، توماس ج. (2004). "8. التوازن مع الأسواق الكاملة" . نظرية الاقتصاد الكلي التكرارية ( الطبعة الثانية). مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ISBN 978-0-262-12274-0.

[19] لينغويلر، إيفان. الأسس الجزئية للاقتصاد المالي: مقدمة في تسعير الأصول في التوازن العام. مطبعة جامعة برينستون، 2009. ص 41.

[20] كوبلاند، توماس إي؛ ويستون ، ج. فريد؛ شاستري، كولديب (2004). النظرية المالية وسياسة الشركات ( الطبعة الرابعة). أديسون-ويسلي. ص 81. ISBN 0321127218.

[21] ريبوناتو، ريكاردو (8 يوليو 2005). التقلب والترابط: المحصّن المثالي والثعلب . جون وايلي وأولاده. ص 323 وما بعدها. ISBN 978-0-470-09140-1.

[22] ديمبستر؛ بليسكا؛ برونو دوبير (13 أكتوبر 1997). رياضيات الأوراق المالية المشتقة، الفصل "التسعير والتحوط باستخدام معامل الابتسامة" . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 103 وما بعدها. ISBN 978-0-521-58424-1.

[23] بريدن، دوغلاس ت.؛ ليتزنبرغر، روبرت هـ. (1978). "أسعار المطالبات المشروطة بالحالة الضمنية في أسعار الخيارات". مجلة الأعمال . 51 (4): 621-651 . doi : 10.1086/296025 . JSTOR 2352653 .

[24] ألميدا، كايو؛ فيسنتي، خوسيه (2008). "هل خيارات أسعار الفائدة مهمة لتقييم مخاطر أسعار الفائدة؟" (ملف PDF) . سلسلة أوراق العمل رقم 179، البنك المركزي البرازيلي .

[25] (ستار 2011) التمرين 20.15

[26] سكارف، هربرت (سبتمبر 1967). "تقريب النقاط الثابتة لتطبيق متصل" . مجلة SIAM للرياضيات التطبيقية . 15 (5): 1328-1343 . doi : 10.1137/0115116 . ISSN 0036-1399 .

[27] سكارف، هربرت إي. (2018)، "حساب التوازنات العامة" ، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد ، لندن: بالغراف ماكميلان المملكة المتحدة، ص 1973-1984 ، doi : 10.1057/978-1-349-95189-5_451 ، ISBN 978-1-349-95188-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 2023-01-06

[28] كوبلر، فيليكس (2012)، "حساب التوازنات العامة (تطورات جديدة)" ، قاموس بالغراف الجديد للاقتصاد، إصدار 2012 ، باسينغستوك: بالغراف ماكميلان، doi : 10.1057/9781137336583.0296 ، ISBN 9781137336583تم الاطلاع عليه بتاريخ 2023-01-06

[29] ديبرو، جيرار (يونيو 2000)، "ستيفن سميل والنظرية الاقتصادية للتوازن العام" ، الأوراق المجمعة لستيفن سميل ، دار النشر العالمية العلمية، الصفحات 243-258 ، doi : 10.1142/9789812792815_0025 ، ISBN 978-981-02-4991-5تم الاطلاع عليه بتاريخ 2023-01-06

[30] سميل، ستيف (1981-01-01)، الفصل 8: التحليل العالمي والاقتصاد ، دليل الاقتصاد الرياضي، المجلد 1، إلسيفير، الصفحات 331-370 ، doi : 10.1016/S1573-4382(81)01012-6 ، ISBN 978-0-444-86126-9تم الاطلاع عليه بتاريخ 2023-01-06

[31] ديبرو، جيرار (ديسمبر 1984). "النظرية الاقتصادية في النمط الرياضي" . المجلة الإسكندنافية للاقتصاد . 86 (4): 393-410 . doi : 10.2307/3439651 . ISSN 0347-0520 . JSTOR 3439651 .

[32] (ستار 2011) القسم 26.3

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 7 ] .

[

[ 9 ]

[

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

21 ] [

22 ] انظر

[

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗