رقم غراسمان

في الفيزياء الرياضية ، يُعرف عدد غراسمان ، نسبةً إلى هيرمان غراسمان (ويُسمى أيضًا العدد المضاد للتبادل أو العدد الفائق )، بأنه عنصر من عناصر الجبر الخارجي لفضاء متجهي عقدي. ^{[ 1 ]} وتُعرف الحالة الخاصة للجبر أحادي البعد بالعدد الثنائي . وقد استُخدمت أعداد غراسمان مبكرًا في الفيزياء للتعبير عن تمثيل التكامل المساري للحقول الفرميونية ، على الرغم من أنها تُستخدم الآن على نطاق واسع كأساس للفضاء الفائق ، الذي تُبنى عليه التناظر الفائق .

تُنتج أعداد غراسمان بواسطة عناصر أو كائنات مضادة للتبديل. يظهر مفهوم الكائنات المضادة للتبديل في مجالات متعددة من الرياضيات، ويُلاحظ عادةً في الهندسة التفاضلية ، حيث تكون الصيغ التفاضلية مضادة للتبديل. تُعرَّف الصيغ التفاضلية عادةً من خلال تأثيرها على الفضاء المماسي للمتشعب؛ ومع ذلك، يمكن تصور حالة يتم فيها تجاهل وجود أي متشعب أساسي، وتجاهل بنية معينة، والاكتفاء بتصور حالة توجد فيها كائنات مضادة للتبديل تُشكِّل فضاءً متجهيًا، دون أي خصائص أخرى مُحدَّدة أو مُفترضة مسبقًا. تُسمى هذه الكائنات، التي تُشكِّل جبرًا تحت خاصية التبديل المضاد، بجبر غراسمان أو الجبر الخارجي .

انطلاقًا من هذا الدافع المستوحى من الهندسة التفاضلية، وإدراكًا أن عدد غراسمان ليس سوى عنصر من عناصر هذا الجبر، فإن تسميته بـ"عدد" مبررة نظرًا لتشابه سلوكها مع الأعداد "العادية": إذ يمكن جمعها وضربها وحتى قسمتها عندما يكون لها جزء قياسي غير صفري، فهي تتصرف تقريبًا كحقل . ويمكن توسيع هذا المفهوم ليشمل كثيرات حدود أعداد غراسمان، مما يقود إلى فكرة الدوال التحليلية . ويمكن اشتقاق هذه الدوال، ثم دراسة الدوال الأصلية أيضًا. ويمكن تعريف كل فكرة من هذه الأفكار بدقة، وتتوافق بشكل معقول مع المفاهيم المكافئة لها في الرياضيات العادية. ولا يتوقف التشابه عند هذا الحد، فهناك فرع كامل من الرياضيات الفائقة ، حيث يُقابل الفضاء الفائق الفضاء الإقليدي ، والمتشعب المتشعب المتشعب الفائق ، وجبر لي الجبر الفائق ، وهكذا. أعداد غراسمان هي البنية الأساسية التي تجعل كل هذا ممكناً.

بالطبع، يمكن اتباع برنامج مماثل في أي مجال آخر، أو حتى في مجال الحلقات ، وهذا ما يُمارس على نطاق واسع في الرياضيات. مع ذلك، تكتسب الرياضيات الفائقة أهمية خاصة في الفيزياء، لأن سلوك التبادل المضاد فيها يُمكن ربطه ارتباطًا وثيقًا بالسلوك الكمومي للفيرميونات: فالتبادل المضاد هو مبدأ استبعاد باولي . لذا، فإن دراسة أعداد غراسمان، والرياضيات الفائقة عمومًا، مدفوعة بقوة بأهميتها في الفيزياء.

في نظرية الحقل الكمومي ، أو تحديدًا في التكميم الثاني ، تُستخدم مؤثرات السلم التي تُنشئ حالات كمومية متعددة الجسيمات. تُنشئ مؤثرات السلم للفيرميونات كمات حقلية يجب أن تمتلك بالضرورة دوال موجية مضادة للتناظر ، وذلك وفقًا لمبدأ استبعاد باولي. في هذه الحالة، يتوافق عدد غراسمان مباشرةً مع دالة موجية تحتوي على عدد من الفيرميونات (عادةً ما يكون غير محدد).

عندما يكون عدد الفرميونات ثابتًا ومحدودًا، تُعطى علاقة صريحة بين علاقات التبادل المضاد والسبينورات بواسطة زمرة السبين . يمكن تعريف هذه الزمرة على أنها مجموعة جزئية من المتجهات ذات الطول الواحد في جبر كليفورد ، وتتحلل بشكل طبيعي إلى سبينورات فايل ذات التبادل المضاد . ينشأ كل من التبادل المضاد والتعبير كسبينورات بشكل طبيعي لزمرة السبين. في جوهر الأمر، يمكن اعتبار أعداد غراسمان بمثابة تجاهل للعلاقات الناشئة عن السبين، مع الإبقاء فقط على العلاقات الناتجة عن التبادل المضاد.

أعداد غراسمان هي عناصر أو نقاط فردية في الجبر الخارجي الناتج عن مجموعة من n من متغيرات غراسمان أو اتجاهات غراسمان أو الشحنات الفائقة.${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$حيث يمكن أن تكون قيمة n لانهائية. يُعد استخدام مصطلح "متغيرات غراسمان" تاريخيًا؛ فهي ليست متغيرات بحد ذاتها ؛ بل يُفهم بشكل أفضل على أنها العناصر الأساسية لجبر أحادي . ينبع هذا المصطلح من حقيقة أن الاستخدام الأساسي لها هو تعريف التكاملات، وأن متغير التكامل ذو قيمة غراسمان، وبالتالي، يُطلق عليه، مجازًا، متغير غراسمان. وبالمثل، فإن مفهوم الاتجاه مستمد من مفهوم الفضاء الفائق ، حيث يتم توسيع الفضاء الإقليدي العادي بإضافة "اتجاهات" ذات قيمة غراسمان. أما تسمية الشحنة فتأتي من مفهوم الشحنات في الفيزياء ، والتي تُقابل مولدات التناظرات الفيزيائية (عبر نظرية نوثر ). التناظر المُدرك هو أن الضرب بمتغير غراسمان واحد يُبدّل${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$التدرج بين الفرميونات والبوزونات؛ سيتم مناقشة هذا بمزيد من التفصيل أدناه.

تُمثل متغيرات غراسمان متجهات الأساس لفضاء متجهي (ذي بُعد n ). وهي تُشكل جبرًا على حقل ، وعادةً ما يُختار هذا الحقل ليكون الأعداد المركبة ، مع إمكانية استخدام حقول أخرى، مثل الأعداد الحقيقية. هذا الجبر هو جبر أحادي ، ومولداته مضادة للتبديل.

${\displaystyle \theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}}$

منذ${\displaystyle \theta _{i}}$إذا كانت عناصر فضاء متجهي على الأعداد المركبة، فإنها، بحكم التعريف، تتبادل مع الأعداد المركبة. أي أنه بالنسبة لـ x المركب ، يكون لدينا

${\displaystyle \theta _{i}x=x\theta _{i}.}$

تختفي مربعات المولدات:

${\displaystyle (\theta _{i})^{2}=0,}$منذ${\displaystyle \theta _{i}\theta _{i}=-\theta _{i}\theta _{i}.}$

بمعنى آخر، متغير غراسمان هو جذر تربيعي غير صفري للصفر.

بصورة رسمية، ليكن V فضاءً متجهيًا معقدًا ذو n بُعدًا مع أساس${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$جبر غراسمان الذي تكون متغيرات غراسمان الخاصة به هي${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$يُعرَّف بأنه الجبر الخارجي لـ V ، أي

${\displaystyle \Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V=\bigoplus _{k=0}^{n}\Lambda ^{k}V,}$

أين${\displaystyle \wedge }$هو المنتج الخارجي ،${\displaystyle \Lambda ^{k}V\equiv \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{k}}$و${\displaystyle \oplus }$هو المجموع المباشر . تُسمى العناصر الفردية لهذا الجبر أعداد غراسمان . من المعتاد حذف رمز الوتد.${\displaystyle \wedge }$عند كتابة عدد غراسمان بعد تحديد تعريفه، يمكن كتابة عدد غراسمان العام على النحو التالي:

${\displaystyle z=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}=1}^{n}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

حيث${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$هي موترات معقدة ومتناظرة تمامًا من الرتبة k . مرة أخرى،${\displaystyle \theta _{i}}$و${\displaystyle \theta _{i}\wedge \theta _{j}=\theta _{i}\theta _{j}}$(رهناً بـ)${\displaystyle i<j}$ويمكن ملاحظة أن المنتجات المحدودة الأكبر تلعب هنا دور متجهات الأساس للفضاءات الفرعية لـ${\displaystyle \Lambda }$.

جبر غراسمان المُوَلَّد بواسطة n من متغيرات غراسمان المستقلة خطيًا له بُعد 2^ ⁿ ؛ وهذا ناتج عن نظرية ذات الحدين المطبقة على المجموع أعلاه، وحقيقة أن حاصل ضرب المتغيرات من الرتبة ( n + 1) يجب أن يتلاشى، وفقًا لعلاقات التبادل المضاد المذكورة أعلاه. بُعد${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$يُعطى بالصيغة n حيث k هو معامل ذات الحدين . تُسمى الحالة الخاصة n = 1 بالعدد الثنائي ، وقد قدمها ويليام كليفورد في عام 1873.

في حالة كون V لانهائي الأبعاد، فإن المتسلسلة المذكورة أعلاه لا تنتهي، ويتم تعريف

${\displaystyle \Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots .}$

العنصر العام هو الآن

${\displaystyle z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

أين${\displaystyle z_{B}}$ويُشار إليه أحيانًا باسم الجسم و${\displaystyle z_{S}}$باعتبارها روح العدد الفائق${\displaystyle z}$.

في الحالة ذات الأبعاد المحدودة (باستخدام المصطلحات نفسها)، تكون الروح عديمة القدرة ، أي

${\displaystyle z_{S}^{n+1}=0,}$

لكن هذا ليس بالضرورة صحيحًا في حالة الأبعاد اللانهائية. ^{[ 2 ]}

إذا كانت V ذات أبعاد محدودة، فإن

${\displaystyle \theta _{i}z=0,\quad 1\leq i\leq n\Rightarrow z=c\theta _{1}\theta _{2}\cdots \theta _{n},\quad c\in \mathbb {C} ,}$

وإذا كان V ذا أبعاد لا نهائية ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \theta _{a}z=0\quad \forall a\Rightarrow z=0.}$

يظهر نوعان متميزان من الأعداد الفائقة في الأدبيات العلمية: الأعداد ذات عدد محدود من المولدات، عادةً ما يكون n = 1 أو 2 أو 3 أو 4، والأعداد ذات عدد لا نهائي قابل للعد من المولدات. ولا يبدو هذان النوعان منفصلين تمامًا كما قد يظن البعض للوهلة الأولى. ففي تعريف الفضاء الفائق ، يستخدم أحد المتغيرات عددًا لا نهائيًا قابلًا للعد من المولدات، ولكنه يوظف بعد ذلك بنيةً تُقلل البُعد فعليًا إلى عدد محدود صغير. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

في الحالة الأخرى، قد يبدأ المرء بعدد محدود من المولدات، ولكن في سياق التكميم الثاني ، تنشأ الحاجة إلى عدد لا نهائي من المولدات: مولد واحد لكل زخم ممكن قد يحمله الفرميون.

عادةً ما تُختار الأعداد المركبة كحقل لتعريف أعداد غراسمان، بدلاً من الأعداد الحقيقية، لتجنب بعض السلوكيات غير المتوقعة عند إدخال المرافق أو الانعكاس . ومن الشائع إدخال عامل * على أعداد غراسمان بحيث:

${\displaystyle \theta =\theta ^{*}}$

متى${\displaystyle \theta }$هو مولد، بحيث

${\displaystyle (\theta _{i}\theta _{j}\cdots \theta _{k})^{*}=\theta _{k}\cdots \theta _{j}\theta _{i}}$

يمكن للمرء بعد ذلك النظر في أعداد غراسمان z التي${\displaystyle z=z^{*}}$ويطلقون على هؤلاء اسم (الحقيقيين) (الفائقين) ، بينما أولئك الذين يطيعون${\displaystyle z^{*}=-z}$تُسمى هذه الأعداد بالأعداد التخيلية (الفائقة) . وتظل هذه التعريفات سارية المفعول حتى لو استخدمت أعداد غراسمان الأعداد الحقيقية كحقل أساسي؛ ومع ذلك، في مثل هذه الحالة، تُجبر العديد من المعاملات على التلاشي إذا كان عدد المولدات أقل من 4. ولذلك، جرت العادة على تعريف أعداد غراسمان على الأعداد المركبة.

توجد اتفاقيات أخرى ممكنة؛ ويُشار أحيانًا إلى ما سبق باسم اتفاقية ديويت؛ ويستخدم روجرز${\displaystyle \theta ^{*}=i\theta }$بالنسبة للتحويل العكسي. في هذا الاصطلاح، تكون معاملات الأعداد الفائقة الحقيقية حقيقية دائمًا؛ بينما في اصطلاح ديويت، قد تكون معاملات الأعداد الفائقة الحقيقية حقيقية وتخيلية. مع ذلك، يُعدّ استخدام اصطلاح ديويت أسهل عادةً.

حاصل ضرب عدد فردي من متغيرات غراسمان يكون مضادًا للتبادل فيما بينها؛ ويُطلق على هذا الناتج غالبًا اسم عدد a . أما حاصل ضرب عدد زوجي من متغيرات غراسمان فيكون تبادليًا (مع جميع أعداد غراسمان)؛ ويُطلق عليه غالبًا اسم عدد c . وباستخدام مصطلحات غير دقيقة، يُطلق على عدد a أحيانًا اسم عدد c مضاد للتبادل . يوفر هذا التقسيم إلى فضاءات جزئية زوجية وفردية ما يلي:${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$التقييم على الجبر؛ وبالتالي فإن جبر غراسمان هو المثال النموذجي للجبر فائق التبادل . لاحظ أن الأعداد c تشكل جبرًا فرعيًا من${\displaystyle \Lambda }$، لكن الأرقام a لا تفعل ذلك (فهي فضاء جزئي، وليست جبرًا جزئيًا).

يُتيح تعريف أعداد غراسمان إجراء التحليل الرياضي ، قياسًا على التحليل على الأعداد المركبة. أي أنه يُمكن تعريف الدوال الفائقة التحليلية ، والمشتقات، بالإضافة إلى تعريف التكاملات. وقد تم شرح بعض المفاهيم الأساسية بمزيد من التفصيل في مقال الأعداد الثنائية .

كقاعدة عامة، يسهل عادةً تعريف النظائر فائقة التناظر للكيانات الرياضية العادية باستخدام أعداد غراسمان ذات عدد لا نهائي من المولدات: إذ تصبح معظم التعريفات مباشرة، ويمكن استخلاصها من التعريفات البوزونية المقابلة. على سبيل المثال، يمكن اعتبار عدد غراسمان واحد مولدًا لفضاء أحادي البعد. ثم يظهر فضاء متجهي، وهو الفضاء الفائق ذو البعد m ، كحاصل ضرب ديكارتي من الرتبة m لهذه الفضاءات أحادية البعد.${\displaystyle \Lambda .}$يمكن إثبات أن هذا يكافئ أساسًا جبرًا يحتوي على m مولدات، لكن هذا يتطلب جهدًا. ^{[ 6 ]}

تُعرف التكاملات على أعداد غراسمان باسم تكاملات بيريزين (وتُسمى أحيانًا تكاملات غراسمان). ولإعادة إنتاج تكامل المسار لحقل فيرمي، يجب أن يتمتع تعريف تكامل غراسمان بالخصائص التالية:

• الخطية$${\displaystyle \int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta }$$
• صيغة التكامل الجزئي$${\displaystyle \int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0.}$$

علاوة على ذلك، فإن متسلسلة تايلور لأي دالة${\displaystyle f(\theta )=A+B\theta }$تنتهي ولايتها بعد فترتين دراسيتين لأن${\displaystyle \theta ^{2}=0}$وتتطلب نظرية الحقل الكمومي أيضًا الثبات تحت إزاحة متغيرات التكامل${\displaystyle \theta \to \theta +\eta }$بحيث

${\displaystyle \int d\theta f(\theta )=\int d\theta (A+B\theta )\equiv \int d\theta ((A+B\eta )+B\theta ).}$

الدالة الخطية الوحيدة التي تحقق هذا الشرط هي ثابت (عادةً 1) مضروب في B ، لذلك حدد بيريزين ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \int d\theta (A+B\theta )\equiv B.}$

ينتج عن ذلك القواعد التالية لتكامل كمية غراسمان:

• ${\displaystyle \int \,1\,d\theta =0}$
• ${\displaystyle \int \,\theta \,d\theta =1.}$

وبالتالي نستنتج أن عمليات التكامل والتفاضل لعدد غراسمان متطابقة.

في صياغة التكامل المساري لنظرية الحقل الكمومي ، يلزم التكامل الغاوسي التالي لكميات غراسمان للحقول المضادة للتبادل الفرميونية، حيث A عبارة عن مصفوفة N × N :  

${\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{\rm {T}}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A}$.

يمكن تمثيل أعداد غراسمان بالمصفوفات . لنأخذ على سبيل المثال جبر غراسمان الناتج عن عددين من أعداد غراسمان.${\displaystyle \theta _{1}}$و${\displaystyle \theta _{2}}$يمكن تمثيل أعداد غراسمان هذه بواسطة مصفوفات 4 × 4:

${\displaystyle \theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

بشكل عام، يمكن تمثيل جبر غراسمان على n مولدًا بمصفوفات مربعة من ^{الرتبة 2n} × 2n . فيزيائيًا، يمكن اعتبار هذه المصفوفات مؤثرات رفع تعمل على فضاء هيلبرت لـ n فرميونات متطابقة في أساس عدد الشغل. بما أن عدد الشغل لكل فرميون هو 0 أو 1، فهناك 2n ^حالة أساسية ممكنة. رياضيًا، يمكن تفسير هذه المصفوفات على أنها المؤثرات الخطية المقابلة للضرب الخارجي الأيسر على جبر غراسمان نفسه.

توجد بعض التعميمات لأعداد غراسمان. وتتطلب هذه التعميمات قواعد بدلالة N متغيرًا بحيث:

${\displaystyle \theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{N}}+\theta _{i_{N}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots +\cdots =0}$

حيث يتم جمع المؤشرات على جميع التباديل بحيث يكون الناتج:

${\displaystyle (\theta _{i})^{N}=0\,}$

لبعض قيم N  >  2. تُفيد هذه الدوال في حساب المحددات الفائقة لموترات N حيث N  >  2، وكذلك في حساب مميزات كثيرات الحدود لقوى أكبر من  2. وهناك أيضًا حالة حدية عندما تؤول N إلى اللانهاية، حيث يمكن تعريف دوال تحليلية على الأعداد. على سبيل المثال، في حالة N  =  3، يمكن تمثيل عدد غراسمان واحد بالمصفوفة:

${\displaystyle \theta ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad }$

لهذا السبب.${\displaystyle \theta ^{3}=0}$بالنسبة لعددين من أعداد غراسمان، ستكون المصفوفة بحجم 10×10.

على سبيل المثال، تنص قواعد N  =  3 مع متغيرين من متغيرات غراسمان على ما يلي:

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}+\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}+(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=0}$

حتى يمكن إثبات ذلك

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=(\theta _{2})^{2}\theta _{1}}$

وهكذا

${\displaystyle (\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}=(\theta _{2})^{2}(\theta _{1})^{2}=\theta _{1}(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=\theta _{2}(\theta _{1})^{2}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1},}$

وهذا يعطي تعريفًا للمحدد الفائق لموتر 2×2×2 على النحو التالي:

${\displaystyle (A^{abc}\theta _{a}\eta _{b}\psi _{c})^{4}=\det(A)(\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}(\eta _{1})^{2}(\eta _{2})^{2}(\psi _{1})^{2}(\psi _{2})^{2}.}$

• غراسمانيان
• هيرمان غراسمان (لغوي ورياضي)
• الفضاء الفائق
• الجبر الخارجي

• ديويت، ب. (1984). الفضاءات الفائقة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-42377-5.
• بيسكين، مايكل إي.؛ شرودر، دانيال في. (1995). مقدمة في نظرية الحقل الكمومي (الطبعة الخامسة المصححة  ). ريدينغ، ماساتشوستس: أديسون-ويسلي. ISBN 9780201503975.
• روغرز، أليس (2007أ). الفضاءات الفائقة: النظرية والتطبيقات (ملف PDF) . دار النشر العالمية. الفصل 1. doi : 10.1142/1878 . ISBN 978-981-3203-21-1.
• روغرز، أليس (2007). الفضاءات الفائقة: النظرية والتطبيقات . دار النشر العالمية. رقم ISBN 978-981-3203-21-1.