موتر إجهاد كوشي

في ميكانيكا الأوساط المتصلة ، يُعرف موتر إجهاد كوشي (رمزه ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$يُعرف موتر الإجهاد من الدرجة الثانية ( المسمى نسبةً إلى أوغستين لويس كوشي )، والذي يُطلق عليه أيضًا اسم موتر الإجهاد الحقيقي ^{[ 1 ]} أو ببساطة موتر الإجهاد ، بأنه يحدد بشكل كامل حالة الإجهاد عند نقطة داخل مادة ما في حالة التشوه أو الموضع أو التكوين. ويتكون موتر الإجهاد من الدرجة الثانيةمن تسعة مكونات${\displaystyle \sigma _{ij}}$ويربط متجه اتجاه طوله وحدة واحدة e بمتجه الجر T ^{( e )} عبر سطح عمودي على e :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} )}=\mathbf {e} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(\mathbf {e} )}=\sum _{i}\sigma _{ij}e_{i}.}$^{[ أ ]}

وحدة النظام الدولي للوحدات لكل من موتر الإجهاد ومتجه الجر هي نيوتن لكل متر مربع (N/m² ⁾ أو باسكال (Pa)، وهو ما يتوافق مع كمية الإجهاد القياسية. أما متجه الوحدة فهو بلا أبعاد .

يخضع موتر إجهاد كوشي لقانون تحويل الموترات عند تغيير نظام الإحداثيات. ويُظهر الشكل البياني دائرة مور للإجهاد، وهي تمثيل بياني لتحويلات الإحداثيات ثنائية الأبعاد.

يُستخدم موتر كوشي للإجهاد في تحليل الإجهاد للأجسام المادية التي تتعرض لتشوهات صغيرة ، وهو مفهوم أساسي في نظرية المرونة الخطية . أما بالنسبة للتشوهات الكبيرة، والتي تُسمى أيضًا بالتشوهات المحدودة ، فتُستخدم مقاييس أخرى للإجهاد، مثل موتر بيولا-كيرشوف للإجهاد ، وموتر بيوت للإجهاد ، وموتر كيرشوف للإجهاد .

وفقًا لمبدأ حفظ الزخم الخطي ، إذا كان الجسم المتصل في حالة اتزان سكوني، يمكن إثبات أن مركبات موتر إجهاد كوشي عند كل نقطة مادية في الجسم تحقق معادلات الاتزان ( معادلات كوشي للحركة عند تسارع صفري). في الوقت نفسه، ووفقًا لمبدأ حفظ الزخم الزاوي ، يتطلب الاتزان أن يكون مجموع العزوم بالنسبة لأي نقطة مساويًا للصفر، مما يؤدي إلى استنتاج أن موتر الإجهاد متناظر ، وبالتالي يحتوي على ست مركبات إجهاد مستقلة فقط، بدلًا من التسع الأصلية. مع ذلك، في وجود إجهادات مزدوجة، أي عزوم لكل وحدة حجم، يكون موتر الإجهاد غير متناظر. وينطبق هذا أيضًا عندما يكون عدد كنودسن قريبًا من واحد .${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$أو أن الوسط المتصل هو سائل غير نيوتوني ، مما قد يؤدي إلى سوائل غير ثابتة دورانيًا، مثل البوليمرات .

توجد ثوابت معينة مرتبطة بموتر الإجهاد، لا تعتمد قيمها على نظام الإحداثيات المُختار، أو عنصر المساحة الذي يعمل عليه موتر الإجهاد. هذه الثوابت هي القيم الذاتية الثلاث لموتر الإجهاد، والتي تُسمى الإجهادات الرئيسية .

ينص مبدأ أويلر-كوشي للإجهاد على أنه على أي سطح يقسم الجسم، يكون تأثير جزء من الجسم على الجزء الآخر مكافئًا (متساوي القطبية) لنظام القوى والعزوم الموزعة على السطح الذي يقسم الجسم ، ^{[ 2 ]} ويتم تمثيله بواسطة حقل .${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$، ويسمى متجه الجر ، معرف على السطح${\displaystyle S}$ويفترض أن يعتمد بشكل مستمر على متجه الوحدة العمودي على السطح .${\displaystyle \mathbf {n} }$[ ^{3 ] [ 4 ] : ​​ص 66-96}​

لصياغة مبدأ إجهاد أويلر-كوشي، ضع في اعتبارك سطحًا${\displaystyle S}$المرور عبر نقطة مادية داخلية${\displaystyle P}$بتقسيم الجسم المتصل إلى جزأين، كما هو موضح في الشكل 2.1أ أو 2.1ب (يمكن استخدام إما مخطط مستوى القطع أو المخطط الذي يحتوي على الحجم العشوائي داخل الجسم المتصل المحاط بالسطح ).${\displaystyle S}$) .

وفقًا للديناميكا الكلاسيكية لنيوتن وأويلر ، فإن حركة الجسم المادي تنتج عن تأثير القوى الخارجية المطبقة والتي يُفترض أنها من نوعين: قوى سطحية${\displaystyle \mathbf {F} }$وقوى الجسم​${\displaystyle \mathbf {b} }$^{[ 5 ]} وبالتالي ،فإن القوة الكلية${\displaystyle {\mathcal {F}}}$يمكن التعبير عن تطبيقها على جسم أو على جزء من الجسم على النحو التالي:

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {b} +\mathbf {F} }$

ستتم مناقشة قوى السطح فقط في هذه المقالة لأنها ذات صلة بموتر إجهاد كوشي.

عندما يتعرض الجسم لقوى سطحية خارجية أو قوى تلامس${\displaystyle \mathbf {F} }$وباتباع معادلات أويلر للحركة ،تنتقل قوى وعزوم التلامس الداخلية من نقطة إلى أخرى في الجسم، ومن جزء إلى آخر عبر السطح الفاصل .${\displaystyle S}$، نتيجةً للتلامس الميكانيكي بين جزء من الوسط المتصل والجزء الآخر (الشكل 2.1أ و2.1ب). على عنصر مساحة${\displaystyle \Delta S}$يحتوي على${\displaystyle P}$، مع متجه عمودي${\displaystyle \mathbf {n} }$، توزيع القوة مكافئ لقوة التلامس${\displaystyle \Delta \mathbf {F} }$بذل جهد عند النقطة${\displaystyle P}$وعزم السطح${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$وعلى وجه الخصوص، تُعطى قوة التلامس بالعلاقة التالية

${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\Delta S,}$

أين${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$هو متوسط ​​قوة الاحتكاك السطحي .

ينص مبدأ كوشي للإجهاد ^{[ 6 ] : 47-102} على أنه كما${\displaystyle \Delta S}$يميل إلى جعل النسبة صفرًا${\displaystyle \Delta \mathbf {F} /\Delta S}$يصبح${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$ومتجه إجهاد الزوج${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$يتلاشى. في مجالات محددة من ميكانيكا الأوساط المتصلة، يُفترض أن إجهاد الازدواج لا يتلاشى؛ ومع ذلك، فإن الفروع الكلاسيكية لميكانيكا الأوساط المتصلة تتناول المواد غير القطبية التي لا تأخذ في الاعتبار إجهادات الازدواج وعزوم الجسم.

المتجه الناتج${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$يُعرَّف بأنه قوة الشد السطحية ، ^{[ 7 ]} ويُسمى أيضًا متجه الإجهاد ، ^{[ 8 ]} أو قوة الشد ، ^{[ 4 ]} أو متجه قوة الشد . ^{[ 6 ]} ويُعطى بواسطة${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}\mathbf {e} _{i}}$عند النقطة${\displaystyle P}$مرتبط بمستوى ذي متجه عمودي${\displaystyle \mathbf {n} }$⁠ :

${\displaystyle T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta S}}={dF_{i} \over dS}.}$

هذه المعادلة تعني أن متجه الإجهاد يعتمد على موقعه في الجسم وعلى اتجاه المستوى الذي يؤثر عليه.

وهذا يعني أن عمل التوازن لقوى التلامس الداخلية يولد كثافة قوة التلامس أو مجال جر كوشي ^{[ 5 ]}${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$يمثل ذلك توزيع قوى التلامس الداخلية في جميع أنحاء حجم الجسم في تكوين معين للجسم في وقت معين .${\displaystyle t}$. إنه ليس حقلاً متجهياً لأنه لا يعتمد فقط على الموضع${\displaystyle \mathbf {x} }$ليس فقط فيما يتعلق بنقطة مادية معينة، بل أيضاً فيما يتعلق بالاتجاه المحلي لعنصر السطح كما هو محدد بواسطة متجهه العمودي .${\displaystyle \mathbf {n} }$[ ⁹ ]^​​

اعتمادًا على اتجاه المستوى قيد الدراسة، قد لا يكون متجه الإجهاد بالضرورة عموديًا على ذلك المستوى، أي موازيًا له .${\displaystyle \mathbf {n} }$ويمكن تحليلها إلى مكونين (الشكل 2.1 ج):

• أحد الأعمدة على المستوى، ويسمى الإجهاد العمودي

  ${\displaystyle \mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS}},}$

أين${\displaystyle dF_{\mathrm {n} }}$هو المكون العمودي للقوة${\displaystyle d\mathbf {F} }$إلى المنطقة التفاضلية${\displaystyle dS}$

• والآخر موازٍ لهذا المستوى، ويسمى إجهاد القص

  ${\displaystyle \mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {s} }}{dS}},}$

أين${\displaystyle dF_{\mathrm {s} }}$هو المكون المماسي للقوة${\displaystyle d\mathbf {F} }$إلى مساحة السطح التفاضلية ⁠${\displaystyle dS}$⁠ . يمكن تحليل إجهاد القص بشكل أكبر إلى متجهين متعامدين.

تُعرَّف حالة الإجهاد عند نقطة ما في الجسم بجميع متجهات الإجهاد T ^{( n )} المرتبطة بجميع المستويات (عددها لا نهائي) التي تمر بتلك النقطة. ^{[ 13 ]} ومع ذلك، وفقًا لنظرية كوشي الأساسية ، ^{[ 11 ]} والتي تُسمى أيضًا نظرية كوشي للإجهاد ، ^{[ 1 ]} فبمعرفة متجهات الإجهاد على ثلاثة مستويات متعامدة، يمكن إيجاد متجه الإجهاد على أي مستوى آخر يمر بتلك النقطة من خلال معادلات تحويل الإحداثيات.

تنص نظرية كوشي للإجهاد على أنه يوجد حقل موتر من الدرجة الثانية σ ( x , t )، يسمى موتر إجهاد كوشي، مستقل عن n ، بحيث يكون T دالة خطية لـ n :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

تشير هذه المعادلة إلى أن متجه الإجهاد T ^{( n )} عند أي نقطة P في وسط متصل مرتبط بمستوى ذي متجه وحدة عمودي n يمكن التعبير عنه كدالة لمتجهات الإجهاد على المستويات العمودية على محاور الإحداثيات، أي بدلالة المكونات σ _ij لموتر الإجهاد σ .

لإثبات هذه المعادلة، لنفترض وجود رباعي أوجه بثلاثة أوجه موجهة في مستويات الإحداثيات، ومساحة متناهية الصغر dA موجهة في اتجاه عشوائي محدد بواسطة متجه الوحدة العمودي n (الشكل 2.2). يتكون رباعي الأوجه من خلال تقطيع العنصر المتناهي الصغر على طول مستوى عشوائي ذي متجه وحدة عمودي n . يُرمز لمتجه الإجهاد على هذا المستوى بـ T ^{( n )} . أما متجهات الإجهاد المؤثرة على أوجه رباعي الأوجه فتُرمز لها بـ T ^{( e1 )} و T ^{( e2 )} و T ^{( _e3 ) ، وهي} _{، بحسب التعريف، مركبات موتر الإجهاد σij ^.} يُسمى هذا الرباعي أحيانًا رباعي أوجه كوشي . ويعطي توازن القوى، أي قانون أويلر الأول للحركة (قانون نيوتن الثاني للحركة)، ما ^{يلي _:}

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}dA\right)\mathbf {a} ,}$

حيث يمثل الطرف الأيمن حاصل ضرب الكتلة المحصورة داخل رباعي الأوجه في تسارعه: ρ هي الكثافة، و a هو التسارع، و h هو ارتفاع رباعي الأوجه، مع اعتبار المستوى n قاعدةً له. ويمكن إيجاد مساحة أوجه رباعي الأوجه العمودية على محاوره بإسقاط dA على كل وجه (باستخدام الضرب القياسي).

${\displaystyle dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,}$

ثم بالتعويض في المعادلة لإلغاء d A :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}\right)\mathbf {a} .}$

للنظر في الحالة الحدية عندما يتقلص رباعي الأوجه إلى نقطة، يجب أن تؤول قيمة h إلى الصفر (بشكل بديهي، يتم نقل المستوى n على طول n باتجاه O ). ونتيجة لذلك، يقترب الطرف الأيمن من المعادلة من الصفر، لذا

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}.}$

^{_{بافتراض وجود}} عنصر مادي (انظر الشكل أعلى الصفحة) ذي مستويات عمودية على محاور إحداثيات نظام إحداثيات ديكارتية، يمكن تحليل متجهات الإجهاد المرتبطة بكل مستوى من مستويات العنصر، ^_أي T ( ^{e1 ) و} T ( ^{e2 ) و} T ( ^{e3 ₎ ، إلى} مركبة عمودية ومركبتين قصيتين، أي مركبات في اتجاه محاور الإحداثيات الثلاثة. في حالة السطح ذي متجه الوحدة العمودي الموجه في اتجاه _المحور x1 _، نرمز إلى الإجهاد العمودي بـ σ11 _، وإلى إجهادي القص بـ σ12 و _σ13 .

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3},}$

في تدوين الفهرس، هذا هو

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j}=\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}.}$

المكونات التسعة σ _ij لمتجهات الإجهاد هي مكونات موتر ديكارتي من الدرجة الثانية يسمى موتر إجهاد كوشي ، والذي يمكن استخدامه لتحديد حالة الإجهاد عند نقطة ما بشكل كامل، ويُعطى بواسطة

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right],}$

حيث _تمثل σ₁₁ _و σ₂₂ و _σ₃₃ الإجهادات العمودية، بينما _تمثل σ₁₂ و σ₁₃ و σ₂₁ و σ₂₃ و σ₃₁ و _σ₃₂ إجهادات القص _. يشير الدليل _الأول i إلى أن الإجهاد يؤثر على مستوى عمودي على المحور Xᵢ ، _بينما يشير الدليل الثاني j إلى اتجاه تأثير الإجهاد (على سبيل المثال، _{σ₁₂ تعني} أن الإجهاد يؤثر على المستوى العمودي على المحور الأول Xᵢ _، ويؤثر على طول المحور الثاني _Xᵢ ) _. يكون مُركِّب الإجهاد موجبًا إذا كان يؤثر في الاتجاه الموجب لمحاور الإحداثيات، وإذا كان للمستوى الذي يؤثر عليه متجه عمودي خارجي يشير إلى اتجاه الإحداثيات الموجب.

وبالتالي، باستخدام مكونات موتر الإجهاد

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\&=\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}\\&=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}\right)n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

أو، على نحو مماثل،

${\displaystyle T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

أو بدلاً من ذلك، لدينا في شكل مصفوفة

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf {n} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].}$

يستفيد تمثيل موتر إجهاد كوشي باستخدام تدوين فويغت من تناظر موتر الإجهاد للتعبير عن الإجهاد كمتجه سداسي الأبعاد على الشكل التالي:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{13}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}.}$

تُستخدم رموز فويغت على نطاق واسع في تمثيل علاقات الإجهاد والانفعال في ميكانيكا المواد الصلبة ولتحقيق الكفاءة الحسابية في برامج الميكانيكا الهيكلية العددية .

قاعدة تحويل موتر الإجهاد

يمكن إثبات أن موتر الإجهاد هو موتر متغاير _من الرتبة الثانية، وهو ما يصف كيفية تحوله عند تغيير نظام الإحداثيات. من _نظام xᵢ إلى نظام xᵢ _' ، تتحول المركبات σᵢⱼ في النظام الأولي إلى المركبات σᵢⱼ _' في النظام الجديد وفقًا لقاعدة تحويل الموتر (الشكل 2.4).

${\displaystyle \sigma '_{ij}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{or}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{\textsf {T}},}$

حيث A هي مصفوفة دوران بمكونات a _ij . في شكل المصفوفة، يكون هذا

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma '_{11}&\sigma '_{12}&\sigma '_{13}\\\sigma '_{21}&\sigma '_{22}&\sigma '_{23}\\\sigma '_{31}&\sigma '_{32}&\sigma '_{33}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matrix}}\right].}$

بتوسيع عملية المصفوفة ، وتبسيط الحدود باستخدام تناظر موتر الإجهاد ، نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}'={}&a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23},\\\sigma _{22}'={}&a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23},\\\sigma _{33}'={}&a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23},\\\sigma _{12}'={}&a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13}a_{23}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23}+a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\\\sigma _{23}'={}&a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33}+a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\\\sigma _{13}'={}&a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}.\end{aligned}}}$

دائرة مور للإجهاد هي تمثيل بياني لهذا التحول في الإجهادات.

يوجد في كل نقطة من الجسم المعرض للإجهاد ثلاثة مستويات على الأقل، تسمى المستويات الرئيسية ، ذات متجهات عمودية .${\displaystyle \mathbf {n} }$وتسمى هذه الاتجاهات بالاتجاهات الرئيسية ، حيث يكون متجه الإجهاد المقابل عموديًا على المستوى، أي موازيًا أو في نفس اتجاه المتجه العمودي .${\displaystyle \mathbf {n} }$وحيث لا توجد إجهادات قص عادية${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$. تسمى الإجهادات الثلاثة العمودية على هذه المستويات الرئيسية بالإجهادات الرئيسية .

المكونات${\displaystyle \sigma _{ij}}$تعتمد خصائص موتر الإجهاد على اتجاه نظام الإحداثيات عند النقطة قيد الدراسة. مع ذلك، يُعدّ موتر الإجهاد نفسه كمية فيزيائية ، وبالتالي فهو مستقل عن نظام الإحداثيات المُختار لتمثيله. توجد ثوابت معينة مرتبطة بكل موتر، وهي أيضًا مستقلة عن نظام الإحداثيات. على سبيل المثال، المتجه هو موتر بسيط من الرتبة الأولى. في ثلاثة أبعاد، له ثلاثة مركبات. تعتمد قيمة هذه المركبات على نظام الإحداثيات المُختار لتمثيل المتجه، لكن مقدار المتجه هو كمية فيزيائية (كمية قياسية) وهو مستقل عن نظام الإحداثيات الديكارتية المُختار لتمثيل المتجه (طالما أنه عمودي ). وبالمثل، فإن كل موتر من الرتبة الثانية (مثل موترات الإجهاد والانفعال) له ثلاث كميات ثابتة مستقلة مرتبطة به. إحدى مجموعات هذه الثوابت هي الإجهادات الرئيسية لموتر الإجهاد، وهي ببساطة القيم الذاتية لموتر الإجهاد. متجهات اتجاهها هي الاتجاهات الرئيسية أو المتجهات الذاتية .

متجه إجهاد موازٍ لمتجه الوحدة العمودي${\displaystyle \mathbf {n} }$يُعطى بواسطة:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }\mathbf {n} ,}$

أين${\displaystyle \lambda }$هو ثابت تناسب، وفي هذه الحالة بالذات يتوافق مع المقادير${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$من متجهات الإجهاد العمودي أو الإجهادات الرئيسية.

مع العلم أن${\displaystyle T_{i}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{j}}$و​${\displaystyle {1}}$لدينا​

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{i}^{(n)}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}-\lambda n_{i}&=0\\\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}&=0\\\end{aligned}}}$

هذا نظام متجانس ، أي يساوي صفرًا، من ثلاث معادلات خطية حيث${\displaystyle n_{j}}$هي المجاهيل. للحصول على حل غير تافه (غير صفري) لـ${\displaystyle n_{j}}$، يجب أن يكون محدد المصفوفة للمعاملات مساوياً للصفر، أي أن النظام منفرد. وبالتالي،

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\lambda \\\end{vmatrix}}=0}$

يؤدي توسيع المحدد إلى المعادلة المميزة

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0}$

أين

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}={\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\\[4pt]I_{2}&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\right)={\frac {1}{2}}\left[\left({\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\right)^{2}-{\text{tr}}\left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\right]\\[4pt]I_{3}&=\det(\sigma _{ij})=\det({\boldsymbol {\sigma }})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{31}^{2}\sigma _{22}\\\end{aligned}}}$

للمعادلة المميزة ثلاثة جذور حقيقية${\displaystyle \lambda _{i}}$(أي مع وجود جزء تخيلي صفري ) بسبب تناظر موتر الإجهاد. ${\displaystyle \sigma _{1}=\max \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$،${\displaystyle \sigma _{3}=\min \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$و​${\displaystyle \sigma _{2}=I_{1}-\sigma _{1}-\sigma _{3}}$تمثل هذه القيم الإجهادات الرئيسية، وهي دوال للقيم الذاتية .${\displaystyle \lambda _{i}}$القيم الذاتية هي جذور متعددة الحدود المميزة . الإجهادات الرئيسية فريدة لموتر إجهاد معين. لذلك، من المعادلة المميزة، تكون المعاملات${\displaystyle I_{1}}$،${\displaystyle I_{2}}$و${\displaystyle I_{3}}$، والتي تسمى على التوالي ثوابت الإجهاد الأول والثاني والثالث ، لها دائمًا نفس القيمة بغض النظر عن اتجاه نظام الإحداثيات.

لكل قيمة ذاتية، يوجد حل غير تافه لـ${\displaystyle n_{j}}$في المعادلة${\displaystyle \left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0}$تمثل هذه الحلول الاتجاهات الرئيسية أو المتجهات الذاتية التي تحدد المستوى الذي تؤثر فيه الإجهادات الرئيسية. وتُحدد الإجهادات الرئيسية والاتجاهات الرئيسية الإجهاد عند نقطة ما، وهي مستقلة عن اتجاهها.

يشير نظام الإحداثيات ذو المحاور الموجهة إلى الاتجاهات الرئيسية إلى أن الإجهادات العمودية هي الإجهادات الرئيسية، ويتم تمثيل موتر الإجهاد بواسطة مصفوفة قطرية:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

يمكن دمج الإجهادات الرئيسية لتشكيل ثوابت الإجهاد ،${\displaystyle I_{1}}$،​​${\displaystyle I_{2}}$و​​${\displaystyle I_{3}}$. الثابت الأول والثالث هما أثر ومحدد موتر الإجهاد على التوالي. وبالتالي،

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\end{aligned}}}$

نظرًا لبساطته، يُعد نظام الإحداثيات الرئيسي مفيدًا غالبًا عند دراسة حالة الوسط المرن عند نقطة معينة. تُعبّر الإجهادات الرئيسية عادةً بالمعادلة التالية لتقييم الإجهادات في الاتجاهين x و y، أو الإجهادات المحورية وإجهادات الانحناء على جزء ما. ^{[ 14 ] : ص 58-59.} يمكن بعد ذلك استخدام الإجهادات العمودية الرئيسية لحساب إجهاد فون ميزس ، ومن ثمّ معامل الأمان وهامش الأمان.

${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}.}$

باستخدام الجزء من المعادلة الموجود تحت الجذر التربيعي فقط ، نحصل على أقصى وأدنى إجهاد قص للقيم الموجبة والسالبة. ويُوضح ذلك كما يلي:

${\displaystyle \tau _{\max },\tau _{\min }=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}.}$

يساوي أقصى إجهاد قص أو أقصى إجهاد قص رئيسي نصف الفرق بين أكبر وأصغر إجهاد رئيسي، ويؤثر على المستوى الذي ينصف الزاوية بين اتجاهي أكبر وأصغر إجهاد رئيسي، أي أن مستوى أقصى إجهاد قص موجه${\displaystyle 45^{\circ }}$من مستويات الإجهاد الرئيسية. يُعبر عن أقصى إجهاد قص على النحو التالي:

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right|.}$

بافتراض${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$ثم

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|}$

عندما يكون موتر الإجهاد غير صفري، فإن مركبة الإجهاد العمودي المؤثرة على المستوى لأقصى إجهاد قص تكون غير صفرية وتساوي

${\displaystyle \sigma _{\text{n}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right).}$

اشتقاق قيم إجهادات القص القصوى والدنيا [ 8 ] : ص 45-78 [ 11 ] : ص 1-46 [ 13 ] [ 15 ] : ص 111-157 [ 16 ] : ص 9-41 [ 17 ] : ص 33-66 [ 18 ] : ص 43-61

يمكن كتابة الإجهاد العمودي بدلالة الإجهادات الرئيسية.${\displaystyle (\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3})}$مثل ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {n} }&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\\\end{aligned}}}$ مع العلم أن${\displaystyle \left(T^{(n)}\right)^{2}=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}}$، يُعبّر عن إجهاد القص بدلالة مركبات الإجهادات الرئيسية على النحو التالي ${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{n}}^{2}&=\left(T^{(n)}\right)^{2}-\sigma _{\text{n}}^{2}\\&=\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}n_{3}^{2}-\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)^{2}\\&=\left(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2}\right)n_{1}^{2}+\left(\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}^{2}\right)n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-\left[\left(\sigma _{1}-\sigma _{3}\right)n_{1}^{2}+\left(\sigma _{2}-\sigma _{3}\right)n_{2}^{2}+\sigma _{3}\right]^{2}\\&=(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}n_{1}^{2}n_{2}^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}n_{2}^{2}n_{3}^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}n_{1}^{2}n_{3}^{2}\\\end{aligned}}}$ يتم تحديد أقصى إجهاد قص عند نقطة في جسم متصل عن طريق تعظيم${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }^{2}}$بشرط أن ${\displaystyle n_{i}n_{i}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1.}$ هذه مسألة تعظيم مقيدة، يمكن حلها باستخدام تقنية مضاعف لاغرانج لتحويل المسألة إلى مسألة تحسين غير مقيدة. وبالتالي، فإن القيم الثابتة (القيم القصوى والدنيا) لـ${\displaystyle \tau _{\text{n}}^{2}}$يحدث ذلك حيث يكون تدرج${\displaystyle \tau _{\text{n}}^{2}}$موازٍ لميل ⁠${\displaystyle F}$⁠ . يمكن كتابة دالة لاغرانج لهذه المسألة على النحو التالي: ${\displaystyle {\begin{aligned}F\left(n_{1},n_{2},n_{3},\lambda \right)&=\tau ^{2}+\lambda \left(g\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)-1\right)\\&=\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}n_{3}^{2}-\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)^{2}+\lambda \left(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}-1\right)\\\end{aligned}}}$ أين${\displaystyle \lambda }$هو مُضاعِف لاغرانج (وهو يختلف عن${\displaystyle \lambda }$(يستخدم للدلالة على القيم الذاتية). القيم القصوى لهذه الدوال هي ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=0\qquad {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=0\qquad {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=0}$ ومن ثم ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=n_{1}\sigma _{1}^{2}-2n_{1}\sigma _{1}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\lambda n_{1}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=n_{2}\sigma _{2}^{2}-2n_{2}\sigma _{2}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\lambda n_{2}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=n_{3}\sigma _{3}^{2}-2n_{3}\sigma _{3}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\lambda n_{3}=0}$ هذه المعادلات الثلاث بالإضافة إلى الشرط${\displaystyle n_{i}n_{i}=1}$قد يتم حلها لـ${\displaystyle \lambda }$،​​${\displaystyle n_{1}}$،​​${\displaystyle n_{2}}$و​​${\displaystyle n_{3}}$⁠ . بضرب المعادلات الثلاث الأولى في${\displaystyle n_{1}}$،​​${\displaystyle n_{2}}$و​​${\displaystyle n_{3}}$، على التوالي، ومع العلم أن${\displaystyle \sigma _{\text{n}}=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}}$نحصل على ${\displaystyle n_{1}^{2}\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{1}n_{1}^{2}\sigma _{\text{n}}+n_{1}^{2}\lambda =0}$ ${\displaystyle n_{2}^{2}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{2}n_{2}^{2}\sigma _{\text{n}}+n_{2}^{2}\lambda =0}$ ${\displaystyle n_{3}^{2}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{1}n_{3}^{2}\sigma _{\text{n}}+n_{3}^{2}\lambda =0}$ بجمع هذه المعادلات الثلاث نحصل على ${\displaystyle {\begin{aligned}\left[n_{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+n_{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}^{2}\right]-2\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)\sigma _{\mathrm {n} }+\lambda \left(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}\right)&=0\\\left[\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)^{2}\right]-2\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\lambda &=0\\\left[\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\sigma _{\mathrm {n} }^{2}\right]-2\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\lambda &=0\\\lambda &=\sigma _{\mathrm {n} }^{2}-\tau _{\mathrm {n} }^{2}\end{aligned}}}$ يمكن استبدال هذه النتيجة في كل من المعادلات الثلاث الأولى للحصول على ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=n_{1}\sigma _{1}^{2}-2n_{1}\sigma _{1}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\left(\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{1}&=0\\n_{1}\sigma _{1}^{2}-2n_{1}\sigma _{1}\sigma _{\text{n}}+\left(\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{1}&=0\\\left(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{1}&=0\\\end{aligned}}}$ وبفعل الشيء نفسه للمعادلتين الأخريين، نحصل على ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=\left(\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{2}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{2}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=\left(\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{3}=0}$ تتمثل إحدى الطرق الأولى لحل هذه المعادلات الثلاث الأخيرة في النظر في الحل التافه .${\displaystyle n_{i}=0}$ومع ذلك ، فإن هذا الخيار لا يفي بالشرط .${\displaystyle n_{i}n_{i}=1}$⁠ . بالنظر إلى الحل حيث${\displaystyle n_{1}=n_{2}=0}$و​${\displaystyle n_{3}\neq 0}$، يتم تحديده من الشرط${\displaystyle n_{i}n_{i}=1}$ذلك​${\displaystyle n_{3}=\pm 1}$ثم من المعادلة الأصلية لـ${\displaystyle \tau _{\text{n}}^{2}}$يُلاحظ أن${\displaystyle \tau _{\text{n}}=0}$القيمتان المحتملتان الأخريان لـ${\displaystyle \tau _{\text{n}}}$ويمكن الحصول على نتائج مماثلة بافتراض ${\displaystyle n_{1}=n_{3}=0}$و${\displaystyle n_{2}\neq 0}$ ${\displaystyle n_{2}=n_{3}=0}$و${\displaystyle n_{1}\neq 0}$ وبالتالي، فإن إحدى مجموعات الحلول لهذه المعادلات الأربع هي: ${\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}&=0,&n_{2}&=0,&n_{3}&=\pm 1,&\tau _{\text{n}}&=0\\n_{1}&=0,&n_{2}&=\pm 1,&n_{3}&=0,&\tau _{\text{n}}&=0\\n_{1}&=\pm 1,&n_{2}&=0,&n_{3}&=0,&\tau _{\text{n}}&=0\end{aligned}}}$ هذه القيم تتوافق مع القيم الدنيا لـ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$ويتحقق من عدم وجود إجهادات قص على المستويات العمودية على الاتجاهات الرئيسية للإجهاد، كما هو موضح سابقًا. يتم الحصول على مجموعة ثانية من الحلول بافتراض ⁠${\displaystyle n_{1}=0}$،​​${\displaystyle n_{2}\neq 0}$و​​${\displaystyle n_{3}\neq 0}$وهكذا لدينا ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{2}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}=0}$ لإيجاد قيم لـ${\displaystyle n_{2}}$و${\displaystyle n_{3}}$نقوم أولاً بجمع هاتين المعادلتين ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{2}\sigma _{\text{n}}+2\sigma _{3}\sigma _{\text{n}}&=0\\\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{\text{n}}\left(\sigma _{2}-\sigma _{3}\right)&=0\\\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\sigma _{\text{n}}\end{aligned}}}$ مع العلم بذلك من أجل${\displaystyle n_{1}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{n}}=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}=\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}}$ و ${\displaystyle n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1}$ لدينا ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\sigma _{\text{n}}\\\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\left(\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)\\\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\left(\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}\left(1-n_{2}^{2}\right)\right)=0\end{aligned}}}$ وحل لـ${\displaystyle n_{2}}$لدينا ${\displaystyle n_{2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ ثم حل المعادلة لـ${\displaystyle n_{3}}$لدينا ${\displaystyle n_{3}={\sqrt {1-n_{2}^{2}}}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ و ${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{n}}^{2}&=(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}n_{2}^{2}n_{3}^{2}\\\tau _{\text{n}}&={\frac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}\end{aligned}}}$ القيمتان المحتملتان الأخريان لـ${\displaystyle \tau _{\text{n}}}$ويمكن الحصول على نتائج مماثلة بافتراض ⁠${\displaystyle n_{2}=0}$،​​${\displaystyle n_{1}\neq 0}$و​${\displaystyle n_{3}\neq 0}$ ⁠${\displaystyle n_{3}=0}$،​​${\displaystyle n_{1}\neq 0}$و​${\displaystyle n_{2}\neq 0}$ وبالتالي، فإن المجموعة الثانية من الحلول لـ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=0}$، مما يمثل الحد الأقصى لـ${\displaystyle \tau _{\text{n}}}$يكون ${\displaystyle n_{1}=0,\,\,n_{2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{3}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,\tau _{\text{n}}=\pm {\frac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}}$ ${\displaystyle n_{1}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{2}=0,\,\,n_{3}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,\tau _{\text{n}}=\pm {\frac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}}$ ${\displaystyle n_{1}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{3}=0,\,\,\tau _{\text{n}}=\pm {\frac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}}$ لذلك، بافتراض${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$، يُعبر عن أقصى إجهاد قص بواسطة ${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right|}$ ويمكن القول إنها تساوي نصف الفرق بين أكبر وأصغر الإجهادات الرئيسية، التي تؤثر على المستوى الذي ينصف الزاوية بين اتجاهي أكبر وأصغر الإجهادات الرئيسية.