الموجة الصوتية

تصف معادلة الموجة الصوتية انتشار الموجات الصوتية. وتُعطى معادلة الموجة الصوتية لضغط الصوت في بُعد واحد بالصيغة التالية:$${\displaystyle {\partial ^{2}p \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0}$$ أين

• ${\displaystyle p}$ضغط الصوت بوحدة باسكال ( Pa)
• ${\displaystyle x}$يمثل الموضع في اتجاه انتشار الموجة، بوحدة المتر.
• ${\displaystyle c}$سرعة الصوت بوحدة متر/ثانية
• ${\displaystyle t}$الوقت بالثواني​​

معادلة الموجة لسرعة الجسيمات لها نفس الشكل وتعطى بالصيغة التالية $${\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=0}$$ أين

• ${\displaystyle u}$سرعة الجسيم بوحدة متر/ثانية

بالنسبة للوسائط ذات الفقد، يلزم تطبيق نماذج أكثر تعقيدًا لمراعاة التوهين المعتمد على التردد وسرعة الطور. تشمل هذه النماذج معادلات الموجات الصوتية التي تتضمن حدود المشتقات الكسرية، انظر أيضًا مقالة التوهين الصوتي .

قدّم دالمبير الحل العام لمعادلة الموجة عديمة الفقد. أما بالنسبة لضغط الصوت، فسيكون الحل كالتالي: $${\displaystyle p=R\cos(\omega t-kx)+(1-R)\cos(\omega t+kx)}$$ أين

• ${\displaystyle \omega }$التردد الزاوي بوحدة راديان /ثانية
• ${\displaystyle t}$الوقت بالثواني
• ${\displaystyle k}$هو العدد الموجي بوحدة راديان ^متر⁻¹
• ${\displaystyle R}$هو معامل بدون وحدة

ل${\displaystyle R=1}$تصبح الموجة موجة متحركة تتحرك باتجاه اليمين، لأن${\displaystyle R=0}$تتحول الموجة إلى موجة متحركة تتجه نحو اليسار. ويمكن الحصول على موجة ثابتة عن طريق${\displaystyle R=0.5}$.

في الموجة المتحركة يكون الضغط وسرعة الجسيمات متوافقين في الطور ، مما يعني أن زاوية الطور بين الكميتين تساوي صفرًا.

يمكن إثبات ذلك بسهولة باستخدام قانون الغاز المثالي$${\displaystyle pV=nRT}$$ أين

• ${\displaystyle p}$الضغط بوحدة باسكال​
• ${\displaystyle V}$الحجم بالمتر ^المكعب
• ${\displaystyle n}$الكمية بالمول
• ${\displaystyle R}$ثابت الغازات العام ذو القيمة${\textstyle 8.314\,472(15)~{\frac {\mathrm {J} }{\mathrm {mol~K} }}}$

لنفترض حجمًا${\displaystyle V}$عندما تنتشر الموجة الصوتية عبر الحجم، يحدث انضغاط وتمدد أديباتي. وللتغير الأديباتي، تكون العلاقة بين الحجم والضغط كما يلي${\displaystyle V}$من حزمة من السوائل والضغط${\displaystyle p}$البشر $${\displaystyle {\partial V \over V_{m}}={-1 \over \ \gamma }{\partial p \over p_{m}}}$$ أين${\displaystyle \gamma }$هو المؤشر الأديباتي بدون وحدة والرمز السفلي${\displaystyle m}$يشير إلى القيمة المتوسطة للمتغير المعني.

عندما تنتشر موجة صوتية عبر حجم ما، فإن الإزاحة الأفقية للجسيم${\displaystyle \eta }$يحدث ذلك على طول اتجاه انتشار الموجة. $${\displaystyle {\partial \eta \over V_{m}}A={\partial V \over V_{m}}={-1 \over \ \gamma }{\partial p \over p_{m}}}$$ أين

• ${\displaystyle A}$مساحة المقطع العرضي بالمتر ^المربع

يتضح من هذه المعادلة أنه عندما يكون الضغط في أقصى قيمة له، فإن إزاحة الجسيمات عن موضعها المتوسط ​​تصل إلى الصفر. وكما ذُكر سابقًا، يمكن التعبير عن الضغط المتذبذب لموجة تنتشر باتجاه اليمين بالمعادلة التالية: $${\displaystyle p=p_{0}\cos(\omega t-kx)}$$ بما أن الإزاحة تكون في أقصى حد لها عندما يكون الضغط صفرًا، فهناك فرق طور مقداره 90 درجة، لذا تُعطى الإزاحة بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \eta =\eta _{0}\sin(\omega t-kx)}$$ سرعة الجسيم هي المشتق الأول لإزاحة الجسيم:${\displaystyle u=\partial \eta /\partial t}$اشتقاق دالة الجيب يعطي دالة جيب التمام مرة أخرى $${\displaystyle u=u_{0}\cos(\omega t-kx)}$$

أثناء التغير الأديباتي، تتغير درجة الحرارة مع الضغط أيضًا وفقًا لما يلي $${\displaystyle {\partial T \over T_{m}}={\gamma -1 \over \ \gamma }{\partial p \over p_{m}}}$$ يتم استغلال هذه الحقيقة في مجال الصوتيات الحرارية .

سرعة انتشار الموجات الصوتية، أو السرعة الصوتية، هي دالة لوسط الانتشار. وبشكل عام، تُعطى السرعة الصوتية c بمعادلة نيوتن-لابلاس: $${\displaystyle c={\sqrt {\frac {C}{\rho }}}}$$ أين

• C هو معامل الصلابة ، ومعامل الحجم (أو معامل المرونة الحجمية للأوساط الغازية).
• ${\displaystyle \rho }$الكثافة بالكيلوجرام / ^م³

وبالتالي، تزداد سرعة الصوت مع صلابة المادة (مقاومة الجسم المرن للتشوه بفعل قوة خارجية)، وتقل مع كثافتها. بالنسبة لمعادلات الحالة العامة، إذا تم استخدام الميكانيكا الكلاسيكية، فإن سرعة الصوت${\displaystyle c}$يُعطى بواسطة $${\displaystyle c^{2}={\frac {\partial p}{\partial \rho }}}$$ مع${\displaystyle p}$مع ازدياد الضغط و${\displaystyle \rho }$الكثافة، حيث يتم إجراء التفاضل بالنسبة للتغير الأديباتي.

التداخل هو إضافة موجتين أو أكثر ينتج عنها نمط موجي جديد. يمكن ملاحظة تداخل الموجات الصوتية عندما يبث مكبران للصوت نفس الإشارة. في بعض المواقع، يحدث تداخل بناء، مما يضاعف ضغط الصوت المحلي. وفي مواقع أخرى، يحدث تداخل هدام، مما يؤدي إلى انخفاض ضغط الصوت المحلي إلى الصفر.

الموجة المستقرة هي نوع خاص من الموجات التي يمكن أن تحدث في الرنان . في الرنان، يحدث تراكب للموجة الساقطة والموجة المنعكسة، مما يؤدي إلى تكوين موجة مستقرة. يكون الضغط وسرعة الجسيمات متعاكسين في الطور بمقدار 90 درجة في الموجة المستقرة.

لنفترض وجود أنبوب ذي طرفين مغلقين يعمل كمرنان. يمتلك هذا المرنان أنماطًا اهتزازية طبيعية بترددات معطاة بالعلاقة التالية: $${\displaystyle f={\frac {Nc}{2d}}\qquad \qquad N\in \{1,2,3,\dots \}}$$ أين

• ${\displaystyle c}$سرعة الصوت بوحدة متر/ثانية
• ${\displaystyle d}$يمثل طول الأنبوب بالمتر

عند الأطراف، تصبح سرعة الجسيمات صفرًا لعدم إمكانية حدوث إزاحة. ومع ذلك، يتضاعف الضغط عند الأطراف نتيجة لتداخل الموجة الساقطة مع الموجة المنعكسة. ولأن الضغط يكون في أقصى حالاته عند الأطراف بينما السرعة صفر، يوجد فرق طور مقداره 90 درجة بينهما.

يمكن أن تنعكس الموجة الصوتية المتحركة عن سطح صلب. عند انعكاس الموجة المتحركة، تتداخل الموجة المنعكسة مع الموجة الساقطة، مما يُسبب موجة مستقرة في المجال القريب . ونتيجة لذلك، يتضاعف الضغط الموضعي في المجال القريب، وتصبح سرعة الجسيمات صفرًا.

يؤدي التوهين إلى انخفاض قدرة الموجة المنعكسة مع ازدياد المسافة من المادة العاكسة. ومع انخفاض قدرة الموجة المنعكسة مقارنةً بقدرة الموجة الساقطة، يقل التداخل أيضًا. ومع انخفاض التداخل، يقل فرق الطور بين ضغط الصوت وسرعة الجسيمات. عند مسافة كافية من المادة العاكسة، يختفي التداخل تمامًا. عند هذه المسافة، يُمكن الحديث عن المجال البعيد .

تُحدد كمية الانعكاس بواسطة معامل الانعكاس، وهو نسبة شدة الضوء المنعكس إلى شدة الضوء الساقط. $${\displaystyle R={\frac {p_{\text{reflected}}}{p_{\text{incident}}}}}$$

يمكن امتصاص الموجات الصوتية. وتُحدد كمية الامتصاص بمعامل الامتصاص الذي يُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \alpha =1-R^{2}}$$ أين

• ${\displaystyle \alpha }$معامل الامتصاص بدون وحدة
• ${\displaystyle R}$معامل الانعكاس بدون وحدة

غالباً ما يتم التعبير عن امتصاص المواد للصوت بوحدة الديسيبل بدلاً من ذلك.

عندما تنتشر موجة صوتية عبر وسط غير متجانس، فإنها تتعرض للانحراف عند الشوائب التي تصادفها أو عند الفواصل بين طبقات المواد المختلفة. هذه ظاهرة مشابهة جدًا لانكسار وامتصاص وانتقال الضوء في مرايا براغ . وقد استُغل مفهوم انتشار الموجات الصوتية عبر الأوساط الدورية بنجاح كبير في هندسة المواد الصوتية الفائقة . ^{[ 2 ]}

يمكن حساب امتصاص الصوت وانعكاسه وانتقاله في المواد متعددة الطبقات باستخدام طريقة مصفوفة النقل . ^{[ 3 ]}