النظام الست عشري

عادةً، يسمح نظام التمثيل السداسي العشري باستخدام الأحرف الصغيرة أو الكبيرة ويعامل الحرف بنفس الطريقة بغض النظر عن حالته.

عند عرض البيانات غير النصية، غالبًا ما تُعرض القيمة المخزنة في الذاكرة كسلسلة من الأرقام الست عشرية مع وجود مسافات بين القيم. على سبيل المثال، في تفريغ البيانات الست عشرية التالي، يُمثل كل بايت من 8 بت رقمًا ست عشريًا مكونًا من رقمين، مع وجود مسافات بينهما، بينما يُمثل الإزاحة ذات 32 بت في البداية رقمًا ست عشريًا مكونًا من 8 أرقام.

00000000 57 69 6B 69 70 65 64 69 61 2C 20 74 68 65 20 66 00000010 72 65 65 20 65 6E 63 79 63 6C 6F 70 65 64 69 61 00000020 20 74 68 61 74 20 61 6E 79 6F 6E 65 20 63 61 6E 00000030 20 65 64 69 74 2C 20 69 6E 63 6C 75 64 69 6E 67 00000040 20 79 6ف 75 20 28 61 6هـ 64 20 6د 65 29 21

توجد عدة اصطلاحات للتعبير عن أن الرقم ممثل بالصيغة السداسية عشرية.

• يمكن أن يُشير الرمز السفلي العشري إلى الأساس بشكل صريح. على سبيل المثال، يشير 159 ₁₀ إلى العدد العشري 159، ويشير 159 ₁₆ إلى العدد الست عشري 159. يفضل البعض استخدام رمز سفلي نصي، مثل 159 _عشري و159 _{ست عشري} ، أو 159 _د و159 _ح.

• في لغة C والعديد من اللغات المتأثرة بها، 0xيشير البادئة إلى أن القيمة العددية التي تليها مكتوبة بالنظام الست عشري. يمكن التعبير عن حرف من سلسلة نصية أو حرف حرفي بالنظام الست عشري باستخدام البادئة \x(على سبيل المثال، '\x1B'يمثل حرف التحكم Esc ). ولإخراج عدد صحيح بالنظام الست عشري باستخدام دالة مشابهة لـ printf ، يتم استخدام رمز تحويل التنسيق %X.%x

• في عناوين URI (بما في ذلك عناوين URL )، يتم كتابة رموز الأحرف كأزواج سداسية عشرية مسبوقة بـ %: http://www.example.com/name%20with%20spacesحيث %20يمثل رمز حرف المسافة (الفراغ) ، ورمز ASCII هو النقطة 20 في النظام السداسي العشري، و32 في النظام العشري.

• في لغتي XML و XHTML ، يمكن التعبير عن الحرف كمرجع رقمي سداسي عشري باستخدام الترميز ، على سبيل المثال، يمثل الحرف U+0054 (الحرف الكبير "T"). إذا لم يكن هناك مرجع رقمي سداسي عشري، يكون الرقم عشريًا (وبالتالي هو نفس الحرف). ^{[ 2 ]}&#xcode;TxT

• في لغات التجميع المشتقة من Intel وModula-2، ^{[ 3 ]} يُرمز إلى النظام الست عشري بالحرف H أو h في النهاية : أو . تتطلب بعض التطبيقات إضافة صفر في البداية عندما لا يكون أول رقم ست عشري رقمًا عشريًا، لذا يُكتب بدلاً من . تسمح بعض التطبيقات الأخرى (مثل NASM) باستخدام الأرقام على نمط لغة C ( ).FFh05A3H0FFhFFh0x42

• تستخدم لغات التجميع الأخرى ( 6502 ، موتورولا )، وباسكال ، ودلفي ، وبعض إصدارات لغة بيسك ( كومودور )، ولغة جيم ميكر ، وجودوت ، وفورث، البادئة$ التالية $5A3:$C1F27ED

• تستخدم بعض لغات التجميع (مثل لغة مايكروشيب) الترميز H'ABCD'(لـ ABCD ₁₆ )؛ وبالمثل، تستخدم لغة فورتران 95 الترميز Z'ABCD'.

• تُحاط الأرقام السداسية العشرية في لغتي Ada و VHDL بعلامات اقتباس رقمية: 16#5A3#, 16#C1F27ED#. أما بالنسبة لثوابت متجهات البت، فتستخدم VHDL الترميز x"5A3", x"C1F27ED". ^{[ 4 ]}

• تمثل لغة Verilog الثوابت السداسية العشرية بالشكل التالي 8'hFF: 8، حيث يمثل 8 عدد البتات في القيمة، وFF هو الثابت السداسي العشري.

• تستخدم لغتا Icon و Smalltalk البادئة التالية 16r:16r5A3

• يشير كل من PostScript و Bourne shell ومشتقاته إلى النظام الست عشري باستخدام البادئة 16#: 16#5A3,16#C1F27ED

• تستخدم لغة Common Lisp البادئات #x #xو # #16r16r. كما يمكن استخدام تعيين المتغيرين *read-base* ^{[ 5 ]} و *print-base* ^{[ 6 ]} إلى 16 لتحويل قارئ وطابعة نظام Common Lisp إلى التمثيل الست عشري لقراءة وطباعة الأرقام. وبالتالي، يمكن تمثيل الأرقام الست عشرية بدون البادئة #x أو #16r، عند تغيير أساس الإدخال أو الإخراج إلى 16.

• MSX BASIC ، ^{[ 7 ]} QuickBASIC ، FreeBASIC و Visual Basic تبدأ أرقامها السداسية العشرية بـ &H:&H5A3

• استخدام BBC BASIC و Locomotive BASIC& للسداسي العشري ^{[ 8 ]}

• تستخدم سلسلة TI-890h و 92 بادئة: 0h5A3،0hC1F27ED

• يستخدم ALGOL 68 البادئة 16rللدلالة على الأرقام السداسية عشرية: 16r5a3. 16rC1F27EDويمكن تحديد الأرقام الثنائية والرباعية (الأساس 4) والثمانية بشكل مماثل.

• يُعدّ تنسيق سداسي عشري الأكثر شيوعًا على أجهزة IBM الرئيسية ( سلسلة z ) وأجهزة الكمبيوتر متوسطة المدى ( IBM i ) التي تعمل بأنظمة التشغيل التقليدية ( zOS ، zVSE ، zVM ، TPF ، IBM i ) هو X'5A3'. X'C1F27ED'ويُستخدم هذا التنسيق في لغات التجميع، وPL/I ، وCOBOL ، و JCL ، والبرامج النصية، والأوامر، وغيرها. كان هذا التنسيق شائعًا أيضًا على أنظمة IBM الأخرى (التي أصبحت الآن قديمة). وفي بعض الأحيان، كانت تُستخدم علامات الاقتباس بدلًا من الفواصل العليا.

• استخدم دونالد كنوث خطًا من آلة كاتبة لتمثيل النظام الست عشري في كتابه "كتاب TeXbook" ، ^{[ 9 ]} مثل: 5A3 ، C1F27ED

في بعض السياقات، يُكتب الرقم دائمًا بالصيغة السداسية عشرية، وبالتالي، لا يحتاج إلى أي تدوين تعريفي.

• في معيار يونيكود ، يتم تمثيل قيمة الحرف بـ U+متبوعة بقيمة سداسية عشرية، على سبيل المثال U+00A1علامة التعجب المقلوبة (¡).

• يمكن التعبير عن مراجع الألوان في HTML و CSS و X  Window بستة أرقام سداسية عشرية (رقمان لكل من الأحمر والأخضر والأزرق، بهذا الترتيب) مسبوقة بـ #: على سبيل المثال، يُكتب اللون الأرجواني (magenta#FF00FF ) على النحو التالي : . ^{[ 10 ]} كما يسمح CSS باختصارات من 3 أرقام سداسية عشرية، رقم سداسي عشري واحد لكل مكون: #FA3يختصر اللون البرتقالي الذهبي (goldon orange#FFAA33 ) .

• في ترميز MIME (امتدادات البريد الإلكتروني) القابل للطباعة ، تُكتب رموز الأحرف كأزواج سداسية عشرية مسبوقة بـ =:، Espa=F1aمثل "España" ( _{الرمز السداسي العشري} F1 هو رمز ñ في مجموعة أحرف ISO/IEC 8859-1) . ^{[ 11 ]}

• يمكن التعبير عن البيانات الثنائية في لغة PostScript (مثل وحدات البكسلAA213FD51B3801043FBC  في الصورة) على شكل أزواج سداسية عشرية متتالية بدون بادئة: ...
• يمكن كتابة أي عنوان IPv6 على شكل ثماني مجموعات من أربعة أرقام سداسية عشرية (تُسمى أحيانًا hextets )، حيث تفصل بين كل مجموعة نقطتان رأسيتان ( :). على سبيل المثال، هذا عنوان IPv6 صالح: 2001:0db8:85a3:0000:0000:8a2e:0370:7334أو يمكن اختصاره بإزالة الأصفار البادئة إلى 2001:db8:85a3::8a2e:370:7334( عادةً ما تُكتب عناوين IPv4 بالنظام العشري).

• تُكتب المعرفات الفريدة عالميًا على شكل 32 رقمًا سداسيًا عشريًا، وغالبًا ما تكون في مجموعات غير متساوية مفصولة بشرطة، على سبيل المثال 3F2504E0-4F89-41D3-9A0C-0305E82C3301.

ومن بين التمثيلات الست عشرية الأخرى البارزة التي تستخدم رموزًا أخرى غير الأحرف من "A" إلى "F" لتمثيل الأرقام التي تزيد عن 9 ما يلي:

• خلال الخمسينيات من القرن الماضي، فضلت بعض المنشآت، مثل Bendix-14، استخدام الأرقام من 0 إلى 5 مع خط فوقها للدلالة على القيم من 10 إلى 15 على أنها 0 و 1 و 2 و 3 و 4 و 5 .

• استخدمت أجهزة الكمبيوتر SWAC (1950) [ ^{15 ] و} Bendix G-15 (1956) ^{[ 16 ] [ 15 ]} الأحرف الصغيرة u و v و w و x و y و z للقيم من 10 إلى 15.

• استخدمت أجهزة الكمبيوتر ORDVAC و ILLIAC I (1952) (وبعض التصاميم المشتقة، مثل BRLESC ) الأحرف الكبيرة K و S و N و J و F و L للقيم من 10 إلى 15. ^{[ 17 ] [ 15 ]}

• استخدم جهاز Librascope LGP-30 (1956) الأحرف F و G و J و K و Q و W للقيم من 10 إلى 15. ^{[ 18 ] [ 15 ]}

• في حاسوب PERM (1956)، كانت الأرقام السداسية العشرية تُكتب بالأحرف O للصفر، ومن A إلى N، و P من 1 إلى 15. وكانت العديد من تعليمات الآلة تحتوي على رموز سداسية عشرية تذكيرية ( A = جمع، M = ضرب، L = تحميل، F = نقطة ثابتة، إلخ)؛ وكانت البرامج تُكتب بدون أسماء التعليمات. ^{[ 19 ]}

• استخدم جهاز Honeywell Datamatic D-1000 (1957) الأحرف الصغيرة b و c و d و e و f و g بينما استخدم جهاز Elbit  100 (1967) الأحرف الكبيرة B و C و D و E و F و G للقيم من 10 إلى 15. ^{[ 15 ]}

• استخدم الروبوت مونروبوت الحادي عشر (1960) الأحرف S و T و U و V و W و X للقيم من 10 إلى 15. ^{[ 15 ]}

• استخدم جهاز الكمبيوتر البارامتروني NEC NEAC 1103 (1960) الأحرف D و G و H و J و K (وربما V ) للقيم من 10 إلى 15. ^{[ 20 ]}

• استخدمت أنظمة بيانات المحيط الهادئ  1020 (1964) الأحرف L و C و A و S و M و D للقيم من 10 إلى 15. ^{[ 15 ]}

• تم إدخال رموز وأسماء رقمية جديدة في تدوين Bibi-binary بواسطة بوبي لابوينت في عام 1968.

• اعتبر بروس آلان مارتن من مختبر بروكهافن الوطني اختيار الأحرف من A إلى F "سخيفاً". وفي رسالة عام 1968 إلى محرر مجلة CACM ، اقترح مجموعة جديدة تماماً من الرموز تعتمد على مواقع البتات. ^{[ 12 ]}

• في عام 1972، اقترح رونالد أو. ويتاكر من شركة رووكو للهندسة خطًا مثلثيًا يسمح بـ "القراءة الثنائية المباشرة" لتمكين الإدخال والإخراج من أجهزة الكمبيوتر دون الحاجة إلى مصفوفات التشفير. ^{[ 13 ] [ 14 ]}
• تُظهر بعض رقائق فك تشفير شاشة العرض ذات السبعة أجزاء (مثل 74LS47) مخرجات غير متوقعة بسبب تصميمها المنطقي لإنتاج الأرقام من 0 إلى 9 بشكل صحيح فقط. ^{[ 21 ]}

ثنائي بيبي

يمكن للنظام الست عشري التعبير عن الأرقام السالبة بنفس طريقة النظام العشري، وذلك بوضع علامة ناقص (−) قبل الرقم للإشارة إلى أنه سالب.

يمكن لنظام العد الست عشري التعبير عن نمط البتات في المعالج ، لذا قد يمثل تسلسل الأرقام الست عشرية قيمةً ذات إشارة أو حتى قيمةً ذات فاصلة عائمة . وبهذه الطريقة، يمكن كتابة العدد السالب -42 _{10 على النحو التالي: FFFF FFD6 في} سجل وحدة المعالجة المركزية  ذي 32 بت (باستخدام نظام المتمم الثنائي )، أو C228 0000 في سجل وحدة الفاصلة العائمة ذي 32 بت، أو C045 0000 0000 0000 في سجل وحدة الفاصلة العائمة ذي 64 بت (وفقًا لمعيار IEEE للفاصلة العائمة ).    

كما يمكن تمثيل الأعداد العشرية بالصيغة الأسية ، يمكن تمثيل الأعداد السداسية العشرية أيضًا. تستخدم الصيغة الأسية الحرف P (أو p اختصارًا لكلمة "أس")، بينما يؤدي الحرف E (أو e ) وظيفة مماثلة في الصيغة الأسية العشرية . الرقم الذي يلي P هو رقم عشري ويمثل الأس الثنائي . زيادة الأس بمقدار 1 تؤدي إلى الضرب في 2، وليس 16: 20p⁰ = 10p¹ = 8p² = 4p³ = 2p⁴ = 1p⁵ . عادةً، يتم توحيد الرقم بحيث تبدأ أرقامه السداسية العشرية من 1 (الصفر عادةً ما يكون 0 بدون P ).

مثال: 1.3DEp42 يمثل 1.3DE ₁₆ × 2 ^{42 ₁₀} .

يتطلب معيار IEEE 754-2008 للأعداد العشرية الثنائية استخدام ترميز P، ويمكن استخدامه للأعداد العشرية الحرفية في إصدار C99 من لغة البرمجة C. [ ^{22 ] وباستخدام} مُحدِّدات التحويل %a أو %A ، يمكن إنتاج هذا الترميز بواسطة تطبيقات عائلة دوال printf التي تتبع مواصفات C99 ^{[ 23 ]} ومعيار POSIX ( مواصفات يونكس الموحدة IEEE 1003.1) . ^{[ 24 ]}

تتعامل معظم الحواسيب مع البيانات الثنائية، لكن يصعب على البشر التعامل مع عدد كبير من الأرقام حتى في الأعداد الثنائية الصغيرة نسبيًا. مع أن معظم البشر على دراية بالنظام العشري، إلا أن تحويل البيانات الثنائية إلى النظام الست عشري أسهل بكثير من تحويلها إلى النظام العشري، لأن كل رقم ست عشري يُقابله عدد صحيح من البتات (4^ ₁₀ ). هذا المثال يحوّل _العدد 1111 إلى النظام العشري. بما أن كل خانة في العدد الثنائي يمكن أن تحتوي إما على 1 أو 0، فيمكن تحديد قيمته بسهولة من خلال موقعها من اليمين.

• 0001 ₂ = 1 ₁₀
• 0010 ₂ = 2 ₁₀
• 0100 ₂ = 4 ₁₀
• ١٠٠٠ ÷ _٢ = ٨ _١٠

لذلك:

مع قليل من الممارسة، يصبح تحويل العدد 1111 ₂ إلى F ₁₆ في خطوة واحدة أمرًا سهلاً. وتزداد ميزة استخدام النظام الست عشري بدلًا من النظام العشري بسرعة مع ازدياد حجم العدد. فعندما يصبح العدد كبيرًا، يصبح التحويل إلى النظام العشري عملية شاقة للغاية. أما عند التحويل إلى النظام الست عشري، فمن السهل اعتبار السلسلة الثنائية مجموعات من أربعة أرقام، وتعيين كل مجموعة لرقم ست عشري واحد. ^{[ 29 ]}

يوضح هذا المثال تحويل رقم ثنائي إلى رقم عشري، وتعيين كل رقم للقيمة العشرية، وجمع النتائج.

قارن هذا بالتحويل إلى النظام الست عشري، حيث يمكن اعتبار كل مجموعة من أربعة أرقام بشكل مستقل وتحويلها مباشرة:

التحويل من النظام الست عشري إلى النظام الثنائي مباشر بنفس القدر. ^{[ 29 ]}

على الرغم من قلة استخدام النظام الرباعي (الأساس 4)، إلا أنه يُمكن تحويله بسهولة من وإلى النظام الست عشري أو الثنائي. يُقابل كل رقم ست عشري زوجًا من الأرقام الرباعية، ويُقابل كل رقم رباعي زوجًا من الأرقام الثنائية. في المثال أعلاه، 2  5  C ₁₆ = 02  11  30 ₄ .

يمكن تحويل النظام الثماني (الأساس 8) بسهولة نسبية، وإن لم تكن بنفس سهولة التحويل إلى النظامين الثنائي والرباعي . كل رقم ثماني يقابله ثلاثة أرقام ثنائية، بدلاً من أربعة. لذلك، يمكننا التحويل بين النظام الثماني والنظام الست عشري عبر تحويل وسيط إلى النظام الثنائي، ثم إعادة تجميع الأرقام الثنائية في مجموعات من ثلاثة أو أربعة أرقام.

كما هو الحال مع جميع أنظمة العد، توجد خوارزمية بسيطة لتحويل تمثيل عدد ما إلى النظام الست عشري عن طريق إجراء عمليات القسمة الصحيحة والباقي في نظام العد الأصلي. نظريًا، هذا ممكن من أي نظام عد، ولكن بالنسبة لمعظم البشر، لا يمكن التعامل بسهولة إلا مع النظام العشري، وبالنسبة لمعظم أجهزة الكمبيوتر، لا يمكن التعامل بسهولة إلا مع النظام الثنائي (الذي يمكن تحويله بطرق أكثر كفاءة).

ليكن d هو الرقم المراد تمثيله بالنظام الست عشري، ولتكن السلسلة h _i h _i−1 ...h ₂ h ₁ هي الأرقام الست عشرية التي تمثل الرقم.

1. i ← 1
2. h _i ← d mod 16
3. د ← (د − ح _ط ) / 16
4. إذا كانت قيمة d تساوي صفرًا (أرجع السلسلة h _i )، وإلا فقم بزيادة قيمة i وانتقل إلى الخطوة 2.

يمكن استبدال الرقم "16" بأي قاعدة أخرى مرغوبة.

فيما يلي تطبيق بلغة جافا سكريبت للخوارزمية المذكورة أعلاه لتحويل أي رقم إلى تمثيل سداسي عشري في سلسلة نصية. الغرض منه هو توضيح الخوارزمية المذكورة. مع ذلك، يُنصح بشدة باستخدام عوامل التشغيل الثنائية للتعامل مع البيانات بشكل جدي .

دالة toHex ( d ) { var r = d % 16 ; إذا ( d - r == 0 ) { العودة إلىChar ( r ); } العودة إلى Hex (( d - r ) / 16 ) + toChar ( r ); }دالة toChar ( n ) { const alpha = "0123456789ABCDEF" ; عودة ألفا . شارات ( ن ); }

من الممكن أيضًا إجراء التحويل بتعيين التمثيل الست عشري لكل خانة في النظام الأصلي لقيمتها المكانية ، قبل إجراء عمليتي الضرب والجمع للحصول على التمثيل النهائي. على سبيل المثال، لتحويل العدد B3AD إلى النظام العشري، يمكن تقسيم العدد الست عشري إلى أرقامه: B (11 ₁₀ )، 3 (3 ₁₀ )، A (10 ₁₀ )، وD (13 ₁₀ )، ثم الحصول على النتيجة النهائية بضرب كل تمثيل عشري في 16p ⁽ حيث p هو رقم الخانة الست عشرية المقابل، بدءًا من اليمين إلى اليسار، من 0). في هذه الحالة، لدينا:

B3AD = (11 × 16 ³ ) + (3 × 16 ² ) + (10 × 16 ¹ ) + (13 × 16 ⁰ )

وهو ما يعادل 45997 في النظام العشري.

توفر العديد من أنظمة الكمبيوتر أداة حاسبة قادرة على إجراء التحويلات بين الجذور المختلفة، بما في ذلك النظام الست عشري في كثير من الأحيان.

في نظام التشغيل مايكروسوفت ويندوز ، تسمح الآلة الحاسبة ، في وضع المبرمج، بإجراء التحويلات بين النظام الست عشري وأنظمة البرمجة الشائعة الأخرى.

كما هو الحال مع أنظمة الأرقام الأخرى، يمكن استخدام النظام الست عشري لتمثيل الأعداد النسبية ، على الرغم من أن التوسعات المتكررة شائعة لأن العدد ستة عشر (10 ₁₆ ) له عامل أولي واحد فقط: اثنان.

في أي نظام عد، يُعادل 0.1 (أو "1/10") دائمًا واحدًا مقسومًا على تمثيل قيمة ذلك النظام في نظامه العددي. لذا، سواءً أكان القسمة على 1 في النظام الثنائي أو على 16 في النظام الست عشري، يُكتب كلا الكسرين على الصورة 0.11/16. ولأن الأساس 16 مربع كامل (4² ⁾ ، فإن الكسور المكتوبة بالنظام الست عشري تحتوي على دورة فردية أكثر بكثير من الكسور المكتوبة بالنظام العشري، ولا توجد أعداد دورية (باستثناء الأرقام الفردية البسيطة). تظهر الأرقام الدورية عندما يحتوي المقام في أبسط صورة على عامل أولي غير موجود في الأساس؛ وبالتالي، عند استخدام الترميز الست عشري، فإن جميع الكسور التي لا يكون مقامها قوة للعدد 2 تُنتج سلسلة لا نهائية من الأرقام الدورية (مثل الثلث والخمس). هذا يجعل النظام الست عشري (والثنائي) أقل ملاءمة من النظام العشري لتمثيل الأعداد النسبية، نظرًا لأن نسبة أكبر منها تقع خارج نطاق تمثيله المحدود.

جميع الأعداد النسبية التي يمكن تمثيلها تمثيلاً محدوداً في النظام الست عشري يمكن تمثيلها أيضاً تمثيلاً محدوداً في النظام العشري، والنظام الاثني عشري، والنظام الستيني : أي أن أي عدد ست عشري ذي عدد محدود من الأرقام له أيضاً عدد محدود من الأرقام عند التعبير عنه في تلك الأنظمة الأخرى. في المقابل، جزء فقط من الأعداد التي يمكن تمثيلها تمثيلاً محدوداً في الأنظمة الأخيرة يمكن تمثيلها تمثيلاً محدوداً في النظام الست عشري. على سبيل المثال، العدد العشري 0.1 يقابله التمثيل الدوري اللانهائي 0.1 في النظام الست عشري. مع ذلك، يُعد النظام الست عشري أكثر كفاءة من النظامين الاثني عشري والستيني في تمثيل الكسور التي تحتوي على قوى العدد اثنين في المقام. على سبيل المثال، 0.0625 ₍ واحد على ستة عشر) يكافئ 0.1 (واحد على ستة عشر) ، و0.09 (واحد على _{ستة عشر} ) ، و0.345 ( _{واحد على ستة عشر)} .

يوضح الجدول أدناه صيغ بعض الأعداد غير النسبية الشائعة بالنظام العشري والنظام الست عشري.

تم عرض القوى الـ 16 الأولى للعدد 2 أدناه بصيغة سداسية عشرية لإظهار البساطة النسبية مقارنة بالتمثيل العشري.