الوظيفة الأساسية

في الرياضيات ، الدالة الأصلية (أو الثابت الأصلي ) هي دالة تُرجع أعدادًا أصلية .

• الدالة الأساسية الأكثر استخدامًا هي الدالة التي تحدد عدد عناصر المجموعة A ، ويرمز لها بـ | A |.
• يمكن اعتبار أعداد ألف وأعداد بيث بمثابة دوال أصلية معرفة على الأعداد الترتيبية .
• تُعد العمليات الحسابية الأصلية أمثلة على الدوال من الأعداد الأصلية (أو أزواج منها) إلى الأعداد الأصلية.
• الخصائص الأساسية للمثالي (الصحيح) I من المجموعات الجزئية لـ X هي:

${\displaystyle {\rm {add}}(I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I\}.}$

تُعرَّف "خاصية الجمع" للمجموعة I بأنها أصغر عدد من المجموعات من I التي لا ينتمي اتحادها إلى I. وبما أن أي مثالي يكون مغلقًا تحت الاتحادات المنتهية، فإن هذا العدد يكون دائمًا على الأقل${\displaystyle \aleph _{0}}$إذا كان I مثاليًا من نوع سيجما ، فإن${\displaystyle \operatorname {add} (I)\geq \aleph _{1}.}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=X\}.}$

يُعرَّف "عدد التغطية" للمجموعة I بأنه أصغر عدد من المجموعات من I التي يكون اتحادها هو كل المجموعة X. وبما أن X نفسها ليست في I ، فلا بد أن يكون مجموع ( I ) ≤ تغطية ( I ).

${\displaystyle \operatorname {non} (I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \wedge \ A\notin I\},}$

"رقم التوحيد" لـ I (يكتب أحيانًا أيضًا${\displaystyle {\rm {unif}}(I)}$) هو حجم أصغر مجموعة غير موجودة في I. بافتراض أن I تحتوي على جميع العناصر الفردية ، فإن add( I ) ≤ non( I ).

${\displaystyle {\rm {cof}}(I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subseteq I\wedge \forall A\in I(\exists B\in {\mathcal {B}})(A\subseteq B)\}.}$

إنّ "النهائية المشتركة" للمجموعة I هي النهائية المشتركة للترتيب الجزئي ( I , ⊆ ). من السهل ملاحظة أنه يجب أن يكون لدينا non( I ) ≤ cof( I ) و cov( I ) ≤ cof( I ).

في حالة أن${\displaystyle I}$هو مثال يرتبط ارتباطًا وثيقًا ببنية الأعداد الحقيقية ، مثل مثال مجموعات Lebesgue الصفرية أو مثال المجموعات الهزيلة ، وتشار إلى هذه الثوابت الأساسية باسم الخصائص الأساسية للمتصل .

• للحصول على مجموعة تم طلبها مسبقًا${\displaystyle (\mathbb {P} ,\sqsubseteq )}$العدد المحدد${\displaystyle {\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )}$والعدد المهيمن${\displaystyle {\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )}$تُعرَّف بأنها

${\displaystyle {\mathfrak {b}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(y\not \sqsubseteq x){\big \}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {d}}(\mathbb {P} )=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq \mathbb {P} \ \wedge \ (\forall x\in \mathbb {P} )(\exists y\in Y)(x\sqsubseteq y){\big \}}.}$

• في نظرية PCF، الدالة الأساسية${\displaystyle pp_{\kappa }(\lambda )}$^{[ 1 ]}​

تُستخدم الدوال الأصلية على نطاق واسع في علم الطوبولوجيا كأداة لوصف خصائص طوبولوجية متنوعة . ^{[ 2 ] [ 3 ]} فيما يلي بعض الأمثلة. (ملاحظة: يفضل بعض المؤلفين، الذين يجادلون بأنه "لا توجد أعداد أصلية منتهية في الطوبولوجيا العامة "، ^{[ 4 ]} تعريف الدوال الأصلية المذكورة أدناه بحيث لا تأخذ أبدًا قيمًا من أعداد أصلية منتهية؛ وهذا يتطلب تعديل بعض التعريفات الواردة أدناه، على سبيل المثال بإضافة "${\displaystyle \;\;+\;\aleph _{0}}$(إلى الجانب الأيمن من التعريفات، إلخ.)

• ربما تكون أبسط الثوابت الأساسية للفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$يمثل كل من عدد عناصرها وعدد عناصر بنيتها الطوبولوجية، ويرمز لهما على التوالي بـ${\displaystyle |X|}$و${\displaystyle o(X).}$
• الوزن​${\displaystyle \operatorname {w} (X)}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$عدد عناصر أصغر قاعدة لـ${\displaystyle X.}$ متى${\displaystyle \operatorname {w} (X)=\aleph _{0}}$المساحة${\displaystyle X}$يقال إنها ثاني كلمة معدودة .
  • ال${\displaystyle \pi }$-وزن الفضاء${\displaystyle X}$هو عدد عناصر أصغر${\displaystyle \pi }$-base لـ${\displaystyle X.}$(أ)${\displaystyle \pi }$-القاعدة هي مجموعة من المجموعات المفتوحة غير الفارغة التي تشمل مجموعاتها الفائقة جميع المجموعات المفتوحة.)
  • وزن الشبكة${\displaystyle \operatorname {nw} (X)}$ل${\displaystyle X}$هو أصغر عدد من العناصر في الشبكة لـ${\displaystyle X.}$الشبكة هي عائلة​${\displaystyle {\mathcal {N}}}$من المجموعات، والتي، بالنسبة لجميع النقاط${\displaystyle x}$والأحياء المفتوحة${\displaystyle U}$يحتوي على${\displaystyle x,}$يوجد${\displaystyle B}$في${\displaystyle {\mathcal {N}}}$والتي${\displaystyle x\in B\subseteq U.}$
• طبيعة الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$في نقطة${\displaystyle x}$يمثل عدد عناصر أصغر قاعدة محلية لـ${\displaystyle x.}$ طبيعة الفضاء​${\displaystyle X}$يكون$${\displaystyle \chi (X)=\sup \;\{\chi (x,X):x\in X\}.}$$ متى${\displaystyle \chi (X)=\aleph _{0}}$المساحة${\displaystyle X}$يقال إنها أول كلمة قابلة للعد .
• الكثافة​${\displaystyle \operatorname {d} (X)}$مساحة${\displaystyle X}$هي عدد عناصر أصغر مجموعة جزئية كثيفة من${\displaystyle X.}$ متى${\displaystyle {\rm {{d}(X)=\aleph _{0}}}}$المساحة${\displaystyle X}$يقال إنه قابل للفصل .
• رقم لينديلوف${\displaystyle \operatorname {L} (X)}$مساحة${\displaystyle X}$هي أصغر عدد لانهائي من العناصر بحيث يكون لكل غطاء مفتوح غطاء فرعي عدد عناصره لا يزيد عن${\displaystyle \operatorname {L} (X).}$متى${\displaystyle {\rm {{L}(X)=\aleph _{0}}}}$المساحة${\displaystyle X}$يقال إنها مساحة تابعة لشركة لينديلوف .
• عدد الخلايا أو رقم سوسلين للفضاء${\displaystyle X}$يكون

${\displaystyle \operatorname {c} (X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}{\text{ هي عائلة من المجموعات الفرعية المفتوحة غير الفارغة المنفصلة عن بعضها البعض من }}X\}.}$

• إن التكاثر الخلوي الوراثي (يسمى أحيانًا الانتشار ) هو الحد الأدنى الأعلى للتكاثر الخلوي لمجموعاته الفرعية:$${\displaystyle s(X)={\rm {hc}}(X)=\sup\{{\rm {c}}(Y):Y\subseteq X\}}$$أو$${\displaystyle s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ حيث تكون طوبولوجيا الفضاء الجزئي منفصلة}}\}}$$حيث تعني كلمة "منفصل" أنها فضاء طوبولوجي منفصل .

• مدى المساحة​${\displaystyle X}$يكون$${\displaystyle e(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ مغلق ومنفصل}}\}.}$$لذا${\displaystyle X}$يكون لها مدى قابل للعد بالضبط عندما لا يكون لها مجموعة فرعية منفصلة مغلقة غير قابلة للعد .
• ضيق​${\displaystyle t(x,X)}$فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$في نقطة${\displaystyle x\in X}$هو أصغر عدد أصلي${\displaystyle \alpha }$بحيث، كلما${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}$لبعض المجموعات الفرعية${\displaystyle Y}$ل${\displaystyle X,}$توجد مجموعة جزئية${\displaystyle Z}$ل${\displaystyle Y}$مع${\displaystyle |Z|\leq \alpha ,}$بحيث${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}(Z).}$ رمزياً،$${\displaystyle t(x,X)=\sup \left\{\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)\}:Y\subseteq X\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)\right\}.}$$ ضيق المكان${\displaystyle X}$يكون$${\displaystyle t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}.}$$ متى${\displaystyle t(X)=\aleph _{0}}$المساحة${\displaystyle X}$يقال إنها قابلة للعد أو محكمة بشكل قابل للعد .
  • زيادة ضيق المساحة${\displaystyle X,}$${\displaystyle t^{+}(X)}$هو أصغر طائر كاردينال منتظم${\displaystyle \alpha }$بحيث يكون لأي${\displaystyle Y\subseteq X,}$${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}$هناك مجموعة فرعية${\displaystyle Z}$ل${\displaystyle Y}$مع عدد أقل من${\displaystyle \alpha ,}$بحيث${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Z).}$

تُستخدم الدوال الأساسية بكثرة في دراسة الجبر البولياني . ^{[ 5 ] [ 6 ]} يمكننا أن نذكر، على سبيل المثال، الدوال التالية:

• الخلوية${\displaystyle c(\mathbb {B} )}$من الجبر البولياني${\displaystyle \mathbb {B} }$هو الحد الأعلى لعدد السلاسل المضادة في${\displaystyle \mathbb {B} }$.
• طول${\displaystyle {\rm {length}}(\mathbb {B} )}$من الجبر البولياني${\displaystyle \mathbb {B} }$يكون

${\displaystyle {\rm {length}}(\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ is a chain}}{\big \}}}$

• عمق${\displaystyle {\rm {depth}}(\mathbb {B} )}$من الجبر البولياني${\displaystyle \mathbb {B} }$يكون

${\displaystyle {\rm {depth}}(\mathbb {B} )=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ is a well-ordered subset}}{\big \}}}$.

• عدم قابلية المقارنة${\displaystyle {\rm {Inc}}(\mathbb {B} )}$من الجبر البولياني${\displaystyle \mathbb {B} }$يكون

${\displaystyle {\rm {Inc}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} {\text{ such that }}\forall a,b\in A{\big (}a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leq b\ \vee \ b\leq a){\big )}{\big \}}}$.

• الوزن الزائف${\displaystyle \pi (\mathbb {B} )}$من الجبر البولياني${\displaystyle \mathbb {B} }$يكون

${\displaystyle \pi (\mathbb {B} )=\min {\big \{}|A|:A\subseteq \mathbb {B} \setminus \{0\}{\text{ such that }}\forall b\in B\setminus \{0\}{\big (}\exists a\in A{\big )}{\big (}a\leq b{\big )}{\big \}}.}$

أمثلة على الدوال الأساسية في الجبر هي:

• فهرس المجموعة الفرعية H من G هو عدد المجموعات المشاركة .
• بُعد الفضاء المتجهي V على حقل K هو عدد عناصر أي أساس هامل لـ V.
• وبشكل أعم، بالنسبة لوحدة نمطية حرة M على حلقة R، فإننا نحدد الرتبة${\displaystyle {\rm {rank}}(M)}$باعتبارها عددية أي أساس لهذه الوحدة .
• بالنسبة للفضاء الخطي W من الفضاء المتجهي V، نحدد البعد المشترك لـ W (بالنسبة إلى V ).
• بالنسبة لأي بنية جبرية، من الممكن النظر في الحد الأدنى لعدد مولدات البنية.
• بالنسبة لامتدادات الحقول الجبرية ، غالبًا ما يتم استخدام الدرجة الجبرية والدرجة القابلة للفصل (الدرجة الجبرية تساوي بُعد الامتداد كفضاء متجهي على الحقل الأصغر).
• بالنسبة لامتدادات الحقول غير الجبرية، يتم استخدام درجة التجاوز بالمثل.

• مسرد تعريفات من الطوبولوجيا العامة

• مخطط سيتشون

• جيتش، توماس (2003). نظرية المجموعات . سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات (  طبعة الألفية الثالثة). برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-44085-7. Zbl 1007.03002 .