رمز تصحيح الأخطاء

في الحوسبة والاتصالات السلكية واللاسلكية ونظرية المعلومات ونظرية الترميز ، يعد تصحيح الخطأ الأمامي ( FEC ) أو ترميز القناة ^{[ 1 ]} تقنية تستخدم للتحكم في الأخطاء في نقل البيانات عبر قنوات اتصال غير موثوقة أو صاخبة .

تتلخص الفكرة الأساسية في أن المرسل يُشفّر الرسالة بطريقة زائدة ، غالبًا باستخدام رمز تصحيح الأخطاء ( ECC ). ^[²^]^[³^] تُمكّن هذه الزيادة المُستقبِل من اكتشاف الأخطاء التي قد تحدث في أي مكان في الرسالة، وتصحيح عدد محدود منها في كثير من الأحيان. لذا، قد لا تكون هناك حاجة إلى قناة عكسية لطلب إعادة الإرسال. أما التكلفة فتتمثل في زيادة عرض نطاق قناة الإرسال الأمامي.

لقد كان عالم الرياضيات الأمريكي ريتشارد هامينغ رائدًا في هذا المجال في الأربعينيات من القرن العشرين، واخترع أول رمز لتصحيح الأخطاء في عام 1950: رمز هامينغ (7،4) . ^{[ 3 ]}

يمكن تطبيق تصحيح الأخطاء الأمامية في الحالات التي تكون فيها عمليات إعادة الإرسال مكلفة أو مستحيلة، مثل روابط الاتصال أحادية الاتجاه أو عند الإرسال إلى أجهزة استقبال متعددة في البث المتعدد .

تستفيد الاتصالات ذات زمن الاستجابة الطويل أيضًا؛ ففي حالة الأقمار الصناعية التي تدور حول الكواكب البعيدة، قد يؤدي إعادة الإرسال بسبب الأخطاء إلى تأخير يصل إلى عدة ساعات. كما يُستخدم تصحيح الأخطاء الأمامي (FEC) على نطاق واسع في أجهزة المودم وشبكات الهاتف المحمول .

يمكن تطبيق معالجة تصحيح الأخطاء الأمامية (FEC) في جهاز الاستقبال على تدفق بتات رقمي أو في عملية فك تشفير إشارة حاملة معدلة رقميًا. في الحالة الأخيرة، يُعدّ تصحيح الأخطاء الأمامية جزءًا لا يتجزأ من عملية التحويل التناظري الرقمي الأولية في جهاز الاستقبال. يستخدم مُفكِّك فيتربي خوارزمية القرار المرن لفك تشفير البيانات الرقمية من إشارة تناظرية مشوّهة بالضوضاء. كما يمكن للعديد من مُفكِّكات تصحيح الأخطاء الأمامية توليد إشارة معدل خطأ البت (BER) التي يمكن استخدامها كمعلومات مرتدة لضبط إلكترونيات الاستقبال التناظرية بدقة.

تُضاف معلومات تصحيح الأخطاء الأمامية إلى أجهزة التخزين الضخمة (المغناطيسية والبصرية والحالة الصلبة/القائمة على الفلاش) لتمكين استعادة البيانات التالفة، وتُستخدم كذاكرة كمبيوتر ECC في الأنظمة التي تتطلب أحكامًا خاصة للموثوقية.

يُحدد تصميم نظام تصحيح الأخطاء (ECC) الحد الأقصى لنسبة الأخطاء أو البتات المفقودة التي يمكن تصحيحها، لذا فإن أنظمة تصحيح الأخطاء الأمامية المختلفة تُناسب ظروفًا مختلفة. بشكل عام، يُؤدي استخدام نظام أقوى إلى زيادة التكرار الذي يجب نقله باستخدام عرض النطاق الترددي المتاح، مما يُقلل من معدل البتات الفعلي مع تحسين نسبة الإشارة إلى الضوضاء الفعلية المُستقبلة . يُمكن استخدام نظرية ترميز القناة المُشوشة لكلود شانون لحساب أقصى عرض نطاق ترددي للاتصال يُمكن تحقيقه لاحتمالية خطأ قصوى مقبولة. يُحدد هذا حدودًا على الحد الأقصى النظري لمعدل نقل المعلومات لقناة ذات مستوى ضوضاء أساسي مُحدد. مع ذلك، فإن البرهان ليس بنائيًا، وبالتالي لا يُقدم أي رؤية حول كيفية بناء نظام يُحقق السعة المطلوبة. بعد سنوات من البحث، تقترب بعض أنظمة تصحيح الأخطاء الأمامية المُتقدمة، مثل نظام الترميز القطبي ^{[ 4 ]،} من الحد الأقصى النظري (حد شانون) الذي تُحدده سعة قناة شانون في ظل فرضية إطار ذي طول لانهائي.

طريقة

تُنجز عملية تصحيح الأخطاء (ECC) بإضافة بيانات زائدة إلى المعلومات المرسلة باستخدام خوارزمية. قد تكون البتة الزائدة دالة معقدة للعديد من بتات المعلومات الأصلية. قد تظهر المعلومات الأصلية حرفيًا في المخرجات المشفرة أو لا تظهر؛ فالرموز التي تتضمن المدخلات غير المعدلة في المخرجات تُسمى رموزًا منتظمة ، بينما تلك التي لا تتضمنها تُسمى رموزًا غير منتظمة .

من الأمثلة البسيطة على تصحيح الأخطاء (ECC) إرسال كل بت من البيانات ثلاث مرات، وهو ما يُعرف برمز التكرار (3,1) . في قناة مشوشة، قد يرى جهاز الاستقبال ثماني نسخ من المخرجات؛ انظر الجدول أدناه.

تلقى ثلاثة توائم	تم تفسيره على النحو التالي
٠٠٠	0 (خالٍ من الأخطاء)
001	0
010	0
100	0
111	1 (خالٍ من الأخطاء)
110	1
101	1
011	1

يُتيح هذا النظام تصحيح أي خطأ في أي من العينات الثلاث عن طريق "التصويت بالأغلبية" أو "التصويت الديمقراطي". وتتمثل قدرة هذا النظام التصحيحية فيما يلي:

خطأ يصل إلى بت واحد من الثلاثية، أو
تم حذف ما يصل إلى بتين من الثلاثية (الحالات غير موضحة في الجدول).

على الرغم من سهولة تطبيقها وانتشار استخدامها، إلا أن هذه التقنية الثلاثية للتكرار المعياري تُعتبر غير فعالة نسبياً في تصحيح الأخطاء. عادةً ما تفحص رموز تصحيح الأخطاء الأفضل آخر عشرات أو حتى آخر مئات البتات المستلمة سابقاً لتحديد كيفية فك تشفير مجموعة البتات الصغيرة الحالية (عادةً في مجموعات من بتتين إلى ثماني بتات).

الشكلية المبسطة

بصورة رسمية، يُعطى رمز تصحيح الأخطاء بواسطة دالة التشفير ( الحقنية ) الخاصة به. $f:\Sigma ^{*}\hookrightarrow \Delta ^{*}$ والتي تُخصص لكل كلمة $u\in \Sigma ^{*}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Sigma ^{n}$ من أبجدية محدودة $\Sigma$ كلمة فريدة $w\in \Delta ^{*}\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\textstyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }\Delta ^{n}$ (مجموعة من الحروف) من الأبجدية $\Delta$ .

في أغلب الأحيان، $f$ هو تماثل بمعنى أنه إذا $x_{1}*x_{2}$ هو سلسلة من $x_{1}$ و $x_{2}$ ثم لدينا ما يلي: $f(u_{1}*u_{2})=f(u_{1})*f(u_{2})$ وهذا يعني أنه يكفي أن نحدد $f(\sigma )$ للكلمات المكونة من حرف واحد $\sigma$ النطاق $\mathrm {Im} (f)$ من الوظيفة $f$ هي مجموعة الكلمات المشفرة. ويمكن فهم قدرات الشفرة على اكتشاف الأخطاء وتصحيحها من مسافة بعيدة. $d=\min _{w_{1},w_{2}\in \mathrm {Im} (f);\ w_{1}\neq w_{2}}d_{H}(w_{1},w_{2})$ من الشفرة، وهي أقصر مسافة هامينغ تفصل بين أي كلمتين مختلفتين في الشفرة. شفرة ذات مسافة $d$ يمكنه اكتشاف الأخطاء في $k$ أجزاء طويلة مثل $k<d$ ومن بين تلك الأخطاء المكتشفة، يمكن للبرنامج تصحيحها $l$ أخطاء بتية عند حدوثها $2l<d$ .

متوسط الضوضاء لتقليل الأخطاء

يمكن القول أن تقنية تصحيح الأخطاء تعمل عن طريق "توسط الضوضاء"؛ نظرًا لأن كل بت من البيانات يؤثر على العديد من الرموز المرسلة، فإن تلف بعض الرموز بسبب الضوضاء يسمح عادةً باستخراج بيانات المستخدم الأصلية من الرموز الأخرى غير التالفة التي تم استلامها والتي تعتمد أيضًا على نفس بيانات المستخدم.

بسبب تأثير "تجميع المخاطر" هذا، تميل أنظمة الاتصالات الرقمية التي تستخدم تصحيح الأخطاء إلى العمل بشكل جيد فوق نسبة إشارة إلى ضوضاء دنيا معينة ، ولا تعمل على الإطلاق تحتها.
يصبح هذا الميل إلى الكل أو لا شيء - تأثير الجرف - أكثر وضوحًا مع استخدام رموز أقوى تقترب بشكل أوثق من حد شانون النظري .
يمكن لدمج البيانات المشفرة بتقنية تصحيح الأخطاء (ECC) أن يقلل من خصائص "الكل أو لا شيء" لرموز ECC المرسلة عندما تميل أخطاء القناة إلى الحدوث على شكل دفعات. ومع ذلك، فإن لهذه الطريقة حدودًا؛ فهي تُستخدم على أفضل وجه مع البيانات ذات النطاق الترددي الضيق.

تستخدم معظم أنظمة الاتصالات رمز قناة ثابتًا مصممًا لتحمل أسوأ معدل خطأ متوقع في البتات ، ثم تتوقف عن العمل تمامًا إذا ازداد معدل الخطأ. مع ذلك، تتكيف بعض الأنظمة مع ظروف خطأ القناة: فبعض حالات طلب إعادة الإرسال التلقائي الهجين تستخدم طريقة تصحيح الأخطاء الثابتة (ECC) طالما أن التصحيح قادر على التعامل مع معدل الخطأ، ثم تتحول إلى طلب إعادة الإرسال التلقائي (ARQ) عندما يرتفع معدل الخطأ بشكل كبير؛ بينما يستخدم التعديل والترميز التكيفي معدلات تصحيح أخطاء متنوعة، حيث يضيف المزيد من بتات تصحيح الأخطاء لكل حزمة عند ارتفاع معدلات الخطأ في القناة، أو يزيلها عند عدم الحاجة إليها.

الأنواع

الفئتان الرئيسيتان لرموز ECC هما رموز الكتل ورموز الالتفاف .

تعتمد رموز الكتل على كتل (حزم) ذات حجم ثابت من البتات أو الرموز ذات حجم محدد مسبقًا. ويمكن فك تشفير رموز الكتل العملية بشكل عام في وقت متعدد الحدود بالنسبة لطول كتلتها.
تعمل رموز الالتفاف على تدفقات البتات أو الرموز ذات الأطوال العشوائية. ويتم فك تشفيرها غالبًا باستخدام خوارزمية فيتربي ، مع إمكانية استخدام خوارزميات أخرى أحيانًا. يتيح فك تشفير فيتربي كفاءة فك تشفير مثالية تقاربًا مع زيادة طول قيد رمز الالتفاف، ولكن على حساب زيادة التعقيد بشكل أُسّي . يُعد رمز الالتفاف المُنهى أيضًا "رمز كتلة" لأنه يُشفّر كتلة من بيانات الإدخال، ولكن حجم كتلة رمز الالتفاف يكون عشوائيًا بشكل عام، بينما تتميز رموز الكتلة بحجم ثابت تحدده خصائصها الجبرية. تشمل أنواع إنهاء رموز الالتفاف "عض الذيل" و"مسح البتات".

تُفكّ رموز الكتل التقليدية عادةً باستخدام خوارزميات القرار الحاسم ، ^{[ 5 ]} مما يعني أنه لكل إشارة دخل وخرج، يُتخذ قرار حاسم بشأن ما إذا كانت تُطابق بتًا واحدًا أو صفرًا. في المقابل، تُفكّ رموز الالتفاف عادةً باستخدام خوارزميات القرار المرن مثل خوارزميات فيتربي، وMAP، و BCJR ، التي تُعالج الإشارات التناظرية (المُجزأة)، والتي تُتيح أداءً أفضل بكثير في تصحيح الأخطاء مقارنةً بفكّ الرموز باستخدام القرار الحاسم.

تُطبّق جميع رموز الكتل الكلاسيكية تقريبًا الخصائص الجبرية للحقول المنتهية . ولذلك، غالبًا ما يُشار إلى رموز الكتل الكلاسيكية باسم الرموز الجبرية.

رموز الحظر

توجد أنواع عديدة من رموز الكتل؛ ويُعدّ ترميز ريد-سولومون جديرًا بالذكر لاستخدامه الواسع في الأقراص المدمجة وأقراص DVD ومحركات الأقراص الصلبة . ومن الأمثلة الأخرى على رموز الكتل الكلاسيكية: غولاي ، و BCH ، والتكافؤ متعدد الأبعاد ، ورموز هامينغ .

تُستخدم تقنية تصحيح الأخطاء هامينغ (Hamming ECC) بشكل شائع لتصحيح أخطاء ذاكرة ECC وأخطاء ذاكرة فلاش NAND من نوع SLC المبكرة . ^{[ 6 ]} توفر هذه التقنية تصحيحًا للأخطاء على مستوى بت واحد واكتشافًا للأخطاء على مستوى بتين. تُناسب رموز هامينغ فقط ذاكرة NAND من نوع SLC الأكثر موثوقية. قد تستخدم ذاكرة NAND من نوع MLC الأكثر كثافة تقنيات تصحيح أخطاء متعددة البتات مثل BCH أو ريد-سولومون أو LDPC . ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} لا تستخدم ذاكرة فلاش NOR عادةً أي نوع من تصحيح الأخطاء. ^{[ 7 ]}

الرموز البرمجية المرنة

فحص التكافؤ منخفض الكثافة (LDPC)

تُعدّ رموز التحقق من التكافؤ منخفضة الكثافة (LDPC) فئةً من رموز الكتل الخطية عالية الكفاءة، والمُكوّنة من العديد من رموز التحقق من التكافؤ الفردي (SPC). ويمكنها توفير أداء قريب جدًا من سعة القناة (الحد الأقصى النظري) باستخدام أسلوب فك التشفير ذي القرار المرن المُكرّر، وذلك بتعقيد زمني خطي بالنسبة لطول الكتلة. وتعتمد التطبيقات العملية بشكل كبير على فك تشفير رموز التحقق من التكافؤ الفردي المُكوّنة لها بالتوازي.

تم تقديم رموز LDPC لأول مرة بواسطة روبرت ج. جالاجر في أطروحته للدكتوراه في عام 1960، ولكن بسبب الجهد الحسابي في تنفيذ المشفر والمفكك وإدخال رموز ريد سولومون ، تم تجاهلها إلى حد كبير حتى التسعينيات.

تُستخدم رموز LDPC حاليًا في العديد من معايير الاتصالات عالية السرعة الحديثة، مثل DVB-S2 (البث الرقمي للفيديو عبر الأقمار الصناعية - الجيل الثاني)، و WiMAX ( معيار IEEE 802.16e للاتصالات الميكروية)، وشبكة LAN اللاسلكية عالية السرعة ( IEEE 802.11n )، ^و10^{GBase -} T Ethernet (802.3an)، و G.hn/G.9960 (معيار ITU-T للشبكات عبر خطوط الطاقة وخطوط الهاتف والكابلات المحورية). كما تم توحيد رموز LDPC أخرى لمعايير الاتصالات اللاسلكية ضمن 3GPP MBMS (انظر رموز Fountain ).

رمز توربو

تُعدّ تقنية التشفير التوربيني نظامًا مُكررًا لفك التشفير الناعم، يجمع بين اثنين أو أكثر من رموز الالتفاف البسيطة نسبيًا ووحدة التداخل لإنتاج رمز كتلة يُمكنه العمل بدقة تصل إلى جزء من ديسيبل من حد شانون . ورغم أنها سبقت رموز LDPC من حيث التطبيق العملي، إلا أنها تُقدم الآن أداءً مُشابهًا.

كانت تقنية CDMA2000 1x (TIA IS-2000) للاتصالات الخلوية الرقمية ، التي طورتها شركة كوالكوم وباعتها شركات فيريزون وايرلس وسبرينت وغيرها من شركات الاتصالات، من أوائل التطبيقات التجارية لتقنية التشفير التوربيني . كما استُخدمت هذه التقنية لتطوير تقنية CDMA2000 1x خصيصًا للوصول إلى الإنترنت، وهي 1xEV-DO (TIA IS-856). وكما هو الحال مع 1x، طورت كوالكوم تقنية EV-DO ، وتبيعها شركات فيريزون وايرلس وسبرينت وغيرها من شركات الاتصالات (يُطلق على 1xEV-DO اسم Broadband Access من قبل فيريزون، بينما تُطلق عليه سبرينت اسمي Power Vision و Mobile Broadband للمستهلكين والشركات على التوالي).

وصف أداء مركز التحكم في الطاقة

على عكس رموز الكتل التقليدية التي غالباً ما تحدد قدرة على اكتشاف الأخطاء أو تصحيحها، تفتقر العديد من رموز الكتل الحديثة، مثل رموز LDPC، إلى مثل هذه الضمانات. وبدلاً من ذلك، يتم تقييم الرموز الحديثة من حيث معدلات خطأ البتات.

معظم رموز تصحيح الأخطاء الأمامية تُصحح فقط انقلاب البتات، وليس إدخال البتات أو حذفها. في هذه الحالة، تُعد مسافة هامينغ الطريقة الأنسب لقياس معدل خطأ البت . صُممت بعض رموز تصحيح الأخطاء الأمامية لتصحيح إدخال البتات وحذفها، مثل رموز العلامات ورموز العلامات المائية. تُعد مسافة ليفنشتاين طريقةً أكثر ملاءمةً لقياس معدل خطأ البت عند استخدام هذه الرموز. ^{[ 10 ]}

معدل الترميز والمفاضلة بين الموثوقية ومعدل البيانات

يقوم مبدأ التشفير الإهليلجي (ECC) على إضافة بتات زائدة لمساعدة جهاز فك التشفير على تحديد الرسالة الأصلية المشفرة من المرسل. يُعرَّف معدل التشفير لنظام ECC بأنه النسبة بين عدد بتات المعلومات وعدد البتات الكلي (أي بتات المعلومات بالإضافة إلى البتات الزائدة) في حزمة الاتصال. وبالتالي، فإن معدل التشفير هو عدد حقيقي. يشير معدل التشفير المنخفض القريب من الصفر إلى تشفير قوي يستخدم العديد من البتات الزائدة لتحقيق أداء جيد، بينما يشير معدل التشفير المرتفع القريب من 1 إلى تشفير ضعيف.

يجب نقل البتات الزائدة التي تحمي المعلومات باستخدام موارد الاتصال نفسها التي تحاول حمايتها. وهذا يُسبب مفاضلة جوهرية بين الموثوقية ومعدل نقل البيانات. ^{[ 11 ]} ففي أحد طرفي النقيض، يُمكن لرمز قوي (بمعدل رمز منخفض) أن يُحسّن بشكل ملحوظ نسبة الإشارة إلى الضوضاء في جهاز الاستقبال، مما يُقلل من معدل خطأ البت، ولكن على حساب تقليل معدل نقل البيانات الفعلي. وفي الطرف الآخر، فإن عدم استخدام أي تصحيح للأخطاء (أي معدل رمز يساوي 1) يُتيح استخدام القناة كاملةً لنقل المعلومات، ولكن على حساب ترك البتات دون أي حماية إضافية.

أحد الأسئلة المهمة هو: ما مدى كفاءة نظام تصحيح الأخطاء (ECC) من حيث نقل المعلومات مع معدل خطأ فك تشفير ضئيل؟ أجاب كلود شانون على هذا السؤال بنظريته الثانية، التي تنص على أن سعة القناة هي أقصى معدل بت يمكن تحقيقه بواسطة أي نظام ECC يؤول معدل خطئه إلى الصفر: ^{[ 12 ].} يعتمد برهانه على التشفير العشوائي الغاوسي، وهو غير مناسب للتطبيقات العملية. ألهم الحد الأعلى الذي قدمه شانون رحلة طويلة في تصميم أنظمة ECC تقترب من الحد الأقصى للأداء. تستطيع العديد من أنظمة التشفير اليوم الوصول إلى حد شانون تقريبًا. مع ذلك، فإن أنظمة ECC التي تحقق السعة المطلوبة عادةً ما تكون معقدة للغاية في التنفيذ.

تُوازن معظم خوارزميات تصحيح الأخطاء (ECC) الشائعة بين الأداء والتعقيد الحسابي. عادةً ما تُحدد معاييرها نطاقًا لمعدلات التشفير الممكنة، والتي يُمكن تحسينها وفقًا للسيناريو. عادةً ما يتم هذا التحسين لتحقيق احتمالية منخفضة لخطأ فك التشفير مع تقليل التأثير على معدل نقل البيانات. ومن المعايير الأخرى لتحسين معدل التشفير تحقيق التوازن بين انخفاض معدل الخطأ وعدد عمليات إعادة الإرسال لتقليل تكلفة الطاقة للاتصال. ^{[ 13 ]}

فك التشفير واختبار الرموز محليًا

أحيانًا يكفي فك تشفير بتات مفردة من الرسالة، أو التحقق مما إذا كانت إشارة معينة تمثل كلمة مشفرة، وذلك دون النظر إلى الإشارة بأكملها. يُعدّ هذا الأمر منطقيًا في بيئة البث المباشر، حيث تكون الكلمات المشفرة كبيرة جدًا بحيث يصعب فك تشفيرها بالطرق التقليدية بسرعة كافية، وحيث لا يهمّنا في الوقت الحالي سوى عدد قليل من بتات الرسالة. كما أصبحت هذه الرموز أداةً مهمةً في نظرية التعقيد الحسابي ، على سبيل المثال، لتصميم البراهين القابلة للتحقق الاحتمالي .

تُعدّ الرموز القابلة للفك محليًا رموزًا لتصحيح الأخطاء، حيث يمكن استعادة بتات مفردة من الرسالة احتماليًا بمجرد النظر إلى عدد صغير (ثابت مثلًا) من مواضع كلمة الترميز، حتى بعد تلف كلمة الترميز في نسبة ثابتة من المواضع. أما الرموز القابلة للاختبار محليًا، فهي رموز لتصحيح الأخطاء يمكن التحقق احتماليًا من مدى قرب إشارة ما من كلمة الترميز بمجرد النظر إلى عدد صغير من مواضع الإشارة.

ليست كل الرموز القابلة للفك محلياً (LDCs) رموزاً قابلة للاختبار محلياً (LTCs) ^{[ 14 ]} ولا رموزاً قابلة للتصحيح محلياً (LCCs) ^{[ 15 ]،} إذ أن رموز LCCs ذات استعلام q محدودة أُسّياً ^{[ 16 ]} بينما يمكن أن يكون لرموز LDCs أطوال دون أُسّية . ^{[ 17 ]}

تحسين الأداء

الربط (الدمج)

غالبًا ما تُدمج رموز الكتل الكلاسيكية (الجبرية) ورموز الالتفاف في أنظمة ترميز متسلسلة ، حيث يقوم رمز التفاف قصير مُفكَّك بواسطة فيتربي بمعظم العمل، بينما يقوم رمز كتلة (عادةً ريد-سولومون) ذو حجم رمز وطول كتلة أكبر بتصحيح أي أخطاء يرتكبها مُفكِّك الالتفاف. يمكن أن يُحقق فك التشفير أحادي المرور باستخدام هذه المجموعة من رموز تصحيح الأخطاء معدلات خطأ منخفضة للغاية، ولكن في ظروف الإرسال لمسافات طويلة (مثل الفضاء السحيق)، يُوصى بفك التشفير التكراري.

أصبحت الشفرات المتسلسلة ممارسة معيارية في الاتصالات عبر الأقمار الصناعية والفضاء السحيق منذ أن استخدمتها المركبة الفضائية فوياجر 2 لأول مرة في رحلتها عام 1986 إلى كوكب أورانوس . واستخدمت مركبة غاليليو شفرات متسلسلة متكررة للتعويض عن معدلات الخطأ العالية جدًا الناتجة عن عطل في الهوائي.

التداخل

يُستخدم التداخل بشكل متكرر في أنظمة الاتصالات والتخزين الرقمية لتحسين أداء رموز تصحيح الأخطاء الأمامية. لا تُعتبر العديد من قنوات الاتصال عديمة الذاكرة، حيث تحدث الأخطاء عادةً على شكل دفعات بدلاً من حدوثها بشكل مستقل. إذا تجاوز عدد الأخطاء في كلمة رمزية قدرة رمز تصحيح الأخطاء، فإنه يفشل في استعادة الكلمة الرمزية الأصلية. يُخفف التداخل من هذه المشكلة عن طريق إعادة ترتيب رموز المصدر عبر عدة كلمات رمزية، مما يُؤدي إلى توزيع أكثر تجانسًا للأخطاء. ^{[ 18 ]} لذلك، يُستخدم التداخل على نطاق واسع لتصحيح الأخطاء المتتالية .

يفترض تحليل الشفرات التكرارية الحديثة، مثل شفرات التوربو وشفرات LDPC ، عادةً توزيعًا مستقلًا للأخطاء. ^{[ 19 ]} ولذلك، تستخدم الأنظمة التي تعتمد على شفرات LDPC عادةً تداخلًا إضافيًا بين الرموز داخل كلمة الشفرة. ^{[ 20 ]}

في ترميز التوربو، يُعدّ المُبدِّل جزءًا أساسيًا، وتصميمه الأمثل ضروريٌّ لتحقيق أداءٍ جيد. ^{[ 18 ]}^{[ 21 ]} تعمل خوارزمية فك التشفير التكرارية بأفضل شكلٍ عندما لا توجد دورات قصيرة في الرسم البياني للعوامل الذي يُمثّل المُفكِّك؛ ويتم اختيار المُبدِّل لتجنُّب هذه الدورات القصيرة.

تشمل تصميمات التداخل ما يلي:

متداخلات مستطيلة (أو منتظمة) (على غرار الطريقة التي تستخدم عوامل التخطي الموضحة أعلاه)
المتداخلات الالتفافية
المتداخلات العشوائية (حيث يكون المتداخل عبارة عن تبديل عشوائي معروف)
متداخل عشوائي S (حيث يكون المتداخل عبارة عن تبديل عشوائي معروف مع قيد عدم ظهور أي رموز إدخال ضمن مسافة S ضمن مسافة S في المخرجات). ^{[ 22 ]}
متعددة حدود تربيعية تبديلية خالية من التنازع (QPP). ^{[ 23 ]} ومن الأمثلة على استخدامها معيار الاتصالات المتنقلة طويل الأمد 3GPP . ^{[ 24 ]}

في أنظمة الاتصالات متعددة الموجات الحاملة ، يمكن استخدام التداخل بين الموجات الحاملة لتوفير تنوع التردد ، على سبيل المثال، للتخفيف من التلاشي الانتقائي للتردد أو التداخل ضيق النطاق. ^{[ 25 ]}

مثال التداخل

الإرسال بدون تداخل :

رسالة خالية من الأخطاء: aaaabbbbccccddddeeeeffffgggg إرسال مع خطأ متقطع: aaaabbbbccc____deeeeffffgggg

هنا، تمثل كل مجموعة من نفس الحرف كلمة رمزية مكونة من 4 بتات مع بت واحد لتصحيح الأخطاء. يتم تغيير كلمة الرمز cccc في بت واحد ويمكن تصحيحها، لكن كلمة الرمز dddd يتم تغييرها في ثلاثة بتات، لذا إما أنه لا يمكن فك تشفيرها على الإطلاق أو قد يتم فك تشفيرها بشكل خاطئ .

مع التداخل :

كلمات الترميز الخالية من الأخطاء: aaaabbbbccccddddeeeeffffgggg الكلمات المتداخلة: abcdefgabcdefgabcdefgabcdefg الإرسال مع خطأ في النبضة: abcdefgabcd____bcdefgabcdefg كلمات الترميز المستلمة بعد فك التداخل: aa_abbbbccccdddde_eef_ffg_gg

في كل من الكلمات المشفرة " aaaa " و " eeee " و " ffff " و " gggg "، يتم تغيير بت واحد فقط، لذلك فإن رمز تصحيح الأخطاء أحادي البت سيفك تشفير كل شيء بشكل صحيح.

الإرسال بدون تداخل :

الجملة الأصلية المرسلة: ThisIsAnExampleOfInterleaving الجملة المستلمة مع خطأ في التداخل: ThisIs______pleOfInterleaving

ينتهي مصطلح " AnExample " في الغالب إلى أن يكون غير مفهوم ويصعب تصحيحه.

مع التداخل :

الجملة المرسلة: ThisIsAnExampleOfInterleaving... إرسال خالٍ من الأخطاء: TIEpfeaghsxlIrv.iAaenli.snmOten. الجملة المستلمة مع خطأ في الإرسال: TIEpfe______Irv.iAaenli.snmOten. الجملة المستلمة بعد فك التشابك: T_isI_AnE_amp_eOfInterle_vin_...

لا تضيع أي كلمة تماماً، ويمكن استعادة الأحرف المفقودة بأقل قدر من التخمين.

عيوب التداخل

يؤدي استخدام تقنيات التداخل إلى زيادة التأخير الكلي، وذلك لأنه يجب استقبال الكتلة المتداخلة بالكامل قبل فك تشفير الحزم. ^{[ 26 ]} كما أن تقنيات التداخل تخفي بنية الأخطاء؛ فبدونها، تستطيع خوارزميات فك التشفير الأكثر تطورًا الاستفادة من بنية الأخطاء وتحقيق اتصال أكثر موثوقية من مُفكِّك تشفير أبسط مُدمج مع تقنية التداخل . ومن أمثلة هذه الخوارزميات تلك القائمة على هياكل الشبكات العصبية . ^[²⁷^]

برنامج لتصحيح الأخطاء البرمجية

يُعدّ محاكاة سلوك رموز تصحيح الأخطاء (ECCs) في البرمجيات ممارسة شائعة لتصميمها والتحقق من صحتها وتحسينها. ويُتيح معيار الجيل الخامس اللاسلكي القادم نطاقًا جديدًا من التطبيقات لرموز تصحيح الأخطاء البرمجية، وتحديدًا شبكات الوصول الراديوي السحابية (C-RAN) ضمن سياق الراديو المُعرّف بالبرمجيات (SDR) . وتتمثل الفكرة في استخدام رموز تصحيح الأخطاء البرمجية مباشرةً في الاتصالات. فعلى سبيل المثال، في شبكات الجيل الخامس، يُمكن وضع رموز تصحيح الأخطاء البرمجية في السحابة وتوصيل الهوائيات بموارد الحوسبة هذه، مما يُحسّن مرونة شبكة الاتصالات ويرفع كفاءة استهلاك الطاقة للنظام.

في هذا السياق، توجد العديد من البرامج مفتوحة المصدر المتاحة المدرجة أدناه (على سبيل المثال لا الحصر).

AFF3CT (مجموعة أدوات تصحيح الأخطاء الأمامية السريعة): سلسلة اتصالات كاملة بلغة C++ (العديد من الرموز المدعومة مثل Turbo و LDPC و Polar codes وما إلى ذلك)، سريعة جدًا ومتخصصة في ترميز القناة (يمكن استخدامها كبرنامج للمحاكاة أو كمكتبة لـ SDR).
IT++ : مكتبة C++ للفئات والوظائف الخاصة بالجبر الخطي، والتحسين العددي، ومعالجة الإشارات، والاتصالات، والإحصاء.
OpenAir : تطبيق (بلغة C) لمواصفات 3GPP المتعلقة بشبكات Evolved Packet Core Networks.

قائمة رموز تصحيح الأخطاء

رموز ثابتة
شفرة	مسافة	الأخطاء القابلة للكشف (بتات)	الأخطاء القابلة للتصحيح (بتات)
التكافؤ (يلزم التخمين في حالة الخطأ)	2	1	0
التكرار المعياري الثلاثي	3	2	1
هامينغ مثالي مثل هامينغ (7،4)	3	2	1
SECDED : هامينغ ممتد مثل (39،32)، (72،64)	4	3	1
تم الكشف عنه: رمز نوردستروم روبنسون	6	5	2
شفرة غولاي الثنائية المثالية	7	6	3
TECFED: رمز غولاي الثنائي الموسع	8	7	3

في الجدول أعلاه، بالنسبة لرمز تصحيح الأخطاء ذي مسافة هامينغ الدنيا $d$ يُحدد الحد الأقصى لعدد الأخطاء التي يمكن للبرنامج اكتشافها بواسطة $d-1$ بينما يُعطى الحد الأقصى لعدد الأخطاء التي يمكن تصحيحها بواسطة $\left\lfloor {\frac {d-1}{2}}\right\rfloor$ .

رموز AN
رمز الهندسة الجبرية
رمز BCH ، والذي يمكن تصميمه لتصحيح أي عدد عشوائي من الأخطاء لكل كتلة رمزية.
يستخدم رمز باركر للرادار، والقياس عن بعد، والموجات فوق الصوتية، وشبكة الواي فاي، وشبكات الهاتف المحمول DSSS، ونظام تحديد المواقع العالمي (GPS)، وما إلى ذلك.
رمز بيرغر
رمز الوزن الثابت
الشفرة الالتفافية
رموز الموسع
رموز المجموعات
رموز غولاي ، والتي يعتبر رمز غولاي الثنائي منها ذا أهمية عملية
شفرة جوبا ، المستخدمة في نظام التشفير ماكليس
قانون هادامارد
رمز هاجلبارجر
شفرة هامينغ
رمز قائم على المربع اللاتيني للضوضاء غير البيضاء (شائع على سبيل المثال في النطاق العريض عبر خطوط الطاقة)
الرمز المعجمي
ترميز الشبكة الخطي ، وهو نوع من أنواع ترميز تصحيح المحو عبر الشبكات بدلاً من الروابط من نقطة إلى نقطة
رمز طويل
رمز التحقق من التكافؤ منخفض الكثافة ، والمعروف أيضًا باسم رمز غالاغر ، باعتباره النموذج الأولي لرموز الرسوم البيانية المتفرقة.
رمز LT ، وهو رمز تصحيح محو بدون معدل مثالي تقريبًا (رمز النافورة).
m من n رمز
رمز نوردستروم-روبنسون ، المستخدم في الهندسة ونظرية المجموعات ^{[ 28 ]}
رمز عبر الإنترنت ، رمز تصحيح محو بدون معدل مثالي تقريبًا
الترميز القطبي (نظرية الترميز)
كود رابتور ، وهو كود تصحيح محو شبه مثالي بدون معدل
تصحيح الخطأ ريد-سولومون
رمز ريد-مولر
رمز التكرار والتراكم
رموز التكرار ، مثل التكرار المعياري الثلاثي
الشفرة الشوكية، وهي شفرة غير خطية بدون معدل تعتمد على وظائف التجزئة شبه العشوائية ^{[ 29 ]}
شفرة تورنادو ، وهي شفرة تصحيح محو شبه مثالية ، والسلف لشفرات فاونتن
رمز توربو
قانون والش-هادامارد
يمكن لفحوصات التكرار الدوري (CRCs) تصحيح أخطاء بت واحد للرسائل على الأكثر $2^{n-1}-1$ بتات طويلة لكثيرات الحدود المولدة المثلى من الدرجة $n$ انظر: رياضيات فحوصات التكرار الدوري § مرشحات البت
الرموز القابلة للاسترداد محليًا
رمز مصادقة الرسالة

انظر أيضاً

مراجع

↑ تشارلز وانغ؛ دين سكلار؛ ديانا جونسون (شتاء 2001-2002). "ترميز تصحيح الأخطاء الأمامي" . كروسلينك . 3 (1). مؤسسة الفضاء الجوي. مؤرشف من الأصل في 14 مارس 2012. تم الاسترجاع في 5 مارس 2006 .
↑ جلوفر، نيل؛ دادلي، ترينت (1990). تصميم عملي لتصحيح الأخطاء للمهندسين (مراجعة 1.1، الطبعة الثانية). كولورادو، الولايات المتحدة الأمريكية: سيروس لوجيك . ISBN 0-927239-00-0.
هامينغ ، ريتشارد ويسلي (أبريل 1950). "رموز كشف الأخطاء وتصحيحها". مجلة بيل سيستم التقنية . 29 (2). الولايات المتحدة الأمريكية: AT&T : 147-160 . Bibcode : 1950BSTJ...29..147H . doi : 10.1002/j.1538-7305.1950.tb00463.x . hdl : 10945/46756 . S2CID 61141773 .
↑ ماوندر، روبرت (2016). "نظرة عامة على ترميز القنوات" .
↑ بالدي، م.؛ كيارالوتشي، ف. (2008). "مخطط بسيط لفك تشفير انتشار الاعتقاد لرموز BCH وRS في عمليات الإرسال متعددة الوسائط" . المجلة الدولية للبث الرقمي متعدد الوسائط . 2008 : 1-12 . doi : 10.1155/2008/957846 .
↑ "رموز هامينغ لأجهزة ذاكرة فلاش NAND" مؤرشفة بتاريخ 21 أغسطس 2016 في أرشيف الإنترنت . EE Times-Asia. يبدو أنها تستند إلى "المذكرة الفنية لشركة Micron رقم TN-29-08: رموز هامينغ لأجهزة ذاكرة فلاش NAND" مؤرشفة بتاريخ 29 أغسطس 2017 في أرشيف الإنترنت . 2005. كلاهما يقول: "خوارزمية هامينغ هي طريقة معتمدة في الصناعة لاكتشاف الأخطاء وتصحيحها في العديد من التطبيقات القائمة على ذاكرة فلاش SLC NAND."
١ ٢ "ما أنواع تصحيح الأخطاء التي يجب استخدامها في ذاكرة الفلاش؟" (ملف PDF) . سبانسيون. ٢٠١١. مؤرشف من الأصل (مذكرة تطبيقية) في ١٤ يونيو ٢٠١٦. تُعد كل من خوارزمية ريد-سولومون وخوارزمية BCH من الخيارات الشائعة لتصحيح الأخطاء في ذاكرة فلاش NAND متعددة المستويات (MLC). ... تُعد رموز الكتل القائمة على هامينغ أكثر أنواع تصحيح الأخطاء استخدامًا في ذاكرة SLC.... تتميز كل من خوارزمية ريد-سولومون وخوارزمية BCH بقدرتها على التعامل مع أخطاء متعددة، وتُستخدم على نطاق واسع في ذاكرة فلاش متعددة المستويات (MLC).
↑ جيم كوك (أغسطس 2007). "حقائق غير مريحة عن ذاكرة فلاش NAND" (ملف PDF) . ص 28. بالنسبة لـ SLC، يكفي رمز ذو عتبة تصحيح 1. يلزم t=4 ... لـ MLC.
↑ معيار IEEE، القسم 20.3.11.6 "802.11n-2009" مؤرشف في 3 فبراير 2013 في Wayback Machine ، IEEE، 29 أكتوبر 2009، تم الوصول إليه في 21 مارس 2011.
↑ شاه، غاوراف؛ مولينا، أندريس؛ بليز، مات (2006). "لوحات المفاتيح والقنوات السرية" . USENIX . تم الاسترجاع في 20 ديسمبر 2018 .
↑ تسي، ديفيد؛ فيسواناث، برامود (2005)، أساسيات الاتصالات اللاسلكية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، المملكة المتحدة
↑ شانون، سي إي (1948). "نظرية رياضية للاتصالات" (ملف PDF) . مجلة بيل سيستم التقنية . 27 ( 3-4 ): 379-423 و623-656. Bibcode : 1948BSTJ...27..379S . doi : 10.1002/j.1538-7305.1948.tb01338.x . hdl : 11858/00-001M-0000-002C-4314-2 .
↑ روزاس، ف.؛ برانتي، ج.؛ سوزا، ر.د.؛ أوبرلي، س. (2014). "تحسين معدل الترميز لتحقيق اتصالات لاسلكية موفرة للطاقة". وقائع مؤتمر IEEE للاتصالات اللاسلكية والشبكات (WCNC) . الصفحات 775-780 . doi : 10.1109/WCNC.2014.6952166 . ISBN 978-1-4799-3083-8.
↑ كوفمان، تالي ؛ فيدرمان، مايكل. "الرموز القابلة للاختبار محليًا مقابل الرموز القابلة للفك محليًا" .
↑ بروبيكر، بن (9 يناير 2024). ""ثبت أن نظام تصحيح الأخطاء 'السحري' غير فعال بطبيعته" . مجلة كوانتا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 يناير 2024 .
↑ كوثاري، برافيش؛ مانوهار، بيتر (11 يونيو 2024). "حد أدنى أسي للرموز الخطية القابلة للتصحيح محليًا ذات 3 استعلامات" . ندوة حول نظرية الحوسبة . 56 : 776-787 . doi : 10.1145/3618260.3649640 . تاريخ الاسترجاع: 24 مارس 2026 .
↑ إفريمنكو، كليم (31 مايو 2009). "رموز قابلة للفك محليًا بثلاث استعلامات ذات طول شبه أسي" . مجلة SIAM للحوسبة . 41 (6): 39-44 . doi : 10.1145/1536414.1536422 . تاريخ الاسترجاع: 24 مارس 2026 .
1 2 فوسيتيتش، ب.؛ يوان، ج. (2000). رموز توربو: المبادئ والتطبيقات . سبرينغر فيرلاغ . ISBN 978-0-7923-7868-6.
↑ لوبي، مايكل ؛ ميتزنماخر، م.؛ شوكرولاهي، أ.؛ سبيلمان، د.؛ ستيمان، ف. (1997). "رموز عملية مقاومة للفقد". وقائع الندوة السنوية التاسعة والعشرين لجمعية آلات الحوسبة (ACM) حول نظرية الحوسبة .
↑ "البث الرقمي للفيديو (DVB)؛ الجيل الثاني من بنية التأطير، وأنظمة ترميز القنوات وتعديلها للبث، والخدمات التفاعلية، وجمع الأخبار، وتطبيقات النطاق العريض عبر الأقمار الصناعية الأخرى (DVB-S2)". En 302 307 (V1.2.1). ETSI . أبريل 2009.
↑ أندروز، ك.س.؛ ديفسالار، د.؛ دولينار، س.؛ هامكينز، ج.؛ جونز، س.ر.؛ بولارا، ف. (نوفمبر 2007). "تطوير رموز Turbo وLDPC لتطبيقات الفضاء السحيق". وقائع معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات . 95 (11): 2142-2156 . doi : 10.1109/JPROC.2007.905132 . S2CID 9289140 .
↑ دولينار، س.؛ ديفسالار، د. (15 أغسطس 1995). "توزيعات الأوزان لرموز التوربو باستخدام التباديل العشوائية وغير العشوائية". تقرير التقدم في TDA . 122 : 42-122 . Bibcode : 1995TDAPR.122...56D . CiteSeerX 10.1.1.105.6640 .
↑ تاكيشيتا، أوسكار (2006). "مُبدِّلات كثيرات الحدود التبديلية: منظور جبري-هندسي". معاملات IEEE في نظرية المعلومات . 53 (6): 2116-2132 . arXiv : cs/0601048 . Bibcode : 2006cs........1048T . doi : 10.1109/TIT.2007.896870 . S2CID 660 .
↑ 3GPP TS 36.212 ، الإصدار 8.8.0، الصفحة 14
↑ "البث الرقمي للفيديو (DVB)؛ بنية الإطار، وتشفير القناة، والتضمين لنظام بث تلفزيوني رقمي أرضي من الجيل الثاني (DVB-T2)". En 302 755 (V1.1.1). ETSI . سبتمبر 2009.
↑ تيكي (3 يونيو 2010). "شرح التداخل" . مدونة W3 تيكي . تم الاطلاع عليه في 3 يونيو 2010 .
↑ كراستانوف، ستيفان؛ جيانغ، ليانغ (8 سبتمبر 2017). "مفكك تشفير احتمالي للشبكات العصبية العميقة لرموز التثبيت" . التقارير العلمية . 7 (1): 11003. arXiv : 1705.09334 . Bibcode : 2017NatSR...711003K . doi : 10.1038/ s41598-017-11266-1 . PMC 5591216. PMID 28887480 .
↑ نوردستروم، أ. و.؛ روبنسون، ج. ب. (1967)، "رمز غير خطي أمثل"، المعلومات والتحكم ، 11 ( 5-6 ): 613-616 ، doi : 10.1016/S0019-9958(67)90835-2
↑ بيري، جوناثان؛ بالاكريشنان، هاري؛ شاه، ديفافرات (2011). "الرموز العمودية غير المحددة المعدل" . وقائع ورشة عمل ACM العاشرة حول المواضيع الساخنة في الشبكات . الصفحات 1-6 . doi : 10.1145/2070562.2070568 . hdl : 1721.1/79676 . ISBN 9781450310598.

للمزيد من القراءة

ماكويليامز، فلورنس جيسيم ؛ سلون، نيل جيمس ألكسندر (2007) [1977]. كُتب في مختبرات AT&T شانون، فلورهام بارك، نيو جيرسي، الولايات المتحدة الأمريكية. نظرية رموز تصحيح الأخطاء . مكتبة نورث هولاند الرياضية. المجلد 16 (نسخة رقمية من الطبعة الثانية عشرة، الطبعة الأولى). أمستردام / لندن / نيويورك / طوكيو: نورث هولاند / إلسيفير بي في . ISBN 978-0-444-85193-2. إل سي سي إن 76-41296 . (xxii+762+6 صفحات)
كلارك الابن، جورج سي؛ كاين، جيه. بيب (1981). ترميز تصحيح الأخطاء للاتصالات الرقمية . نيويورك، الولايات المتحدة الأمريكية: مطبعة بلينوم . ISBN 0-306-40615-2.
أرازي، بنيامين (1987). سويتمان، هيرب (محرر). مدخل منطقي لنظرية رموز تصحيح الأخطاء . سلسلة مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا في أنظمة الحاسوب. المجلد 10 ( الطبعة الأولى). كامبريدج، ماساتشوستس، الولايات المتحدة الأمريكية / لندن، المملكة المتحدة: معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . ISBN 0-262-01098-4. إل سي سي إن 87-21889 . (x+2+208+4 صفحات)
ويكر، ستيفن ب. (1995). أنظمة التحكم في الأخطاء للاتصالات الرقمية والتخزين . إنجلوود كليفس، نيو جيرسي، الولايات المتحدة الأمريكية: برنتيس هول . ISBN 0-13-200809-2.
ويلسون، ستيفن ج. (1996). التضمين والترميز الرقمي . إنجلوود كليفس، نيو جيرسي، الولايات المتحدة الأمريكية: برنتيس هول . ISBN 0-13-210071-1.
"رمز تصحيح الأخطاء في ذاكرة فلاش NAND أحادية المستوى" 16-02-2007
"رمز تصحيح الأخطاء في ذاكرة فلاش NAND" 29-11-2004
ملاحظات حول الأخطاء والتصحيحات والثقة في الأنظمة التابعة ، بقلم جيمس هاميلتون، 26 فبراير 2012
تعبئة الكرات والشبكات والمجموعات ، بقلم جيه إتش كونواي، ونيل جيمس ألكسندر سلون، سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا ، 2013-03-09 – الرياضيات – 682 صفحة.

روابط خارجية

موريلوس-زاراغوزا، روبرت (2004). "صفحة رموز التصحيح (ECC)" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 مارس 2006 .
حديقة تصحيح الأخطاء . قاعدة بيانات لرموز تصحيح الأخطاء.
lpdec: مكتبة متوقفة لفك تشفير LP والأمور ذات الصلة (بايثون)

[1] تشارلز وانغ؛ دين سكلار؛ ديانا جونسون (شتاء 2001-2002). "ترميز تصحيح الأخطاء الأمامي" . كروسلينك . 3 (1). مؤسسة الفضاء الجوي. مؤرشف من الأصل في 14 مارس 2012. تم الاسترجاع في 5 مارس 2006 .

[2] جلوفر، نيل؛ دادلي، ترينت (1990). تصميم عملي لتصحيح الأخطاء للمهندسين (مراجعة 1.1، الطبعة الثانية). كولورادو، الولايات المتحدة الأمريكية: سيروس لوجيك . ISBN 0-927239-00-0.

[Hamming-3] هامينغ ، ريتشارد ويسلي (أبريل 1950). "رموز كشف الأخطاء وتصحيحها". مجلة بيل سيستم التقنية . 29 (2). الولايات المتحدة الأمريكية: AT&T : 147-160 . Bibcode : 1950BSTJ...29..147H . doi : 10.1002/j.1538-7305.1950.tb00463.x . hdl : 10945/46756 . S2CID 61141773 .

[:0-4] ماوندر، روبرت (2016). "نظرة عامة على ترميز القنوات" .

[5] بالدي، م.؛ كيارالوتشي، ف. (2008). "مخطط بسيط لفك تشفير انتشار الاعتقاد لرموز BCH وRS في عمليات الإرسال متعددة الوسائط" . المجلة الدولية للبث الرقمي متعدد الوسائط . 2008 : 1-12 . doi : 10.1155/2008/957846 .

[6] "رموز هامينغ لأجهزة ذاكرة فلاش NAND" مؤرشفة بتاريخ 21 أغسطس 2016 في أرشيف الإنترنت . EE Times-Asia. يبدو أنها تستند إلى "المذكرة الفنية لشركة Micron رقم TN-29-08: رموز هامينغ لأجهزة ذاكرة فلاش NAND" مؤرشفة بتاريخ 29 أغسطس 2017 في أرشيف الإنترنت . 2005. كلاهما يقول: "خوارزمية هامينغ هي طريقة معتمدة في الصناعة لاكتشاف الأخطاء وتصحيحها في العديد من التطبيقات القائمة على ذاكرة فلاش SLC NAND."

[spansion-7] ١ ٢ "ما أنواع تصحيح الأخطاء التي يجب استخدامها في ذاكرة الفلاش؟" (ملف PDF) . سبانسيون. ٢٠١١. مؤرشف من الأصل (مذكرة تطبيقية) في ١٤ يونيو ٢٠١٦. تُعد كل من خوارزمية ريد-سولومون وخوارزمية BCH من الخيارات الشائعة لتصحيح الأخطاء في ذاكرة فلاش NAND متعددة المستويات (MLC). ... تُعد رموز الكتل القائمة على هامينغ أكثر أنواع تصحيح الأخطاء استخدامًا في ذاكرة SLC.... تتميز كل من خوارزمية ريد-سولومون وخوارزمية BCH بقدرتها على التعامل مع أخطاء متعددة، وتُستخدم على نطاق واسع في ذاكرة فلاش متعددة المستويات (MLC).

[8] جيم كوك (أغسطس 2007). "حقائق غير مريحة عن ذاكرة فلاش NAND" (ملف PDF) . ص 28. بالنسبة لـ SLC، يكفي رمز ذو عتبة تصحيح 1. يلزم t=4 ... لـ MLC.

[9] معيار IEEE، القسم 20.3.11.6 "802.11n-2009" مؤرشف في 3 فبراير 2013 في Wayback Machine ، IEEE، 29 أكتوبر 2009، تم الوصول إليه في 21 مارس 2011.

[10] شاه، غاوراف؛ مولينا، أندريس؛ بليز، مات (2006). "لوحات المفاتيح والقنوات السرية" . USENIX . تم الاسترجاع في 20 ديسمبر 2018 .

[11] تسي، ديفيد؛ فيسواناث، برامود (2005)، أساسيات الاتصالات اللاسلكية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، المملكة المتحدة

[shannon_paper-12] شانون، سي إي (1948). "نظرية رياضية للاتصالات" (ملف PDF) . مجلة بيل سيستم التقنية . 27 ( 3-4 ): 379-423 و623-656. Bibcode : 1948BSTJ...27..379S . doi : 10.1002/j.1538-7305.1948.tb01338.x . hdl : 11858/00-001M-0000-002C-4314-2 .

[13] روزاس، ف.؛ برانتي، ج.؛ سوزا، ر.د.؛ أوبرلي، س. (2014). "تحسين معدل الترميز لتحقيق اتصالات لاسلكية موفرة للطاقة". وقائع مؤتمر IEEE للاتصالات اللاسلكية والشبكات (WCNC) . الصفحات 775-780 . doi : 10.1109/WCNC.2014.6952166 . ISBN 978-1-4799-3083-8.

[decNotTest-14] كوفمان، تالي ؛ فيدرمان، مايكل. "الرموز القابلة للاختبار محليًا مقابل الرموز القابلة للفك محليًا" .

[15] بروبيكر، بن (9 يناير 2024). ""ثبت أن نظام تصحيح الأخطاء 'السحري' غير فعال بطبيعته" . مجلة كوانتا . تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 يناير 2024 .

[16] كوثاري، برافيش؛ مانوهار، بيتر (11 يونيو 2024). "حد أدنى أسي للرموز الخطية القابلة للتصحيح محليًا ذات 3 استعلامات" . ندوة حول نظرية الحوسبة . 56 : 776-787 . doi : 10.1145/3618260.3649640 . تاريخ الاسترجاع: 24 مارس 2026 .

[17] إفريمنكو، كليم (31 مايو 2009). "رموز قابلة للفك محليًا بثلاث استعلامات ذات طول شبه أسي" . مجلة SIAM للحوسبة . 41 (6): 39-44 . doi : 10.1145/1536414.1536422 . تاريخ الاسترجاع: 24 مارس 2026 .

[turbo-principles-18] 1 2 فوسيتيتش، ب.؛ يوان، ج. (2000). رموز توربو: المبادئ والتطبيقات . سبرينغر فيرلاغ . ISBN 978-0-7923-7868-6.

[19] لوبي، مايكل ؛ ميتزنماخر، م.؛ شوكرولاهي، أ.؛ سبيلمان، د.؛ ستيمان، ف. (1997). "رموز عملية مقاومة للفقد". وقائع الندوة السنوية التاسعة والعشرين لجمعية آلات الحوسبة (ACM) حول نظرية الحوسبة .

[20] "البث الرقمي للفيديو (DVB)؛ الجيل الثاني من بنية التأطير، وأنظمة ترميز القنوات وتعديلها للبث، والخدمات التفاعلية، وجمع الأخبار، وتطبيقات النطاق العريض عبر الأقمار الصناعية الأخرى (DVB-S2)". En 302 307 (V1.2.1). ETSI . أبريل 2009.

[21] أندروز، ك.س.؛ ديفسالار، د.؛ دولينار، س.؛ هامكينز، ج.؛ جونز، س.ر.؛ بولارا، ف. (نوفمبر 2007). "تطوير رموز Turbo وLDPC لتطبيقات الفضاء السحيق". وقائع معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات . 95 (11): 2142-2156 . doi : 10.1109/JPROC.2007.905132 . S2CID 9289140 .

[22] دولينار، س.؛ ديفسالار، د. (15 أغسطس 1995). "توزيعات الأوزان لرموز التوربو باستخدام التباديل العشوائية وغير العشوائية". تقرير التقدم في TDA . 122 : 42-122 . Bibcode : 1995TDAPR.122...56D . CiteSeerX 10.1.1.105.6640 .

[Takeshita1-23] تاكيشيتا، أوسكار (2006). "مُبدِّلات كثيرات الحدود التبديلية: منظور جبري-هندسي". معاملات IEEE في نظرية المعلومات . 53 (6): 2116-2132 . arXiv : cs/0601048 . Bibcode : 2006cs........1048T . doi : 10.1109/TIT.2007.896870 . S2CID 660 .

[24] 3GPP TS 36.212 ، الإصدار 8.8.0، الصفحة 14

[25] "البث الرقمي للفيديو (DVB)؛ بنية الإطار، وتشفير القناة، والتضمين لنظام بث تلفزيوني رقمي أرضي من الجيل الثاني (DVB-T2)". En 302 755 (V1.1.1). ETSI . سبتمبر 2009.

[26] تيكي (3 يونيو 2010). "شرح التداخل" . مدونة W3 تيكي . تم الاطلاع عليه في 3 يونيو 2010 .

[27] كراستانوف، ستيفان؛ جيانغ، ليانغ (8 سبتمبر 2017). "مفكك تشفير احتمالي للشبكات العصبية العميقة لرموز التثبيت" . التقارير العلمية . 7 (1): 11003. arXiv : 1705.09334 . Bibcode : 2017NatSR...711003K . doi : 10.1038/ s41598-017-11266-1 . PMC 5591216. PMID 28887480 .

[28] نوردستروم، أ. و.؛ روبنسون، ج. ب. (1967)، "رمز غير خطي أمثل"، المعلومات والتحكم ، 11 ( 5-6 ): 613-616 ، doi : 10.1016/S0019-9958(67)90835-2

[29] بيري، جوناثان؛ بالاكريشنان، هاري؛ شاه، ديفافرات (2011). "الرموز العمودية غير المحددة المعدل" . وقائع ورشة عمل ACM العاشرة حول المواضيع الساخنة في الشبكات . الصفحات 1-6 . doi : 10.1145/2070562.2070568 . hdl : 1721.1/79676 . ISBN 9781450310598.

[ 1 ]

[

[

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

و10

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ].

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]،

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[

[ 28 ]

[ 29 ]