أساس شاودر

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 20 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُشبه أساس شاودر، أو الأساس القابل للعد ، أساس هاميل المعتاد للفضاء المتجهي ؛ والفرق هو أن أساس هاميل يستخدم تراكيب خطية ذات مجاميع منتهية، بينما قد تكون مجاميع أساس شاودر غير منتهية. وهذا ما يجعل أساس شاودر أكثر ملاءمة لتحليل الفضاءات المتجهة الطوبولوجية اللانهائية الأبعاد، بما في ذلك فضاءات باناخ .

وصف يوليوس شودر قواعد شودر في عام 1927، [ 1 ] [ 2 ] على الرغم من مناقشة هذه القواعد في وقت سابق. فعلى سبيل المثال، تم تقديم قاعدة هار في عام 1909، وناقش جورج فابر في عام 1910 قاعدة للدوال المتصلة على فترة ، والتي تُسمى أحيانًا نظام فابر-شودر . [ 3 ]

التعريفات

ليكن V فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا فوق الحقل F. أساس شاودر هو متتالية { b n } من عناصر V بحيث أنه لكل عنصر v ∈ V توجد متتالية وحيدة {α n } من الأعداد القياسية في F بحيث   v=∑ن=0∞αنبن.{\displaystyle v=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha _{n}b_{n}}{\text{.}}} إن تقارب المجموع اللانهائي هو ضمنيًا تقارب الطوبولوجيا المحيطة ، أيليمن→∞∑ك=0نαكبك=v،{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}=v{\text{,}}}لكن يمكن اختزالها إلى تقارب ضعيف فقط في فضاء متجه معياري (مثل فضاء باناخ ). [ 4 ] على عكس أساس هامل ، يجب ترتيب عناصر الأساس، لأن المتسلسلة قد لا تتقارب بشكل مطلق .

تجدر الإشارة إلى أن بعض المؤلفين يُعرّفون قواعد شاودر بأنها قابلة للعد (كما ذُكر أعلاه)، بينما يستخدم آخرون المصطلح ليشمل القواعد غير القابلة للعد. في كلتا الحالتين، تكون المجاميع نفسها قابلة للعد. قاعدة شاودر غير القابلة للعد هي مجموعة مرتبة خطيًا وليست متتالية، ويرث كل مجموع ترتيب حدوده من هذا الترتيب الخطي. يمكن أن تظهر هذه القواعد في الواقع العملي. على سبيل المثال، لا يمكن أن يكون لفضاء هيلبرت القابل للفصل إلا قاعدة شاودر قابلة للعد، بينما قد يكون لفضاء هيلبرت غير القابل للفصل قاعدة شاودر غير قابلة للعد.

على الرغم من أن التعريف أعلاه لا يتطلب من الناحية الفنية فضاءً معيارياً، إلا أن المعيار ضروريٌّ لقول أي شيء مفيد تقريباً عن قواعد شاودر. وتفترض النتائج أدناه وجود معيار.

يقال إن أساس شاودر { b n } n ≥ 0 يكون معياريًا عندما يكون لجميع متجهات الأساس معيار  1 في فضاء باناخ V. 

تكون المتتالية { x n } n ≥ 0 في V متتالية أساسية إذا كانت أساس شاودر لمدى خطي مغلق لها .

يُقال إن قاعدتي شاودر، { b n } في V و { c n } في W ، متكافئتان إذا وُجد ثابتان c > 0 و C بحيث يكون لكل عدد طبيعي N ≥ 0 وجميع متواليات {α n } من الكميات العددية،

ج‖∑ك=0شمالαكبك‖V≤‖∑ك=0شمالαكجك‖دبليو≤ج‖∑ك=0شمالαكبك‖V.{\displaystyle c\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}\leq \left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}c_{k}\right\|_{W}\leq C\left\|\sum _{k=0}^{N}\alpha _{k}b_{k}\right\|_{V}.}

تُسمى عائلة المتجهات في V مجموعةً كاملةً إذا كان امتدادها الخطي ( مجموعة التراكيب الخطية المنتهية) كثيفًا في V. إذا كان V فضاء هيلبرت ، فإن الأساس المتعامد هو مجموعة جزئية كاملة B من V بحيث تكون عناصر B غير صفرية ومتعامدة مثنى مثنى. علاوة على ذلك، عندما يكون معيار كل عنصر في B يساوي 1 ، فإن B يكون أساسًا متعامدًا معياريًا لـ V. 

ملكيات

ليكن { b n } أساس شاودر لفضاء باناخ V على F  = R أو C. ومن النتائج الدقيقة لنظرية التطبيقات المفتوحة أن التطبيقات الخطية { P n } المعرفة بواسطة 

v=∑ك=0∞αكبك  ⟶Pن  Pن(v)=∑ك=0نαكبك{\displaystyle v=\sum _{k=0}^{\infty }\alpha _{k}b_{k}\ \ {\overset {\textstyle P_{n}}{\longrightarrow }}\ \ P_{n}(v)=\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}}

تكون محدودة بشكل منتظم بثابت ما C. [ 5 ] عندما C = 1 ، يُطلق على الأساس اسم أساس رتيب . الخرائط { P n } هي إسقاطات الأساس .

لنفترض أن { b* n } تُمثل الدوال الإحداثية ، حيث تُسند b* n لكل متجه v في V الإحداثي αn الخاص بـ v في التوسع أعلاه. كل b* n هي دالة خطية محدودة على V. في الواقع، لكل متجه v في V ،

|بن*(v)|‖بن‖V=|αن|‖بن‖V=‖αنبن‖V=‖Pن(v)-Pن-1(v)‖V≤2ج‖v‖V.{\displaystyle |b_{n}^{*}(v)|\;\|b_{n}\|_{V}=|\alpha _{n}|\;\|b_{n}\|_{V}=\|\alpha _{n}b_{n}\|_{V}=\|P_{n}(v)-P_{n-1}(v)\|_{V}\leq 2C\|v\|_{V}.}

تُسمى هذه الدوال { b* n } بالدوال المتعامدة الثنائية المرتبطة بالأساس { b n }. عندما يتم تطبيع الأساس { b n }، فإن دوال الإحداثيات { b * n } يكون لها معيار ≤ 2 C في الفضاء الثنائي المتصل V ′ لـ V. 

بما أن كل متجه v في فضاء باناخ V مع أساس شاودر هو نهاية P n ( v )، مع P n من الرتبة المحدودة ومحدودة بشكل منتظم، فإن مثل هذا الفضاء V يحقق خاصية التقريب المحدود .

الفضاء البناخي ذو الأساس الشاودري قابل للفصل بالضرورة ، لكن العكس غير صحيح. تكمن مشكلة الأساس في السؤال الذي طرحه بناخ، وهو: هل يمتلك كل فضاء بناخي قابل للفصل أساسًا شاودريًا؟ وقد أجاب بير إنفلو على هذا السؤال بالنفي ، حيث بنى فضاء بناخي انعكاسيًا وقابلًا للفصل، ولكنه يفتقر إلى خاصية التقريب، وبالتالي فهو فضاء بلا أساس شاودري. [ 6 ] وقد تم تبسيط هذا البناء وتعميمه على مر السنين. انظر فابيان وآخرون (2011 ، القسم 16.5) للاطلاع على عرض حديث.

تؤكد نظرية منسوبة إلى مازور [ 7 ] أن كل فضاء باناخ لا نهائي الأبعاد V يحتوي على متتالية أساسية، أي أن هناك فضاء فرعي لا نهائي الأبعاد من V له أساس شاودر.

أمثلة

تُعدّ قواعد متجهات الوحدة القياسية لـ c₀ و ℓₚ ، حيث 1  ≤ p  < ∞، قواعد شاودر رتيبة. في قاعدة متجهات الوحدة هذه { bn } ، يكون المتجه bₙ في V = c₀ أو في V = ℓₚ هو المتتالية العددية [ bn , j ] j حيث جميع الإحداثيات bₙ , j تساوي صفرًا، باستثناء الإحداثي رقم n .

بن={بن،ج}ج=0∞∈V،  بن،ج=دلتان،ج،{\displaystyle b_{n}=\{b_{n,j}\}_{j=0}^{\infty }\in V,\ \ b_{n,j}=\delta _{n,j},}

حيث δ n, j هي دلتا كرونكر . الفضاء ℓ ∞ غير قابل للفصل، وبالتالي ليس له أساس شاودر.

كل أساس متعامد معياري في فضاء هيلبرت قابل للفصل هو أساس شاودر. كل أساس متعامد معياري قابل للعد يكافئ أساس متجه الوحدة القياسي في ℓ² .

كل أساس أورباخ في فضاء باناخ المنفصل هو أساس شودر.

يُعد نظام هار مثالًا على أساس للفضاء L p ([0,  1]) ، عندما يكون 1  ≤ p  < ∞. [ 2 ] وعندما يكون 1 < p < ∞   ، يكون النظام المثلثي المُعرَّف أدناه مثالًا آخر. يقبل فضاء باناخ C ([0,  1]) للدوال المتصلة على الفترة [0,  1]، بمعيار القيمة العليا ، أساس شاودر. يُعد نظام فابر - شاودر أساس شاودر الرتيب الأكثر شيوعًا للفضاء C ([0, 1]). [ 3 ] [ 8 ]  

تم اكتشاف العديد من قواعد الفضاءات الكلاسيكية قبل ظهور كتاب باناش ( باناش، 1932 )، لكن بعض الحالات الأخرى ظلت مفتوحة لفترة طويلة. على سبيل المثال، ظل السؤال عما إذا كان لجبر القرص A ( D ) قاعدة شاودر مفتوحًا لأكثر من أربعين عامًا، حتى أثبت بوتشاريف في عام 1974 وجود قاعدة مبنية من نظام فرانكلين في A ( D ). [ 9 ] يمكن أيضًا إثبات أن نظام فرانكلين الدوري [ 10 ] هو قاعدة لفضاء باناش A متماثل مع A ( D ). [ 11 ] 

تتألف هذه المساحة A <sub>r</sub> من جميع الدوال المركبة المتصلة على دائرة الوحدة T التي تكون دالتها المرافقة متصلة أيضًا. يُعد نظام فرانكلين أساسًا شاودر آخر لـ C <sub>1</sub> ([0,  1])، [ 12 ] وهو أساس شاودر في L <sub> p </sub> ([0,  1]) عندما يكون 1 ≤ p < ∞ . [ 13 ] تُعطي الأنظمة المشتقة من نظام فرانكلين أسسًا في الفضاء C <sub>1</sub> ([0,  1]<sup> 2</sup> ) للدوال القابلة للتفاضل على مربع الوحدة . [ 14 ] كان وجود أساس شاودر في C <sub>1</sub> ([0,  1] <sup>2</sup> ) سؤالًا من كتاب باناش. [ 15 ]

العلاقة بمتسلسلة فورييه

ليكن { x n }، في الحالة الحقيقية، متتالية من الدوال

{1،كوس⁡(x)،الخطيئة⁡(x)،كوس⁡(2x)،الخطيئة⁡(2x)،كوس⁡(3x)،الخطيئة⁡(3x)،...}{\displaystyle \{1,\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),\cos(3x),\sin(3x),\ldots \}}

أو، في الحالة المعقدة،

{1،هـأناx،هـ-أناx،هـ2أناx،هـ-2أناx،هـ3أناx،هـ-3أناx،...}.{\displaystyle \left\{1,e^{ix},e^{-ix},e^{2ix},e^{-2ix},e^{3ix},e^{-3ix},\ldots \right\}.}

تُسمى المتتالية { xₙ } النظام المثلثي . وهي أساس شاودر للفضاء Lₚ ([0, 2π ])  لأي قيمة لـ p بحيث 1 < p < ∞ . بالنسبة لـ p  = 2 ،  يُمثل هذا مضمون نظرية ريز-فيشر ، وبالنسبة لـ p  ≠  2، فهو نتيجة لمحدودية تحويل هيلبرت على الدائرة في الفضاء Lₚ([0, 2π]) . ويترتب على هذه المحدودية أن الإسقاطات Pₙ المعرفة بواسطة 

{و:x→∑ك=-∞+∞جكهـأناكx} ⟶Pشمال {Pشمالو:x→∑ك=-شمالشمالجكهـأناكx}{\displaystyle \left\{f:x\to \sum _{k=-\infty }^{+\infty }c_{k}e^{ikx}\right\}\ {\overset {P_{N}}{\longrightarrow }}\ \left\{P_{N}f:x\to \sum _{k=-N}^{N}c_{k}e^{ikx}\right\}}

تكون الدوال محدودة بشكل منتظم على L <sub>p</sub> ([0,  2π ]) عندما يكون 1 < p < ∞ . هذه العائلة من الدوال { P<sub> N </sub> } متصلة بانتظام وتؤول إلى دالة التطابق على المجموعة الجزئية الكثيفة المكونة من كثيرات الحدود المثلثية . يترتب على ذلك أن P<sub> N </sub> f تؤول إلى f في معيار L <sub>p</sub> لكل f ∈ L<sub> p</sub> ([0, 2π ] ) . بعبارة أخرى، { x<sub> n</sub> } هي ​​أساس شاودر لـ L <sub>p</sub> ([0, 2π ] ). [ 16 ]  

مع ذلك، فإن المجموعة { x_n } ليست أساس شاودر للفضاء L_1 ( [0, 2π ]) . هذا يعني وجود دوال في L_1 لا تتقارب متسلسلات فورييه الخاصة بها في معيار L_1، أو بعبارة أخرى، أن الإسقاطات P_N ليست محدودة بشكل منتظم في معيار L_1 . كذلك ، فإن المجموعة { x_n } ليست أساس شاودر للفضاء C ([0, 2π ] ) .  

قواعد لمساحات المؤثرات

للفضاء K (ℓ² ) للمؤثرات المدمجة على فضاء هيلبرت ℓ² أساس شاودر. لكل x و y في ℓ² ، ليكن x ⊗ y المؤثر ذو الرتبة الأولى v ∈ ℓ² → < v , x > y . إذا كان { en } ⁿ ≥ 1 هو الأساس المتعامد القياسي لـ ℓ² ، فإن أساسًا لـ K (ℓ² ) يُعطى بالمتتالية [ 17 ].

هـ1⊗هـ1،  هـ1⊗هـ2،هـ2⊗هـ2،هـ2⊗هـ1،...،هـ1⊗هـن،هـ2⊗هـن،...،هـن⊗هـن،هـن⊗هـن-1،...،هـن⊗هـ1،...{\displaystyle {\begin{aligned}&e_{1}\otimes e_{1},\ \ e_{1}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{2},\;e_{2}\otimes e_{1},\ldots ,\\&e_{1}\otimes e_{n},e_{2}\otimes e_{n},\ldots ,e_{n}\otimes e_{n},e_{n}\otimes e_{n-1},\ldots ,e_{n}\otimes e_{1},\ldots \end{aligned}}}

لكل n ، يكون التسلسل المكون من أول n 2 متجهات في هذا الأساس ترتيبًا مناسبًا للعائلة { e j ⊗ e k } ، لـ 1 ≤ j ، k ≤ n .

يمكن تعميم النتيجة السابقة: فضاء باناخ X ذو أساس يتمتع بخاصية التقريب ، لذا فإن فضاء المؤثرات المدمجة K ( X ) على X متماثل قياسيًا [ 18 ] مع حاصل الضرب الموتري الحقني

X′⊗^εX≃ك(X).{\displaystyle X'{\widehat {\otimes }}_{\varepsilon }X\simeq {\mathcal {K}}(X).}

إذا كان X فضاء باناخ ذو أساس شاودر { e <sub>n</sub> } <sub>n</sub> ≥ 1 بحيث تكون الدوال المتعامدة ثنائية التعامد أساسًا للفضاء الثنائي، أي فضاء باناخ ذو أساس متقلص ، فإن الفضاء K ( X ) يقبل أساسًا مكونًا من المؤثرات من الرتبة الأولى e <sup> * j </sup> ⊗ e <sub> k</sub>  : v → e<sup> * j </sup> ( v ) e <sub>k</sub> ، بنفس الترتيب السابق. [ 17 ] ينطبق هذا بشكل خاص على كل فضاء باناخ انعكاسي X ذي أساس شاودر.

من جهة أخرى، لا يمتلك الفضاء B (ℓ 2 ) أساسًا، لأنه غير قابل للفصل. علاوة على ذلك، لا يتمتع B (ℓ 2 ) بخاصية التقريب. [ 19 ]

عدم المشروطية

تكون قاعدة شاودر { b n } غير مشروطة إذا كان كلما كانت المتسلسلة∑αنبن{\displaystyle \sum \alpha _{n}b_{n}}إذا تقاربت، فإنها تتقارب بلا شروط . بالنسبة لقاعدة شاودر { b n }، فإن هذا يكافئ وجود ثابت C بحيث

‖∑ك=0نεكαكبك‖V≤ج‖∑ك=0نαكبك‖V{\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}}

لكل عدد طبيعي n ، ولكل معاملات قياسية {α k } ولكل إشارات ε k = ±1 . تُعدّ خاصية عدم الشرطية خاصية مهمة لأنها تسمح بتجاهل ترتيب الجمع. تكون قاعدة شاودر متناظرة إذا كانت غير شرطية ومكافئة بشكل منتظم لجميع تباديلها : يوجد ثابت C بحيث أنه لكل عدد طبيعي n ، ولكل تبديل π للمجموعة {0, 1, ..., n }، ولكل معاملات قياسية {α k } ولكل إشارات  {ε k }،

‖∑ك=0نεكαكبπ(ك)‖V≤ج‖∑ك=0نαكبك‖V.{\displaystyle {\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\varepsilon _{k}\alpha _{k}b_{\pi (k)}{\Bigr \|}_{V}\leq C{\Bigl \|}\sum _{k=0}^{n}\alpha _{k}b_{k}{\Bigr \|}_{V}.}

تُعدّ القواعد القياسية لفضاءات المتتاليات c₀ و ℓp ، حيث 1 ≤ p < ∞، بالإضافة إلى كل قاعدة متعامدة في فضاء هيلبرت، غير مشروطة. كما أن هذه القواعد متناظرة.  

لا يمثل النظام المثلثي أساسًا غير مشروط في L p ، باستثناء p  =  2.

يُعد نظام هار أساسًا غير مشروط في L p لأي قيمة 1  < p  < ∞. أما الفضاء L 1 ([0,  1]) فلا يمتلك أساسًا غير مشروط. [ 20 ]

يثور تساؤل طبيعي حول ما إذا كان لكل فضاء باناخ لانهائي الأبعاد فضاء جزئي لانهائي الأبعاد ذو أساس غير مشروط. وقد حُلّ هذا التساؤل بالنفي من قبل تيموثي جاورز وبرنارد موري في عام 1992. [ 21 ]

قواعد شاودر والازدواجية

تكون القاعدة { e n } n ≥0 لفضاء باناخ X كاملة بشكل محدود إذا كان لكل متتالية { a n } n ≥0 من الأعداد القياسية بحيث تكون المجاميع الجزئية

Vن=∑ك=0نأكهـك{\displaystyle V_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}e_{k}}

إذا كانت المجموعات محدودة في X ، فإن المتتالية { V<sub> n</sub> } تتقارب في X. أساس متجهات الوحدة لـ ℓ <sub> p</sub> ، حيث 1 ≤ p < ∞ ، مكتمل بشكل محدود. مع ذلك، فإن أساس متجهات الوحدة ليس مكتملًا بشكل محدود في c <sub>0</sub> . في الواقع، إذا كان a <sub>n</sub>  =  1 لكل n ، فإن

‖Vن‖ج0=الأعلى0≤ك≤ن|أك|=1{\displaystyle \|V_{n}\|_{c_{0}}=\max _{0\leq k\leq n}|a_{k}|=1}

لكل n ، لكن المتتالية { V n } ليست متقاربة في c 0 ، لأن || V n +1 − V n || = 1 لكل n . 

الفضاء X ذو الأساس المحدود الكامل { e n } n ≥0 متماثل مع فضاء ثنائي، أي أن الفضاء X متماثل مع الفضاء الثنائي للامتداد الخطي المغلق في الفضاء الثنائي X ′ للدوال المتعامدة المرتبطة بالأساس { e n }. [ 22 ]

تكون القاعدة { e n } n ≥0 للمجموعة X متقلصة إذا كان لكل دالة خطية محدودة f على X ، متتالية من الأعداد غير السالبة

φن=رشفة{|و(x)|:x∈Fن،‖x‖≤1}{\displaystyle \varphi _{n}=\sup\{|f(x)|:x\in F_{n},\;\|x\|\leq 1\}}

يؤول إلى الصفر عندما n → ∞ ، حيث F <sub>n</sub> هو الامتداد الخطي لمتجهات الأساس e <sub>m</sub> لـ m ≥ n . أساس متجهات الوحدة لـ ℓ <sub>p</sub> ، 1  < p < ∞، أو لـ c ≥ 0 ، يتقلص. وهو لا يتقلص في ℓ<sub> 1</sub> : إذا كانت f هي الدالة الخطية المحدودة على ℓ <sub>1</sub> المعطاة بـ

و:x={xن}∈ℓ1 → ∑ن=0∞xن،{\displaystyle f:x=\{x_{n}\}\in \ell ^{1}\ \rightarrow \ \sum _{n=0}^{\infty }x_{n},}

ثم φ n ≥ f ( e n ) = 1 لكل n .

تكون القاعدة [ e n ] n ≥ 0 لـ X متقلصة إذا وفقط إذا كانت الدوال المتعامدة الثنائية [ e * n ] n ≥ 0 تشكل قاعدة لـ X ′ المزدوجة . [ 23 ]

وصف روبرت سي. جيمس خاصية الانعكاسية في فضاءات باناخ ذات الأساس: يكون الفضاء X ذو أساس شاودر انعكاسيًا إذا وفقط إذا كان الأساس متقلصًا ومحدودًا في آنٍ واحد. [ 24 ] كما أثبت جيمس أن الفضاء ذو ​​الأساس غير المشروط يكون غير انعكاسي إذا وفقط إذا احتوى على فضاء جزئي متماثل مع c₀ أو ℓ₁ . [ 25 ]

أساس هاميل هو مجموعة جزئية B من فضاء متجهي V بحيث يمكن كتابة كل عنصر v ∈ V بشكل فريد على النحو التالي:

v=∑ب∈بαبب{\displaystyle v=\sum _{b\in B}\alpha _{b}b}

مع α b ∈ F ، مع الشرط الإضافي المتمثل في أن المجموعة

{ب∈ب|αب≠0}{\displaystyle \{b\in B\mid \alpha _{b}\neq 0\}}

هي محدودة. هذه الخاصية تجعل أساس هاميل غير عملي بالنسبة لفضاءات باناخ اللانهائية الأبعاد؛ إذ يجب أن يكون أساس هاميل لفضاء باناخ لانهائي الأبعاد غير قابل للعد . (كل فضاء جزئي محدود الأبعاد من فضاء باناخ لانهائي الأبعاد X له باطن فارغ ، وليس كثيفًا في أي مكان في X. ومن ثم، يترتب على نظرية باير للفئات أن اتحادًا قابلًا للعد لأسس هذه الفضاءات الجزئية محدودة الأبعاد لا يمكن أن يكون أساسًا. [ 26 ] )

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ انظر شاودر (1927) .
  2. 1 2 شودر، جوليوس (1928). “Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems”. الرياضيات Zeitschrift . 28 : 317 – 320. دوى : 10.1007 / bf01181164 .
  3. 1 2 فابر، جورج (1910)، “Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar”، Deutsche Math.-Ver (في الألمانية) 19 : 104 – 112. ISSN 0012-0456 ؛ http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553  
  4. ↑ كارلين، س. (ديسمبر 1948). "القواعد في فضاءات باناخ" . مجلة ديوك الرياضية . 15 (4): 971-985 . doi : 10.1215/S0012-7094-48-01587-7 . ISSN 0012-7094 . 
  5. ^ فابيان وآخرون. (2011 ، النظرية 4.10)
  6. ↑ إنفلو، بير (يوليو 1973). "مثال مضاد لمشكلة التقريب في فضاءات باناخ" . أكتا ماتيماتيكا . 130 (1): 309-317 . doi : 10.1007/BF02392270 .
  7. ↑ للاطلاع على برهان منشور مبكرًا، انظر الصفحة 157، القسم C.3 في كتاب بيساغا، سي. وبيلتشينسكي، أ. (1958)، "حول القواعد والتقارب غير المشروط للمتسلسلات في فضاءات باناخ"، مجلة ستوديا ماث. 17 : 151-164 . في السطور الأولى من هذه المقالة، يذكر بيساغا وبيلتشينسكي أن نتيجة مازور تظهر بدون برهان في كتاب باناخ - تحديدًا في الصفحة 238 - لكنهما لا يقدمان مرجعًا يحتوي على برهان.
  8. ↑ انظر الصفحات 48-49في كتاب شاودر (1927) . يحدد شاودر هناك نموذجًا عامًا لهذا النظام، والذي يعتبر نظام فابر - شاودر المستخدم اليوم حالة خاصة منه.
  9. ↑ انظر: بوتشاريف، إس. في. (1974)، "وجود أساس في فضاء الدوال التحليلية في القرص، وبعض خصائص نظام فرانكلين"، (بالروسية) مات. سب . (NS) 95 (137): 3 – 18، 159. تُرجمت في ماث. يو إس إس آر-سب. 24 (1974)، 1–16. السؤال موجود في كتاب باناش، باناش (1932) ص 238، §3.
  10. ↑ انظر ص. 161، III.D.20 في Wojtaszczyk (1991) .
  11. ↑ انظر ص. 192، III.E.17 في Wojtaszczyk (1991) .
  12. ↑ فرانكلين، فيليب (1928). "مجموعة من الدوال المتعامدة المتصلة". حوليات الرياضيات 100 : 522-529 . doi : 10.1007/bf01448860 .
  13. ↑ انظر ص. 164، III.D.26 في Wojtaszczyk (1991) .
  14. ^ انظر سيسيلسكي، زد (1969). “بناء الأساس في ج 1 ( ط 2 )”. دراسة الرياضيات. 33 : 243 – 247.وشونفيلد ، ستيفن (1969). "قواعد شاودر في فضاءات الدوال القابلة للتفاضل" . نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات 75 (3): 586-590 . doi : 10.1090/s0002-9904-1969-12249-4 .
  15. ↑ انظر الصفحة 238، الفقرة 3 في باناش (1932) .
  16. ↑ انظر ص. 40، II.B.11 في Wojtaszczyk (1991) .
  17. 1 2 انظر الاقتراح 4.25، ص 88 في ريان (2002) .
  18. ↑ انظر النتيجة 4.13، ص 80 في كتاب رايان (2002) .
  19. ↑ انظر Szankowski, Andrzej (1981). " B ( H ) لا يمتلك خاصية التقريب" . Acta Math . 147 : 89–108 . doi : 10.1007/bf02392870 .
  20. ↑ انظر الصفحة 24 في Lindenstrauss & Tzafriri (1977) .
  21. ↑ غاورز، دبليو. تيموثي؛ موري، برنارد (6 مايو 1992). "مسألة المتتالية الأساسية غير المشروطة". arXiv : math/9205204 .
  22. ↑ انظر الصفحة 9 في Lindenstrauss & Tzafriri (1977) .
  23. ↑ انظر الصفحة 8 في Lindenstrauss & Tzafriri (1977) .
  24. ↑ انظر جيمس (1950) وليندنستراوس وتزافريري ( 1977 ، ص 9) . 
  25. ↑ انظر جيمس (1950) وليندنستراوس وتزافريري (1977 ، ص 23 ) . 
  26. ↑ كاروثرز، ن. ل. (2005)، دورة مختصرة في نظرية فضاء باناخ ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-60372-2

تتضمن هذه المقالة مواد من أساس قابل للعد على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .

مراجع

  • Schauder، Juliusz (1927)، “Zur Theorie stetiger Abbildungen in Funktionalraumen”، Mathematische Zeitschrift (بالألمانية)، 26 : 47–65 ، دوى : 10.1007/BF01475440 ، hdl : 10338.dmlcz/104881.
  • باناخ ، ستيفان (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ نظرية العمليات الخطية ] (PDF) . Monografie Matematyczne (بالفرنسية). المجلد.  1. وارسو: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. زبل 0005.20901 . مؤرشفة من الأصلي (PDF) في 11 يناير 2014 . تم الاسترجاع في 11 يوليو 2020 . 
  • فابيان، ماريان؛ حبلة، بيتر؛ هاجيك، بيتر؛ مونتيسينوس، فيسنتي؛ زيزلر ، فاتسلاف (2011)، نظرية باناخ الفضائية: أساس التحليل الخطي وغير الخطي ، كتب CMS في الرياضيات، سبرينغر، ISBN 978-1-4419-7514-0
  • جيمس، روبرت سي. (1950). "القواعد وانعكاسية فضاءات باناخ". حوليات الرياضيات . 52 (3): 518-527 . doi : 10.2307/1969430 . JSTOR 1969430 . MR 0039915 
  • الأماكن القريبة : Tzafriri، Lior (1977)، مساحات باناخ الكلاسيكية I، مساحات التسلسل ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete، المجلد.  92، برلين: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 3-540-08072-4
  • ريان، ريموند أ. (2002)، مقدمة في جداءات الموترات لفضاءات باناخ ، سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات، لندن: سبرينغر-فيرلاغ، ص.  xiv+225، ISBN 1-85233-437-1
  • شيفر، هيلموت هـ. (1971)، فضاءات المتجهات الطوبولوجية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  3، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ص.  11+294، ISBN 0-387-98726-6.
  • فويتاشيك، برزيميسواف (1991)، فضاءات باناخ للمحللين ، دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة، المجلد  25، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات  382+14، ISBN 0-521-35618-0.
  • Golubov، BI (2001) [1994]، “نظام فابر شودر” ، موسوعة الرياضيات ، مطبعة EMS

.

للمزيد من القراءة

  • كوفنر، ألويس (2013)، فضاءات الدوال ، سلسلة دي غرويتر في التحليل غير الخطي وتطبيقاته، المجلد  14، براغ: دار نشر أكاديميا التابعة لأكاديمية العلوم التشيكوسلوفاكية، دي غرويتر