نظرية المجال الكلاسيكية

كانت نظرية نيوتن للجاذبية أول نظرية مجال للجاذبية ، حيث تخضع التفاعلات المتبادلة بين كتلتين لقانون التربيع العكسي . وقد كانت هذه النظرية مفيدة للغاية في التنبؤ بحركة الكواكب حول الشمس.

أي جسم ضخم M له مجال جاذبية g يصف تأثيره على الأجسام الضخمة الأخرى. يُحسب مجال جاذبية M عند نقطة r في الفضاء بتحديد القوة F التي يؤثر بها M على كتلة اختبار صغيرة m موجودة عند r ، ثم القسمة على m : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}.}$$إن اشتراط أن تكون m أصغر بكثير من M يضمن أن يكون لوجود m تأثير ضئيل على سلوك M.

وفقًا لقانون نيوتن للجاذبية الكونية ، فإن F ( r ) يتم إعطاؤها بواسطة ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$ أين${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$هو متجه وحدة يشير على طول الخط الواصل بين M و m ، و G هو ثابت نيوتن للجاذبية . لذلك، فإن مجال الجاذبية لـ M هو ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{m}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}.}$$

أدت الملاحظة التجريبية التي تُثبت تساوي الكتلة العطالية والكتلة الجاذبية بدقة غير مسبوقة إلى تحديد شدة مجال الجاذبية على أنها مطابقة للتسارع الذي يتعرض له الجسيم. هذه هي نقطة انطلاق مبدأ التكافؤ ، الذي يُفضي إلى النسبية العامة .

بالنسبة لمجموعة منفصلة من الكتل، Mi _، الموجودة عند النقاط r _، يكون مجال الجاذبية عند النقطة r الناتج عن هذه الكتل هو $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\sum _{i}{\frac {M_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}|^{3}}}\,,}$$

إذا كان لدينا توزيع كتلة مستمر ρ بدلاً من ذلك، فسيتم استبدال المجموع بالتكامل. $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\iiint _{V}{\frac {\rho (\mathbf {x} )d^{3}\mathbf {x} (\mathbf {r} -\mathbf {x} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {x} |^{3}}}\,,}$$

لاحظ أن اتجاه المجال يشير من الموضع r إلى موضع الكتل r _i ؛ وهذا ما يضمنه الإشارة السالبة. باختصار، هذا يعني أن جميع الكتل تتجاذب.

قانون جاوس للجاذبية في صيغته التكاملية هو $${\displaystyle \iint \mathbf {g} \cdot d\mathbf {S} =-4\pi GM}$$ أما في صيغتها التفاضلية فهي $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho _{m}}$$

لذلك، يمكن كتابة مجال الجاذبية g بدلالة تدرج جهد الجاذبية φ ( r ) : $${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla \phi (\mathbf {r} ).}$$ هذا نتيجة لكون قوة الجاذبية F قوة محافظة .

في عام 1839، قدم جيمس ماكولاج معادلات المجال لوصف الانعكاس والانكسار في "مقال نحو نظرية ديناميكية للانعكاس والانكسار البلوري". ^{[ 4 ]}

بفرض وجود موتر مجال${\displaystyle \phi }$، كمية قياسية تسمى كثافة لاغرانج$${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\partial \phi ,\partial \partial \phi ,\ldots ,x)}$$يمكن بناؤها من${\displaystyle \phi }$ومشتقاتها. ومن هذه الكثافة، يمكن بناء دالة الفعل عن طريق التكامل على الزمكان، $${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int {{\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}.}$$

أين${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$هو شكل الحجم في الزمكان المنحني.${\displaystyle (g\equiv \det(g_{\mu \nu }))}$

لذلك، فإن دالة لاغرانج نفسها تساوي تكامل كثافة لاغرانج على كل الفضاء.

ثم من خلال تطبيق مبدأ الفعل ، يتم الحصول على معادلات أويلر-لاغرانج

$${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \phi }}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\right)+\cdots +(-1)^{m}\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu _{1}}\partial _{\mu _{2}}\cdots \partial _{\mu _{m-1}}\partial _{\mu _{m}}\phi )}}\right)=0.}$$

تاريخيًا، كانت أولى نظريات المجال (الكلاسيكية) تلك التي تصف المجالين الكهربائي والمغناطيسي (بشكل منفصل). بعد تجارب عديدة، تبيّن أن هذين المجالين مرتبطان، أو في الواقع، هما وجهان لعملة واحدة: المجال الكهرومغناطيسي . تصف نظرية ماكسويل للكهرومغناطيسية تفاعل المادة المشحونة مع المجال الكهرومغناطيسي. استخدمت الصيغة الأولى لهذه النظرية حقولًا متجهة لوصف المجالين الكهربائي والمغناطيسي . مع ظهور النسبية الخاصة، تم التوصل إلى صيغة أكثر شمولًا باستخدام حقول موترية . فبدلًا من استخدام حقلين متجهين لوصف المجالين الكهربائي والمغناطيسي، يُستخدم حقل موتري واحد يمثل هذين المجالين معًا .

يُعرَّف الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي بأنه A _a = (− φ , A ) ، والتيار الكهرومغناطيسي الرباعي j _a = (− ρ , j ) . ويُوصَف المجال الكهرومغناطيسي عند أي نقطة في الزمكان بواسطة موتر المجال الكهرومغناطيسي المتناظر عكسيًا من الرتبة (0,2).$${\displaystyle F_{ab}=\partial _{a}A_{b}-\partial _{b}A_{a}.}$$

بعد أن تبيّن عدم توافق قانون نيوتن للجاذبية مع النسبية الخاصة ، صاغ ألبرت أينشتاين نظرية جديدة للجاذبية تُعرف بالنسبية العامة . تُعامل هذه النظرية الجاذبية كظاهرة هندسية (انحناء الزمكان ) ناتجة عن الكتل، وتمثل مجال الجاذبية رياضيًا بواسطة حقل موتر يُسمى موتر القياس . تصف معادلات أينشتاين للمجال كيفية نشوء هذا الانحناء. وقد حلت نظرية النسبية العامة لأينشتاين محل قانون نيوتن للجاذبية ، حيث يُنظر إلى الجاذبية فيها على أنها ناتجة عن انحناء الزمكان بفعل الكتل. معادلات أينشتاين للمجال، $${\displaystyle G_{ab}=\kappa T_{ab}}$$ صف كيف يتم إنتاج هذا الانحناء بواسطة المادة والإشعاع، حيث G _ab هو موتر أينشتاين . $${\displaystyle G_{ab}\,=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}}$$ مكتوبة بدلالة موتر ريتشي R _ab والكمية القياسية لريتشي R = R _ab g ^ab ، حيث T _ab هو موتر الإجهاد والطاقة، و κ = 8 πG / c ⁴ ثابت. في غياب المادة والإشعاع (بما في ذلك المصادر) ، تكون معادلات مجال الفراغ$${\displaystyle G_{ab}=0}$$ يمكن اشتقاقها عن طريق تغيير فعل أينشتاين-هيلبرت ، $${\displaystyle S=\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$$ بالنسبة للمقياس، حيث g هو محدد موتر المقياس g ab ^. تُسمى حلول معادلات مجال الفراغ حلول الفراغ . وهناك تفسير بديل، منسوب إلى آرثر إيدنغتون ، وهو أن${\displaystyle R}$أمر أساسي،${\displaystyle T}$إنها مجرد جانب واحد من${\displaystyle R}$، و${\displaystyle \kappa }$يُفرض ذلك من خلال اختيار الوحدات.

ومن الأمثلة الأخرى على نظريات الحقول الكلاسيكية المتغيرة لورنتز ما يلي:

• نظرية كلاين-غوردون للحقول العددية الحقيقية أو المعقدة
• نظرية ديراك لحقل سبينور ديراك
• نظرية يانغ-ميلز لحقل قياس غير أبلي