الحساب ذو النقطة الثابتة

لتحقيق كفاءة أكبر، غالبًا ما تُختار عوامل القياس لتكون قوى (موجبة أو سالبة) للأساس b المستخدم لتمثيل الأعداد الصحيحة داخليًا. مع ذلك، غالبًا ما يُحدد التطبيق عامل القياس الأمثل. لذا، يُستخدم عادةً عوامل قياس هي قوى العدد 10 (مثل 1/100 لقيم الدولار) لتسهيل الاستخدام، حتى عند تمثيل الأعداد الصحيحة داخليًا بالنظام الثنائي. تتوافق عوامل القياس العشرية أيضًا مع النظام المتري (SI) ، حيث إن اختيار عامل القياس ذي النقطة الثابتة غالبًا ما يُعادل اختيار وحدة قياس (مثل السنتيمتر أو الميكرون بالنسبة للمتر ).

ومع ذلك، يمكن استخدام عوامل قياس أخرى في بعض الأحيان، على سبيل المثال، يمكن تمثيل جزء من الساعات كعدد صحيح من الثواني؛ أي كرقم ثابت مع عامل قياس 1/3600.

حتى مع أدق عمليات التقريب، قد تحتوي قيم الفاصلة الثابتة المُمثلة بمعامل قياس S على خطأ يصل إلى ±0.5 × S في قيمة العدد الصحيح المُخزنة. لذلك، تُنتج معاملات القياس الأصغر عمومًا نتائج أكثر دقة.

من جهة أخرى، يعني عامل القياس الأصغر نطاقًا أضيق للقيم التي يمكن تخزينها في متغير برنامج معين. أكبر قيمة ثابتة النقطة يمكن تخزينها في متغير هي أكبر قيمة عددية صحيحة يمكن تخزينها فيه، مضروبة في عامل القياس، وينطبق الأمر نفسه على القيمة الدنيا. على سبيل المثال، يوضح الجدول أدناه عامل القياس الضمني S ، والقيمتين الدنيا والقصوى القابلتين للتمثيل V_{_min} و V _{_max}، ودقة δ  = S /2 للقيم التي يمكن تمثيلها بتنسيق النقطة الثابتة الثنائية الموقعة 16 بت، وذلك اعتمادًا على عدد بتات الكسر الضمنية f .

تُعتبر صيغ الأعداد الثابتة ذات معاملات القياس من الشكل 2 ^{^n} - 1 (أي 1، 3، 7، 15، 31، إلخ) مناسبة لمعالجة الصور ومهام معالجة الإشارات الرقمية الأخرى. فهي توفر تحويلات أكثر اتساقًا بين قيم الأعداد الثابتة والعائمة مقارنةً بمعامل القياس 2 ^ ⁿ . وتُطبّق لغة البرمجة جوليا كلا الإصدارين. ^{[ 2 ]}

يمكن تمثيل أي كسر ثنائي a / ^2m ، مثل 1/16 أو 17/32، بدقة في نظام الفاصلة الثابتة، باستخدام عامل قياس من قوى العدد اثنين 1/ ^2n، حيث n  ≥ m . مع ذلك، فإن معظم الكسور العشرية مثل 0.1 أو 0.123 هي كسور دورية لانهائية في النظام الثنائي، وبالتالي لا يمكن تمثيلها بهذه الطريقة.

وبالمثل، يمكن تمثيل أي كسر عشري a / ^10m ، مثل 1/100 أو 37/1000، بدقة في نظام الفاصلة الثابتة باستخدام عامل قياس من قوى العشرة 1/ ^10n، حيث n  ≥ m . كما يمكن لهذا النظام العشري تمثيل أي كسر ثنائي a / ^2m ، مثل 1/8 (0.125) أو 17/32 (0.53125).

وبشكل عام، يمكن تمثيل العدد النسبي a / b ، حيث a و b أوليان نسبيًا و b موجب ، بدقة في نظام النقطة الثابتة الثنائية فقط إذا كان b قوة للعدد 2 ؛ وفي نظام النقطة الثابتة العشرية فقط إذا لم يكن لـ b عوامل أولية أخرى غير 2 أو 5.

قد تكون العمليات الحسابية ذات النقطة الثابتة أسرع أو تستهلك موارد أقل من العمليات الحسابية ذات النقطة العائمة. إذا كان نطاق القيم المراد تمثيلها معروفًا مسبقًا ومحدودًا بدرجة كافية، فإن النقطة الثابتة تستفيد بشكل أفضل من البتات المتاحة. على سبيل المثال، إذا كانت 32 بت متاحة لتمثيل عدد عشري بين 0 و1، فإن تمثيل النقطة الثابتة قد يكون به خطأ أقل من1.2 × 10⁻¹⁰ ^، في حين أن تمثيل الفاصلة العائمة القياسي IEEE 754 قد يحتوي على خطأ يصل إلى596 × 10⁻¹⁰ لأن 9 بتات مخصصة لإشارة وأس عامل القياس الديناميكي، وهو غير مستخدم ضمن هذا النطاق المحدود من القيم. بالنسبة لتسجيل صوتي رقمي يتطلب أقل ^من مع وجود هامش ديناميكي يبلغ 40 ديسيبل ، فإن نظام النقطة الثابتة ذو 32 بت يتمتع بنسبة إشارة إلى ضوضاء أعلى من نظام النقطة العائمة.

تتميز البرامج التي تستخدم حسابات النقطة الثابتة عادةً بسهولة نقلها مقارنةً بتلك التي تستخدم حسابات النقطة العائمة، لأنها لا تعتمد على توفر وحدة معالجة النقطة العائمة (FPU). وقد كانت هذه الميزة بارزةً بشكل خاص قبل اعتماد معيار IEEE للنقطة العائمة على نطاق واسع، حيث كانت حسابات النقطة العائمة باستخدام نفس البيانات تُنتج نتائج مختلفة باختلاف الشركة المصنعة، وغالبًا باختلاف طراز الحاسوب.

تفتقر العديد من المعالجات المدمجة إلى وحدة معالجة الفاصلة العائمة (FPU)، لأن وحدات الحساب الصحيحة تتطلب عددًا أقل بكثير من البوابات المنطقية وتستهلك مساحة شريحة أصغر بكثير من وحدة معالجة الفاصلة العائمة؛ كما أن محاكاة برامج الفاصلة العائمة على الأجهزة منخفضة السرعة ستكون بطيئة للغاية بالنسبة لمعظم التطبيقات. كذلك، كانت رقائق المعالجات المركزية لأجهزة الكمبيوتر الشخصية وأجهزة ألعاب الفيديو القديمة ، مثل Intel 386 و 486SX ، تفتقر إلى وحدة معالجة الفاصلة العائمة.

إن الدقة المطلقة (الفرق بين القيم المتتالية) لأي تنسيق نقطة ثابتة تكون ثابتة على كامل النطاق، أي عامل القياس S. في المقابل، فإن الدقة النسبية لتنسيق النقطة العائمة تكون ثابتة تقريبًا على كامل نطاقها، وتتغير ضمن عامل من الأساس b ؛ بينما تتغير دقتها المطلقة بعدة مراتب من حيث الحجم، مثل القيم نفسها.

في كثير من الحالات، يكون تحليل أخطاء التقريب والاقتطاع في حسابات النقطة الثابتة أسهل من تحليلها في حسابات النقطة العائمة المكافئة. كما أن تطبيق تقنيات التخطيط الخطي للاقتطاع، مثل التمويه أو تشكيل الضوضاء، يكون أكثر وضوحًا في حسابات النقطة الثابتة. من ناحية أخرى، يتطلب استخدام النقطة الثابتة عناية أكبر من المبرمج. فتجنب تجاوز السعة يتطلب تقديرات أدق بكثير لنطاقات المتغيرات وجميع القيم الوسيطة في الحساب، وغالبًا ما يتطلب أيضًا كتابة شيفرة إضافية لضبط عوامل القياس. تتطلب برمجة النقطة الثابتة عادةً استخدام أنواع أعداد صحيحة ذات عروض مختلفة . يمكن لتطبيقات النقطة الثابتة الاستفادة من النقطة العائمة الكتلية ، وهي بيئة نقطة ثابتة يتم فيها قياس كل مصفوفة (كتلة) من بيانات النقطة الثابتة باستخدام أس مشترك في كلمة واحدة.

لجمع أو طرح قيمتين لهما نفس معامل القياس الضمني، يكفي جمع أو طرح العددين الصحيحين الأصليين؛ ستكون النتيجة بنفس معامل القياس الضمني المشترك، وبالتالي يمكن تخزينها في نفس متغيرات البرنامج التي تحتوي على المعاملات. تُعطي هذه العمليات النتيجة الرياضية الدقيقة، طالما لم يحدث تجاوز - أي طالما يمكن تخزين العدد الصحيح الناتج في متغير البرنامج المُستقبِل . إذا حدث تجاوز، فإنه يحدث كما هو الحال مع الأعداد الصحيحة العادية ذات الإشارة نفسها. في حالتي الأعداد غير المُوقَّعة والمُوقَّعة باستخدام نظام المتمم الثنائي، يُعرف سلوك التجاوز جيدًا باسم المجموعة المنتهية .

إذا كانت المعاملات لها عوامل قياس مختلفة، فيجب تحويلها إلى عامل قياس مشترك قبل العملية.

لضرب عددين ثابتين، يكفي ضرب العددين الصحيحين الأساسيين وافتراض أن عامل القياس للنتيجة هو حاصل ضرب عوامل القياس الخاصة بهما.

(p/q) * (r/s) = pr/qs

ستكون النتيجة دقيقة تمامًا، دون تقريب، بشرط ألا تتجاوز سعة المتغير المُستقبِل. (وتحديدًا، في عملية الضرب الصحيح، يكون الناتج ضعف عرض العاملين كحد أقصى).

على سبيل المثال، بضرب العددين 123 مضروبًا في 1/1000 (0.123) و25 مضروبًا في 1/10 (2.5)، نحصل على العدد الصحيح 123 × 25 = 3075 مضروبًا في (1/1000) × (1/10) = 1/10000، أي 3075/10000 = 0.3075. كمثال آخر، بضرب العدد الأول في 155 مضروبًا ضمنيًا في 1/32 (155/32 = 4.84375)، نحصل على العدد الصحيح 123 × 155 = 19065 مضروبًا ضمنيًا في (1/1000) × (1/32) = 1/32000، أي 19065/32000 = 0.59578125.

في النظام الثنائي، من الشائع استخدام عامل قياس يكون قوة للعدد اثنين. بعد عملية الضرب، يمكن قسمة عامل القياس عن طريق الإزاحة إلى اليمين. الإزاحة عملية بسيطة وسريعة في معظم أجهزة الكمبيوتر.

عند استخدام الإزاحة إلى اليمين أو تعليمة القسمة الصحيحة التقليدية (مثل قسمة الأعداد الصحيحة في لغة C و idiv في معمارية x86)، تكون النتيجة مكافئة لعملية القسمة على أقرب عدد صحيح (floor(x/y)). يمكن استخدام طريقة التقريب لتقليل الخطأ الناتج. توجد ثلاثة اختلافات ممكنة بناءً على اختيار طريقة كسر التعادل:

• يمكن تقريب العدد إلى النصف بإضافة "مُضاف تقريب" يساوي نصف عامل القياس قبل الإزاحة. البرهان: roundup(x/y) = floor(x/y + 0.5) = floor((x + y/2)/y). إذا كانت y = 2^n، فإن هذا يُكافئ (x + 2^(n−1)) >> n (حيث >> تُشير إلى الإزاحة إلى اليمين).
• التقريب إلى النصف السفلي هو، على سبيل القياس، الجزء السفلي ((x - y/2)/y) أو (x - 2^(n-1)) >> n.
• تتضمن عملية التقريب من النصف إلى الزوجي اتخاذ قرار إضافي بالإضافة إلى عملية التقريب من النصف إلى الأعلى. وهي أكثر تعقيدًا بعض الشيء، لكنها لا تتطلب أي تفرع على وحدة المعالجة المركزية. ^{[ 4 ]}

يمكن استخدام طرق التقريب هذه في أي عملية تحجيم من خلال القسمة الصحيحة. على سبيل المثال، يمكن تطبيقها أيضًا على مناقشة إعادة التحجيم.

يمكن فهم قسمة الأعداد ذات الفاصلة الثابتة على أنها قسمة كسرين قد يكون مقامهما مختلفًا (معاملات قياس). فعندما يكون p ⁄ q و r ⁄ s (حيث pq و r أعداد صحيحة)، فإن الطريقة البسيطة هي إعادة ترتيب الكسر لتكوين معامل قياس جديد (s/q):

(p/q) / (r/s) = (p÷r) / (s÷q)

على سبيل المثال، قسمة 3456 مضروبًا في 1/100 (34.56) و1234 مضروبًا في 1/1000 (1.234) ينتج عنها العدد الصحيح 3456÷1234 = 3 (بعد التقريب) بمعامل قياس (1/100)/(1/1000) = 10، أي 30. كمثال آخر، قسمة العدد الأول على 155 مضروبًا ضمنيًا في 1/32 (155/32 = 4.84375) ينتج عنها العدد الصحيح 3456÷155 = 22 (بعد التقريب) بمعامل قياس ضمني (1/100)/(1/32) = 32/100 = 8/25، أي 22×32/100 = 7.04.

مع تشابه قيمتي s و q، تُنتج الخوارزمية المذكورة أعلاه عامل قياس خشنًا للغاية. يمكن تحسين ذلك بتحويل المقسوم أولًا إلى عامل قياس أصغر. لنفترض أننا قللنا عامل القياس بمقدار n مرة، فسنحسب بدلًا من ذلك:

(p/q) / (r/s) = (np/nq) / (r/s) = (np÷r) / (s÷nq)

على سبيل المثال، إذا تم تمثيل a = 1.23 بالصيغة 123 بمعامل تكبير 1/100، وتم تمثيل b = 6.25 بالصيغة 6250 بمعامل تكبير 1/1000، فإن القسمة البسيطة للعددين الصحيحين تُعطي 123 ÷ 6250 = 0 (بعد التقريب) بمعامل تكبير (1/100)/(1/1000) = 10. إذا تم تحويل a أولاً إلى 1,230,000 بمعامل تكبير 1/1000000، فستكون النتيجة 1,230,000 ÷ 6250 = 197 (بعد التقريب) بمعامل تكبير 1/1000 (0.197). القيمة الدقيقة 1.23/6.25 هي 0.1968.

ثمة طريقة أخرى للتفكير في عملية القياس، وهي النظر إلى القسمة، وهي العملية العكسية للضرب. فإذا كان الضرب يؤدي إلى عامل قياس أدق، فمن المنطقي أن يحتاج المقسوم أيضاً إلى عامل قياس أدق لاستعادة القيمة الأصلية المعطاة.

في الحوسبة ذات النقطة الثابتة، غالباً ما يكون من الضروري تحويل قيمة إلى عامل قياس مختلف. هذه العملية ضرورية، على سبيل المثال:

• لتخزين قيمة في متغير برنامج له عامل قياس ضمني مختلف؛
• لتحويل قيمتين إلى نفس عامل القياس، بحيث يمكن جمعهما أو طرحهما؛
• لاستعادة عامل القياس الأصلي لقيمة ما بعد ضربها أو قسمتها على قيمة أخرى؛
• لتحسين دقة نتيجة القسمة؛
• لضمان أن يكون عامل القياس للمنتج أو خارج القسمة عبارة عن قوة بسيطة مثل 10 ^ن أو 2 ^ن ؛
• لضمان إمكانية تخزين نتيجة العملية في متغير البرنامج دون حدوث تجاوز؛
• لتقليل تكلفة الأجهزة التي تعالج بيانات النقطة الثابتة.

لتحويل عدد من نوع ذي فاصلة ثابتة بمعامل قياس R إلى نوع آخر بمعامل قياس S ، يجب ضرب العدد الصحيح الأصلي بنسبة R / S. على سبيل المثال، لتحويل القيمة 1.23 = 123/100 من معامل قياس R = 1/100 إلى معامل قياس S = 1/1000، يجب ضرب العدد الصحيح 123 في (1/100)/(1/1000) = 10، ما ينتج عنه التمثيل 1230/1000.

إذا كان عامل القياس قوةً للأساس المستخدم داخليًا لتمثيل العدد الصحيح، فإن تغيير عامل القياس لا يتطلب سوى حذف الأرقام ذات الرتبة الأدنى من العدد الصحيح، أو إضافة أصفار. مع ذلك، يجب أن تحافظ هذه العملية على إشارة العدد. في تمثيل المتمم الثنائي، يعني ذلك تمديد خانة الإشارة كما في عمليات الإزاحة الحسابية .

إذا لم يقسم S العدد R (على وجه الخصوص، إذا كان عامل القياس الجديد S أكبر من R الأصلي )، فقد يتعين تقريب العدد الصحيح الجديد .

على وجه الخصوص، إذا كان r و s متغيرين ثابتين مع عوامل قياس ضمنية R و S ، فإن العملية r ← r × s تتطلب ضرب الأعداد الصحيحة المعنية وقسمة الناتج صراحةً على S. قد يلزم تقريب الناتج، وقد يحدث تجاوز.

على سبيل المثال، إذا كان عامل القياس الشائع هو 1/100، فإن ضرب 1.23 في 0.25 يستلزم ضرب 123 في 25 للحصول على 3075 بعامل قياس وسيط قدره 1/10000. وللعودة إلى عامل القياس الأصلي 1/100، يجب ضرب العدد الصحيح 3075 في 1/100، أي قسمته على 100، للحصول إما على 31 (0.31) أو 30 (0.30)، وذلك حسب طريقة التقريب المستخدمة.

وبالمثل، فإن العملية r ← r / s ستتطلب قسمة الأعداد الصحيحة وضرب الناتج صراحةً في S. وقد يحدث التقريب و/أو تجاوز السعة هنا أيضًا.

لتحويل عدد من نظام الفاصلة العائمة إلى نظام الفاصلة الثابتة، يمكن ضربه بمعامل القياس S ، ثم تقريب الناتج إلى أقرب عدد صحيح. يجب التأكد من أن الناتج يتسع في متغير أو سجل الوجهة. اعتمادًا على معامل القياس وحجم التخزين، وعلى نطاق أعداد الإدخال، قد لا يتطلب التحويل أي تقريب.

لتحويل عدد ذي فاصلة ثابتة إلى عدد ذي فاصلة عائمة، يمكن تحويل العدد الصحيح إلى عدد ذي فاصلة عائمة ثم قسمته على عامل القياس S. قد يتطلب هذا التحويل تقريبًا إذا كانت القيمة المطلقة للعدد الصحيح أكبر من 2^ ²⁴ (للأعداد الثنائية أحادية الدقة وفقًا لمعيار IEEE) أو أكبر من 2^ ⁵³ (للأعداد ذات الدقة المزدوجة). قد يحدث تجاوز أو نقص في القيمة إذا كانت القيمة المطلقة لـ S كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا ، على التوالي.

لا تدعم المعالجات التقليدية العمليات الحسابية ذات الفاصلة الثابتة بشكلٍ خاص. مع ذلك، تحتوي معظم الحواسيب التي تدعم العمليات الحسابية الثنائية على تعليمات إزاحة بتات سريعة تُمكّن من ضرب أو قسمة عدد صحيح على أي قوة من قوى العدد 2؛ وتحديدًا، تعليمات الإزاحة الحسابية . يمكن استخدام هذه التعليمات لتغيير عوامل القياس التي هي قوى للعدد 2 بسرعة، مع الحفاظ على إشارة العدد.

استخدمت الحواسيب القديمة، مثل IBM 1620 و Burroughs B3500، نظامًا ثنائيًا عشريًا (BCD) لتمثيل الأعداد الصحيحة، أي النظام العشري (الأساس 10) حيث يُشفّر كل رقم عشري بشكل مستقل باستخدام 4 بتات. وقد لا تزال بعض المعالجات، مثل المتحكمات الدقيقة، تستخدم هذا النظام. في هذه الأجهزة، يمكن تحويل عوامل القياس العشري عن طريق إزاحة البتات و/أو معالجة عناوين الذاكرة.

توفر بعض معمارية معالجة الإشارات الرقمية دعمًا أصليًا لتنسيقات محددة للأعداد ذات الفاصلة الثابتة، مثل الأعداد الموقعة ذات n بت مع n -1 بت كسري (والتي قد تتراوح قيمها بين -1 و+1 تقريبًا). قد يشمل هذا الدعم تعليمة ضرب تتضمن إعادة التطبيع - أي تحويل ناتج الضرب من 2 ^n -2 إلى n -1 بت كسري. إذا لم توفر وحدة المعالجة المركزية هذه الميزة، فيجب على المبرمج حفظ الناتج في سجل أو متغير مؤقت ذي سعة كافية، وكتابة تعليمات إعادة التطبيع بشكل صريح.

يحدث تجاوز السعة عندما تكون نتيجة عملية حسابية أكبر من أن تُخزَّن في منطقة التخزين المخصصة. في عمليتي الجمع والطرح، قد تتطلب النتيجة بتًا واحدًا إضافيًا عن عدد المعاملات. في عملية ضرب عددين صحيحين غير مُوَقَّعين، أحدهما مكون من m بت والآخر من n بت، قد تحتوي النتيجة على m + n بت.

في حالة حدوث تجاوز، تُفقد البتات ذات الرتبة الأعلى عادةً، حيث يتم اختزال العدد الصحيح غير المُقاس بتردد 2^ ⁿ ، حيث n هو حجم منطقة التخزين. ويُفقد بت الإشارة تحديدًا، مما قد يُغير إشارة وقيمة العدد بشكل جذري.

تستطيع بعض المعالجات ضبط علامة تجاوز السعة للأجهزة و/أو توليد استثناء عند حدوث تجاوز. وقد توفر بعض المعالجات بدلاً من ذلك حسابات التشبع : فإذا تجاوزت نتيجة عملية جمع أو طرح السعة، فإنها تخزن القيمة ذات أكبر مقدار يمكن استيعابه في منطقة الاستقبال والتي تحمل الإشارة الصحيحة.

ومع ذلك، فإن هذه الميزات ليست مفيدة جدًا من الناحية العملية؛ فمن الأسهل والأكثر أمانًا بشكل عام اختيار عوامل القياس وأحجام الكلمات لاستبعاد إمكانية حدوث تجاوز، أو التحقق من المعاملات بحثًا عن قيم مفرطة قبل تنفيذ العملية.

لنفترض أن هناك عملية الضرب التالية مع عددين ثابتين، كل منهما مكون من 3 منازل عشرية.

${\displaystyle {\begin{aligned}(10.500)(1.050)&=1\times 10.500+0.050\times 10.500\\&=10.500+0.525000=11.025000\end{aligned}}}$

لاحظ كيف أننا نعرض الأصفار اللاحقة لوجود ثلاثة منازل عشرية. ولإعادة وصف هذه العملية كضرب عدد صحيح، يجب علينا أولاً الضرب في${\displaystyle 1000\ (=10^{3})}$بعد نقل جميع المنازل العشرية إلى منازل صحيحة، سنقوم بالضرب في${\displaystyle 1/1000\ (=10^{-3})}$لإعادتها. تبدو المعادلة الآن كالتالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}(10.500)(10^{3})(1.050)(10^{3})(10^{-3})(10^{-3})&=(10500)(1050)(10^{-6})\\&=11\,025\,000(10^{-6})\\&=11.025000\end{aligned}}}$

ينطبق هذا الأمر بنفس الكفاءة إذا اخترنا أساسًا مختلفًا، ولا سيما الأساس 2 في الحسابات، لأن إزاحة البتات تُعادل عملية ضرب أو قسمة على العدد 2. ثلاثة أرقام عشرية تُعادل حوالي 10 أرقام ثنائية، لذا يجب تقريب 0.05 إلى 10 بتات بعد الفاصلة الثنائية. أقرب قيمة تقريبية هي 0.0000110011.

${\displaystyle {\begin{aligned}10&=8+2=2^{3}+2^{1}\\1&=2^{0}\\0.5&=2^{-1}\\0.05&=0.0000110011_{2}\end{aligned}}}$

وهكذا تصبح عملية الضرب لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}(1010.100)(2^{3})(1.0000110011)(2^{10})(2^{-13})&=(1010100)(10000110011)(2^{-13})\\&=(10110000010111100)(2^{-13})\\&=1011.0000010111100\end{aligned}}}$

هذا يُقرّب إلى 11.023 بثلاثة أرقام بعد الفاصلة العشرية.

لنفترض أننا نريد حساب حاصل ضرب 1.2 و 5.6 باستخدام نظام الفاصلة الثابتة الثنائي و16 بتًا للكسر. لتمثيل هذين العددين، نضربهما في 2^ 16، فنحصل على 78643.2 و 367001.6؛ ثم نقرب هاتين القيمتين إلى أقرب عدد صحيح، فنحصل على 78643 و 367002. ^يمكن تمثيل هذين العددين بسهولة في كلمة مكونة من 32 بت بنظام المتمم الثنائي.

بضرب هذين العددين الصحيحين معًا نحصل على العدد الصحيح 28862138286 ذي 35 بتًا، مع 32 بتًا للكسر، دون أي تقريب. لاحظ أن تخزين هذه القيمة مباشرةً في متغير عدد صحيح ذي 32 بتًا سيؤدي إلى تجاوز السعة وفقدان البتات الأكثر أهمية. عمليًا، يُفضل تخزينها في متغير أو سجل عدد صحيح ذي 64 بتًا مُوَقَّعًا .

إذا كان المطلوب تخزين النتيجة بنفس تنسيق البيانات، مع 16 بتًا للكسر، فيجب قسمة هذا العدد الصحيح على 2^ 16 ^، ما يعطي تقريبًا 440401.28 ، ثم تقريبه إلى أقرب عدد صحيح. يمكن تحقيق ذلك بإضافة 2^ 15 ثم إزاحة النتيجة بمقدار 16 بتًا. النتيجة هي 440401 ، والتي ^تمثل القيمة 6.719985961914062.5 . مع مراعاة دقة التنسيق، يُفضل التعبير عن هذه القيمة على النحو التالي: 6.719986 ± 0.000008 ( دون احتساب الخطأ الناتج عن تقريب المعاملات). ستكون النتيجة الصحيحة 1.2 × 5.6 = 6.72 .

لمثال أكثر تعقيدًا، لنفترض أن العددين 1.2 و5.6 ممثلان بنظام الفاصلة الثابتة 32 بت، مع 30 و20 بتًا للكسر على التوالي. بضربهما في 2^ 30 و2^20 نحصل على 1288490188.8 و 5872025.6، والتي تُقرّب إلى 1288490189 ^و 5872026 على ^{التوالي} . يظل كلا العددين مناسبًا لمتغير عدد صحيح مُوَقَّع 32 بت ، ويمثلان الكسور .

1. 200 000 000 186 264 514 923 095 703 125 و

5. 600 000 381 469 726 562 50

ناتج ضربهما هو (بالضبط) العدد الصحيح المكون من 53 بت وهو 7566047890552914 ، والذي يحتوي على 30 + 20 = 50 بتًا للكسر الضمني ، وبالتالي يمثل الكسر .

6. 720 000 458 806 753 229 623 609 513 510

إذا اخترنا تمثيل هذه القيمة بصيغة ثابتة ذات 16 بت مع 8 بتات للكسر، فيجب علينا قسمة حاصل ضرب الأعداد الصحيحة على 2^ ^{50 - 8} = 2^ ⁴² وتقريب الناتج؛ ويمكن تحقيق ذلك بإضافة 2^ ⁴¹ وإزاحة الناتج بمقدار 42 بتًا. والنتيجة هي 1720، والتي تمثل القيمة 1720/2 ^{^8} = 6.71875 ، أو بالأحرى الفترة بين 3439/2 ^{^9} و3441/2^ ⁹ (حوالي 6.719 ± 0.002).