معادلات فرينل

توجد مجموعتان من معاملات فرينل لمكوني الاستقطاب الخطي المختلفين للموجة الساقطة. وبما أن أي حالة استقطاب يمكن تحليلها إلى مزيج من استقطابين خطيين متعامدين، فإن هذا يكفي لأي مسألة. وبالمثل، فإن الضوء غير المستقطب (أو "المستقطب عشوائيًا") يمتلك مقدارًا متساويًا من الطاقة في كل من الاستقطابين الخطيين.

يشير الاستقطاب s إلى استقطاب المجال الكهربائي للموجة عموديًا على مستوى السقوط ( اتجاه z في الاشتقاق أدناه)؛ ويكون المجال المغناطيسي حينها في مستوى السقوط. أما الاستقطاب p فيشير إلى استقطاب المجال الكهربائي في مستوى السقوط ( المستوى xy في الاشتقاق أدناه)؛ ويكون المجال المغناطيسي حينها عموديًا على مستوى السقوط. يشير مصطلحا "s" و"p" لمكونات الاستقطاب إلى الكلمتين الألمانيتين "senkrecht" (عمودي أو عادي) و"parallel" (موازٍ لمستوى السقوط).

على الرغم من أن الانعكاس والنفاذ يعتمدان على الاستقطاب، إلا أنه عند السقوط العمودي ( θ = 0 ) لا يوجد تمييز بينهما، لذا فإن جميع حالات الاستقطاب تخضع لمجموعة واحدة من معاملات فريسنل (وهناك حالة خاصة أخرى مذكورة أدناه يكون فيها ذلك صحيحًا).

في الصيغة أعلاه لـ r _s ، إذا وضعنا${\displaystyle n_{2}=n_{1}\sin \theta _{\text{i}}/\sin \theta _{\text{t}}}$⁽ قانون سنيل) وضرب البسط والمقام في 1 / n 1 sin θ t _، نحصل _على ^{[ 10 ]} [ ^{11 ]} $${\displaystyle r_{\text{s}}=-{\frac {\sin(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\sin(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

إذا فعلنا الشيء نفسه مع صيغة r _p ، فمن السهل إثبات أن النتيجة مكافئة لـ ^{[ 12 ] [ 13 ]}$${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {\tan(\theta _{\text{i}}-\theta _{\text{t}})}{\tan(\theta _{\text{i}}+\theta _{\text{t}})}}.}$$

تُعرف هذه الصيغ ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]} على التوالي بقانون جيب فرينل وقانون ظل فرينل . ^{[ 17 ]} على الرغم من أن هذه التعبيرات تختزل إلى 0/0 عند السقوط العمودي، إلا أنه يمكن ملاحظة أنها تعطي النتائج الصحيحة في النهاية عندما θ _i → 0 .

لحساب معاملات فرينل ذات دلالة، يجب أن نفترض أن الوسط خطي ومتجانس (تقريبًا) . إذا كان الوسط متناحٍ أيضًا ، فإن متجهات المجال الأربعة E و B و D و H ترتبط بالعلاقة التالية :$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} &=\epsilon \mathbf {E} \\\mathbf {B} &=\mu \mathbf {H} \,,\end{aligned}}}$$ حيث ϵ و μ ​​كميتان قياسيتان، تُعرفان على التوالي بالسماحية الكهربائية والنفاذية المغناطيسية للوسط. في الفراغ، تكون قيمتاهما _ϵ₀ و μ₀ على _{التوالي} . ومن ثم _، نُعرّف السماحية النسبية ₍ أو ثابت العزل الكهربائي ) ϵrel ₌ ϵ / ϵ₀ _، والنفاذية النسبية μrel = μ / μ₀ .

في علم البصريات، من الشائع افتراض أن الوسط غير مغناطيسي، وبالتالي فإن μ _rel = 1. أما بالنسبة للمواد المغناطيسية الحديدية عند ترددات الراديو/الميكروويف، فيجب أخذ قيم أكبر لـ μ _rel في الاعتبار. ولكن، بالنسبة للأوساط الشفافة بصريًا، ولجميع المواد الأخرى عند الترددات الضوئية (باستثناء المواد الفائقة المحتملة )، فإن μ _rel قريبة جدًا من 1؛ أي أن μ ≈ μ ₀ .

في علم البصريات، يُعرف عادةً معامل انكسار الوسط n ، وهو نسبة سرعة الضوء في الفراغ ( c ) إلى سرعة الضوء في الوسط. في تحليل الانعكاس الجزئي والنفاذية، يُهتم أيضًا بممانعة الموجة الكهرومغناطيسية Z ، وهي نسبة سعة المجال الكهربائي E إلى سعة المجال المغناطيسي H. لذلك، يُستحسن التعبير عن n و Z بدلالة ϵ و μ ، ومن ثم ربط Z بـ n . مع ذلك، تُسهّل العلاقة الأخيرة اشتقاق معاملات الانعكاس بدلالة مُسامحة الموجة Y ، وهي مقلوب ممانعة الموجة Z.

في حالة الموجات الجيبية المستوية المنتظمة ، تُعرف معاوقة الموجة أو ممانعتها بالمعاوقة أو الممانعة الذاتية للوسط. وهذه هي الحالة التي تُشتق منها معاملات فرينل.

في موجة كهرومغناطيسية جيبية مستوية منتظمة ، يكون للمجال الكهربائي E الشكل التالي:

${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i(\mathbf {k\cdot r} -\omega t)},}$

1

حيث E _k هو متجه السعة المركبة (الثابت)، و i هي الوحدة التخيلية ، و k هو متجه الموجة (الذي مقداره k هو العدد الموجي الزاوي )، و r هو متجه الموضع ، و ω هي التردد الزاوي ، و t هو الزمن، ومن المفهوم أن الجزء الحقيقي من التعبير هو المجال الفيزيائي. ^{[ ملاحظة 1 ]}  لا تتغير قيمة التعبير إذا تغير الموضع r في اتجاه عمودي على k ؛ وبالتالي فإن k عمودي على جبهات الموجة .

لتقديم الطور بالزاوية ϕ ، نستبدل ωt بـ ωt + ϕ (أي نستبدل − ωt بـ − ωt − ϕ )، ما يؤدي إلى ضرب الحقل (المركب) بـ e ^−iϕ . لذا، فإن تقديم الطور يُكافئ الضرب بثابت مركب ذي وسيط سالب . ويتضح هذا جليًا عند تحليل الحقل ( 1 ) إلى E _k e ^{i k ⋅ r} e ^−iωt ، حيث يحتوي العامل الأخير على التغير الزمني. ويشير هذا العامل أيضًا إلى أن التفاضل بالنسبة للزمن يُقابله الضرب بـ −iω . ^{[ ملاحظة 2 ]} 

إذا كان ℓ هو مركبة r في اتجاه k ، فيمكن كتابة المجال ( 1 ) على النحو التالي: E _k e ^{i ( kℓ − ωt )} . إذا كانت قيمة e ^{i (⋯)} ثابتة، فيجب أن يزداد ℓ  مع السرعة.${\displaystyle \omega /k\,,\,}$تُعرف هذه السرعة باسم سرعة الطور ( v _p ) . وهي بدورها تساوي${\displaystyle c/n}$. حل المعادلة لإيجاد قيمة k يعطي

${\displaystyle k=n\omega /c\,.}$

2

وكالعادة، نتجاهل العامل المتغير مع الزمن e ^{− iωt} ، والذي يُفهم أنه يُضرب في كل كمية حقلية مركبة. عندئذٍ، يُمكن تمثيل المجال الكهربائي لموجة جيبية مستوية منتظمة بواسطة متجه طوري يعتمد على الموقع.

${\displaystyle \mathbf {E_{k}} e^{i\mathbf {k\cdot r} }.}$

3

بالنسبة للحقول من هذا الشكل، فإن قانون فاراداي وقانون ماكسويل-أمبير على التوالي يختزلان إلى ^{[ 33 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mathbf {B} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \mathbf {D} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}}$$

بوضع B = μ H و D = ϵ E ، كما هو موضح أعلاه، يمكننا حذف B و D للحصول على معادلات في E و H فقط : $${\displaystyle {\begin{aligned}\omega \mu \mathbf {H} &=\mathbf {k} \times \mathbf {E} \\\omega \epsilon \mathbf {E} &=-\mathbf {k} \times \mathbf {H} \,.\end{aligned}}}$$ إذا كانت المعاملات المادية ϵ و μ ​​حقيقية (كما في مادة عازلة عديمة الفقد)، فإن هذه المعادلات تُظهر أن k و E و H تُشكل ثلاثية متعامدة يمينية ، بحيث تنطبق المعادلات نفسها على مقادير المتجهات المعنية. بأخذ معادلات المقادير والتعويض من ( 2 )، نحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu cH&=nE\\\epsilon cE&=nH\,,\end{aligned}}}$$ حيث H و E هما مقدارا H و E. بضرب المعادلتين الأخيرتين نحصل على

${\displaystyle n=c\,{\sqrt {\mu \epsilon }}\,.}$

4

بقسمة (أو ضرب) المعادلتين نفسيهما نحصل على H = YE ، حيث

${\displaystyle Y={\sqrt {\epsilon /\mu }}\,.}$

5

هذا هو القبول الذاتي .

من ( 4 ) نحصل على سرعة الطور${\displaystyle c/n=1{\big /}\!{\sqrt {\mu \epsilon \,}}}$بالنسبة للفراغ ، يتقلص هذا إلى${\displaystyle c=1{\big /}\!{\sqrt {\mu _{0}\epsilon _{0}}}}$بقسمة النتيجة الثانية على الأولى نحصل على $${\displaystyle n={\sqrt {\mu _{\text{rel}}\epsilon _{\text{rel}}}}\,.}$$ بالنسبة للوسط غير المغناطيسي (الحالة المعتادة)، يصبح هذا ⁠${\displaystyle n={\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}}$( بأخذ مقلوب ( 5 ) ، نجد أنالمعاوقة الذاتية هي${\textstyle Z={\sqrt {\mu /\epsilon }}}$في الفراغ ، تأخذ هذه القيمة${\textstyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}\,\approx 377\,\Omega \,,}$تُعرف باسم مقاومة الفضاء الحر . بالقسمة،${\textstyle Z/Z_{0}={\sqrt {\mu _{\text{rel}}/\epsilon _{\text{rel}}}}}$بالنسبة للوسط غير المغناطيسي ، يصبح هذا${\displaystyle Z=Z_{0}{\big /}\!{\sqrt {\epsilon _{\text{rel}}}}=Z_{0}/n.}$)

في الإحداثيات الديكارتية ( x , y , z ) ، لنفترض أن المنطقة y < 0 _لها معامل انكسار n₁ ، وموصلية ذاتية Y₁ _، وهكذا، ولنفترض أن المنطقة y > 0 لها معامل انكسار n₂ _، وموصلية ذاتية Y₂ _، وهكذا. عندئذٍ، يكون المستوى xz هو السطح الفاصل، ويكون المحور y عموديًا على السطح الفاصل (انظر الرسم التوضيحي). لنفترض أن i و j ( بالخط الروماني الغامق ) هما متجهي الوحدة في اتجاهي x و y ، على التوالي. ولنفترض أن مستوى السقوط هو المستوى xy (مستوى الصفحة)، بزاوية سقوط θᵢ مقاسة من j باتجاه i . ولنفترض أن زاوية الانكسار _، مقاسة بنفس الاتجاه، هي θᵢ _، حيث يشير الرمز السفلي t إلى الضوء المنقول (مع الاحتفاظ بـ r للضوء المنعكس ).

في غياب انزياحات دوبلر ، لا تتغير قيمة ω عند الانعكاس أو الانكسار. وبالتالي، وفقًا للمعادلة ( 2 )، فإن مقدار متجه الموجة يتناسب طرديًا مع معامل الانكسار.

لذا، بالنسبة لقيمة معينة لـ ω ، إذا أعدنا تعريف k على أنه مقدار متجه الموجة في الوسط المرجعي ₍ حيث n = 1 )، فإن متجه الموجة يكون له مقدار n₁k في الوسط الأول (المنطقة y < 0 _في الرسم التخطيطي) ومقدار n₂k في الوسط الثاني. من خلال المقادير والهندسة، نجد أن متجهات الموجة هي $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} _{\text{i}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{r}}&=n_{1}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{i}}-\mathbf {j} \cos \theta _{\text{i}})\\[.5ex]\mathbf {k} _{\text{t}}&=n_{2}k(\mathbf {i} \sin \theta _{\text{t}}+\mathbf {j} \cos \theta _{\text{t}})\\&=k(\mathbf {i} \,n_{1}\sin \theta _{\text{i}}+\mathbf {j} \,n_{2}\cos \theta _{\text{t}})\,,\end{aligned}}}$$ حيث تستخدم الخطوة الأخيرة قانون سنيل. أما نواتج الضرب النقطي المقابلة في صيغة الطور ( 3 ) فهي

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} &=n_{1}k(x\sin \theta _{\text{i}}+y\cos \theta _{\text{i}})\\\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} &=n_{1}k(x\sin \theta _{\text{i}}-y\cos \theta _{\text{i}})\\\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} &=k(n_{1}x\sin \theta _{\text{i}}+n_{2}y\cos \theta _{\text{t}})\,.\end{aligned}}}$

6

لذلك:

في ${\displaystyle y=0\,,~~~\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} =\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} =\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} =n_{1}kx\sin \theta _{\text{i}}\,.}$

7

بالنسبة للاستقطاب s ، يكون المجال الكهربائي موازيًا للمحور z، وبالتالي يمكن وصفه بمركبته في اتجاه z . لنفترض أن معاملَي الانعكاس والنفاذ هما r _s و t _s على التوالي. عندئذٍ، إذا افترضنا أن المجال الكهربائي الساقط له سعة وحدة، فإن الشكل الطوري ( 3 ) لمركبته z هو

${\displaystyle E_{\text{i}}=e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} },}$

8

والحقول المنعكسة والمنقولة، بنفس الشكل، هي

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{r}}&=r_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\E_{\text{t}}&=t_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}}}$

9

وفقًا لاتفاقية الإشارات المستخدمة في هذه المقالة، فإن معامل الانعكاس أو النفاذ الموجب هو الذي يحافظ على اتجاه المجال المستعرض ، أي (في هذا السياق) المجال العمودي على مستوى السقوط. بالنسبة للاستقطاب s ، يعني ذلك المجال الكهربائي E. إذا كانت المجالات الكهربائية الساقطة والمنعكسة والمنفذة (في المعادلات أعلاه) في اتجاه المحور z ("خارج الصفحة")، فإن المجالات المغناطيسية H المقابلة تكون في اتجاهات الأسهم الحمراء، لأن k و E و H تشكل ثلاثية متعامدة يمينية. وبالتالي، يمكن وصف المجالات المغناطيسية H بمركباتها في اتجاهات تلك الأسهم، ويرمز لها بـ H _{_i} و H _{_r} و H _{_t} . وبما أن H = YE ،

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{i}}&=\,Y_{1}e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} }\\H_{\text{r}}&=\,Y_{1}r_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\H_{\text{t}}&=\,Y_{2}t_{s\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}}}$

10

عند السطح الفاصل، وبحسب شروط السطح الفاصل المعتادة للحقول الكهرومغناطيسية ، يجب أن تكون المكونات المماسية للحقول E و H متصلة؛ أي

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}E_{\text{i}}+E_{\text{r}}&=E_{\text{t}}\\H_{\text{i}}\cos \theta _{\text{i}}-H_{\text{r}}\cos \theta _{\text{i}}&=H_{\text{t}}\cos \theta _{\text{t}}\end{aligned}}~~\right\}~~~{\text{at}}~~y=0\,.}$

11

عند استبدال القيم من المعادلات ( 8 ) إلى ( 10 ) ثم من ( 7 )، يتم إلغاء العوامل الأسية، بحيث تختزل شروط الواجهة إلى المعادلات الآنية.

${\displaystyle {\begin{aligned}1+r_{\text{s}}&=\,t_{\text{s}}\\Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}r_{\text{s}}\cos \theta _{\text{i}}&=\,Y_{2}t_{\text{s}}\cos \theta _{\text{t}}\,,\end{aligned}}}$

12

والتي يمكن حلها بسهولة لإيجاد قيمتي r _و t ، مما ينتج _عنه

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

13

و

${\displaystyle t_{\text{s}}={\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\,.}$

14

عند السقوط العمودي ( θᵢ = θₜ = ₀ ) ، المشار إليه بالرمز السفلي الإضافي 0، تصبح هذه _{النتائج}

${\displaystyle r_{\text{s0}}={\frac {Y_{1}-Y_{2}}{Y_{1}+Y_{2}}}}$

15

و

${\displaystyle t_{\text{s0}}={\frac {2Y_{1}}{Y_{1}+Y_{2}}}\,.}$

16

عند زاوية السقوط المائلة ( θ _i → 90°) ، لدينا cos θ _i → 0 ، وبالتالي r _s → −1 و t _s → 0 .

بالنسبة للاستقطاب p ، تكون المجالات الكهربائية الساقطة والمنعكسة والمنفذة موازية للأسهم الحمراء، وبالتالي يمكن وصفها بمركباتها في اتجاهات تلك الأسهم. لنفترض أن هذه المركبات هي E _{_i} و E _{_r} و E_{_t} (مع إعادة تعريف الرموز للسياق الجديد). ولنفترض أن معاملات الانعكاس والنفاذ هي r_{_p} و t_{_p على التوالي. عندئذٍ، إذا افترضنا أن المجال} الكهربائي الساقط له سعة وحدة واحدة، فإننا نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{\text{i}}&=e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} }\\E_{\text{r}}&=r_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\E_{\text{t}}&=t_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}}}$

17

إذا كانت المجالات الكهربائية (E) في اتجاه الأسهم الحمراء، فلكي تُشكّل k و E و H ثلاثية متعامدة يمينية، يجب أن تكون المجالات المغناطيسية (H) المقابلة في الاتجاه -z (داخل الصفحة)، وبالتالي يمكن وصفها بمكوناتها في هذا الاتجاه. يتوافق هذا مع اصطلاح الإشارة المُعتمد، وهو أن معامل الانعكاس أو النفاذية الموجب هو الذي يحافظ على اتجاه المجال المستعرض ( المجال المغناطيسي H في حالة الاستقطاب p ) . يُشير توافق المجال الآخر مع الأسهم الحمراء إلى تعريف بديل لاصطلاح الإشارة: وهو أن معامل الانعكاس أو النفاذية الموجب هو الذي يشير فيه متجه المجال في مستوى السقوط نحو الوسط نفسه قبل وبعد الانعكاس أو النفاذية. ^{[ 34 ]}

لذا، بالنسبة لحقول H الساقطة والمنعكسة والمنقولة، لنفترض أن المكونات المقابلة في الاتجاه -z هي H _{_i} و H_r و H _{_t} . وبما أن H = YE ،

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\text{i}}&=\,Y_{1}e^{i\mathbf {k} _{\text{i}}\mathbf {\cdot r} }\\H_{\text{r}}&=\,Y_{1}r_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{r}}\mathbf {\cdot r} }\\H_{\text{t}}&=\,Y_{2}t_{p\,}e^{i\mathbf {k} _{\text{t}}\mathbf {\cdot r} }.\end{aligned}}}$

18

عند نقطة التماس، يجب أن تكون المكونات المماسية لحقول E و H متصلة؛ أي

${\displaystyle \left.{\begin{aligned}E_{\text{i}}\cos \theta _{\text{i}}-E_{\text{r}}\cos \theta _{\text{i}}&=E_{\text{t}}\cos \theta _{\text{t}}\\H_{\text{i}}+H_{\text{r}}&=H_{\text{t}}\end{aligned}}~~\right\}~~~{\text{at}}~~y=0\,.}$

19

عند التعويض من المعادلتين ( 17 ) و( 18 ) ثم من المعادلة ( 7 )، تُحذف العوامل الأسية مرة أخرى، بحيث تُختزل شروط الواجهة إلى

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos \theta _{\text{i}}-r_{\text{p}}\cos \theta _{\text{i}}&=\,t_{\text{p}}\cos \theta _{\text{t}}\\Y_{1}+Y_{1}r_{\text{p}}&=\,Y_{2}t_{\text{p}}\,.\end{aligned}}}$

20

بحل المعادلة لإيجاد قيمتي r و _p و t ، _نجد

${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

21

و

${\displaystyle t_{\text{p}}={\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\,.}$

22

عند السقوط العمودي ( θ _i = θ _t = 0)، المشار إليه بالرمز السفلي الإضافي 0، تصبح هذه النتائج

${\displaystyle r_{\text{p0}}={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{Y_{2}+Y_{1}}}}$

23

و

${\displaystyle t_{\text{p0}}={\frac {2Y_{1}}{Y_{2}+Y_{1}}}\,.}$

24

عند زاوية السقوط المائلة ( θ _i → 90°) ، لدينا مرة أخرى cos θ _i → 0 ، وبالتالي r _p → −1 و t _p → 0 .

بمقارنة المعادلتين ( 23 ) و( 24 ) مع المعادلتين ( 15 ) و( 16 )، نلاحظ أنه عند السقوط العمودي ، ووفقًا لاتفاقية الإشارة المعتمدة، تتساوى معاملات النقل للاستقطابين، بينما تتساوى معاملات الانعكاس في المقدار ولكنها متعاكسة في الإشارة. ورغم أن هذا التضارب في الإشارات يُعدّ عيبًا في الاتفاقية، إلا أن ميزته تكمن في توافق الإشارات عند السقوط المماسي .

متجه بوينتينغ لموجة ما هو متجه يكون مركّبه في أي اتجاه هو الإشعاع (القدرة لكل وحدة مساحة) لتلك الموجة على سطح عمودي على ذلك الاتجاه. بالنسبة لموجة جيبية مستوية، يكون متجه بوينتينغ ½ Re{E × H * } ، حيث E و H ^ناتجان فقط عن الموجة المعنية ، وتشير العلامة النجمية إلى المرافق المركب. داخل مادة عازلة عديمة الفقد (الحالة المعتادة)، يكون E و H متوافقين في الطور، ومتعامدين على بعضهما البعض وعلى متجه الموجة k ؛ لذا، بالنسبة للاستقطاب s، باستخدام المركّبتين z و xy لـ E و H على التوالي (أو بالنسبة للاستقطاب p، باستخدام المركّبتين xy و- z لـ E و H ) ، يُعطى الإشعاع في اتجاه k ببساطة بواسطة EH /2 ، وهو E² ^/ 2Z في وسط ذي مقاومة ذاتية Z = 1 / Y . لحساب الإشعاع في الاتجاه العمودي على الواجهة، كما سنحتاج في تعريف معامل نقل الطاقة، يمكننا استخدام المكون x فقط (بدلاً من المكون xy الكامل ) من H أو E أو، بشكل مكافئ، ببساطة ضرب EH /2 بالعامل الهندسي المناسب، والحصول على ( E ² /2 Z ) cos θ .

من المعادلتين ( 13 ) و( 21 )، وبأخذ مربعات القيم المطلقة، نجد أن معامل الانعكاس (نسبة القدرة المنعكسة إلى القدرة الساقطة) هو

${\displaystyle R_{\text{s}}=\left|{\frac {Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$

25

بالنسبة للاستقطاب s، و

${\displaystyle R_{\text{p}}=\left|{\frac {Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}-Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$

26

بالنسبة للاستقطاب p. لاحظ أنه عند مقارنة قدرة موجتين من هذا النوع في نفس الوسط وبنفس قيمة cos θ ، فإن المعاوقة والعوامل الهندسية المذكورة أعلاه متطابقة وتلغي بعضها بعضًا. ولكن عند حساب قدرة النقل (أدناه)، يجب أخذ هذه العوامل في الاعتبار.

أبسط طريقة للحصول على معامل نقل الطاقة ( النفاذية ، وهي نسبة الطاقة المنقولة إلى الطاقة الساقطة في الاتجاه العمودي على السطح الفاصل ، أي الاتجاه y ) هي استخدام R + T = 1 (قانون حفظ الطاقة). وبهذه الطريقة نجد

${\displaystyle T_{\text{s}}=1-R_{\text{s}}=\,{\frac {4\,{\text{Re}}\{Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}\}}{\left|Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}\right|^{2}}}}$

25 طن

بالنسبة للاستقطاب s، و

${\displaystyle T_{\text{p}}=1-R_{\text{p}}=\,{\frac {4\,{\text{Re}}\{Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}\}}{\left|Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}\right|^{2}}}}$

26T

للاستقطاب p.

في حالة وجود سطح فاصل بين وسطين عديمي الفقد (حيث تكون قيمتا ϵ و μ ​​حقيقيتين وموجبتين)، يمكن الحصول على هذه النتائج مباشرةً باستخدام مربعات قيم معاملات انتقال السعة التي وجدناها سابقًا في المعادلتين ( 14 ) و( 22 ). ولكن، بالنسبة لسعة معينة (كما ذُكر أعلاه)، فإن مركبة متجه بوينتينغ في الاتجاه y تتناسب طرديًا مع العامل الهندسي cos θ وعكسيًا مع معاوقة الموجة Z. بتطبيق هذه التصحيحات على كل موجة، نحصل على نسبتين مضروبتين في مربع معامل انتقال السعة:

${\displaystyle T_{\text{s}}=\left({\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right)^{2}{\frac {\,Y_{2}\,}{Y_{1}}}\,{\frac {\cos \theta _{\text{t}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}={\frac {4Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}}{\left(Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{2}\cos \theta _{\text{t}}\right)^{2}}}}$

27

بالنسبة للاستقطاب s، و

${\displaystyle T_{\text{p}}=\left({\frac {2Y_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right)^{2}{\frac {\,Y_{2}\,}{Y_{1}}}\,{\frac {\cos \theta _{\text{t}}}{\cos \theta _{\text{i}}}}={\frac {4Y_{1}Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}\cos \theta _{\text{t}}}{\left(Y_{2}\cos \theta _{\text{i}}+Y_{1}\cos \theta _{\text{t}}\right)^{2}}}}$

28

بالنسبة للاستقطاب p. تنطبق المعادلتان الأخيرتان فقط على المواد العازلة عديمة الفقد، وفقط عند زوايا السقوط الأصغر من الزاوية الحرجة (والتي بعدها، بالطبع، T = 0 ).

للضوء غير المستقطب: $${\displaystyle T={1 \over 2}(T_{s}+T_{p})}$$$${\displaystyle R={1 \over 2}(R_{s}+R_{p})}$$ أين${\displaystyle R+T=1}$.

من المعادلتين ( 4 ) و( 5 )، نلاحظ أن وسطين مختلفين لهما نفس معامل الانكسار، ولكن بمعاملات توصيل مختلفة، إذا كانت نسبة نفاذيتهما هي مقلوب نسبة سماحيتهما. في هذه الحالة غير المألوفة، يكون لدينا θt = θi ₍ أي _أن الشعاع النافذ لا ينحرف)، وبالتالي تُحذف جيوب التمام في المعادلات ( 13 )، ( 14 )، ( 21 )، ( 22 )، و( 25 ) إلى ( 28 )، وتصبح جميع نسب الانعكاس والنفاذ مستقلة عن زاوية السقوط؛ بعبارة أخرى، تصبح النسب الخاصة بالسقوط العمودي قابلة للتطبيق على جميع زوايا السقوط. ^{[ 35 ]} عند تعميم ذلك على الانعكاس أو التشتت الكروي، ينتج عنه تأثير كيركر لتشتت مي .

بما أن معادلات فرينل طُوِّرت في مجال البصريات، فإنها تُعطى عادةً للمواد غير المغناطيسية. بقسمة ( 4 ) على ( 5 ) نحصل على $${\displaystyle Y={\frac {n}{\,c\mu \,}}\,.}$$_{بالنسبة للأوساط غير المغناطيسية ،} يمكننا استبدال نفاذية الفراغ μ₀ بـ μ ، بحيث $${\displaystyle Y_{1}={\frac {n_{1}}{\,c\mu _{0}}}~~;~~~Y_{2}={\frac {n_{2}}{\,c\mu _{0}}}\,;}$$ أي أن الممانعات تتناسب ببساطة مع معاملات الانكسار المقابلة. عند إجراء هذه التعويضات في المعادلات من ( 13 ) إلى ( 16 ) ومن ( 21 ) إلى ( 26 )، يُحذف العامل cμ₀ . بالنسبة لمعاملات السعة _، نحصل على: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

29

${\displaystyle t_{\text{s}}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\,}$

30

${\displaystyle r_{\text{p}}={\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}}$

31

${\displaystyle t_{\text{p}}={\frac {2n_{1}\cos \theta _{\text{i}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\,.}$

32

في حالة السقوط الطبيعي، تُختزل هذه إلى:

${\displaystyle r_{\text{s0}}={\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}}$

33

${\displaystyle t_{\text{s0}}={\frac {2n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}}$

34

${\displaystyle r_{\text{p0}}={\frac {n_{2}-n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}}$

35

${\displaystyle t_{\text{p0}}={\frac {2n_{1}}{n_{2}+n_{1}}}\,.}$

36

تصبح معاملات انعكاس الطاقة كما يلي:

${\displaystyle R_{\text{s}}=\left|{\frac {n_{1}\cos \theta _{\text{i}}-n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{1}\cos \theta _{\text{i}}+n_{2}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}}$

37

${\displaystyle R_{\text{p}}=\left|{\frac {n_{2}\cos \theta _{\text{i}}-n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}{n_{2}\cos \theta _{\text{i}}+n_{1}\cos \theta _{\text{t}}}}\right|^{2}\,.}$

38

ويمكن إيجاد عمليات نقل الطاقة من خلال المعادلة T = 1 − R.

في حالة تساوي النفاذية المغناطيسية (مثل الأوساط غير المغناطيسية)، إذا كانت الزاويتان θᵢ و θᵗ متكاملتين، يمكننا استبدال sin θᵗ بـ cos θᵢ، و sin _θᵢ بـ cos θᵗ ، _بحيث يصبح بسط المعادلة ₍ 31 ) _هو n² sin _θᵗ - n¹ sin θᵢ ، _{وهو يساوي} صفرًا ( بحسب قانون _سنيل ) _. وبالتالي ، rₚ = 0 ، وينعكس فقط المكون _{المستقطب s} . هذا ما يحدث عند زاوية بروستر . باستبدال cos θᵢ _بـ sin θᵗ في _قانون سنيل، نحصل بسهولة على

${\displaystyle \theta _{\text{i}}=\arctan(n_{2}/n_{1})}$

39

من وجهة نظر بروستر.

على الرغم من عدم شيوع هذه الحالة عمليًا، إلا أن المعادلات قابلة للتطبيق أيضًا على حالة وسطين لهما سماحية كهربائية مشتركة ولكن بمعاملات انكسار مختلفة نتيجة لاختلاف نفاذيتهما. من المعادلتين ( 4 ) و( 5 )، إذا تم تثبيت ϵ بدلًا من μ ، فإن Y يصبح متناسبًا عكسيًا مع n ، مما يؤدي إلى تبديل الرمزين السفليين 1 و2 في المعادلات من ( 29 ) إلى ( 38 ) (نتيجةً للخطوة الإضافية المتمثلة في ضرب البسط والمقام في n1n2 _{) . وبالتالي، في المعادلتين} ( 29 ) و( 31 ) _، سيتم تبديل تعبيرات rs _و rp بدلالة معاملات الانكسار، بحيث تعطي زاوية بروستر ( 39 ) قيمة rs ₌ 0 بدلًا من rp = 0 _، وأي شعاع منعكس عند هذه الزاوية سيكون مستقطبًا استقطابًا p بدلًا من استقطاب s. ^{[ 36 ]} وبالمثل، فإن قانون جيب فريسنل سينطبق على الاستقطاب p بدلاً من الاستقطاب s، وقانون الظل الخاص به سينطبق على الاستقطاب s بدلاً من الاستقطاب p.

يُشابه هذا التبديل في الاستقطاب النظرية الميكانيكية القديمة للموجات الضوئية (انظر قسم التاريخ أعلاه). كان بالإمكان التنبؤ بمعاملات انعكاس تتوافق مع الملاحظة بافتراض (كما فعل فرينل) أن اختلاف معاملات الانكسار ناتج عن اختلاف الكثافات وأن الاهتزازات عمودية على ما كان يُسمى آنذاك بمستوى الاستقطاب ، أو بافتراض (كما فعل ماكولاغ ونيومان ) أن اختلاف معاملات الانكسار ناتج عن اختلاف المرونة وأن الاهتزازات موازية لذلك المستوى. ^{[ 37 ]} وبالتالي، فإن شرط تساوي السماحية الكهربائية واختلاف النفاذية، وإن لم يكن واقعيًا، إلا أنه ذو أهمية تاريخية.