نظرية التباعد

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 175 صور
الموسوعة الحرة

في حساب المتجهات ، فإن نظرية التباعد ، والمعروفة أيضًا باسم نظرية جاوس أو نظرية أوستروغرادسكي ، [ 1 ] هي نظرية تربط تدفق حقل متجه عبر سطح مغلق بتباعد الحقل في الحجم المحاط.

بتعبير أدق، تنص نظرية التباعد على أن التكامل السطحي لحقل متجهي على سطح مغلق، والذي يُسمى "التدفق" عبر السطح، يساوي التكامل الحجمي للتباعد على المنطقة المحصورة بالسطح. وبشكل بديهي، تنص النظرية على أن "مجموع جميع مصادر الحقل في منطقة ما (مع اعتبار المصارف مصادر سالبة) يُعطي صافي التدفق الخارج من تلك المنطقة".

تُعدّ نظرية التباعد نتيجةً مهمةً في رياضيات الفيزياء والهندسة ، لا سيما في الكهروستاتيكا وديناميكا الموائع . في هذه المجالات، تُطبّق عادةً في ثلاثة أبعاد، إلا أنها قابلة للتعميم على أي عدد من الأبعاد. في بُعد واحد، تُكافئ النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ، وفي بُعدين، تُكافئ نظرية غرين .

شرح باستخدام تدفق السوائل

تُستخدم عادةً أمثلة حقول المتجهات لتوضيح مفهوم حقل السرعة في السوائل ، مثل الغازات أو السوائل. يمتلك السائل المتحرك سرعةً - مقدارًا واتجاهًا - عند كل نقطة، ويمكن تمثيل هذه السرعة بمتجه ، بحيث تُشكل سرعة السائل في أي لحظة حقل متجه. لنفترض وجود سطح مغلق S داخل جسم من السائل، يُحيط بحجم معين منه. يكون تدفق السائل الخارج من هذا الحجم في أي لحظة مساويًا لمعدل تدفق السائل عبر هذا السطح، أي التكامل السطحي للسرعة على هذا السطح.

بافتراض أن السائل غير قابل للانضغاط، فإن كمية السائل داخل حجم مغلق ثابتة؛ فإذا لم تكن هناك مصادر أو مصارف داخل هذا الحجم، فإن تدفق السائل خارجه يساوي صفرًا. أما إذا كان السائل متحركًا، فقد يتدفق إلى داخل الحجم عند بعض النقاط على سطحه ، ويخرج منه عند نقاط أخرى، ولكن كميات السائل الداخل والخارج متساوية في أي لحظة، لذا فإن صافي تدفق السائل خارج الحجم يساوي صفرًا.

مع ذلك، إذا كان مصدر السائل داخل السطح المغلق، كأنبوب يُضخّ السائل من خلاله، فإن السائل الإضافي سيضغط على السائل المحيط، مما يُسبب تدفقًا خارجيًا في جميع الاتجاهات. وهذا بدوره يُسبب تدفقًا خارجيًا صافيًا عبر السطح S. ويساوي التدفق الخارجي عبر S معدل تدفق السائل إلى S من الأنبوب. وبالمثل، إذا كان هناك حوض أو مصرف داخل S ، كأنبوب يُصرّف السائل، فإن الضغط الخارجي للسائل سيُسبب سرعة في جميع أنحاء السائل موجهة نحو الداخل باتجاه موقع المصرف. ويساوي معدل تدفق السائل إلى الداخل عبر السطح S معدل السائل الذي يُزيله الحوض.

إذا وُجدت مصادر ومصارف متعددة للسائل داخل المنطقة S ، يُمكن حساب التدفق عبر السطح بجمع معدل تدفق السائل المُضاف من المصادر وطرح معدل تدفق السائل المُصرّف من المصارف. يُساوي معدل تدفق السائل عبر مصدر أو مصرف (مع إعطاء إشارة سالبة للتدفق عبر المصرف) تباعد حقل السرعة عند فتحة الأنبوب، وبالتالي فإن جمع (تكامل) تباعد السائل في جميع أنحاء الحجم المُحاط بالمنطقة S يُساوي معدل التدفق عبر المنطقة S. هذه هي نظرية التباعد. [ 2 ]

تُستخدم نظرية التباعد في أي قانون حفظ ينص على أن الحجم الكلي لجميع المصارف والمصادر، أي التكامل الحجمي للتباعد، يساوي التدفق الصافي عبر حدود الحجم. [ 3 ]

بيان رياضي

منطقة V محددة بالسطح S = ∂V مع متجه عمودي على السطح n

لنفترض أن V هي مجموعة جزئية منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}(في حالة n = 3، يمثل V حجمًا في الفضاء ثلاثي الأبعاد ) وهو حجم مضغوط وله حدود ناعمة جزئيًا S (يشار إليها أيضًا بـ∂V=S{\displaystyle \partial V=S}إذا كان F حقلاً متجهياً قابلاً للتفاضل باستمرار معرفاً على جوار V ، فإن: [ 4 ] [ 5 ]

∭V(∇⋅F)دV={\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla} \cdot \mathbf {F} \right)\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}(F⋅ن^)دS.{\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,\mathrm {d} S.}

يمثل الطرف الأيسر تكاملاً حجمياً على الحجم V ، بينما يمثل الطرف الأيمن تكاملاً سطحياً على حدود الحجم V. المجموعة المغلقة والقابلة للقياس∂V{\displaystyle \partial V}يتم توجيهها بواسطة متجهات عمودية متجهة للخارج ، ون^{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }هو متجه الوحدة العمودي المتجه للخارج عند كل نقطة تقريبًا على الحدود.∂V{\displaystyle \partial V}. (دS{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }يمكن استخدامها كاختصار لـندS{\displaystyle \mathbf {n} \mathrm {d} S}.) من حيث الوصف البديهي أعلاه، يمثل الجانب الأيسر من المعادلة إجمالي المصادر في الحجم V ، ويمثل الجانب الأيمن إجمالي التدفق عبر الحدود S.

الاشتقاق غير الرسمي

تُستنتج نظرية التباعد من حقيقة أنه إذا قُسِّم حجم V إلى أجزاء منفصلة، ​​فإن التدفق الخارج من الحجم الأصلي يساوي المجموع الجبري للتدفق الخارج من كل حجم فرعي. [ 6 ] [ 7 ] ويصدق هذا على الرغم من أن الأحجام الفرعية الجديدة لها أسطح لم تكن جزءًا من سطح الحجم الأصلي، لأن هذه الأسطح ما هي إلا فواصل بين حجمين فرعيين، والتدفق عبرها ينتقل من حجم إلى آخر، وبالتالي يُلغى عند جمع التدفق الخارج من الأحجام الفرعية.

حجم مقسم إلى حجمين فرعيين. على اليمين، تم فصل الحجمين الفرعيين لإظهار التدفق الخارج من الأسطح المختلفة.

انظر إلى الرسم التوضيحي. يُقسّم حجم مغلق ومحدود V إلى حجمين V1 و V2 بواسطة سطح S3 ( باللون الأخضر) . التدفق Φ( Vi ) الخارج من كل منطقة مكونة Vi يساوي مجموع التدفق عبر وجهيها، لذا فإن مجموع التدفق الخارج من الجزأين هو

Φ(V1)+Φ(V2)=Φ1+Φ31+Φ2+Φ32{\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{31}}+\Phi _{\text{2}}+\Phi _{\text{32}}}

حيث يمثل Φ1 و Φ2 التدفق الخارج من السطحين S1 و S2 على التوالي ، ويمثل Φ31 التدفق عبر السطح S3 من الحجم 1، ويمثل Φ32 التدفق عبر السطح S3 من الحجم 2. والخلاصة أن السطح S3 جزء من سطح كلا الحجمين. ويشير متجه الوحدة العمودي إلى الاتجاه "الخارجي" .ن^{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }يكون عكسيًا لكل حجم، لذا فإن التدفق الخارج من أحدهما عبر S 3 يساوي سالب التدفق الخارج من الآخر، وبالتالي فإن هذين التدفقين يلغيان بعضهما البعض في المجموع.

Φ31=∬S3F⋅ن^دS=-∬S3F⋅(-ن^)دS=-Φ32{\displaystyle \Phi _{\text{31}}=\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=-\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot (-\mathbf {\hat {n}} )\;\mathrm {d} S=-\Phi _{\text{32}}}

لذلك:

Φ(V1)+Φ(V2)=Φ1+Φ2{\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{2}}}

بما أن اتحاد السطحين S1 و S2 هو S

Φ(V1)+Φ(V2)=Φ(V){\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi (V)}
يمكن تقسيم الحجم إلى أي عدد من الأحجام الفرعية، ويكون التدفق الخارج من الحجم V مساوياً لمجموع التدفقات الخارجة من كل حجم فرعي، لأن التدفق عبر الأسطح الخضراء يُلغى في المجموع. في الشكل (ب)، تظهر الأحجام متباعدة قليلاً، مما يوضح أن كل قسم أخضر هو جزء من حدود حجمين متجاورين.

ينطبق هذا المبدأ على حجم مُقسّم إلى أي عدد من الأجزاء، كما هو موضح في الرسم التخطيطي. [ 7 ] بما أن التكامل على كل قسم داخلي (الأسطح الخضراء) يظهر بإشارات متعاكسة في تدفق الحجمين المتجاورين، فإنهما يلغيان بعضهما البعض، والمساهمة الوحيدة في التدفق هي التكامل على الأسطح الخارجية (الرمادية) . وبما أن الأسطح الخارجية لجميع الأحجام المكونة تساوي السطح الأصلي.

Φ(V)=∑Vأنا⊂VΦ(Vأنا){\displaystyle \Phi (V)=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\Phi (V_{\text{i}})}
عندما يتم تقسيم الحجم إلى أجزاء أصغر، فإن نسبة التدفقΦ(Vأنا){\displaystyle \Phi (V_{\text{i}})}من كل مجلد إلى المجلد|Vأنا|{\displaystyle |V_{\text{i}}|}الأساليبdiv⁡F{\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} }

يمثل التدفق Φ الخارج من كل حجم التكامل السطحي لحقل المتجهات F ( x ) على السطح

∬S(V)F⋅ن^دS=∑Vأنا⊂V∬S(Vأنا)F⋅ن^دS// \;\mathrm {د} S}

الهدف هو تقسيم الحجم الأصلي إلى عدد لا نهائي من الأحجام المتناهية الصغر. ومع تقسيم الحجم إلى أجزاء أصغر فأصغر، يقترب التكامل السطحي على اليمين، أي التدفق الخارج من كل حجم فرعي، من الصفر لأن مساحة السطح S ( V<sub> i</sub> ) تقترب من الصفر. ومع ذلك، من تعريف التباعد ، وهو نسبة التدفق إلى الحجم،Φ(Vأنا)|Vأنا|=1|Vأنا|∬S(Vأنا)F⋅ن^دS//الجزء الموجود بين قوسين أدناه، لا يختفي بشكل عام ولكنه يقترب من التباعد div F عندما يقترب الحجم من الصفر. [ 7 ]

∬S(V)F⋅ن^دS=∑Vأنا⊂V(1|Vأنا|∬S(Vأنا)F⋅ن^دS)|Vأنا|// {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|}

طالما أن حقل المتجهات F ( x ) له مشتقات متصلة، فإن المجموع أعلاه يظل صحيحًا حتى في حالة تقسيم الحجم إلى زيادات صغيرة جدًا.

∬S(V)F⋅ن^دS=ليم|Vأنا|→0∑Vأنا⊂V(1|Vأنا|∬S(Vأنا)F⋅ن^دS)|Vأنا|\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\lim _{|V_{\text{i}}|\to 0}\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S\right)|V_{\text{i}}|}

مثل|Vأنا|{\displaystyle |V_{\text{i}}|}عندما يقترب الحجم من الصفر، يصبح dV متناهي الصغر ، ويصبح الجزء بين قوسين هو التباعد، ويصبح المجموع تكاملاً حجمياً على V

∬S(V)F⋅ن^دS=∭Vdiv⁡FدV{\displaystyle \;\iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;\mathrm {d} S=\iiint _{V}\operatorname {div} \mathbf {F} \;\mathrm {d} V\;}

بما أن هذا الاشتقاق لا يعتمد على الإحداثيات، فإنه يوضح أن التباعد لا يعتمد على الإحداثيات المستخدمة.

البراهين

بالنسبة للمجموعات الفرعية المفتوحة المحدودة من الفضاء الإقليدي

سنقوم بإثبات ما يلي:

نظرية — ليكنΩ⊂Rن{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}كن منفتحًا ومحدودًا بـج1{\displaystyle C^{1}}الحدود. إذاu{\displaystyle u}يكونج1{\displaystyle C^{1}}في حي مفتوحيا{\displaystyle O}لΩ¯{\displaystyle {\overline {\Omega }}}، إنه،u∈ج1(يا){\displaystyle u\in C^{1}(O)}ثم لكلأنا∈{1،...،ن}{\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}، ∫ΩuxأنادV=∫∂ΩuνأنادS،{\displaystyle \int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS,} أينν:∂Ω→Rن{\displaystyle \nu يمثل ∂Ω → ℝⁿ متجه الوحدة العمودي المتجه للخارج.∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }أو بعبارة أخرى، ∫Ω∇uدV=∫∂ΩuνدS.{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.}

إثبات النظرية. [ 8 ]

  1. الخطوة الأولى هي الاختزال إلى الحالة التيu∈جج1(Rن){\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}. يختارϕ∈جج∞(يا){\displaystyle \phi \in C_{c}^{\infty }(O)}بحيثϕ=1{\displaystyle \phi =1}علىΩ¯{\displaystyle {\overline {\Omega }}}. لاحظ أنϕu∈جج1(يا)⊂جج1(Rن){\displaystyle \phi u\in C_{c}^{1}(O)\subset C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}وϕu=u{\displaystyle \phi u=u}علىΩ¯{\displaystyle {\overline {\Omega }}}لذا يكفي إثبات النظرية لـϕu{\displaystyle \phi u}لذا يمكننا أن نفترض أنu∈جج1(Rن){\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}.
  2. يتركx0∈∂Ω{\displaystyle x_{0}\in \partial \Omega }أن يكون الأمر اعتباطيًا. الافتراض هوΩ¯{\displaystyle {\overline {\Omega }}}لديهج1{\displaystyle C^{1}}الحدود تعني وجود حي مفتوحيو{\displaystyle U}لx0{\displaystyle x_{0}}فيRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}بحيث∂Ω∩يو{\displaystyle \partial \Omega \cap U}هو رسم بياني لـج1{\displaystyle C^{1}}دالة معΩ∩يو{\displaystyle \Omega \cap U}تقع على جانب واحد من هذا الرسم البياني. وبشكل أدق، هذا يعني أنه بعد عملية نقل وتدوير لـΩ{\displaystyle \Omega }، هناكر>0{\displaystyle r>0}وح>0{\displaystyle h>0}و أج1{\displaystyle C^{1}}وظيفةز:Rن-1→R{\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R} }، بحيث يكون ذلك باستخدام الترميز x′=(x1،...،xن-1)،{\displaystyle x'=(x_{1},\dots ,x_{n-1}),} وهذا يعني أن يو={x∈Rن:|x′|<ر و |xن-ز(x′)|<ح}{\displaystyle U=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x'|<r{\text{ and }}|x_{n}-g(x')|<h\}} ولـx∈يو{\displaystyle x\in U}، xن=ز(x′)⟹x∈∂Ω،-ح<xن-ز(x′)<0⟹x∈Ω،0<xن-ز(x′)<ح⟹x∉Ω.{\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}=g(x')&\implies x\in \partial \Omega ,\\-h<x_{n}-g(x')<0&\implies x\in \Omega ,\\0<x_{n}-g(x')<h&\implies x\notin \Omega .\\\end{aligned}}} منذ∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }إنها صغيرة الحجم، ويمكننا تغطيتها∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }مع عدد محدود من الأحياءيو1،...،يوشمال{\displaystyle U_{1},\dots ,U_{N}}من الشكل المذكور أعلاه. لاحظ أن{Ω،يو1،...،يوشمال}{\displaystyle \{\Omega ,U_{1},\dots ,U_{N}\}}هو غلاف مفتوح لـΩ¯=Ω∪∂Ω{\displaystyle {\overline {\Omega }}=\Omega \cup \partial \Omega }باستخدامج∞{\displaystyle C^{\infty }}إذا كان تقسيم الوحدة تابعًا لهذا الغطاء، فيكفي إثبات النظرية في الحالة التي يكون فيها إماu{\displaystyle u}يدعم بشكل مضغوط فيΩ{\displaystyle \Omega }أوu{\displaystyle u}يدعم بعض التطبيقات المدمجةيوج{\displaystyle U_{j}}. لوu{\displaystyle u}يدعم بشكل مضغوط فيΩ{\displaystyle \Omega }ثم للجميعأنا∈{1،...،ن}{\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}،∫ΩuxأنادV=∫RنuxأنادV=∫Rن-1∫-∞∞uxأنا(x)دxأنادx′=0{\displaystyle \int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n}}u_{x_{i}}\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{\infty }u_{x_{i}}(x)\,dx_{i}\,dx'=0}بحسب النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، و∫∂ΩuνأنادS=0{\displaystyle \int _{\partial \Omega }u\nu _{i}\,dS=0}منذu{\displaystyle u}يختفي في حي∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }وبالتالي فإن النظرية صحيحة بالنسبة لـu{\displaystyle u}مع دعم مضغوط فيΩ{\displaystyle \Omega }وهكذا نكون قد اختزلنا إلى الحالة التيu{\displaystyle u}يدعم بعض التطبيقات المدمجةيوج{\displaystyle U_{j}}.
  3. لذا افترضu{\displaystyle u}يدعم بعض التطبيقات المدمجةيوج{\displaystyle U_{j}}الخطوة الأخيرة الآن هي إثبات صحة النظرية عن طريق الحساب المباشر. غيّر الترميز إلىيو=يوج{\displaystyle U=U_{j}}، واستخدام الرموز من (2) المستخدمة لوصفيو{\displaystyle U}لاحظ أن هذا يعني أننا قمنا بالتدوير والتحريك.Ω{\displaystyle \Omega }هذا اختزال صحيح لأن النظرية ثابتة تحت دوران وانتقال الإحداثيات.u(x)=0{\displaystyle u(x)=0}ل|x′|≥ر{\displaystyle |x'|\geq r}ولـ|xن-ز(x′)|≥ح{\displaystyle |x_{n}-g(x')|\geq h}لدينا لكلأنا∈{1،...،ن}{\displaystyle i\in \{1,\dots ,n\}}الذي - التي ∫ΩuxأنادV=∫|x′|<ر∫ز(x′)-حز(x′)uxأنا(x′،xن)دxندx′=∫Rن-1∫-∞ز(x′)uxأنا(x′،xن)دxندx′.{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Omega }u_{x_{i}}\,dV&=\int _{|x'|<r}\int _{g(x')-h}^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'.\end{aligned}}} لأنا=ن{\displaystyle i=n}لدينا من خلال النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل أن ∫Rن-1∫-∞ز(x′)uxن(x′،xن)دxندx′=∫Rن-1u(x′،ز(x′))دx′.{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{n}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))\,dx'.} الآن قم بالإصلاحأنا∈{1،...،ن-1}{\displaystyle i\in \{1,\dots ,n-1\}}. لاحظ أن ∫Rن-1∫-∞ز(x′)uxأنا(x′،xن)دxندx′=∫Rن-1∫-∞0uxأنا(x′،ز(x′)+s)دsدx′{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}u_{x_{i}}(x',x_{n})\,dx_{n}\,dx'=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'} يُعرِّفv:Rن→R{\displaystyle v:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }بواسطةv(x′،s)=u(x′،ز(x′)+s){\displaystyle v(x',s)=u(x',g(x')+s)}بحسب قاعدة السلسلة، vxأنا(x′،s)=uxأنا(x′،ز(x′)+s)+uxن(x′،ز(x′)+s)زxأنا(x′).{\displaystyle v_{x_{i}}(x',s)=u_{x_{i}}(x',g(x')+s)+u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x').} لكن منذv{\displaystyle v}بفضل الدعم المدمج، يمكننا دمجه.دxأنا{\displaystyle dx_{i}}أولاً، استنتاج ذلك ∫Rن-1∫-∞0vxأنا(x′،s)دsدx′=0.{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}v_{x_{i}}(x',s)\,ds\,dx'=0.} هكذا ∫Rن-1∫-∞0uxأنا(x′،ز(x′)+s)دsدx′=∫Rن-1∫-∞0-uxن(x′،ز(x′)+s)زxأنا(x′)دsدx′=∫Rن-1-u(x′،ز(x′))زxأنا(x′)دx′.{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}u_{x_{i}}(x',g(x')+s)\,ds\,dx'&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{0}-u_{x_{n}}(x',g(x')+s)g_{x_{i}}(x')\,ds\,dx'\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}-u(x',g(x'))g_{x_{i}}(x')\,dx'.\end{aligned}}} باختصار، مع∇u=(ux1،...،uxن){\displaystyle \nabla u=(u_{x_{1}},\dots ,u_{x_{n}})}لدينا ∫Ω∇uدV=∫Rن-1∫-∞ز(x′)∇uدV=∫Rن-1u(x′،ز(x′))(-∇ز(x′)،1)دx′.{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}\int _{-\infty }^{g(x')}\nabla u\,dV=\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',g(x'))(-\nabla g(x'),1)\,dx'.} تذكر أن الوحدة العمودية الخارجية على الرسم البيانيΓ{\displaystyle \Gamma }لز{\displaystyle g}في نقطة(x′،ز(x′))∈Γ{\displaystyle (x',g(x'))\in \Gamma }يكونν(x′،ز(x′))=11+|∇ز(x′)|2(-∇ز(x′)،1){\displaystyle \nu (x',g(x'))={\frac {1}{\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}}(-\nabla g(x'),1)}وأن العنصر السطحيدS{\displaystyle dS}يُعطى بواسطةدS=1+|∇ز(x′)|2دx′{\textstyle dS={\sqrt {1+|\nabla g(x')|^{2}}}\,dx'}. هكذا ∫Ω∇uدV=∫∂ΩuνدS.{\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\,dV=\int _{\partial \Omega }u\nu \,dS.} وبهذا يكتمل البرهان.

للمشعبات الريمانية المدمجة ذات الحدود

سنقوم بإثبات ما يلي:

نظرية — ليكنΩ¯{\displaystyle {\overline {\Omega }}}كنج2{\displaystyle C^{2}}مشعب مضغوط ذو حدود معج1{\displaystyle C^{1}}موتر متريز{\displaystyle g}. يتركΩ{\displaystyle \Omega }يشير إلى الجزء الداخلي المتعدد لـΩ¯{\displaystyle {\overline {\Omega }}}ودع∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }تشير إلى حدود المتشعب لـΩ¯{\displaystyle {\overline {\Omega }}}. يترك(⋅،⋅){\displaystyle (\cdot ,\cdot )}دلل2(Ω¯){\displaystyle L^{2}({\overline {\Omega }})}المنتجات الداخلية للدوال و⟨⋅،⋅⟩{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }لنرمز إلى الضرب الداخلي للمتجهات. لنفترضu∈ج1(Ω¯،R){\displaystyle u\in C^{1}({\overline {\Omega }},\mathbb {R} )}وX{\displaystyle X}هوج1{\displaystyle C^{1}}حقل متجه علىΩ¯{\displaystyle {\overline {\Omega }}}. ثم (خريج⁡u،X)=-(u،div⁡X)+∫∂Ωu⟨X،شمال⟩دS،{\displaystyle (\operatorname {grad} u,X)=-(u,\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS,} أينشمال{\displaystyle N}هو متجه الوحدة العمودي المتجه للخارج إلى∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }.

برهان النظرية [ 9 ] . نستخدم اصطلاح جمع أينشتاين. باستخدام تجزئة الوحدة، يمكننا أن نفترض أنu{\displaystyle u}وX{\displaystyle X}تتمتع بدعم مضغوط في رقعة إحداثياتيا⊂Ω¯{\displaystyle O\subset {\overline {\Omega }}}لننظر أولاً في الحالة التي تكون فيها الرقعة منفصلة عن∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }. ثميا{\displaystyle O}يتم تحديدها بمجموعة فرعية مفتوحة منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}والتكامل بالتجزئة لا ينتج عنه حدود: (خريج⁡u،X)=∫يا⟨خريج⁡u،X⟩زدx=∫يا∂جuXجزدx=-∫ياu∂ج(زXج)دx=-∫ياu1ز∂ج(زXج)زدx=(u،-1ز∂ج(زXج))=(u،-div⁡X).{\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{O}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\[5pt]&=-\int _{O}u\partial _{j}\left({\sqrt {g}}X^{j}\right)\,dx\\[5pt]&=-\int _{O}u{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}\left({\sqrt {g}}X^{j}\right){\sqrt {g}}\,dx\\[5pt]&=\left(u,-{\frac {1}{\sqrt {g}}}\partial _{j}\left({\sqrt {g}}X^{j}\right)\right)\\[5pt]&=(u,-\operatorname {div} X).\end{aligned}}} في المساواة الأخيرة، استخدمنا صيغة إحداثيات فوس-ويل للتباعد، على الرغم من أنه يمكن استخدام المتطابقة السابقة لتعريف-div{\displaystyle -\operatorname {div} }بصفته المرافق الرسمي لـخريج{\displaystyle \operatorname {grad} }والآن لنفترضيا{\displaystyle O}يتقاطع∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }. ثميا{\displaystyle O}يتم تحديدها بمجموعة مفتوحة فيR+ن={x∈Rن:xن≥0}{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}}. نمدد الصفرu{\displaystyle u}وX{\displaystyle X}لR+ن{\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}ثم قم بإجراء التكامل بالتجزئة للحصول على (خريج⁡u،X)=∫يا⟨خريج⁡u،X⟩زدx=∫R+ن∂جuXجزدx=(u،-div⁡X)-∫Rن-1u(x′،0)Xن(x′،0)ز(x′،0)دx′،{\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {grad} u,X)&=\int _{O}\langle \operatorname {grad} u,X\rangle {\sqrt {g}}\,dx\\&=\int _{\mathbb {R} _{+}^{n}}\partial _{j}uX^{j}{\sqrt {g}}\,dx\\&=(u,-\operatorname {div} X)-\int _{\mathbb {R} ^{n-1}}u(x',0)X^{n}(x',0){\sqrt {g(x',0)}}\,dx',\end{aligned}}} أيندx′=دx1⋯دxن-1{\displaystyle dx'=dx_{1}\cdots dx_{n-1}}باستخدام صيغة معدلة من نظرية تقويم الحقول المتجهة ، يمكننا اختياريا{\displaystyle O}لهذا السبب.∂∂xن{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}هل الوحدة الداخلية طبيعية؟-شمال{\displaystyle -N}في∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }في هذه الحالةز(x′،0)دx′=ز∂Ω(x′)دx′=دS{\displaystyle {\sqrt {g(x',0)}}\,dx'={\sqrt {g_{\partial \Omega }(x')}}\,dx'=dS}عنصر الحجم موجود∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }والصيغة المذكورة أعلاه هي (خريج⁡u،X)=(u،-div⁡X)+∫∂Ωu⟨X،شمال⟩دS.{\displaystyle (\operatorname {grad} u,X)=(u,-\operatorname {div} X)+\int _{\partial \Omega }u\langle X,N\rangle \,dS.} وبهذا يكتمل البرهان.

النتائج المترتبة

باستبدال F في نظرية التباعد بأشكال محددة، يمكن اشتقاق متطابقات مفيدة أخرى (انظر متطابقات المتجهات ). [ 10 ]

  • معF→Fز{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} g}بالنسبة لدالة قياسية g وحقل متجه F ،
∭V[F⋅(∇ز)+ز(∇⋅F)]دV={\displaystyle \iiint _{V}\left[\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right]\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}زF⋅ندS.{\displaystyle g\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S.}
حالة خاصة من هذا هيF=∇و{\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f}وفي هذه الحالة، تُعتبر النظرية أساسًا لهويات غرين .
  • معF→F×جي{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \times \mathbf {G} }بالنسبة لحقلين متجهين F و G ، حيث×{\displaystyle \times }يرمز إلى الضرب الاتجاهي،
∭V∇⋅(F×جي)دV=∭V[جي⋅(∇×F)-F⋅(∇×جي)]دV={\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right]\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}(F×جي)⋅ندS.{\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S.}
  • معF→F⋅جي{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} }بالنسبة لحقلين متجهين F و G ، حيث⋅{\displaystyle \cdot }يشير إلى الضرب النقطي ،
∭V∇(F⋅جي)دV=∭V[(∇جي)⋅F+(∇F)⋅جي]دV={\displaystyle \iiint _{V}\nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)\mathrm {d} V=\iiint _{V}\left[\left(\nabla \mathbf {G} \right)\cdot \mathbf {F} +\left(\nabla \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {G} \right]\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}(F⋅جي)ندS.{\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} )\mathbf {n} \,\mathrm {d} S.}
  • معF→وج{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow f\mathbf {c} }بالنسبة لدالة قياسية f وحقل متجه c : [ 11 ]
∭Vج⋅∇ودV={\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot \nabla f\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}(جو)⋅ندS-∭Vو(∇⋅ج)دV.{\displaystyle (\mathbf {c} f)\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S-\iiint _{V}f(\nabla \cdot \mathbf {c} )\,\mathrm {d} V.}
يتلاشى الحد الأخير على اليمين عندما يكون ثابتًاج{\displaystyle \mathbf {c} }أو أي حقل متجه خالٍ من التباعد (حلزوني)، على سبيل المثال التدفقات غير القابلة للانضغاط بدون مصادر أو مصارف مثل تغير الطور أو التفاعلات الكيميائية وما إلى ذلك. على وجه الخصوص، مع الأخذ في الاعتبارج{\displaystyle \mathbf {c} }أن يكون ثابتاً:
∭V∇ودV={\displaystyle \iiint _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}وندS.{\displaystyle f\mathbf {n} \,\mathrm {d} S.}
  • معF→ج×F{\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {c} \times \mathbf {F} }للحقل المتجهي F والمتجه الثابت c : [ 11 ]
∭Vج⋅(∇×F)دV={\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}(F×ج)⋅ندS.{\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S.}
بإعادة ترتيب الضرب الثلاثي على الجانب الأيمن وإخراج متجه الثابت من التكامل،
∭V(∇×F)دV⋅ج={\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V\cdot \mathbf {c} =}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}(دS×F)⋅ج.{\displaystyle (\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {c} .}
لذلك،
∭V(∇×F)دV={\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}ن×FدS.{\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} S.}

مثال

حقل المتجهات المقابل للمثال الموضح. قد تشير المتجهات إلى داخل الكرة أو خارجها.
يمكن استخدام نظرية التباعد لحساب التدفق عبر سطح مغلق يحيط بحجم ما بالكامل، مثل أي من الأسطح على اليسار. ولا يمكن استخدامها مباشرةً لحساب التدفق عبر أسطح ذات حدود، مثل تلك الموجودة على اليمين. (الأسطح باللون الأزرق، والحدود باللون الأحمر).

لنفترض أننا نرغب في تقييم

\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}F⋅ندS،{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}

حيث S هي كرة الوحدة المعرفة بواسطة

S={(x،y،z)∈R3 : x2+y2+z2=1}،{\displaystyle S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\},}

و F هو حقل المتجهات

F=2xأنا+y2ج+z2ك.{\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .}

يُعدّ الحساب المباشر لهذا التكامل صعباً للغاية، ولكن يمكننا تبسيط اشتقاق النتيجة باستخدام نظرية التباعد، لأن نظرية التباعد تنص على أن التكامل يساوي:

∭دبليو(∇⋅F)دV=2∭دبليو(1+y+z) دV=2∭دبليودV+2∭دبليوyدV+2∭دبليوzدV،{\displaystyle {\begin{aligned}\iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V&=2\iiint _{W}\left(1+y+z\right)\ \mathrm {d} V\\&=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V,\end{aligned}}}

حيث W هي كرة الوحدة :

دبليو={(x،y،z)∈R3 : x2+y2+z2≤1}.{\displaystyle W=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.}

بما أن الدالة y موجبة في أحد نصفي الكرة W وسالبة في النصف الآخر، بشكل متساوٍ ومتعاكس، فإن تكاملها الكلي على W يساوي صفرًا. وينطبق الأمر نفسه على z .

∭دبليوyدV=∭دبليوzدV=0.{\displaystyle \iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.}

لذلك،

\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}F⋅ندS=2∭دبليودV=8π3،{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,dV={\frac {8\pi }{3}},}

لأن حجم الكرة الوحدة W هو 4π / 3 .​

التطبيقات

الأشكال التفاضلية والتكاملية للقوانين الفيزيائية

نتيجةً لنظرية التباعد، يمكن صياغة العديد من القوانين الفيزيائية بصيغة تفاضلية (حيث تمثل كمية ما تباعد كمية أخرى) وبصيغة تكاملية (حيث يكون تدفق كمية ما عبر سطح مغلق مساوياً لكمية أخرى). ومن الأمثلة على ذلك قانون جاوس (في الكهروستاتيكا )، وقانون جاوس للمغناطيسية ، وقانون جاوس للجاذبية .

معادلات الاستمرارية

تُقدّم معادلات الاستمرارية أمثلةً إضافيةً على القوانين ذات الصيغ التفاضلية والتكاملية، والتي ترتبط ببعضها البعض من خلال نظرية التباعد. في ديناميكا الموائع ، والكهرومغناطيسية ، وميكانيكا الكم ، ونظرية النسبية ، والعديد من المجالات الأخرى، توجد معادلات استمرارية تصف حفظ الكتلة، والزخم، والطاقة، والاحتمالية، أو غيرها من الكميات. وبشكل عام، تنص هذه المعادلات على أن تباعد تدفق الكمية المحفوظة يساوي توزيع مصادر أو مصارف تلك الكمية. وتنص نظرية التباعد على أنه يمكن كتابة أي معادلة استمرارية من هذا القبيل بصيغة تفاضلية (بدلالة التباعد) وصيغة تكاملية (بدلالة التدفق). [ 12 ]

قوانين التربيع العكسي

يمكن كتابة أي قانون من قوانين التربيع العكسي بصيغة مشابهة لقانون جاوس (بصيغة تفاضلية وتكاملية، كما هو موضح أعلاه). ومن الأمثلة على ذلك قانون جاوس (في الكهروستاتيكا)، المشتق من قانون كولوم للتربيع العكسي ، وقانون جاوس للجاذبية ، المشتق من قانون نيوتن للجاذبية الكونية للتربيع العكسي . إن اشتقاق معادلة من نوع قانون جاوس من صيغة التربيع العكسي أو العكس هو نفسه تمامًا في كلتا الحالتين؛ راجع أيًا من هاتين المقالتين لمزيد من التفاصيل. [ 12 ]

تاريخ

قدّم جوزيف لويس لاغرانج مفهوم التكاملات السطحية عام 1760، ثمّ أعاد تقديمه بصيغة أكثر عمومية عام 1811، في الطبعة الثانية من كتابه " الميكانيكا التحليلية" . استخدم لاغرانج التكاملات السطحية في أعماله في ميكانيكا الموائع. [ 13 ] واكتشف نظرية التباعد عام 1762. [ 14 ]

استخدم كارل فريدريش غاوس أيضًا التكاملات السطحية أثناء عمله على جاذبية شكل بيضاوي إهليلجي عام 1813، حيث أثبت حالات خاصة من نظرية التباعد. [ 15 ] [ 13 ] وأثبت حالات خاصة إضافية عامي 1833 و1839. [ 16 ] لكن ميخائيل أوستروغرادسكي هو من قدم أول برهان للنظرية العامة عام 1826، كجزء من بحثه في تدفق الحرارة. [ 17 ] وقد أثبت جورج غرين حالات خاصة عام 1828 في مقال بعنوان "مقال عن تطبيق التحليل الرياضي على نظريات الكهرباء والمغناطيسية" ، [ 18 ] [ 16 ] وسيميون دينيس بواسون عام 1824 في ورقة بحثية عن المرونة، وفريدريك ساروس عام 1828 في عمله على الأجسام الطافية. [ 19 ] [ 16 ]

أمثلة محلولة

المثال 1

للتحقق من الصيغة المستوية لنظرية التباعد لمنطقة ماR{\displaystyle R}:

R={(x،y)∈R2 : x2+y2≤1}،{\displaystyle R=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}

وحقل المتجهات:

F(x،y)=2yأنا+5xج.{\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=2y\mathbf {i} +5x\mathbf {j} .}

حدودR{\displaystyle R}هي دائرة الوحدة،ج{\displaystyle C}، والتي يمكن تمثيلها بشكل بارامتري بواسطة:

x=كوس⁡(s)،y=الخطيئة⁡(s){\displaystyle x=\cos(s),\quad y=\sin(s)}

بحيث0≤s≤2π{\displaystyle 0\leq s\leq 2\pi }أينs{\displaystyle s}الوحدات هي طول القوس من النقطةs=0{\displaystyle s=0}مباشرة إلى النقطةP{\displaystyle P}علىج{\displaystyle C}ثم معادلة متجهة لـج{\displaystyle C}يكون

ج(s)=كوس⁡(s)أنا+الخطيئة⁡(s)ج.{\displaystyle C(s)=\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} .}

في مرحلة ماP{\displaystyle P}علىج{\displaystyle C}:

P=(كوس⁡(s)،الخطيئة⁡(s))⇒F=2الخطيئة⁡(s)أنا+5كوس⁡(s)ج.{\displaystyle P=(\cos(s),\,\sin(s))\,\Rightarrow \,\mathbf {F} =2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} .}

لذلك،

∮جF⋅ندs=∫02π(2الخطيئة⁡(s)أنا+5كوس⁡(s)ج)⋅(كوس⁡(s)أنا+الخطيئة⁡(s)ج)دs=∫02π(2الخطيئة⁡(s)كوس⁡(s)+5الخطيئة⁡(s)كوس⁡(s))دs=7∫02πالخطيئة⁡(s)كوس⁡(s)دs=0.{\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} s&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} )\cdot (\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} )\,\mathrm {d} s\\&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\cos(s)+5\sin(s)\cos(s))\,\mathrm {d} s\\&=7\int _{0}^{2\pi }\sin(s)\cos(s)\,\mathrm {d} s\\&=0.\end{aligned}}}

لأنم=Rهـ(F)=2y{\displaystyle M={\mathfrak {Re}}(\mathbf {F} )=2y}يمكننا التقييم∂م∂x=0{\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}=0}ولأن​شمال=أنام(F)=5x{\displaystyle N={\mathfrak {Im}}(\mathbf {F} )=5x}،∂شمال∂y=0{\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial y}}=0}. هكذا

∬R∇⋅Fدأ=∬R(∂م∂x+∂شمال∂y)دأ=0.{\displaystyle \iint _{R}\,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} A=\iint _{R}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\,\mathrm {d} A=0.}

المثال 2

لنفترض أننا نريد حساب تدفق حقل المتجهات التالي المعرف بواسطةF=2x2أنا+2y2ج+2z2ك{\displaystyle \mathbf {F} =2x^{2}{\textbf {i}}+2y^{2}{\textbf {j}}+2z^{2}{\textbf {k}}}محصورة بالمتباينات التالية:

{0≤x≤3}،{-2≤y≤2}،{0≤z≤2π}{\displaystyle \left\{0\leq x\leq 3\right\},\left\{-2\leq y\leq 2\right\},\left\{0\leq z\leq 2\pi \right\}}

بحسب نظرية التباعد،

∭V(∇⋅F)دV={\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}(F⋅ن)دS.{\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,\mathrm {d} S.}

نحتاج الآن إلى تحديد مدى تباينF{\displaystyle {\textbf {F}}}. لوF{\displaystyle \mathbf {F} }إذا كان حقل متجه ثلاثي الأبعاد، فإن تباعدF{\displaystyle {\textbf {F}}}يُعطى بواسطة∇⋅F=(∂∂xأنا+∂∂yج+∂∂zك)⋅F{\textstyle \nabla \cdot {\textbf {F}}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\textbf {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\textbf {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\textbf {k}}\right)\cdot {\textbf {F}}}.

وبالتالي، يمكننا وضع تكامل التدفق التاليأنا={\displaystyle I=}\oiintS{\displaystyle {\scriptstyle S}}F⋅ندS،{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,} على النحو التالي:

أنا=∭V∇⋅FدV=∭V(∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z)دV=∭V(4x+4y+4z)دV=∫03∫-22∫02π(4x+4y+4z)دV{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \mathbf {F_{x}} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{y}} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{z}} }{\partial z}}\right)\mathrm {d} V\\[6pt]&=\iiint _{V}(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\\[6pt]&=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V\end{aligned}}}

الآن وقد قمنا بإعداد التكامل، يمكننا حساب قيمته.

∫03∫-22∫02π(4x+4y+4z)دV=∫-22∫02π(12y+12z+18)دyدz=∫02π24(2z+3)دz=48π(2π+3){\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,\mathrm {d} V&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,\mathrm {d} z\\[6pt]&=48\pi (2\pi +3)\end{aligned}}}

التعميمات

أبعاد متعددة

يمكن للمرء استخدام نظرية ستوكس المعممة لمساواة التكامل الحجمي ذي الأبعاد n لتشعب حقل متجه F على منطقة U بالتكامل السطحي ذي الأبعاد ( n - 1) لـ F على حدود U :

∫⋯∫يو⏟ن∇⋅FدV=∮⋯∮∂يو⏟ن-1F⋅ندS{\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\underbrace {\oint \cdots \oint _{\partial U}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}

تُعرف هذه المعادلة أيضاً باسم نظرية التباعد.

عندما n = 2 ، يكون هذا مكافئًا لنظرية غرين .

عندما n = 1 ، فإنها تختزل إلى النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ، الجزء 2.

حقول الموترات

كتابة النظرية باستخدام تدوين أينشتاين :

∭V∂Fأنا∂xأنادV={\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial \mathbf {F} _{i}}{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}FأنانأنادS{\displaystyle \mathbf {F} _{i}n_{i}\,\mathrm {d} S}

بشكل موحٍ، باستبدال حقل المتجهات F بحقل موتر من الرتبة n T ، يمكن تعميم ذلك إلى: [ 20 ]

∭V∂تيأنا1أنا2⋯أناq⋯أنان∂xأناqدV={\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}}}\,\mathrm {d} V=}\oiintS{\displaystyle \scriptstyle S}تيأنا1أنا2⋯أناq⋯أناننأناqدS.{\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,\mathrm {d} S.}

حيث يحدث انكماش الموتر على كل جانب لمؤشر واحد على الأقل. لا يزال هذا الشكل من النظرية في ثلاثة أبعاد، حيث يأخذ كل مؤشر القيم 1 و2 و3. ويمكن تعميمه بشكل أكبر إلى أبعاد أعلى (أو أقل) (على سبيل المثال إلى الزمكان رباعي الأبعاد في النسبية العامة [ 21 ] ).

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ كاتز، فيكتور ج. (1979). "تاريخ نظرية ستوكس". مجلة الرياضيات . 52 (3): 146-156 . doi : 10.2307/2690275 . JSTOR 2690275 . أُعيد طبعه في: أندرسون، مارلو (2009). من أعطاك إبسيلون؟: وقصص أخرى من التاريخ الرياضي . الجمعية الرياضية الأمريكية. الصفحات 78-79 . ISBN  978-0-88385-569-0.
  2. ↑ آر جي ليرنر ؛ جي إل تريج (1994). موسوعة الفيزياء ( الطبعة الثانية). VHC. ISBN  978-3-527-26954-9.
  3. ↑ بايرون، فريدريك؛ فولر، روبرت (1992)، رياضيات الفيزياء الكلاسيكية والكمية ، منشورات دوفر، ص 22 ، ISBN  978-0-486-67164-2
  4. ↑ وايلي، سي. راي الابن. الرياضيات الهندسية المتقدمة، الطبعة الثالثة . ماكجرو هيل. الصفحات 372-373 . 
  5. ↑ كريزيج، إروين؛ كريزيج، هربرت؛ نورمينتون، إدوارد ج. (2011). الرياضيات الهندسية المتقدمة ( الطبعة العاشرة). جون وايلي وأولاده. الصفحات 453-456 . ISBN   978-0-470-45836-5.
  6. ↑ بنفورد، فرانك أ. (مايو 2007). "ملاحظات حول حساب المتجهات" (ملف PDF) . مواد دراسية لمقرر الرياضيات 105: حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات . صفحة الأستاذ ستيفن ميلر، كلية ويليامز . تاريخ الاطلاع: 14 مارس 2022 .
  7. 1 2 3 بورسل، إدوارد م.؛ ديفيد ج. مورين (2013). الكهرباء والمغناطيسية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 56-58 . ISBN  978-1-107-01402-2.
  8. ↑ آلت، هانز فيلهلم (2016). "التحليل الوظيفي الخطي". سلسلة Universitext . لندن: سبرينغر لندن. الصفحات 259-261 ، 270-272 . doi : 10.1007/978-1-4471-7280-2 . ISBN  978-1-4471-7279-6ISSN 0172-5939​​ 
  9. ↑ تايلور، مايكل إي. (2011). "المعادلات التفاضلية الجزئية 1". العلوم الرياضية التطبيقية . المجلد 115. نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. الصفحات 178-179 . doi : 10.1007/978-1-4419-7055-8 . ISBN   978-1-4419-7054-1ISSN 0066-5452​​ 
  10. ^ السيد شبيغل. س. ليبشوتز؛ د. سبيلمان (2009). تحليل المتجهات . الخطوط العريضة لشوم ( الطبعة الثانية). الولايات المتحدة الأمريكية: ماكجرو هيل. رقم ISBN  978-0-07-161545-7.
  11. 1 2 عالم الرياضيات
  12. 1 2 سي. بي. باركر (1994). موسوعة ماكجرو هيل للفيزياء ( الطبعة الثانية). ماكجرو هيل. ISBN  978-0-07-051400-3.
  13. 1 2 كاتز، فيكتور (2009). "الفصل 22: تحليل المتجهات". تاريخ الرياضيات: مقدمة . أديسون-ويسلي. ص 808-809 . ISBN  978-0-321-38700-4.
  14. ^ في بحثه عن الصوت عام 1762، يعالج لاغرانج حالة خاصة من نظرية التباعد: لاغرانج (1762) “Nouvelles recherches sur la Nature et lapropagation du son” (أبحاث جديدة عن طبيعة وانتشار الصوت)، Miscellanea Taurinensia (المعروف أيضًا باسم: Mélanges de Turin )، 2 : 11 – 172. هذه المقالة هي أعيد طبعه كـ: "Nouvelles recherches sur la Nature et la Propagation du son" في: JA Serret، ed.، Oeuvres de Lagrange ، (Paris، France: Gauthier-Villars، 1867)، vol. 1، الصفحات 151-316؛ في الصفحات 263-265 ، يقوم لاغرانج بتحويل التكاملات الثلاثية إلى تكاملات مزدوجة باستخدام التكامل بالأجزاء.
  15. ^ CF Gauss (1813) “Theoria جاذبية الجسم الكروي البيضاوي المتجانس طريقة novatractata،” Commentationes societatis regiae scientiarium Gottingensisحديثة ، 2 : 355-378؛ اعتبر غاوس حالة خاصة من النظرية؛ انظر الصفحات الرابعة والخامسة والسادسة من مقالته.
  16. 1 2 3 كاتز، فيكتور (مايو 1979). "تاريخ نظرية ستوكس". مجلة الرياضيات . 52 (3): 146-156 . doi : 10.1080/0025570X.1979.11976770 . JSTOR 2690275 . 
  17. قدّم ميخائيل أوستراغرادسكي برهانه على نظرية التباعد إلى أكاديمية باريس عام 1826، إلا أن الأكاديمية لم تنشر عمله. عاد إلى سانت بطرسبرغ بروسيا، حيث قرأ في الفترة ما بين 1828 و1829 العمل الذي أنجزه في فرنسا أمام أكاديمية سانت بطرسبرغ، التي نشرت عمله بصيغة مختصرة عام 1831.
    • تم ترجمة برهانه لنظرية التباعد - "Démonstration d'un théorème du calcul intégral" (برهان نظرية في حساب التكامل) - الذي قرأه أمام أكاديمية باريس في 13 فبراير 1826، إلى اللغة الروسية عام 1965، إلى جانب مقال آخر له. انظر: يوشكيفيتش أ.ب. (Yushkevich AP) وأنتروبوفا ف.إ. (أنتروبوف السادس) (1965) "Neopublicovaнные работы M.V. Остроградского" (أعمال غير منشورة لـ MV Ostrogradskii)، Истолико -matematicheские исследования (Istoriko-Matematicheskie) إسلدوفانيا / الدراسات التاريخية والرياضية)، 16 : 49-96؛ راجع القسم الذي يحمل عنوان: "Остроградский M.V. Доказательство одной теоремы интегрального исчисления" (Ostrogradskii MV Dokazatelstvo odnoy teoremy Integratednogo ischislenia / Ostragradsky MV إثبات نظرية في التكامل حساب التفاضل والتكامل).
    • M. Ostrogradsky (تم تقديمه: 5 نوفمبر 1828؛ نشر: 1831) "Première note sur la théorie de la chaleur" (أول ملاحظة عن نظرية الحرارة) Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg ، السلسلة 6، 1 : 129–133؛ للحصول على نسخة مختصرة من برهانه على نظرية التباعد، انظر الصفحات 130-131.
    • فيكتور ج. كاتز (مايو 1979) "تاريخ نظرية ستوكس"، مؤرشف في 2 أبريل 2015، في Wayback Machine مجلة الرياضيات ، 52 (3): 146-156 doi : 10.1080/0025570X.1979.11976770 ؛ لإثبات أستراغرادسكي لنظرية التباعد، انظر الصفحات 147-148.
  18. ↑ جورج غرين، مقال عن تطبيق التحليل الرياضي على نظريات الكهرباء والمغناطيسية (نوتنغهام، إنجلترا: تي. ويلهاوس، 1838). يظهر شكل من أشكال "نظرية التباعد" في الصفحات 10-12 .
  19. ↑ ومن بين الباحثين الأوائل الآخرين الذين استخدموا شكلاً من أشكال نظرية التباعد ما يلي:
    • بواسون (تاريخ العرض: 2 فبراير 1824؛ تاريخ النشر: 1826) " مذكرة حول نظرية المغناطيسية"، مذكرات أكاديمية العلوم التابعة لمعهد فرنسا ، 5 : 247-338؛ في الصفحات 294-296، يحوّل بواسون التكامل الحجمي (المستخدم لحساب قيمة الكمية Q) إلى تكامل سطحي. ولإجراء هذا التحويل، يتبع بواسون نفس الإجراء المستخدم لإثبات نظرية التباعد.
    • فريديريك ساروس (1828) "Mémoire sur les oscillations des corps flottans" (مذكرات عن تذبذبات الأجسام العائمة)، Annales de mathématiques pures et appliquées (Nismes)، 19 : 185–211.
  20. ↑ ك. ف. رايلي؛ م. ب. هوبسون؛ س. ج. بينس (2010). الأساليب الرياضية للفيزياء والهندسة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-86153-3.
  21. ↑ انظر على سبيل المثال: جيه إيه ويلر؛ سي. ميسنر؛ كيه إس ثورن (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. الصفحات 85-86 ، §3.5. ISBN  978-0-7167-0344-0.، و ر. بنروز (2007). الطريق إلى الواقع . كتب فينتج. رقم ISBN 978-0-679-77631-4.