فضاء هيلبرت المُجهز

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 21 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات والفيزياء ، يُعرف فضاء هيلبرت المُجهّز ( أو فضاء هيلبرت المُتداخل أو فضاء هيلبرت المُجهز ) بأنه بنية تُوسّع فضاء هيلبرت إلى فضاء أكبر يحتوي على عناصر إضافية غير موجودة في فضاء هيلبرت الأصلي، ولكن يُفضّل اعتبارها مُجاورة له. على سبيل المثال، في الوصف الكمومي لجسيم غير نسبي باستخدام فضاء هيلبرت للدوال القابلة للتكامل التربيعي على خط الأعداد الحقيقية، لا تقع الحالات الذاتية لمؤثري الموضع والزخم في فضاء هيلبرت الأصلي ، بل في فضاء هيلبرت مُجهّز مُعرّف بشكل مناسب. بعبارة أخرى، يُشير مصطلح "مُجهّز" إلى أن فضاء هيلبرت قد تم تجهيزه للقيام بأكثر مما يُمكنه القيام به في حالته الأصلية، قياسًا على تجهيز قارب. [ 1 ]

صُمم هذا البناء لربط جوانب التوزيع والتكامل التربيعي في التحليل الوظيفي . وقد استُحدثت هذه الفضاءات لدراسة نظرية الطيف ، حيث تجمع بين " الحالة المقيدة " ( المتجه الذاتي ) و" الطيف المتصل " في مكان واحد.

باستخدام هذا المفهوم، يمكن صياغة صيغة من نظرية الطيف للمؤثرات غير المحدودة على فضاء هيلبرت. [ 2 ] "من المعروف أن فضاءات هيلبرت المُجهزة هي البنية التي تُضفي معنى رياضيًا مناسبًا على صياغة ديراك لميكانيكا الكم ." [ 3 ]

تحفيز

دالة مثل x↦هـأناx،{\displaystyle x\mapsto e^{ix},} هي دالة ذاتية للمؤثر التفاضلي-أناددx{\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}} تقع هذه الدالة على خط الأعداد الحقيقية R ، لكنها غير قابلة للتكامل التربيعي بالنسبة للمقياس المعتاد ( ليبيغ ) على R. يتطلب اعتبار هذه الدالة دالة ذاتية طريقة ما للخروج من القيود الصارمة لنظرية فضاء هيلبرت . وقد تم توفير ذلك من خلال أدوات التوزيعات ، وتم تطوير نظرية معممة للدوال الذاتية في السنوات التي تلت عام 1950. [ 4 ]

تعريف

الفضاء الهيلبرتي المُجهَّز هو زوج ( H , Φ) حيث H فضاء هيلبرت، و Φ فضاء جزئي كثيف، بحيث يُعطى Φ بنية فضاء متجهي طوبولوجي تكون خريطة التضمين الخاصة بهأنا:Φ→ح،{\displaystyle i:\Phi \to H,} متصلة. [ 5 ] [ 6 ] بتحديد H مع فضاءها الثنائي H * ، فإن المرافق لـ i هو التطبيق أنا*:ح=ح*→Φ*.{\displaystyle i^{*}:H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}

وبالتالي فإن اقتران الازدواجية بين Φ و Φ * يكون متوافقًا مع الضرب الداخلي على H ، بالمعنى التالي: ⟨u،v⟩Φ×Φ*=(u،v)ح{\displaystyle \langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}} حينماu∈Φ⊂ح{\displaystyle u\in \Phi \subset H}وv∈ح=ح*⊂Φ*{\displaystyle v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}}في حالة فضاءات هيلبرت المعقدة، نستخدم الضرب الداخلي الهيرميتي؛ سيكون خطيًا معقدًا في u (الاتفاقية الرياضية) أو v (الاتفاقية الفيزيائية)، ومترافقًا خطيًا (مضادًا للخطية المعقدة) في المتغير الآخر.

الثلاثي(Φ،ح،Φ*){\displaystyle (\Phi ,\,\,H,\,\,\Phi ^{*})}غالباً ما يطلق عليها اسم الثلاثية جيلفاند (نسبة إلى إسرائيل جيلفاند ).ح{\displaystyle H}يُشار إليه باسم مساحة محورية.

لاحظ أنه على الرغم من أن Φ متماثل مع Φ * (عبر تمثيل ريز )، إذا حدث أن Φ فضاء هيلبرت بحد ذاته، فإن هذا التماثل لا يُعادل تركيب التضمين i مع مرافقه i *.أنا*أنا:Φ⊂ح=ح*→Φ*.{\displaystyle i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}

نهج التحليل الوظيفي

يضع مفهوم فضاء هيلبرت المُجهّز هذه الفكرة في إطار تحليلي وظيفي مجرد. رسميًا، يتكون فضاء هيلبرت المُجهّز من فضاء هيلبرت H ، بالإضافة إلى فضاء جزئي Φ يحمل طوبولوجيا أدق ، أي طوبولوجيا يكون فيها التضمين الطبيعي Φ⊆ح{\displaystyle \Phi \subseteq H} هي دالة متصلة. لا ضرر من افتراض أن Φ كثيفة في H بالنسبة لمعيار هيلبرت. ندرس تضمين الفضاءات الثنائية H * في Φ * . يُجسد هذا الأخير، الثنائي لـ Φ في طوبولوجيا " دالة الاختبار" الخاصة به، كفضاء توزيعات أو دوال معممة من نوع ما، والدوال الخطية على الفضاء الجزئي Φ من النوع ϕ↦⟨v،ϕ⟩{\displaystyle \phi \mapsto \langle v,\phi \rangle } يتم تمثيل v في H بأمانة كتوزيعات (لأننا نفترض أن Φ كثيفة ).

بتطبيق نظرية تمثيل ريز، يمكننا الآن تحديد H * مع H. وبالتالي، فإن تعريف فضاء هيلبرت المُجهز يكون على شكل شطيرة: Φ⊆ح⊆Φ*.{\displaystyle \Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{*}.}

أهم الأمثلة هي تلك التي يكون فيها Φ فضاءً نوويًا ؛ هذا التعليق هو تعبير مجرد عن فكرة أن Φ يتكون من دوال اختبار و Φ* من التوزيعات المقابلة .

مثال على فضاء هيلبرت قابل للعد النوويΦ{\displaystyle \Phi }وثنائيتهΦ*{\displaystyle \Phi ^{*}}مساحة شوارتزS(R){\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}ومساحة التوزيعات المعتدلةS′(R){\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}، على التوالي، تجهيز فضاء هيلبرت للدوال القابلة للتكامل التربيعي . وعلى هذا النحو، يُعطى فضاء هيلبرت المجهز بواسطة [ 7 ]S(R)⊂ل2(R)⊂S′(R).{\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )\subset {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ).} مثال آخر هو فضاءات سوبوليف : هنا (في أبسط حالات فضاءات سوبوليف علىRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}) ح=ل2(Rن)، Φ=حs(Rن)، Φ*=ح-s(Rن)،{\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi =H^{s}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi ^{*}=H^{-s}(\mathbb {R} ^{n}),} أينs>0{\displaystyle s>0}.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ بالنتين، ليزلي إي. (2010). ميكانيكا الكم: تطور حديث (طبعة مُعاد طباعتها  ). سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-02-4105-6.
  2. ↑ مينلوس، ر. أ. (2001) [1994]، "فضاء هيلبرت المُجهز" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
  3. ↑ كراسنوهولوفيتس، فولوديمير؛ كولومبوس، فرانك هـ. (2004). أبحاث جديدة في فيزياء الكم . دار نوفا للعلوم. ص 79. ISBN  978-1-59454-001-1.
  4. ^ جلفاند وفيلينكين 1964 ، ص 103-105.
  5. ^ دي لا مدريد مودينو 2001 ، ص 66-67.
  6. ^ فان دير لان 2019 ، ص 21-22.
  7. ^ دي لا مدريد مودينو 2001 ، ص. 72.

مراجع

  • جيه-بي. أنطوان، ميكانيكا الكم ما وراء فضاء هيلبرت (1996)، نُشر في كتاب "اللاانعكاسية والسببية، أنصاف المجموعات وفضاءات هيلبرت المُجهزة" ، تحرير آرنو بوم، هاينز-ديتريش دوبنر، بيوتر كيلانوفسكي، دار نشر سبرينغر، رقم ISBN 3-540-64305-2( يقدم لمحة عامة عن الاستطلاع.)
  • جيه ديودوني ، عناصر التحليل السابع (1978). (انظر الفقرتين 8.23 ​​و32.23)
  • جيلفاند، آي إم ؛ فيلينكين، إن. يا (1964). الدوال المعممة: تطبيقات التحليل التوافقي . بيرلينجتون: إلسيفير ساينس. doi : 10.1016/c2013-0-12221-0 . ISBN 978-1-4832-2974-4.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  • ك. مورين، توسعات الدوال الذاتية المعممة والتمثيلات الوحدوية للمجموعات الطوبولوجية ، الناشرون العلميون البولنديون، وارسو، 1968.
  • دي لا مدريد مودينو، ر. (2001). ميكانيكا الكم في لغة فضاء هيلبرت المُجهز (أطروحة دكتوراه). جامعة بلد الوليد.
  • دي لا مدريد مودينو، ر. "دور فضاء هيلبرت المجهز في ميكانيكا الكم"، المجلة الأوروبية للفيزياء 26، 287 (2005)؛ quant-ph/0502053 .
  • فان دير لان، إل. (يوليو 2019). نظرية الفضاء هيلبرت Rigged لملاحظات هيرميتيان وشبه هيرميتيان (أطروحة البكالوريوس). جرونينجن: Rijksuniversiteit جرونينجن . تم الاسترجاع 11 يناير 2025 .