مقياس كير

يصف مقياس كير أو هندسة كير هندسة الزمكان الفارغ حول ثقب أسود دوار غير مشحون ومتناظر محوريًا وله أفق حدث شبه كروي. يُعد مقياس كير حلاً دقيقًا لمعادلات أينشتاين للمجال في النسبية العامة ؛ وهذه المعادلات غير خطية للغاية ، مما يجعل إيجاد حلول دقيقة أمرًا بالغ الصعوبة.

مقياس كير هو تعميم لمقياس شوارزشيلد، الذي اكتشفه كارل شوارزشيلد عام 1915، ليشمل الأجسام الدوارة، وقد وصف هندسة الزمكان حول جسم غير مشحون، متناظر كرويًا، وغير دوار. وبعد ذلك بوقت قصير (1916-1918)، تم اكتشاف الحل المقابل لجسم مشحون ، كروي، وغير دوار، وهو مقياس رايسنر-نوردستروم . إلا أن الحل الدقيق لمقياس كير، وهو مقياس ثقب أسود غير مشحون دوار ، ظل دون حل حتى عام 1963، عندما اكتشفه روي كير . ^{[ 1 ] [ 2 ] : 69-81.} وبعد ذلك بوقت قصير، في عام 1965، تم اكتشاف الامتداد الطبيعي لمقياس كير-نيومان، وهو مقياس ثقب أسود مشحون دوار . ويمكن تلخيص هذه الحلول الأربعة ذات الصلة في الجدول التالي، حيث يمثل Q الشحنة الكهربائية للجسم ، ويمثل J عزمه الزاوي الدوراني .

	غير دوار ( J = 0 )	تدوير ( أي J )
غير مشحون ( Q = 0 )	شوارتزشيلد (1915)	كير (1963)
تم تحصيل رسوم ( أي كمية )	رايسنر-نوردستروم (1916–1918)	كير-نيومان (1965)

وفقًا لمقياس كير، يُفترض أن يُظهر الجسم الدوّار ظاهرة سحب الإطار المرجعي (المعروفة أيضًا باسم ترنّح لينس-ثيرينغ )، وهي تنبؤ مميز للنسبية العامة. أُجري أول قياس لهذه الظاهرة عام 2011 بواسطة تجربة مسبار الجاذبية B. وبشكل عام، تتنبأ هذه الظاهرة بأن الأجسام التي تقترب من كتلة دوّارة ستُجبر على المشاركة في دورانها، ليس بسبب أي قوة أو عزم دوران مُطبق يُمكن الشعور به، بل بسبب انحناء الزمكان الدوامي نفسه المرتبط بالأجسام الدوّارة. في حالة الثقب الأسود الدوّار، عند مسافات قريبة بما فيه الكفاية، يجب أن  تدور جميع الأجسام - حتى الضوء  - مع الثقب الأسود؛ وتُسمى المنطقة التي تسود فيها هذه الظاهرة بالغلاف الإرجوسي .

يمكن للضوء القادم من مصادر بعيدة أن يدور حول أفق الحدث عدة مرات (إذا كان قريبًا بما يكفي)، ^مما يُنتج صورًا متعددة لنفس الجسم . بالنسبة للمشاهد البعيد، تتناقص المسافة العمودية الظاهرية بين الصور بمعامل e²π (حوالي 500). مع ذلك، فإن المسافة بين الصور المتعددة ^في الثقوب السوداء سريعة الدوران تكون أقل. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

تمتلك الثقوب السوداء الدوارة أسطحًا تبدو فيها المترية وكأنها تحتوي على نقاط تفرد ظاهرة ؛ ويعتمد حجم وشكل هذه الأسطح على كتلة الثقب الأسود وعزمه الزاوي. يحيط السطح الخارجي بالمجال المغناطيسي (الإرجوسفير) وله شكل مشابه للكرة المفلطحة. أما السطح الداخلي فيُشير إلى أفق الحدث؛ فالأجسام التي تعبر إلى داخل هذا الأفق لا يمكنها التواصل مع العالم خارجه. ومع ذلك، لا يُعد أي من السطحين نقطة تفرد حقيقية، إذ يمكن إزالة نقطة التفرد الظاهرية في نظام إحداثيات مختلف . وينطبق وضع مماثل عند النظر إلى مترية شوارزشيلد، والتي يبدو أنها تُؤدي أيضًا إلى نقطة تفرد عند ⁠${\displaystyle r=r_{\text{s}}}$تقسيم المساحة العلوية والسفلية${\displaystyle r_{\text{s}}}$إلى رقعتين منفصلتين؛ باستخدام تحويل إحداثيات مختلف، يمكن ربط الرقعة الخارجية الممتدة بالرقعة الداخلية (انظر مقياس شوارزشيلد §  المفردات والثقوب السوداء ) - يزيل تحويل الإحداثيات هذا المفردات الظاهرة عند التقاء السطحين الداخلي والخارجي. يجب أن تدور الأجسام الواقعة بين هذين السطحين مع الثقب الأسود الدوار، كما ذُكر أعلاه؛ يمكن من حيث المبدأ استخدام هذه الخاصية لاستخراج الطاقة من ثقب أسود دوار، حتىطاقة كتلته الثابتة . ${\displaystyle Mc^{2}}$⁠ .

كما وفرت تجربة LIGO التي رصدت لأول مرة موجات الجاذبية، والتي أُعلن عنها في عام 2016، أول رصد مباشر لزوج من الثقوب السوداء من نوع كير . ^{[ 5 ]}

يُعبَّر عن مقياس كير عادةً بإحدى صيغتين: صيغة بوير-ليندكويست وصيغة كير-شيلد. ويمكن اشتقاقه بسهولة من مقياس شوارزشيلد، باستخدام خوارزمية نيومان-جانيس ^{[ 6 ]} أو صيغة نيومان-بنروز (المعروفة أيضًا بصيغة معامل الدوران) ^{[ 7 ]} أو معادلة إرنست ^{[ 8 ]} أو تحويل إحداثيات القطع الناقص ^{[ 9 ] .}

إحداثيات بوير-ليندكويست

يصف مقياس كير هندسة الزمكان في جوار كتلة ما.${\displaystyle M}$يدور بزخم زاوي${\displaystyle J}$[ ^{10 ]} المقياس (أو ما يعادله عنصر الخط الخاص به للوقت الخاص ) في ^{إحداثيات} بوير- ^{ليندكويست} هو ^{[ 11 ]} [ ^{12 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=-c^{2}d\tau ^{2}\\&=-\left(1-{\frac {r_{\text{s}}r}{\Sigma }}\right)c^{2}dt^{2}+{\frac {\Sigma }{\Delta }}dr^{2}+\Sigma d\theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {r_{\text{s}}ra^{2}}{\Sigma }}\sin ^{2}\theta \right)\sin ^{2}\theta \ d\phi ^{2}-{\frac {2r_{\text{s}}ra\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}c\,dt\,d\phi \end{aligned}}}$

1

حيث الإحداثيات${\displaystyle r,\theta ,\phi }$⁠ هي إحداثيات كروية مفلطحة قياسية ، وهي مكافئة للإحداثيات الديكارتية ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle x={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \cos \phi }$

2

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}\sin \theta \sin \phi }$

3

${\displaystyle z=r\cos \theta ,}$

4

أين${\displaystyle r_{\text{s}}}$نصف قطر شوارزشيلد

${\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}$

5

وللاختصار، فإن مقاييس الطول${\displaystyle a,\Sigma }$و​​${\displaystyle \Delta }$تم تقديمها على النحو التالي

${\displaystyle a={\frac {J}{Mc}},}$

6

${\displaystyle \Sigma =r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta ,}$

7

${\displaystyle \Delta =r^{2}-r_{\text{s}}r+a^{2}.}$

8

من السمات الرئيسية التي يجب ملاحظتها في المقياس المذكور أعلاه هو الحد المتقاطع${\displaystyle dt\,d\phi }$وهذا يعني وجود اقتران بين الزمن والحركة في مستوى الدوران يختفي عندما يصبح الزخم الزاوي للثقب الأسود صفراً.

في الحد غير النسبي حيث ⁠${\displaystyle M}$( أو، بشكل مكافئ ،${\displaystyle r_{\text{s}}}$عندما تؤول قيمة ) إلى الصفر، يصبح مقياس كير هو المقياس المتعامد لإحداثيات الشكل الكروي المفلطح.

${\displaystyle g\mathop {\longrightarrow } _{M\to 0}-c^{2}dt^{2}+{\frac {\Sigma }{r^{2}+a^{2}}}dr^{2}+\Sigma d\theta ^{2}+\left(r^{2}+a^{2}\right)\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$

9

إحداثيات كير-شيلد

يمكن التعبير عن مقياس كير بصيغة "كير-شيلد" ، باستخدام مجموعة معينة من الإحداثيات الديكارتية كما يلي. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} وقد اقترح كير وشيلد هذه الحلول في عام 1965.

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+fk_{\mu }k_{\nu }\!}$

10

${\displaystyle f={\frac {2GMr^{3}}{r^{4}+a^{2}z^{2}}}}$

11

${\displaystyle \mathbf {k} =(k_{x},k_{y},k_{z})=\left({\frac {rx+ay}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {ry-ax}{r^{2}+a^{2}}},{\frac {z}{r}}\right)}$

12

${\displaystyle k_{0}=1.\!}$

13

لاحظ أن k متجه وحدة ثلاثي الأبعاد ، مما يجعل المتجه الرباعي متجهًا صفريًا بالنسبة لكل من g و η . ^{[ 18 ]} هنا M هي الكتلة الثابتة للجسم الدوار، و η هو موتر مينكوفسكي ، و a هو معامل دوران ثابت للجسم الدوار. من المفهوم أن المتجه${\displaystyle {\vec {a}}}$يكون اتجاهها على طول المحور z الموجب. الكمية r ليست نصف القطر، بل يتم تعريفها ضمنيًا بواسطة

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{r^{2}+a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}=1}$

14

لاحظ أن الكمية r تصبح نصف القطر المعتاد R

${\displaystyle r\to R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$

عندما يكون المعامل الدوراني${\displaystyle a}$يقترب من الصفر . في هذا الشكل من الحل، يتم اختيار الوحدات بحيث تكون سرعة الضوء تساوي واحدًا (${\displaystyle c=1}$) . عند المسافات الكبيرة من المصدر ( R ≫ a )، فإن هذه المعادلات تختزل إلى شكل إيدينجتون-فينكلشتاين لمقياس شوارزشيلد.

في صيغة كير-شيلد لمقياس كير، يكون محدد موتر المقياس مساوياً للواحد السالب في كل مكان، حتى بالقرب من المصدر. ^{[ 19 ]}

إذا كانت طاقة الدوران الكاملة${\displaystyle E_{\rm {rot}}=c^{2}\left(M-M_{\rm {irr}}\right)}$عند استخراج كتلة الثقب الأسود، على سبيل المثال باستخدام عملية بنروز ، ^{[ 21 ] [ 22 ]} لا يمكن أن تنخفض الكتلة المتبقية إلى ما دون الكتلة غير القابلة للاختزال. لذلك، إذا كان الثقب الأسود يدور بدوران مغزلي ...${\displaystyle a=M}$، ما يعادل كتلتها الكلية${\displaystyle M}$أعلى بمعامل​${\displaystyle {\sqrt {2}}}$بالمقارنة مع ثقب أسود شوارزشيلد مماثل حيث${\displaystyle M}$يساوي​​${\displaystyle M_{\text{irr}}}$والسبب في ذلك هو أنه لكي يدور جسم ساكن، يجب تطبيق طاقة على النظام. وبسبب تكافؤ الكتلة والطاقة، فإن هذه الطاقة لها أيضًا مكافئ كتلي، والذي يُضاف إلى إجمالي كتلة وطاقة النظام .${\displaystyle M}$⁠ .

المكافئ الكتلي الكلي${\displaystyle M}$( الكتلة الجاذبية) للجسم (بما في ذلك طاقته الدورانية ) وكتلته غير القابلة للاختزال${\displaystyle M_{\text{irr}}}$ترتبط هذه العناصر ببعضها البعض من خلال ^{[ 23 ] [ 24 ]}

${\displaystyle 2M_{\rm {irr}}^{2}=M^{2}+{\sqrt {M^{4}-J^{2}c^{2}/G^{2}}}\Longrightarrow M^{2}=M_{\rm {irr}}^{2}+{\frac {J^{2}c^{2}}{4M_{\rm {irr}}^{2}G^{2}}}.}$

بما أن حتى الفحص المباشر لمقياس كير ينطوي على حسابات معقدة، فإن المكونات المتغيرة عكسياً${\displaystyle g^{ik}}$يتم عرض ⁠ لموتر القياس في إحداثيات بوير-ليندكويست أدناه في التعبير عن مربع عامل التدرج الرباعي : ^{[ 21 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{\mu \nu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}&=-{\frac {1}{c^{2}\Delta }}\left(r^{2}+a^{2}+{\frac {r_{\text{s}}ra^{2}}{\Sigma }}\sin ^{2}\theta \right)\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{2}\\&-{\frac {2r_{\text{s}}ra}{c\Sigma \Delta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}{\frac {\partial }{\partial {t}}}+{\frac {1}{\Delta \sin ^{2}\theta }}\left(1-{\frac {r_{\text{s}}r}{\Sigma }}\right)\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}\right)^{2}\\&+{\frac {\Delta }{\Sigma }}\left({\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{2}+{\frac {1}{\Sigma }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)^{2}\end{aligned}}}$

15

يمكن إعادة كتابة مقياس كير ( 1 ) بالشكل التالي:

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=\left(g_{tt}-{\frac {g_{t\phi }^{2}}{g_{\phi \phi }}}\right)dt^{2}+g_{\mathrm {rr} }dr^{2}+g_{\theta \theta }d\theta ^{2}+g_{\phi \phi }\left(d\phi +{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}dt\right)^{2}.}$

16

هذا المقياس يعادل إطار مرجعي متزامن يدور بسرعة زاوية Ω تعتمد على كل من نصف القطر r وخط العرض θ ، حيث تسمى Ω أفق كيلينج . 

${\displaystyle \Omega =-{\frac {g_{t\phi }}{g_{\phi \phi }}}={\frac {r_{\text{s}}rac}{\Sigma \left(r^{2}+a^{2}\right)+r_{\text{s}}ra^{2}\sin ^{2}\theta }}.}$

17

وهكذا، يتم جرّ إطار مرجعي قصوري بواسطة الكتلة المركزية الدوارة ليشارك في دورانها؛ وهذا ما يُسمى بسحب الإطار، وقد تم اختباره تجريبياً. ^{[ 25 ]} نوعياً، يمكن اعتبار سحب الإطار نظيراً جاذبياً للحث الكهرومغناطيسي. تخيّل متزلجة على الجليد، تدور في مدار فوق خط الاستواء وهي في حالة سكون دوراني بالنسبة للنجوم، تمدّ ذراعيها. الذراع الممدودة باتجاه الثقب الأسود ستتعرض لعزم دوران باتجاه دورانه. أما الذراع الممدودة بعيداً عن الثقب الأسود فستتعرض لعزم دوران عكس اتجاه دورانه. وبالتالي، ستزداد سرعتها الدورانية، في اتجاه معاكس لدوران الثقب الأسود. وهذا عكس ما يحدث في حياتنا اليومية. فإذا كانت تدور بالفعل بسرعة معينة عند مدّ ذراعيها، فإن تأثيرات القصور الذاتي وتأثيرات سحب الإطار ستتوازن ولن يتغير دورانها. بسبب مبدأ التكافؤ ، لا يمكن التمييز محليًا بين تأثيرات الجاذبية وتأثيرات القصور الذاتي، لذا فإن معدل الدوران هذا، الذي لا يحدث عنده أي تغيير عند مد ذراعيها، هو مرجعها المحلي لعدم الدوران. يدور هذا الإطار بالنسبة للنجوم الثابتة ويدور عكسيًا بالنسبة للثقب الأسود. يمكن تشبيه ذلك بنظام تروس كوكبي ، حيث يمثل الثقب الأسود ترس الشمس، والمتزلجة على الجليد ترسًا كوكبيًا، والكون الخارجي الترس الحلقي. ويمكن تفسير ذلك أيضًا من خلال مبدأ ماخ .

توجد عدة أسطح مهمة في مقياس كير ( 1 ). يتوافق السطح الداخلي مع أفق حدث مشابه لما يُلاحظ في مقياس شوارزشيلد؛ ويحدث هذا عندما يؤول المكون القطري البحت g _rr للمقياس إلى اللانهاية. حل المعادلة التربيعية 1 / g _rr = 0 يُعطي الحل التالي:

${\displaystyle r_{\rm {H}}^{\pm }={\frac {r_{\text{s}}\pm {\sqrt {r_{\text{s}}^{2}-4a^{2}}}}{2}}}$

والتي بالوحدات الطبيعية (التي تعطي ⁠${\displaystyle G=M=c=1}$) يتبسط إلى:

${\displaystyle r_{\rm {H}}^{\pm }=1\pm {\sqrt {1-a^{2}}}}$

في حين أن أفق الحدث في مقياس شوارزشيلد هو أيضاً المكان الذي تتغير فيه إشارة المكون الزمني البحت g _tt للمقياس من موجب إلى سالب، فإن ذلك يحدث في مقياس كير عند مسافة مختلفة. ومرة ​​أخرى، حل المعادلة التربيعية g _tt = 0 يعطي الحل التالي:

${\displaystyle r_{\rm {E}}^{\pm }={\frac {r_{\text{s}}\pm {\sqrt {r_{\text{s}}^{2}-4a^{2}\cos ^{2}\theta }}}{2}}}$

أو بالوحدات الطبيعية:

${\displaystyle r_{\rm {E}}^{\pm }=1\pm {\sqrt {1-a^{2}\cos ^{2}\theta }}}$

بسبب وجود حد cos ² θ في الجذر التربيعي، يشبه هذا السطح الخارجي كرةً مسطحةً تلامس السطح الداخلي عند قطبي محور الدوران، حيث يساوي خط العرض θ صفرًا أو π ؛ ويُطلق على الفراغ بين هذين السطحين اسم الإرجوسفير. ضمن هذا الحجم، يكون المكون الزمني البحت g _tt سالبًا، أي أنه يعمل كمكون متري مكاني بحت. ونتيجةً لذلك، يجب أن تدور الجسيمات داخل هذا الإرجوسفير مع الكتلة الداخلية، إذا أرادت الاحتفاظ بطابعها الزمني. يختبر الجسيم المتحرك زمنًا ذاتيًا موجبًا على طول خط عالمه ، أي مساره عبر الزمكان. ومع ذلك، فإن هذا مستحيل داخل الإرجوسفير، حيث يكون g _tt سالبًا، إلا إذا كان الجسيم يدور حول الكتلة الداخلية . ${\displaystyle M}$بسرعة زاوية لا تقل عن ${\displaystyle \Omega }$وبالتالي ، لا يمكن لأي جسيم أن يتحرك في الاتجاه المعاكس لدوران الكتلة المركزية داخل الإرجوسفير.

_{كما هو الحال} مع أفق الحدث في مقياس شوارزشيلد، فإن التفرد الظاهري عند rH ناتج عن اختيار الإحداثيات (أي أنه تفرد إحداثي ). في الواقع، يمكن استمرار الزمكان بسلاسة من خلاله عن طريق اختيار مناسب للإحداثيات. بدوره، _فإن الحد الخارجي للإرجوسفير عند rE ليس متفردًا في حد ذاته حتى في إحداثيات كير بسبب عدم الصفر .${\displaystyle dt\ d\phi }$مصطلح .

يُحاط الثقب الأسود عمومًا بسطح يُسمى أفق الحدث، ويقع عند نصف قطر شوارزشيلد للثقب الأسود غير الدوار، حيث تتساوى سرعة الإفلات مع سرعة الضوء. داخل هذا السطح، لا يستطيع أي مراقب/جسيم الحفاظ على نفسه عند نصف قطر ثابت، بل يُجبر على السقوط نحو الداخل، ولذا يُطلق على هذه الحالة أحيانًا اسم الحد الساكن .

يتمتع الثقب الأسود الدوار بنفس الحد الساكن عند أفق الحدث، ولكن توجد مساحة إضافية خارج أفق الحدث تُسمى "سطح الإرجو" تُعطى بواسطة

${\displaystyle (r-M)^{2}=M^{2}-J^{2}\cos ^{2}\theta }$

في إحداثيات بوير-ليندكويست ، والتي يمكن وصفها بديهيًا بأنها الكرة التي تُسحب فيها "السرعة الدورانية للفضاء المحيط" جنبًا إلى جنب مع سرعة الضوء. داخل هذه الكرة، يكون السحب أكبر من سرعة الضوء، ويُجبر أي مراقب/جسيم على الدوران معها.

تُسمى المنطقة الواقعة خارج أفق الحدث، ولكن داخل السطح حيث تكون سرعة الدوران مساوية لسرعة الضوء، بالغلاف الإرجوسي (من الكلمة اليونانية إرغون التي تعني العمل ). تُجبر الجسيمات الساقطة داخل الغلاف الإرجوسي على الدوران بسرعة أكبر، وبالتالي تكتسب طاقة. ولأنها لا تزال خارج أفق الحدث، فقد تتمكن من الإفلات من الثقب الأسود. وتتمثل العملية النهائية في أن الثقب الأسود الدوار يُطلق جسيمات عالية الطاقة على حساب طاقته الكلية. وقد اقترح عالم الرياضيات روجر بنروز إمكانية استخلاص طاقة الدوران من ثقب أسود دوار لأول مرة عام 1969، ومن هنا جاءت تسمية عملية بنروز. تُعد الثقوب السوداء الدوارة في الفيزياء الفلكية مصدرًا محتملاً لكميات هائلة من الطاقة، وتُستخدم لتفسير الظواهر عالية الطاقة، مثل انفجارات أشعة غاما .

تُظهر هندسة كير العديد من السمات الجديرة بالذكر: يشمل الامتداد التحليلي الأقصى سلسلة من المناطق الخارجية المسطحة تقاربياً ، ترتبط كل منها بمجال إرجوسفير ، وأسطح حدية ثابتة، وآفاق أحداث ، وآفاق كوشي ، ومنحنيات زمنية مغلقة ، وتفرد انحناء حلقي الشكل . يمكن حل معادلة الجيوديسية بدقة في صيغة مغلقة. بالإضافة إلى حقلي متجه كيلينغ (المقابلين للإزاحة الزمنية والتناظر المحوري )، تقبل هندسة كير موتر كيلينغ مميزًا . يوجد زوج من التطابقات الصفرية الرئيسية (أحدهما داخلي والآخر خارجي ). موتر فايل خاص جبريًا ، في الواقع من نوع بيتروف D.

تجدر الإشارة إلى أن هندسة كير الداخلية غير مستقرة تجاه الاضطرابات في المنطقة الداخلية. ويعني هذا عدم الاستقرار أنه على الرغم من أن مقياس كير متناظر حول المحور، فإن الثقب الأسود الناتج عن الانهيار الجذبي قد لا يكون كذلك. ^{[ 13 ]} كما يشير هذا عدم الاستقرار إلى أن العديد من خصائص هندسة كير الموصوفة أعلاه قد لا تكون موجودة داخل هذا الثقب الأسود. ^{[ 27 ] [ 28 ]}

يُطلق على السطح الذي يمكن للضوء أن يدور عليه حول ثقب أسود اسم كرة الفوتون. يحتوي حل كير على عدد لا نهائي من كرات الفوتون ، تقع بين كرة داخلية وأخرى خارجية. في حل شوارزشيلد غير الدوار، مع${\displaystyle a=0}$تتلاشى كرتا الفوتون الداخلية والخارجية، بحيث لا يتبقى سوى كرة فوتون واحدة عند نصف قطر واحد. كلما زاد دوران الثقب الأسود، زادت المسافة بين كرتي الفوتون الداخلية والخارجية. يدور شعاع ضوئي يسير في اتجاه معاكس لدوران الثقب الأسود حوله في كرة الفوتون الخارجية. بينما يدور شعاع ضوئي يسير في نفس اتجاه دوران الثقب الأسود في كرة الفوتون الداخلية. أما المسارات الجيوديسية التي تدور حول الثقب الأسود، والتي لها زخم زاوي عمودي على محور دورانه، فتدور على كرات فوتون بين هذين الحدين. ولأن الزمكان يدور، فإن هذه المدارات تُظهر ترنحًا، نظرًا لوجود إزاحة في ...${\displaystyle \phi }$المتغير بعد إكمال فترة واحدة في${\displaystyle \theta }$متغير .

معادلات المسار

تخضع معادلات حركة الجسيمات الاختبارية في فضاء كير الزمكاني لأربعة ثوابت حركة . [ 29 ^{] أولها الكتلة} الثابتة .${\displaystyle \mu }$من جسيم الاختبار، المحدد بالعلاقة $${\displaystyle -\mu ^{2}=p^{\alpha }g_{\alpha \beta }p^{\beta },}$$ أين​${\displaystyle p^{\alpha }}$يمثل الزخم الرباعي للجسيم. علاوة على ذلك، هناك ثابتان للحركة يُحددان بتناظرات الانتقال الزمني والدوران لزمكان كير، وهما الطاقة .${\displaystyle E}$، ومركبة الزخم الزاوي المداري الموازية لدوران الثقب الأسود${\displaystyle L_{z}}$[ ²¹ ] ^{[ 30 ]​​}$${\displaystyle E=-p_{t},}$$و $${\displaystyle L_{z}=p_{\phi }}$$

باستخدام نظرية هاميلتون-جاكوبي ، أثبت براندون كارتر وجود ثابت رابع للحركة ،${\displaystyle Q}$[ ^{29 ]} ويُشار إليه الآن بثابت كارتر . وهو مرتبط بالزخم الزاوي الكلي للجسيم ويُعطى بالعلاقة ^{التالية} :$${\displaystyle Q=p_{\theta }^{2}+\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+\left({\frac {L_{z}}{\sin \theta }}\right)^{2}\right).}$$

بما أن هناك أربعة ثوابت (مستقلة) للحركة لدرجات الحرية، فإن معادلات الحركة لجسيم اختبار في فضاء كير قابلة للتكامل .

باستخدام ثوابت الحركة هذه، يمكن كتابة معادلات مسار جسيم اختباري (باستخدام الوحدات الطبيعية لـ${\displaystyle G=M=c=1}$) ، ^{[ 29 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma {\frac {dr}{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {R(r)}}\\\Sigma {\frac {d\theta }{d\lambda }}&=\pm {\sqrt {\Theta (\theta )}}\\\Sigma {\frac {d\phi }{d\lambda }}&=-\left(aE-{\frac {L_{z}}{\sin ^{2}\theta }}\right)+{\frac {a}{\Delta }}P(r)\\\Sigma {\frac {dt}{d\lambda }}&=-a\left(aE\sin ^{2}\theta -L_{z}\right)+{\frac {r^{2}+a^{2}}{\Delta }}P(r)\end{aligned}}}$$ مع

• ${\displaystyle \Theta (\theta )=Q-\cos ^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu ^{2}-E^{2}\right)+{\frac {L_{z}^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)}$
• ${\displaystyle P(r)=E\left(r^{2}+a^{2}\right)-aL_{z}}$
• ${\displaystyle R(r)=P(r)^{2}-\Delta \left(\mu ^{2}r^{2}+(L_{z}-aE)^{2}+Q\right)}$

أين​${\displaystyle \lambda }$⁠ هو معامل خطي بحيث ⁠${\displaystyle {\frac {dx^{\alpha }}{d\lambda }}=p^{\alpha }}$. على وجه الخصوص، عندما ⁠${\displaystyle \mu >0}$المعامل الأفيني​${\displaystyle \lambda }$، يرتبط بالوقت المناسب${\displaystyle \tau }$من خلال​${\displaystyle \lambda =\tau /\mu }$⁠ .

بسبب تأثير سحب الإطار المرجعي ، يدور المراقب ذو الزخم الزاوي الصفري (ZAMO) بالتزامن مع السرعة الزاوية .${\displaystyle \Omega }$والذي يتم تحديده بالنسبة إلى وقت إحداثيات المحاسب${\displaystyle t}$[ ³¹ ] السرعة المحلية^​​${\displaystyle v}$يتم قياس ⁠ من جسيم الاختبار بالنسبة إلى مسبار يدور معه ⁠${\displaystyle \Omega }$. التمدد الزمني الجاذبي بين ZAMO عند قيمة ثابتة${\displaystyle r}$ومراقب ثابت بعيد عن الكتلة هو $${\displaystyle {\frac {t}{\tau }}={\sqrt {\frac {\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\Delta \sin ^{2}\theta }{\Delta \ \Sigma }}}.}$$ في إحداثيات كير-شيلد الديكارتية، تكون معادلات الفوتون هي ^{[ 32 ]}$${\displaystyle {\ddot {x}}+i{\ddot {y}}=4iMa{\frac {r}{\Sigma ^{2}}}W\left[{\dot {x}}+i{\dot {y}}-{\frac {x+iy}{r}}{\dot {r}}\right]-M(x+iy)\left({\frac {4r^{2}}{\Sigma }}-1\right){\frac {C-a^{2}W^{2}}{r\Sigma ^{2}}}}$$$${\displaystyle {\ddot {z}}=-Mz\left({\frac {4r^{2}}{\Sigma }}-1\right){\frac {C}{r\Sigma ^{2}}}}$$ أين​${\displaystyle C}$وهو مماثل لثابت كارتر و${\displaystyle W}$كمية مفيدة $${\displaystyle C=p_{\theta }^{2}+\left(aE\sin {\theta }-{\frac {L_{z}}{\sin {\theta }}}\right)^{2}}$$$${\displaystyle W={\dot {t}}-a\sin ^{2}{\theta }{\dot {\phi }}}$$

إذا قمنا بتعيين${\displaystyle a=0}$، تم استعادة الخطوط الجيوديسية لشوارزشيلد .

مجموعة التماثلات في مقياس كير هي مجموعة فرعية من مجموعة بوانكاريه ذات العشرة أبعاد، والتي تستحوذ على الموضع ثنائي الأبعاد للتفرد. تحتفظ هذه المجموعة بالإزاحات الزمنية (بعد واحد) والدورانات حول محور دورانها (بعد واحد). وبالتالي، فهي ثنائية الأبعاد. ومثل مجموعة بوانكاريه، تتكون من أربعة مكونات متصلة: مكون الوحدة؛ والمكون الذي يعكس الزمن وخط الطول؛ والمكون الذي يعكس عبر المستوى الاستوائي؛ والمكون الذي يقوم بالأمرين معًا. تُشفّر هذه التماثلات في متجهات كيلينغ الزمنية والسمتية.

في الفيزياء، ترتبط التناظرات عادةً بثوابت الحركة المحفوظة، وفقًا لنظرية نوثر . وكما هو موضح أعلاه، تحتوي معادلات الجيوديسية على أربع كميات محفوظة: إحداها ناتجة عن تعريف الجيوديسية، واثنتان ناتجتان عن تناظر الإزاحة والدوران الزمني لهندسة كير. أما الكمية المحفوظة الرابعة، فلا تنشأ من تناظر بالمعنى المتعارف عليه، ويُشار إليها عادةً بالتناظر الخفي. يُشفّر هذا التناظر في موتر كيلينغ، الذي تكون كمياته المحفوظة تربيعية بالنسبة للزخم.

يتم تحديد موقع أفق الحدث بواسطة الجذر الأكبر لـ${\displaystyle \Delta =0}$. عندما​${\displaystyle r_{\text{s}}/2<a}$( أي​${\displaystyle GM^{2}<Jc}$لا توجد حلول (ذات قيم حقيقية) لهذه المعادلة، ولا يوجد أفق حدث. وبدون آفاق حدث تحجبه عن بقية الكون، يتوقف الثقب الأسود عن كونه ثقبًا أسود، ويصبح بدلًا من ذلك نقطة تفرد عارية . ^{[ 33 ]}

على الرغم من أن حل كير يبدو متفردًا عند جذور ⁠${\displaystyle \Delta =0}$هذه في الواقع نقاط تفرد إحداثية، ومع اختيار مناسب لإحداثيات جديدة، يمكن توسيع حل كير بسلاسة عبر قيم ⁠${\displaystyle r}$تتوافق هذه الجذور مع هذه الجذور. يحدد الجذر الأكبر موقع أفق الحدث، بينما يحدد الجذر الأصغر موقع أفق كوشي . يمكن لمنحنى (متجه نحو المستقبل، يشبه الزمن) أن يبدأ من الخارج ويمر عبر أفق الحدث. بمجرد مروره عبر أفق الحدث، فإن${\displaystyle r}$يتصرف الإحداثي الآن كإحداثي زمني، لذا يجب أن يتناقص حتى يمر المنحنى عبر أفق كوشي. ^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}

يمكن توسيع مقياس كير، الذي يصف هندسة الزمكان حول ثقب أسود دوار، إلى ما وراء أفق الحدث الداخلي. في نظام إحداثيات بوير-ليندكويست${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$يقع هذا الأفق الداخلي عند

${\displaystyle r_{-}=M-{\sqrt {M^{2}-a^{2}}}.}$

عند عبور هذا الأفق الداخلي، يكون الإحداثي القطري${\displaystyle r}$يستمر في الانخفاض، بل ويصبح سلبياً.

تُعدّ هندسة كير مثالاً خاصاً على حلول الفراغ الثابتة والمتناظرة محورياً لمعادلة أينشتاين للمجال . وتُعرف عائلة جميع حلول الفراغ الثابتة والمتناظرة محورياً لمعادلة أينشتاين للفراغ باسم فراغات إرنست .

يرتبط حل كير أيضًا بحلول أخرى غير فراغية تُستخدم لنمذجة الثقوب السوداء. فعلى سبيل المثال، يُمثل حل كير-نيومان الكهروضوئي ثقبًا أسود (دوارًا) مزودًا بشحنة كهربائية، بينما يُمثل حل كير-فايديا للغبار الصفري ثقبًا (دوارًا) مع إشعاع كهرومغناطيسي ساقط.

الحالة الخاصة${\displaystyle a=0}$ينتج عن تطبيق مقياس كير مقياس شوارزشيلد، الذي يمثل نموذجًالثقب أسود غير دوار ، ساكن ومتناظر كرويًا ، في إحداثيات شوارزشيلد . (في هذه الحالة، تتلاشى جميع عزمات جيروش باستثناء الكتلة).

يُعدّ باطن هندسة كير، أو بالأحرى جزء منها، متساوي القياس محليًا مع فراغ تشاندراسيكار-فيراري CPW ، وهو مثال على نموذج الموجة المستوية المتصادمة . وهذا مثير للاهتمام بشكل خاص، لأن البنية العامة لحل CPW هذا تختلف تمامًا عن بنية هندسة كير، ومن حيث المبدأ، يمكن للباحث أن يأمل في دراسة هندسة (الجزء الخارجي من) باطن كير عن طريق ترتيب تصادم موجتين مستويتين جاذبيتين مناسبتين .

يمكن وصف كل فراغ إرنست مسطح تقاربياً بإعطاء سلسلة لانهائية من عزوم الأقطاب المتعددة النسبية ، حيث يمكن تفسير أول اثنين منها على أنهما كتلة وعزم الدوران لمصدر المجال. توجد صيغ بديلة لعزوم الأقطاب المتعددة النسبية منسوبة إلى هانسن، وثورن، وجيروش، والتي تتفق فيما بينها. وقد قام هانسن بحساب عزوم الأقطاب المتعددة النسبية لهندسة كير، وتبين أنها

${\displaystyle M_{n}=M[ia]^{n}}$

وبالتالي ، فإن الحالة الخاصة لفراغ شوارزشيلد (${\displaystyle a=0}$يُعطي ( ) " مصدر النقطة أحادي القطب " في النسبية العامة. ^{[ أ ]}

تنشأ عزوم ويل متعددة الأقطاب من معالجة دالة قياس معينة (تتوافق رسميًا مع جهد الجاذبية النيوتوني) والتي تظهر في مخطط ويل-بابابترو لعائلة إرنست لجميع حلول الفراغ المحورية المتناظرة الثابتة باستخدام عزوم ويل القياسية القياسية متعددة الأقطاب . وهي تختلف عن العزوم التي حسبها هانسن، المذكور أعلاه. بمعنى ما، تُحدد عزوم ويل (بشكل غير مباشر) فقط "توزيع الكتلة" لمصدر معزول، وتعتمد فقط على العزوم النسبية ذات الرتبة الزوجية . في حالة الحلول المتناظرة عبر المستوى الاستوائي، تتلاشى عزوم ويل ذات الرتبة الفردية . بالنسبة لحلول فراغ كير، تُعطى عزوم ويل القليلة الأولى بواسطة

${\displaystyle a_{0}=M,\qquad a_{1}=0,\qquad a_{2}=M\left({\frac {M^{2}}{3}}-a^{2}\right).}$

على وجه الخصوص، نرى أن فراغ شوارزشيلد له عزم ويل من الدرجة الثانية غير صفري، وهو ما يتوافق مع حقيقة أن "أحادي قطب ويل" هو حل فراغ تشازي-كيرزون ، وليس حل فراغ شوارزشيلد، والذي ينشأ من الجهد النيوتني لقضيب رقيق ذي كثافة منتظمة وطول محدود .

في نظرية النسبية العامة للمجالات الضعيفة، من الملائم معالجة المصادر المعزولة باستخدام نوع آخر من متعددات الأقطاب، التي تعمم عزوم فايل إلى عزوم متعددة الأقطاب للكتلة وعزوم متعددة الأقطاب للزخم ، والتي تُميز على التوالي توزيع كتلة المصدر وزخمه . هذه كميات متعددة المؤشرات، ويمكن ربط أجزائها المتناظرة وغير المتناظرة بشكل مناسب بالأجزاء الحقيقية والخيالية للعزوم النسبية في النظرية غير الخطية الكاملة بطريقة معقدة نوعًا ما.

قدّم بيريز وموريسكي مفهومًا بديلًا لـ "حلول أحادية القطب" من خلال توسيع رباعي NP القياسي لفراغات إرنست بدلالة قوى ⁠${\displaystyle r}$( الإحداثي القطري في مخطط ويل-بابابترو). وفقًا لهذه الصيغة:

• مصدر أحادي القطب ذو كتلة معزولة وعزم زاوي صفري هو عائلة فراغ شوارزشيلد (معامل واحد).
• مصدر أحادي القطب ذو كتلة معزولة مع زخم زاوي شعاعي هو عائلة فراغ تاوب-نات (معاملان؛ ليس مسطحًا تمامًا من الناحية التقاربية)،
• مصدر الكتلة الأحادية المعزولة مع الزخم الزاوي المحوري هو عائلة فراغ كير (معاملان).

وبهذا المعنى، فإن فراغات كير هي أبسط حلول الفراغ الثابتة والمتناظرة محورياً والمسطحة تقاربياً في النسبية العامة.

تُستخدم هندسة كير غالبًا كنموذج للثقب الأسود الدوار ، ولكن إذا اعتُبر الحل صالحًا فقط خارج منطقة مضغوطة (مع مراعاة قيود معينة)، فمن حيث المبدأ، يُمكن استخدامه كحل خارجي لنمذجة مجال الجاذبية حول جسم ضخم دوار غير الثقب الأسود، مثل النجم النيوتروني أو الأرض. يُناسب هذا تمامًا حالة عدم الدوران، حيث يُمكن مطابقة الفراغ الخارجي لشوارزشيلد مع باطن سائل شوارزشيلد ، بل ومع حلول السوائل المثالية المتناظرة كرويًا الساكنة الأكثر عمومية . مع ذلك، أثبتت مشكلة إيجاد باطن سائل مثالي دوار يُمكن مطابقته مع فراغ خارجي لكير، أو مع أي حل فراغ خارجي مسطح تقاربيًا، صعوبة بالغة. على وجه الخصوص، من المعروف الآن أن سائل والكوست ، الذي كان يُعتقد سابقًا أنه مرشح للمطابقة مع فراغ خارجي لكير، لا يقبل أي مطابقة من هذا القبيل. في الوقت الحالي، يبدو أن الحلول المعروفة تقتصر على الحلول التقريبية التي تُحاكي كرات سائلة تدور ببطء (وهي النظير النسبي للكرات الكروية المفلطحة ذات الكتلة والزخم الزاوي غير الصفريين، ولكن بعزوم متعددة الأقطاب العليا المتلاشية). ومع ذلك، فإن السطح الخارجي لقرص نويغباور-ماينل ، وهو حل دقيق للغبار يُحاكي قرصًا رقيقًا دوارًا، يقترب في حالة حدية من ⁠${\displaystyle GM^{2}=cJ}$هندسة كير . كما تُعرف حلول القرص الرقيق الفيزيائية التي تم الحصول عليها من خلال تحديد أجزاء من فضاء كير الزمني. ^{[ 38 ]}

• مقياس شوارزشيلد
• مقياس دي سيتر-شفارتشيلد
• مقياس كير-نيومان
• مقياس كير-نيومان-دي-سيتر
• مقياس رايسنر-نوردستروم
• مقياس هارتل-ثورن
• الدوران والقلب
• ثقب أسود دوار

• ويلتشير، ديفيد ل.؛ فيسر، مات؛ سكوت، سوزان م. ، محرران. (2009). زمكان كير: الثقوب السوداء الدوارة في النسبية العامة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-88512-6.
• ستيفاني، هانز؛ كرامر، ديتريش؛ ماكولوم، مالكولم؛ هوينسيليرز، كورنيليوس؛ هيرلت، إدوارد (2003). الحلول الدقيقة لمعادلات أينشتاين للمجال . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-46136-8.
• الأماكن القريبة : أنسورج، ماركوس. كلينواشتر، أندرياس؛ نيوجيباور، جيرنوت؛ بيتروف، ديفيد (2008). الأرقام النسبية للتوازن . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-86383-4.
• أونيل، باريت (1995). هندسة الثقوب السوداء من نوع كير . ويليسلي، ماساتشوستس: إيه كيه بيترز. رقم ISBN 978-1-56881-019-5.
• دينفيرنو، راي (1992). مدخل إلى نظرية النسبية لأينشتاين . أكسفورد: مطبعة كلارندون. ISBN 978-0-19-859686-8.راجع الفصل 19 للحصول على مقدمة سهلة القراءة على مستوى طلاب المرحلة الجامعية المتقدمة.
• تشاندراسيكار، س. (1992). النظرية الرياضية للثقوب السوداء . أكسفورد: مطبعة كلارندون. ISBN 978-0-19-850370-5.راجع الفصول من 6 إلى 10 لدراسة شاملة للغاية على مستوى الدراسات العليا المتقدمة.
• غريفيث، ج. ب. (1991). تصادم الموجات المستوية في النسبية العامة . أكسفورد: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-853209-5.انظر الفصل 13 للاطلاع على نموذج Chandrasekhar/Ferrari CPW.
• أدلر، رونالد؛ بازين، موريس؛ شيفر، مناحيم (1975). مقدمة في النسبية العامة (  الطبعة الثانية). نيويورك: ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-000423-8.انظر الفصل 7 .
• بنروز، ر. (1968). إد C. دي ويت وJ. ويلر (محرر). لقاءات باتيل . دبليو بنجامين، نيويورك. ص.  222.
• بيريز، أليخاندرو؛ موريسكي، أوزفالدو م. (2000). "توصيف الحلول الدقيقة من المفاهيم الفيزيائية التقاربية". arXiv : gr-qc/0012100v1 .توصيف ثلاث عائلات قياسية من حلول الفراغ كما هو مذكور أعلاه.
• سوتيريو، توماس ب.؛ أبوستولاتوس، ثيوتشاريس أ. (2004). "تصحيحات وتعليقات على عزوم الأقطاب المتعددة لزمكانات الفراغ الكهروضوئي المتناظرة محوريًا". فيزياء الكم الكلاسيكية . 21 (24): 5727-5733 . arXiv : gr-qc/0407064 . Bibcode : 2004CQGra..21.5727S . doi : 10.1088/0264-9381/21/24/003 . S2CID 16858122 . يعطي عزمات متعددة الأقطاب النسبية لفراغات إرنست (بالإضافة إلى عزمات متعددة الأقطاب النسبية الكهرومغناطيسية والجاذبية للتعميم المشحون).
• كارتر، ب. (1971). "الثقب الأسود المتناظر محوريًا له درجتان فقط من الحرية". رسائل المراجعة الفيزيائية . 26 (6): 331-333 . رمز Bibcode : 1971PhRvL..26..331C . doi : 10.1103/PhysRevLett.26.331 .
• والد، آر إم (1984). النسبية العامة . شيكاغو: مطبعة جامعة شيكاغو. ص 312-324 . ISBN  978-0-226-87032-8.
• كير، آر بي؛ شيلد، أ. (2009). "إعادة نشر: فئة جديدة من حلول الفراغ لمعادلات أينشتاين للمجال". النسبية العامة والجاذبية . 41 (10): 2485-2499 . Bibcode : 2009GReGr..41.2485K . doi : 10.1007/s10714-009-0857-z . S2CID 361088 . 
• كراسنسكي، أندريه؛ فيرداغير، إنريك؛ كير، روي باتريك (2009). "ملاحظة افتتاحية إلى: آر بي كير وأ. شيلد، فئة جديدة من حلول الفراغ لمعادلات أينشتاين للمجال" . النسبية العامة والجاذبية . 41 (10): 2469-2484 . Bibcode : 2009GReGr..41.2469K . doi : 10.1007/s10714-009-0856-0 ."...  تهدف هذه الملاحظة إلى أن تكون دليلاً للقراء الذين يرغبون في التحقق من جميع التفاصيل [في اشتقاق حل كير]  ..."