رسم بياني لوغاريتمي-لوغاريتمي

الموسوعة الحرة
رسم بياني لوغاريتمي للدوال y  = x (باللون الأزرق)، و y = x² ( باللون الأخضر)، و y = x³ ( باللون الأحمر). لاحظ علامات المقياس اللوغاريتمي على كل محور، وأن محوري log x و log y (حيث اللوغاريتمات تساوي صفرًا) يمثلان القيمتين x و y نفسيهما تساويان واحدًا.          
مقارنة بين الدوال الخطية والمقعرة والمحدبة عند رسمها باستخدام مقياس خطي (يسار) أو مقياس لوغاريتمي (يمين).

في العلوم والهندسة ، يُعد الرسم البياني اللوغاريتمي أو المخطط اللوغاريتمي رسمًا بيانيًا ثنائي الأبعاد للبيانات العددية، يستخدم مقياسًا لوغاريتميًا على كلٍ من المحورين الأفقي والرأسي. دوال القوى - علاقات من الشكلy=أxك{\displaystyle y=ax^{k}}تظهر هذه العلاقات كخطوط مستقيمة في الرسم البياني اللوغاريتمي، حيث يمثل الأس الميل، والمعامل يمثل نقطة التقاطع مع المحور الرأسي. لذا، تُعد هذه الرسوم البيانية مفيدة جدًا في تحديد هذه العلاقات وتقدير المعاملات . يمكن استخدام أي أساس للوغاريتم، ولكن يُستخدم عادةً الأساس 10 (اللوغاريتمات العشرية).

العلاقة مع أحاديات الحدود

بفرض معادلة أحادية الحدy=أxك،{\displaystyle y=ax^{k},}بأخذ اللوغاريتم للمعادلة (بأي أساس) نحصل على: سجل⁡y=كسجل⁡x+سجل⁡أ.{\displaystyle \log y=k\log x+\log a.}

جلسةX=سجل⁡x{\displaystyle X=\log x}وY=سجل⁡y،{\displaystyle Y=\log y,}وهذا يتوافق مع استخدام رسم بياني لوغاريتمي-لوغاريتمي، وينتج عنه المعادلة Y=مX+ب{\displaystyle Y=mX+b}

حيث m  = k هو ميل الخط ( الميل ) و b = log a هو نقطة التقاطع على محور (log y )، أي عندما log x = 0، لذلك، بعكس اللوغاريتمات، فإن a هي قيمة y المقابلة لـ x = 1. [ 1 ]          

المعادلات

ستكون معادلة الخط على مقياس لوغاريتمي-لوغاريتمي كما يلي: سجل10⁡F(x)=مسجل10⁡x+ب،{\displaystyle \log _{10}F(x)=m\log _{10}x+b,}F(x)=xم⋅10ب،{\displaystyle F(x)=x^{m}\cdot 10^{b},} حيث m هو الميل و b هي نقطة التقاطع على الرسم البياني اللوغاريتمي.

ميل الرسم البياني اللوغاريتمي

إيجاد ميل الرسم البياني اللوغاريتمي باستخدام النسب

لإيجاد ميل الرسم البياني، يتم اختيار نقطتين على المحور السيني ، ولتكن x1 و x2 . باستخدام المعادلة التالية: سجل⁡[F(x1)]=مسجل⁡(x1)+ب،{\displaystyle \log[F(x_{1})]=m\log(x_{1})+b,} و سجل⁡[F(x2)]=مسجل⁡(x2)+ب.{\displaystyle \log[F(x_{2})]=m\log(x_{2})+b.} يتم إيجاد الميل m عن طريق حساب الفرق: م=سجل⁡(F2)-سجل⁡(F1)سجل⁡(x2)-سجل⁡(x1)=سجل⁡(F2/F1)سجل⁡(x2/x1)،{\displaystyle m={\frac {\log(F_{2})-\log(F_{1})}{\log(x_{2})-\log(x_{1})}}={\frac {\log(F_{2}/F_{1})}{\log(x_{2}/x_{1})}},} حيث F1 اختصار لـ F ( x1 ) و F2 اختصار لـ F ( x2 ) . يوضح الشكل على اليمين الصيغة. لاحظ أن الميل في مثال الشكل سالب . كما تعطي الصيغة ميلًا سالبًا، كما يتضح من الخاصية التالية للوغاريتم: سجل⁡(x1/x2)=-سجل⁡(x2/x1).{\displaystyle \log(x_{1}/x_{2})=-\log(x_{2}/x_{1}).}

إيجاد الدالة من الرسم البياني اللوغاريتمي-اللوغاريتمي

يتم عكس الإجراء المذكور أعلاه لإيجاد شكل الدالة F ( x ) باستخدام رسمها البياني اللوغاريتمي (المفترض) المعروف. لإيجاد الدالة F ، نختار نقطة ثابتة ( x₀ , F₀ )، حيث F₀ اختصار لـ F ( x₀ ) ، تقع على الخط المستقيم في الرسم البياني أعلاه، ثم نختار نقطة أخرى اختيارية (x₁, F₁ ) على نفس الرسم البياني . بعد ذلك ، من صيغة الميل المذكورة أعلاه :م=سجل⁡(F1/F0)سجل⁡(x1/x0){\displaystyle m={\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}}} مما يؤدي إلى سجل⁡(F1/F0)=مسجل⁡(x1/x0)=سجل⁡[(x1/x0)م].{\displaystyle \log(F_{1}/F_{0})=m\log(x_{1}/x_{0})=\log[(x_{1}/x_{0})^{m}].} لاحظ أن 10 log 10 ( F 1 ) = F 1 . لذلك، يمكن عكس اللوغاريتمات لإيجاد: F1F0=(x1x0)م{\displaystyle {\frac {F_{1}}{F_{0}}}=\left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}} أو F1=F0x0مxم،{\displaystyle F_{1}={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}\,x^{m},} وهذا يعني أن F(x)=جoنsتأنت⋅xم.{\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}.} بمعنى آخر، تتناسب F طرديًا مع x مرفوعةً إلى قوة ميل الخط المستقيم في الرسم البياني اللوغاريتمي المزدوج. وبالتحديد، فإن الخط المستقيم على الرسم البياني اللوغاريتمي المزدوج الذي يحتوي على النقطتين ( x₀ , F₀ ) و ( x₁ , F₁ ) سيكون له الدالة التالية :  F(x)=F0(xx0)سجل⁡(F1/F0)سجل⁡(x1/x0)،{\displaystyle F(x)={F_{0}}\left({\frac {x}{x_{0}}}\right)^{\frac {\log(F_{1}/F_{0})}{\log(x_{1}/x_{0})}},} وبالطبع، فإن العكس صحيح أيضاً: أي دالة من الشكل F(x)=جoنsتأنت⋅xم{\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}} سيكون له خط مستقيم كتمثيل بياني لوغاريتمي-لوغاريتمي، حيث يكون ميل الخط هو m . 

إيجاد المساحة تحت قطعة مستقيمة في الرسم البياني اللوغاريتمي المزدوج

لحساب المساحة تحت قطعة مستقيمة متصلة من رسم بياني لوغاريتمي (أو لتقدير مساحة خط شبه مستقيم)، استخدم الدالة المعرفة سابقًا F(x)=جoنsتأنت⋅xم.{\displaystyle F(x)=\mathrm {constant} \cdot x^{m}.} ثم قم بتكاملها. وبما أنها تعمل فقط على تكامل محدد (نقطتي نهاية محددتين)، فإن المساحة A أسفل الرسم البياني تأخذ الشكل التالي: أ(x)=∫x0x1F(x)دx=جoنsتأنتم+1⋅xم+1|x0x1{\displaystyle A(x)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\left.{\frac {\mathrm {constant} }{m+1}}\cdot x^{m+1}\right|_{x_{0}}^{x_{1}}}

بإعادة ترتيب المعادلة الأصلية وتعويض قيم النقطة الثابتة، نجد أن جoنsتأنت=F0x0م{\displaystyle \mathrm {constant} ={\frac {F_{0}}{x_{0}^{m}}}}

بالتعويض مرة أخرى في التكامل، ستجد أنه بالنسبة لـ A على x من 0 إلى x 1

أ=F0/x0مم+1⋅(x1م+1-x0م+1)سجل⁡أ=سجل⁡[F0/x0مم+1⋅(x1م+1-x0م+1)]=سجل⁡F0م+1-سجل⁡1x0م+سجل⁡(x1م+1-x0م+1)=سجل⁡F0م+1+سجل⁡(x1م+1-x0م+1x0م)=سجل⁡F0م+1+سجل⁡(x1مx0م⋅x1-x0م+1x0م){\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\[1.2ex]\log A&=\log \left[{\frac {F_{0}/x_{0}^{m}}{m+1}}\cdot (x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\right]\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}-\log {\frac {1}{x_{0}^{m}}}+\log(x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1})\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m+1}-x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\\&=\log {\frac {F_{0}}{m+1}}+\log \left({\frac {x_{1}^{m}}{x_{0}^{m}}}\cdot x_{1}-{\frac {x_{0}^{m+1}}{x_{0}^{m}}}\right)\end{aligned}}}

لذلك،أ=F0م+1⋅[x1⋅(x1x0)م-x0]{\displaystyle A={\frac {F_{0}}{m+1}}\cdot \left[x_{1}\cdot \left({\frac {x_{1}}{x_{0}}}\right)^{m}-x_{0}\right]}

بالنسبة لـ m  =  −1، يصبح التكامل أ(م=-1)=∫x0x1F(x)دx=∫x0x1جoنsتأنتxدx=F0x0-1∫x0x1دxx=F0⋅x0⋅ln⁡x|x0x1أ(م=-1)=F0⋅x0⋅ln⁡x1x0{\displaystyle {\begin{aligned}A_{(m=-1)}&=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x)\,dx=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {\mathrm {constant} }{x}}\,dx={\frac {F_{0}}{x_{0}^{-1}}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\frac {dx}{x}}=F_{0}\cdot x_{0}\cdot {\ln x}{\Big |}_{x_{0}}^{x_{1}}\\A_{(m=-1)}&=F_{0}\cdot x_{0}\cdot \ln {\frac {x_{1}}{x_{0}}}\end{aligned}}}

نماذج الانحدار الخطي اللوغاريتمي

تُستخدم الرسوم البيانية اللوغاريتمية المزدوجة غالبًا لتصوير نماذج الانحدار الخطي اللوغاريتمي المزدوج ذات الأخطاء التي تتبع التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي أو اللوغاريتمي اللوجستي تقريبًا . في هذه النماذج، بعد تحويل المتغيرات التابعة والمستقلة لوغاريتميًا ، يمكن تركيب نموذج انحدار خطي بسيط ، حيث تصبح الأخطاء متجانسة التباين . يُعد هذا النموذج مفيدًا عند التعامل مع البيانات التي تُظهر نموًا أو اضمحلالًا أُسّيًا، بينما تستمر الأخطاء في النمو مع نمو قيمة المتغير المستقل (أي خطأ غير متجانس التباين ).

كما سبق، في النموذج الخطي اللوغاريتمي، تُعبّر العلاقة بين المتغيرات عن طريق قانون القوة. كل تغيير بمقدار وحدة واحدة في المتغير المستقل سيؤدي إلى تغيير ثابت في النسبة المئوية للمتغير التابع. ويُعبّر عن النموذج كما يلي:

y=أ⋅xب⋅هـϵ{\displaystyle y=a\cdot x^{b}\cdot e^{\epsilon }}

بأخذ اللوغاريتم للطرفين، نحصل على:

سجل⁡(y)=سجل⁡(أ)+ب⋅سجل⁡(x)+ϵ{\displaystyle \log(y)=\log(a)+b\cdot \log(x)+\epsilon }

هذه معادلة خطية بدلالة لوغاريتماتx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}، معسجل⁡(أ){\displaystyle \log(a)}كنقطة اعتراض وب{\displaystyle b}كمنحدر. الذي فيهϵ∼طبيعي(μ،σ2){\displaystyle \epsilon \sim {\textrm {Normal}}(\mu ,\sigma ^{2})}، وهـϵ∼التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي(μ،σ2){\displaystyle e^{\epsilon }\sim {\textrm {Log-Normal}}(\mu ,\sigma ^{2})}.

الشكل 1: تمثيل بيانات التوزيع الطبيعي اللوغاريتمي

يوضح الشكل 1 كيفية ظهور ذلك. يعرض الشكل رسمين بيانيين تم إنشاؤهما باستخدام 10000 نقطة محاكاة. الرسم البياني الأيسر، بعنوان "خط مقعر مع ضوضاء لوغاريتمية طبيعية"، يعرض مخططًا بيانيًا للبيانات المرصودة (y) مقابل المتغير المستقل (x). يمثل الخط الأحمر "خط الوسيط"، بينما يمثل الخط الأزرق "خط المتوسط". يوضح هذا الرسم البياني مجموعة بيانات ذات علاقة أسية بين المتغيرات، ممثلة بخط مقعر.

عند تحويل كلا المتغيرين لوغاريتميًا، كما هو موضح في الرسم البياني الأيمن من الشكل 1، بعنوان "خط لوغاريتمي-لوغاريتمي خطي مع ضوضاء طبيعية"، تصبح العلاقة خطية. يعرض هذا الرسم البياني أيضًا مخططًا مبعثرًا للبيانات المرصودة مقابل المتغير المستقل، ولكن بعد أن يكون كلا المحورين على مقياس لوغاريتمي. هنا، يكون كل من خط المتوسط ​​وخط الوسيط هو الخط نفسه (الأحمر). يسمح لنا هذا التحويل بتطبيق نموذج انحدار خطي بسيط (والذي يمكن تحويله بعد ذلك مرة أخرى إلى المقياس الأصلي - كخط الوسيط).

الشكل 2: مقاييس خطأ النافذة المنزلقة - بيانات لوغاريتمية طبيعية

يُظهر التحويل من الرسم البياني الأيسر إلى الرسم البياني الأيمن في الشكل 1 تأثير التحويل اللوغاريتمي على توزيع التشويش في البيانات. في الرسم البياني الأيسر، يبدو أن التشويش يتبع توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا ، وهو توزيع ملتوٍ نحو اليمين ويصعب التعامل معه. أما في الرسم البياني الأيمن، وبعد التحويل اللوغاريتمي، فيبدو أن التشويش يتبع توزيعًا طبيعيًا ، وهو توزيع أسهل في الفهم والنمذجة.

يُحلل هذا التوحيد للضوضاء بمزيد من التفصيل في الشكل 2، الذي يعرض رسمًا بيانيًا لثلاثة مقاييس للخطأ ( متوسط ​​الخطأ المطلق - MAE، وجذر متوسط ​​مربع الخطأ - RMSE، ومتوسط ​​الخطأ اللوغاريتمي المطلق - MALE) محسوبة على نافذة منزلقة بحجم 28 على المحور السيني. يُمثل المحور الصادي الخطأ مقابل المتغير المستقل (x). يُمثل كل مقياس خطأ بلون مختلف، مع خط التنعيم المقابل فوق الخط الأصلي (نظرًا لأن هذه بيانات محاكاة فقط، فإن تقدير الخطأ غير دقيق تمامًا). توفر مقاييس الخطأ هذه مقياسًا للضوضاء مع تغيرها عبر قيم x المختلفة.

تُستخدم النماذج الخطية اللوغاريتمية على نطاق واسع في مجالات متنوعة، تشمل الاقتصاد وعلم الأحياء والفيزياء، حيث تُظهر العديد من الظواهر سلوكًا يخضع لقانون القوة. كما أنها مفيدة في تحليل الانحدار عند التعامل مع البيانات غير المتجانسة التباين، إذ يُمكن أن يُساعد التحويل اللوغاريتمي في تثبيت التباين.

التطبيقات

رسم بياني لوغاريتمي مزدوج يلخص المعلومات التي تغطي أكثر من رتبة مقدارية واحدة على طول كلا المحورين.

تُعدّ هذه الرسوم البيانية مفيدة عند الحاجة إلى تقدير المعاملين a و b من البيانات العددية. وتُستخدم مواصفات كهذه بكثرة في علم الاقتصاد .

أحد الأمثلة على ذلك هو تقدير دوال الطلب على النقود بناءً على نظرية المخزون ، حيث يمكن افتراض أن الطلب على النقود في الوقت t يُعطى بواسطة مت=أRتبYتجيوت،{\displaystyle M_{t}=AR_{t}^{b}Y_{t}^{c}U_{t},} حيث M هي الكمية الحقيقية للنقود التي يحتفظ بها الجمهور، وR هو معدل العائد على أصل بديل ذي عائد أعلى من العائد على النقود، وY هو الدخل الحقيقي للجمهور ، وU هو حد خطأ يُفترض أنه يتبع التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي ، وA هو معامل المقياس المراد تقديره، و b و c هما معاملا المرونة المراد تقديرهما. بأخذ اللوغاريتمات نحصل على مت=أ+برت+جyت+uت،{\displaystyle m_{t}=a+br_{t}+cy_{t}+u_{t},} حيث m = log M ، و a = log A ، و r = log R ، و y = log Y ، و u = log U، مع كون u موزعة توزيعًا طبيعيًا . يمكن تقدير هذه المعادلة باستخدام طريقة المربعات الصغرى العادية .

ومن الأمثلة الاقتصادية الأخرى تقدير دالة إنتاج كوب-دوغلاس للشركة ، والتي تمثل الجانب الأيمن من المعادلة. سؤالت=أشمالتαكتβيوت،{\displaystyle Q_{t}=AN_{t}^{\alpha }K_{t}^{\beta }U_{t},} حيث Q هي كمية الإنتاج التي يمكن إنتاجها شهريًا، وN هو عدد ساعات العمل المستخدمة في الإنتاج شهريًا، و K هو عدد ساعات رأس المال المادي المستخدم شهريًا، و U هو حد الخطأ المفترض توزيعه توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا، و A ،α{\displaystyle \alpha }، وβ{\displaystyle \beta }هي معلمات يجب تقديرها. بأخذ اللوغاريتمات نحصل على معادلة الانحدار الخطي qت=أ+αنت+βكت+uت{\displaystyle q_{t}=a+\alpha n_{t}+\beta k_{t}+u_{t}} حيث q = log Q ، a = log A ، n = log N ، k = log K ، و u = log U .

يمكن أيضًا استخدام الانحدار اللوغاريتمي لتقدير البعد الكسري لكسر طبيعي .

ومع ذلك، فإن الاتجاه المعاكس - أي ملاحظة أن البيانات تظهر كخط تقريبي على مقياس لوغاريتمي-لوغاريتمي والاستنتاج بأن البيانات تتبع قانون القوة - ليس صحيحًا دائمًا. [ 2 ]

رسم بياني لوغاريتمي للدورة T مقابل نصف المحور الأكبر a لبعض مدارات النظام الشمسي يوضح أن a³ / T² ثابت (الخط الأخضر)، وهو قانون كبلر الثالث لحركة الكواكب

في الواقع، تظهر العديد من الأشكال الوظيفية الأخرى خطية تقريبًا على المقياس اللوغاريتمي المزدوج، وقد يكون تقييم جودة مطابقة الانحدار الخطي للبيانات اللوغاريتمية باستخدام معامل التحديد ( R² ) غير صحيح، إذ قد لا تتحقق افتراضات نموذج الانحدار الخطي، مثل الخطأ الغاوسي. إضافةً إلى ذلك، قد تُظهر اختبارات مطابقة الشكل اللوغاريتمي المزدوج قوة إحصائية منخفضة، نظرًا لانخفاض احتمالية رفض قوانين القوة في وجود أشكال وظيفية حقيقية أخرى. في حين أن الرسوم البيانية اللوغاريتمية المزدوجة البسيطة قد تكون مفيدة في الكشف عن قوانين القوة المحتملة، وقد استُخدمت منذ عهد باريتو في تسعينيات القرن التاسع عشر، فإن التحقق من صحتها كقوانين قوة يتطلب إحصاءات أكثر تعقيدًا. [ 2 ]

تُعدّ هذه الرسوم البيانية مفيدة للغاية عند جمع البيانات بتغيير المتغير المتحكم وفقًا لدالة أسية، حيث يُفضّل تمثيل المتغير المتحكم x على مقياس لوغاريتمي، ما يُتيح توزيع نقاط البيانات بانتظام بدلًا من تقاربها عند القيم المنخفضة. ويمكن تمثيل المتغير الناتج y خطيًا، ما يُنتج رسمًا بيانيًا خطيًا لوغاريتميًا (log x , y )، أو يمكن أيضًا حساب لوغاريتمه، ما يُنتج رسمًا بيانيًا لوغاريتميًا مزدوجًا (log x , log y ).   

مخطط بود (وهو رسم بياني لاستجابة التردد لنظام ما) هو أيضًا مخطط لوغاريتمي-لوغاريتمي.

في الحركية الكيميائية ، يأخذ الشكل العام لاعتماد معدل التفاعل على التركيز شكل قانون القوة ( قانون فعل الكتلة )، لذا فإن الرسم البياني اللوغاريتمي مفيد لتقدير معلمات التفاعل من التجربة.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ بورن، موراي. "7. الرسوم البيانية اللوغاريتمية واللوغاريتمية شبه اللوغاريتمية" . www.intmath.com . تاريخ الاسترجاع: 15-10-2024 .
  2. 1 2 كلاوسيت، أ.؛ شاليزي، سي آر؛ نيومان، إم إي جيه ( 2009). "توزيعات قانون القوة في البيانات التجريبية". مجلة SIAM Review . 51 (4): 661-703 . arXiv : 0706.1062 . Bibcode : 2009SIAMR..51..661C . doi : 10.1137/070710111 . S2CID 9155618 .