جبر الحوادث

إن جبر الوقوع مماثل لجبر المجموعة ؛ في الواقع، كل من جبر المجموعة وجبر الوقوع هما حالتان خاصتان من جبر الفئة ، معرفتان بشكل مماثل؛ المجموعات والمجموعات المرتبة جزئياً هي أنواع خاصة من الفئات .

بالنسبة للترتيب${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq ),}$يتكون جبر الحدوث المختزل من الدوال${\displaystyle f(a,b)}$ثابت تحت الإزاحة،${\displaystyle f(a+k,b+k)=f(a,b)}$للجميع${\displaystyle k\geq 0,}$بحيث يكون لها نفس القيمة على الفترات المتماثلة [ a + k , b + k ] و[ a , b ]. لنرمز بـ t إلى الدالة التي تحقق الشرطين t ( a , a + 1) = 1 و t ( a , b ) = 0 فيما عدا ذلك، وهي نوع من دوال دلتا الثابتة على فئات تماثل الفترات. قوى هذه الدالة في جبر الوقوع هي دوال دلتا ^{الثابتة} الأخرى tn ⁽ a , a + n ) = 1 و tn ( x , y ) = 0 فيما عدا ذلك. تشكل هذه الدوال أساسًا لجبر الوقوع المختزل، ويمكننا كتابة أي دالة ثابتة على النحو التالي :${\displaystyle \textstyle f=\sum _{n\geq 0}f(0,n)t^{n}}$توضح هذه الرموز التشاكل بين جبر الوقوع المختزل وحلقة متسلسلات القوى الرسمية${\displaystyle R[[t]]}$على الأعداد القياسية R، والمعروفة أيضًا بحلقة الدوال المولدة العادية . يمكننا كتابة دالة زيتا على النحو التالي:${\displaystyle \zeta =1+t+t^{2}+\cdots ={\tfrac {1}{1-t}},}$مقلوب دالة موبيوس${\displaystyle \mu =1-t.}$

بالنسبة لمجموعة جزئية بولية مرتبة منتهية${\displaystyle S\subset \{1,2,3,\ldots \}}$مرتبة حسب الإدماج${\displaystyle S\subset T}$، يتكون جبر الحدوث المختزل من دوال ثابتة${\displaystyle f(S,T),}$تُعرَّف الدالة لتكون لها نفس القيمة على الفترات المتماثلة [ S , T ] و[ S ′ , T ′ ] حيث | T  \ S | = | T ′ \ S ′ |. لنفترض أن t هي دالة دلتا الثابتة، حيث t ( S , T ) = 1 عندما | T \ S | = 1 و t ( S , T ) = 0 فيما عدا ذلك. قوى هذه الدالة هي:        $${\displaystyle t^{n}(S,T)=\,\sum t(T_{0},T_{1})\,t(T_{1},T_{2})\dots t(T_{n-1},T_{n})=\left\{{\begin{array}{cl}n!&{\text{if}}\,\,|T\smallsetminus S|=n\\0&{\text{otherwise,}}\end{array}}\right.}$$حيث يكون المجموع على جميع السلاسل${\displaystyle S=T_{0}\subset T_{1}\subset \cdots \subset T_{n}=T,}$والحدود غير الصفرية الوحيدة تحدث للسلاسل المشبعة ذات${\displaystyle |T_{i}\smallsetminus T_{i-1}|=1;}$بما أن هذه القيم تُقابل تباديل العدد n ، فإننا نحصل على القيمة الوحيدة غير الصفرية n !. وبالتالي، فإن دوال دلتا الثابتة هي القوى المقسومة${\displaystyle {\tfrac {t^{n}}{n!}},}$ويمكننا كتابة أي دالة ثابتة على النحو التالي:${\displaystyle \textstyle f=\sum _{n\geq 0}f(\emptyset ,[n]){\frac {t^{n}}{n!}},}$حيث [ n ] = {1, ..., n }. وهذا يُعطي تماثلاً طبيعياً بين جبر الوقوع المُختزل وحلقة الدوال المولدة الأسية . دالة زيتا هي${\displaystyle \textstyle \zeta =\sum _{n\geq 0}{\frac {t^{n}}{n!}}=\exp(t),}$باستخدام دالة موبيوس: $${\displaystyle \mu ={\frac {1}{\zeta }}=\exp(-t)=\sum _{n\geq 0}(-1)^{n}{\frac {t^{n}}{n!}}.}$$ في الواقع، تثبت هذه الحسابات باستخدام متسلسلات القوى الرسمية أن${\displaystyle \mu (S,T)=(-1)^{|T\smallsetminus S|}.}$يمكن تفسير العديد من متواليات العد التوافقية التي تتضمن مجموعات فرعية أو كائنات مصنفة من حيث جبر الحدوث المختزل، وحسابها باستخدام الدوال المولدة الأسية.

لنفترض المجموعة الجزئية المرتبة D من الأعداد الصحيحة الموجبة مرتبة حسب قابلية القسمة ، ويرمز لها بـ${\displaystyle a\,|\,b.}$يتكون جبر الحدوث المختزل من الدوال${\displaystyle f(a,b)}$التي لا تتغير تحت عملية الضرب:${\displaystyle f(ka,kb)=f(a,b)}$للجميع${\displaystyle k\geq 1.}$(يُعدّ هذا التكافؤ الضربي للفترات علاقة أقوى بكثير من تماثل المجموعات المرتبة جزئيًا؛ على سبيل المثال، بالنسبة للأعداد الأولية p ، فإن الفترات المكونة من عنصرين [1، p ] غير متكافئة جميعها). بالنسبة للدالة الثابتة، تعتمد f ( a , b ) فقط على b / a ، لذا فإن الأساس الطبيعي يتكون من دوال دلتا الثابتة.${\displaystyle \delta _{n}}$محدد بواسطة${\displaystyle \delta _{n}(a,b)=1}$إذا كان b / a = n و 0 خلاف ذلك؛ فإنه يمكن كتابة أي دالة ثابتة${\displaystyle \textstyle f=\sum _{n\geq 0}f(1,n)\,\delta _{n}.}$

حاصل ضرب دالتين دلتا ثابتتين هو:

${\displaystyle (\delta _{n}\delta _{m})(a,b)=\sum _{a|c|b}\delta _{n}(a,c)\,\delta _{m}(c,b)=\delta _{nm}(a,b),}$

بما أن الحد الوحيد غير الصفري يأتي من c = na و b = mc = nma . وبالتالي، نحصل على تماثل من جبر الوقوع المختزل إلى حلقة متسلسلات ديريشليه الرسمية عن طريق إرسال${\displaystyle \delta _{n}}$ل${\displaystyle n^{-s}\!,}$بحيث يتوافق f مع${\textstyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(1,n)}{n^{s}}}.}$

دالة زيتا في جبر الحوادث ζ _D ( a , b ) = 1 تُقابل دالة زيتا الكلاسيكية لريمان${\displaystyle \zeta (s)=\textstyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}},}$وجود علاقة متبادلة${\textstyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},}$أين${\displaystyle \mu (n)=\mu _{D}(1,n)}$هي دالة موبيوس الكلاسيكية في نظرية الأعداد. تنشأ العديد من الدوال الحسابية الأخرى بشكل طبيعي ضمن جبر التداخل المختزل، وبشكل مكافئ بدلالة متسلسلات ديريشليه. على سبيل المثال، دالة القاسم${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$هو مربع دالة زيتا،${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\zeta ^{2}\!(1,n),}$حالة خاصة من النتيجة المذكورة أعلاه والتي${\displaystyle \zeta ^{2}\!(x,y)}$يُعطي عدد العناصر في الفترة [ x , y ]؛ ما يُعادلها،${\textstyle \zeta (s)^{2}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{0}(n)}{n^{s}}}.}$

تُسهّل بنية الضرب لمجموعة القواسم المرتبة حساب دالة موبيوس الخاصة بها. ويؤدي التحليل الفريد إلى عوامل أولية إلى أن D متماثل مع جداء ديكارتي لانهائي${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \dots }$، مع الترتيب المحدد عن طريق المقارنة الإحداثية: ${\displaystyle n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\dots }$، أين${\displaystyle p_{k}}$هو العدد الأولي ^رقم k ، ويتوافق مع تسلسل أسسه${\displaystyle (e_{1},e_{2},\dots ).}$الآن، دالة موبيوس للمجموعة D هي حاصل ضرب دوال موبيوس لمجموعات العوامل الجزئية، المحسوبة أعلاه، مما يعطي الصيغة الكلاسيكية:

${\displaystyle \mu (n)=\mu _{D}(1,n)=\prod _{k\geq 1}\mu _{\mathbb {N} }(0,e_{k})\,=\,\left\{{\begin{array}{cl}(-1)^{d}&{\text{for }}n{\text{ squarefree with }}d{\text{ prime factors}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{array}}\right.}$

يُفسر هيكل الضرب أيضًا الضرب الكلاسيكي لأويلر لدالة زيتا. تتوافق دالة زيتا للمصفوفة D مع الضرب الديكارتي لدوال زيتا للعوامل، المحسوبة أعلاه على النحو التالي:${\textstyle {\frac {1}{1-t}},}$لهذا السبب.${\textstyle \zeta _{D}\cong \prod _{k\geq 1}\!{\frac {1}{1-t}},}$حيث يمثل الجانب الأيمن حاصل ضرب ديكارتي. بتطبيق التشاكل الذي يرسل t في ^العامل k إلى${\displaystyle p_{k}^{-s}}$، فنحصل على جداء أويلر المعتاد.