مصفوفة التحويل

ومع ذلك، توجد قاعدة خاصة للمؤثر الذي تشكل مكوناته مصفوفة قطرية ، وبالتالي، ينخفض ​​تعقيد الضرب إلى n . كونها قطرية يعني أن جميع المعاملات${\displaystyle a_{i,j}}$يستثني${\displaystyle a_{i,i}}$الأصفار تترك حدًا واحدًا فقط في المجموع${\textstyle \sum a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$أعلاه. العناصر القطرية المتبقية،${\displaystyle a_{i,i}}$تُعرف هذه القيم باسم القيم الذاتية ويُشار إليها بـ${\displaystyle \lambda _{i}}$في المعادلة المحددة، والتي تختزل إلى${\displaystyle A\mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}}$تُعرف المعادلة الناتجة باسم معادلة القيم الذاتية . ^{[ 5 ]} يتم اشتقاق المتجهات الذاتية والقيم الذاتية منها عبر متعددة الحدود المميزة .

باستخدام عملية القطرنة ، غالباً ما يكون من الممكن التحويل من وإلى القواعد الذاتية.

التمدد في المستوى xy هو تحويل خطي يُكبّر جميع المسافات في اتجاه معين بمعامل ثابت، دون التأثير على المسافات في الاتجاه العمودي. نقتصر هنا على دراسة التمددات على طول المحورين x و y. يأخذ التمدد على طول المحور x الشكل x' = kx ; y' = y، حيث k ثابت موجب . (لاحظ أنه إذا كان k > 1 ، فإن هذا يُعدّ تمددًا حقيقيًا؛ أما إذا كان k < 1 ، فهو انضغاط، ولكننا نُطلق عليه أيضًا تمددًا. كذلك، إذا كان k = 1 ، فإن التحويل يكون تحويلًا محايدًا، أي أنه لا يُحدث أي تغيير).

المصفوفة المرتبطة بتمدد بمعامل k على طول المحور x تُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1\end{bmatrix}}}$$

وبالمثل، فإن التمدد بمعامل k على طول المحور y يكون على الصورة x' = x ; y' = ky ، لذا فإن المصفوفة المرتبطة بهذا التحويل هي $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&k\end{bmatrix}}}$$

إذا تم دمج الامتدادين أعلاه مع القيم المتبادلة، فإن مصفوفة التحويل تمثل عملية ضغط : $${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}.}$$ يتحول مربع ذو أضلاع موازية للمحاور إلى مستطيل له نفس مساحة المربع. ويبقى تمدد المربع وانضغاطه المتبادلان ثابتين في المساحة.

للدوران بزاوية θ عكس اتجاه عقارب الساعة (الاتجاه الموجب) حول نقطة الأصل ، يكون الشكل الوظيفي كما يلي:${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$و${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$. عند كتابتها في شكل مصفوفة، تصبح كالتالي: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

وبالمثل، بالنسبة للدوران في اتجاه عقارب الساعة (الاتجاه السالب) حول نقطة الأصل، يكون الشكل الوظيفي هو${\displaystyle x'=x\cos \theta +y\sin \theta }$و${\displaystyle y'=-x\sin \theta +y\cos \theta }$صيغة المصفوفة هي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

تفترض هذه الصيغ أن المحور السيني يشير إلى اليمين والمحور الصادي يشير إلى الأعلى.

بالنسبة لرسم خرائط القص (المشابهة بصريًا للميل)، هناك احتمالان.

القص الموازي للمحور السيني له${\displaystyle x'=x+ky}$و${\displaystyle y'=y}$وعند كتابتها في شكل مصفوفة، تصبح كالتالي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

القص الموازي للمحور y له${\displaystyle x'=x}$و${\displaystyle y'=y+kx}$، والتي لها شكل مصفوفة: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

للتأمل في خط يمر بنقطة الأصل، دع${\displaystyle \mathbf {l} =(l_{x},l_{y})}$ليكن متجهًا في اتجاه الخط. عندئذٍ تكون مصفوفة التحويل كالتالي: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {l} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}l_{y}^{2}-l_{x}^{2}&2l_{x}l_{y}\\2l_{x}l_{y}&l_{x}^{2}-l_{y}^{2}\end{bmatrix}}}$$

في ثلاثة أبعاد، مع${\displaystyle \mathbf {l} =(l_{x},l_{y},l_{z})}$، مصفوفة التحويل هي:

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {l} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}l_{y}^{2}+l_{z}^{2}-l_{x}^{2}&2l_{x}l_{y}&2l_{x}l_{z}\\2l_{y}l_{x}&l_{x}^{2}+l_{z}^{2}-l_{y}^{2}&2l_{y}l_{z}\\2l_{z}l_{x}&2l_{z}l_{y}&l_{x}^{2}+l_{y}^{2}-l_{z}^{2}\end{bmatrix}}}$$

لإسقاط متجه عموديًا على خط يمر بنقطة الأصل، دع${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y})}$ليكن متجهًا في اتجاه الخط. عندئذٍ تكون مصفوفة التحويل كالتالي: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{bmatrix}}}$$

كما هو الحال مع الانعكاسات، فإن الإسقاط المتعامد على خط لا يمر عبر نقطة الأصل هو تحويل تآلفي وليس خطي.

تُعدّ الإسقاطات المتوازية تحويلات خطية، ويمكن تمثيلها ببساطة باستخدام مصفوفة. أما الإسقاطات المنظورية فليست كذلك، ولتمثيلها باستخدام مصفوفة، يمكن استخدام الإحداثيات المتجانسة .

المصفوفة اللازمة لتدوير زاوية θ حول أي محور محدد بواسطة متجه الوحدة ( x , y , z ) هي ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}xx(1-\cos \theta )+\cos \theta &yx(1-\cos \theta )-z\sin \theta &zx(1-\cos \theta )+y\sin \theta \\xy(1-\cos \theta )+z\sin \theta &yy(1-\cos \theta )+\cos \theta &zy(1-\cos \theta )-x\sin \theta \\xz(1-\cos \theta )-y\sin \theta &yz(1-\cos \theta )+x\sin \theta &zz(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{bmatrix}}.}$$

لعكس نقطة عبر مستوى${\displaystyle ax+by+cz=0}$(الذي يمر عبر نقطة الأصل)، يمكن للمرء أن يستخدم${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{\mathrm {T} }}$، أين${\displaystyle \mathbf {I} }$هي مصفوفة الوحدة 3×3 و${\displaystyle \mathbf {N} }$هو متجه الوحدة ثلاثي الأبعاد للمتجه العمودي على المستوى. إذا كان معيار L2 ^لـ${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$، و${\displaystyle c}$إذا كانت المصفوفة تساوي واحدًا، فيمكن التعبير عن مصفوفة التحويل على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{bmatrix}}}$$

لاحظ أن هذه حالات خاصة من انعكاس هاوسهولدر في بعدين وثلاثة أبعاد. الانعكاس حول خط أو مستوى لا يمر بنقطة الأصل ليس تحويلاً خطياً، بل هو تحويل تآلفي ، ويمكن التعبير عنه كمصفوفة تحويل تآلفي 4×4 كما يلي (بافتراض أن المتجه العمودي هو متجه وحدة): $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac&-2ad\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc&-2bd\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}&-2cd\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}}$$ أين${\displaystyle d=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {N} }$إلى حد ما${\displaystyle \mathbf {p} }$على متن الطائرة، أو ما يعادل ذلك،${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$.

إذا كانت المركبة الرابعة للمتجه تساوي صفرًا بدلًا من واحد، فإن اتجاه المتجه فقط هو الذي ينعكس، بينما يبقى مقداره دون تغيير، كما لو كان معكوسًا على مستوى موازٍ يمر بنقطة الأصل. هذه خاصية مفيدة لأنها تسمح بتحويل كلٍّ من متجهات الموضع والمتجهات العمودية باستخدام المصفوفة نفسها. انظر قسم الإحداثيات المتجانسة والتحويلات الأفينية أدناه لمزيد من التوضيح.

لتمثيل التحويلات الأفينية باستخدام المصفوفات، يمكننا استخدام الإحداثيات المتجانسة . وهذا يعني تمثيل متجه ثنائي الأبعاد ( x , y ) كمتجه ثلاثي الأبعاد ( x , y , 1)، وبالمثل بالنسبة للأبعاد الأعلى. باستخدام هذا النظام، يمكن التعبير عن الإزاحة بضرب المصفوفات. الشكل الوظيفي${\displaystyle x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}}$يصبح: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&t_{x}\\0&1&t_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$$

تُدرج جميع التحويلات الخطية العادية ضمن مجموعة التحويلات الأفينية، ويمكن وصفها بأنها شكل مُبسّط من التحويلات الأفينية. لذا، يُمكن تمثيل أي تحويل خطي بمصفوفة تحويل عامة. تُستخرج هذه المصفوفة بتوسيع مصفوفة التحويل الخطي الأصلية بإضافة صف وعمود، وملء الفراغ الإضافي بأصفار باستثناء الزاوية السفلية اليمنى، التي يجب أن تكون قيمتها 1. على سبيل المثال، تصبح مصفوفة الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة المذكورة أعلاه كما يلي:$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

باستخدام مصفوفات التحويل التي تحتوي على إحداثيات متجانسة، تصبح الإزاحات خطية، وبالتالي يمكن دمجها بسلاسة مع جميع أنواع التحويلات الأخرى. والسبب هو أن المستوى الحقيقي يُسقط على المستوى w = 1 في الفضاء الإسقاطي الحقيقي، وبالتالي يمكن تمثيل الإزاحة في الفضاء الإقليدي الحقيقي كقص في الفضاء الإسقاطي الحقيقي. على الرغم من أن الإزاحة هي تحويل غير خطي في فضاء إقليدي ثنائي أو ثلاثي الأبعاد موصوف بإحداثيات ديكارتية (أي لا يمكن دمجها مع تحويلات أخرى مع الحفاظ على التبادلية وخصائص أخرى)، فإنها تصبح ، في فضاء إسقاطي ثلاثي أو رباعي الأبعاد موصوف بإحداثيات متجانسة، تحويلاً خطياً بسيطاً ( قصاً ).

يمكن الحصول على المزيد من التحويلات الأفينية عن طريق تركيب تحويلين أفينيين أو أكثر. على سبيل المثال، بالنظر إلى إزاحة T' مع متجه${\displaystyle (t'_{x},t'_{y}),}$دوران R بزاوية θ عكس اتجاه عقارب الساعة ، وتغيير في المقياس S بمعاملات${\displaystyle (s_{x},s_{y})}$وترجمة T للمتجه${\displaystyle (t_{x},t_{y}),}$النتيجة M لـ T'RST هي: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}s_{x}\cos \theta &-s_{y}\sin \theta &t_{x}s_{x}\cos \theta -t_{y}s_{y}\sin \theta +t'_{x}\\s_{x}\sin \theta &s_{y}\cos \theta &t_{x}s_{x}\sin \theta +t_{y}s_{y}\cos \theta +t'_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

عند استخدام التحويلات الأفينية، لا يتغير المكون المتجانس لمتجه الإحداثيات (الذي يُسمى عادةً w ). لذا، يمكن افتراض أنه يساوي 1 دائمًا وتجاهله. لكن هذا لا ينطبق عند استخدام الإسقاطات المنظورية.

يُعدّ الإسقاط المنظوري نوعًا آخر من التحويلات المهمة في رسومات الحاسوب ثلاثية الأبعاد . فبينما تُستخدم الإسقاطات المتوازية لإسقاط النقاط على مستوى الصورة على طول خطوط متوازية، يُسقط الإسقاط المنظوري النقاط على مستوى الصورة على طول خطوط تنطلق من نقطة واحدة تُسمى مركز الإسقاط. وهذا يعني أن الجسم يكون له إسقاط أصغر عندما يكون بعيدًا عن مركز الإسقاط، وإسقاط أكبر عندما يكون أقرب (انظر أيضًا الدالة المقلوبة ).

يستخدم أبسط إسقاط منظور نقطة الأصل كمركز للإسقاط، والمستوى عند${\displaystyle z=1}$باعتبارها مستوى الصورة. ويكون الشكل الوظيفي لهذا التحويل هو${\displaystyle x'=x/z}$؛${\displaystyle y'=y/z}$يمكننا التعبير عن ذلك في إحداثيات متجانسة على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\z\\z\end{bmatrix}}}$$

بعد إجراء عملية ضرب المصفوفات ، يكون المكون المتجانس${\displaystyle w_{c}}$ستكون مساوية لقيمة${\displaystyle z}$أما الثلاثة الأخرى فلن تتغير. لذلك، لإعادة رسمها على المستوى الحقيقي، يجب علينا إجراء القسمة المتجانسة أو القسمة المنظورية بتقسيم كل مكون على${\displaystyle w_{c}}$: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{w_{c}}}{\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x/z\\y/z\\1\\1\end{bmatrix}}}$$

يمكن تكوين إسقاطات منظور أكثر تعقيدًا من خلال الجمع بين هذا الإسقاط مع الدوران والقياس والتحويلات والقص لتحريك مستوى الصورة ومركز الإسقاط إلى أي مكان مرغوب فيه.