مجموعة بيكارد

في الرياضيات ، تُعرف زمرة بيكارد للفضاء الحلقي X ، والتي يُرمز لها بـ Pic( X )، بأنها زمرة فئات التشاكل للحزم القابلة للعكس (أو حزم الخطوط ) على X ، حيث تكون عملية الزمرة هي الضرب الموتري . يُعد هذا البناء نسخة شاملة من بناء زمرة فئات القواسم، أو زمرة فئات المثالي ، ويُستخدم بكثرة في الهندسة الجبرية ونظرية المشعبات المركبة .

بدلاً من ذلك، يمكن تعريف مجموعة بيكارد على أنها مجموعة تماثل الحزم

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,}$

بالنسبة للمخططات التكاملية ، تكون زمرة بيكارد متماثلة مع زمرة فئات قواسم كارتييه . أما بالنسبة للمشعبات المركبة، فإن متتالية الحزم الأسية تعطي معلومات أساسية عن زمرة بيكارد.

جاء هذا الاسم تكريماً لنظريات إميل بيكارد ، وخاصةً نظريات القواسم على الأسطح الجبرية .

• مجموعة بيكارد لطيف مجال ديديكيند هي مجموعة الفئات المثالية الخاصة به .
• الحزم القابلة للعكس على الفضاء الإسقاطي P ⁿ ( k ) حيث k حقل ، هي الحزم الملتوية .${\displaystyle {\mathcal {O}}(م),\,}$إذن فإن مجموعة بيكارد لـ P ⁿ ( k ) متماثلة مع Z .
• مجموعة بيكارد للخط الأفيني ذي الأصلين على k متماثلة مع Z.
• مجموعة بيكارد من${\displaystyle n}$فضاء أفيني معقد ذو أبعاد :${\displaystyle \operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0}$في الواقع، ينتج عن المتتالية الأسية المتتالية التامة الطويلة التالية في علم التماثل.

  ${\displaystyle \dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots }$

ومنذ ذلك الحين${\displaystyle H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )}$^{[ 1 ]} لدينا${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0}$لأن${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$إذا كان قابلاً للانقباض، فـ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })}$ويمكننا تطبيق تماثل دولبو لحساب${\displaystyle H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0}$بواسطة معضلة دولبو-غروتينديك .

يُعدّ بناء بنية مخطط على ( نسخة الدالة التمثيلية من) مجموعة بيكارد، أي مخطط بيكارد ، خطوةً مهمةً في الهندسة الجبرية، ولا سيما في نظرية الازدواجية للأصناف الأبيلية . وقد بناه غروتينديك (1962) ، ووصفه أيضًا مامفورد (1966) وكليمان (2005) .

في الحالات ذات الأهمية القصوى للهندسة الجبرية الكلاسيكية، بالنسبة لمتنوعة كاملة غير شاذة V على حقل ذي خاصية صفرية، يكون المكون المتصل للهوية في مخطط بيكارد منوعًا أبيليًا يُسمى منوع بيكارد ويُرمز له بـ Pic ⁰ ( V ). والمُزدوج لمتنوع بيكارد هو منوع ألبانيز ، وفي الحالة الخاصة حيث V منحنى، يكون منوع بيكارد متماثلًا طبيعيًا مع منوع جاكوبي لـ V. أما بالنسبة للحقول ذات الخاصية الموجبة، فقد بنى إيغوسا مثالًا لسطح إسقاطي أملس S حيث Pic ⁰ ( S ) غير مُختزل، وبالتالي ليس منوعًا أبيليًا .

الزمرة الخارجة Pic( V )/Pic0 ⁽ V ) هي زمرة أبيلية مولدة منتهية، ويرمز لها بـ NS( V )، وهي زمرة نيرون-سيفيري للفضاء V. بعبارة أخرى، تتناسب زمرة بيكارد مع متتالية تامة.

${\displaystyle 1\to \mathrm {Pic} ^{0}(V)\to \mathrm {Pic} (V)\to \mathrm {NS} (V)\to 1.\,}$

إن حقيقة أن رتبة NS( V ) محدودة هي نظرية فرانشيسكو سيفيري للأساس ؛ والرتبة هي عدد بيكارد لـ V ، والذي يُرمز إليه غالبًا بـ ρ ( V ). هندسيًا، تصف NS( V ) فئات التكافؤ الجبري للقواسم على V ؛ أي باستخدام علاقة تكافؤ أقوى وغير خطية بدلًا من التكافؤ الخطي للقواسم ، يصبح التصنيف قابلًا للثوابت المنفصلة. يرتبط التكافؤ الجبري ارتباطًا وثيقًا بالتكافؤ العددي ، وهو تصنيف طوبولوجي أساسًا يعتمد على أعداد التقاطع .

ليكن f : X → S تشاكلاً بين المخططات . يُعطى المؤثر البيكاردي النسبي (أو المخطط البيكاردي النسبي إذا كان مخططًا) بالصيغة التالية: ^{[ 2 ]} لأي مخطط S - T ،

${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)=\operatorname {Pic} (X_{T})/f_{T}^{*}(\operatorname {Pic} (T))}$

أين${\displaystyle f_{T}:X_{T}\to T}$يمثل التغير الأساسي لـ f و f _T ^* هو التراجع.

نقول حرف اللام في${\displaystyle \operatorname {Pic} _{X/S}(T)}$ has degree r if for any geometric point s → T the pullback ${\displaystyle s^{*}L}$ of L along s has degree r as an invertible sheaf over the fiber X_s (when the degree is defined for the Picard group of X_s.)

• Sheaf cohomology
• Chow variety
• Cartier divisor
• Holomorphic line bundle
• Ideal class group
• Arakelov class group
• Group-stack
• Picard category

• Grothendieck, A. (1962), V. Les schémas de Picard. Théorèmes d'existence, Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 232, pp. 143–161
• Grothendieck, A. (1962), VI. Les schémas de Picard. Propriétés générales, Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 236, pp. 221–243
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052
• Igusa, Jun-Ichi (1955), "On some problems in abstract algebraic geometry", Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 41 (11): 964–967, Bibcode:1955PNAS...41..964I, doi:10.1073/pnas.41.11.964, PMC 534315, PMID 16589782
• Kleiman, Steven L. (2005), "The Picard scheme", Fundamental algebraic geometry, Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 235–321, arXiv:math/0504020, Bibcode:2005math......4020K, MR 2223410
• Mumford, David (1966), Lectures on Curves on an Algebraic Surface, Annals of Mathematics Studies, vol. 59, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07993-6, MR 0209285, OCLC 171541070
• Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290