التحلل المعمم السليم

جزء من سلسلة عن
التعلم الآلي واستخراج البيانات
النماذج التعلم تحت الإشراف التعلم غير الخاضع للإشراف التعلم شبه الخاضع للإشراف التعلم الذاتي التعلم التعزيزي التعلم الفوقي التعلم عبر الإنترنت التعلم الدفعي التعلم المنهجي التعلم المبني على القواعد الذكاء الاصطناعي الرمزي العصبي الهندسة العصبية التعلم الآلي الكمومي
المشاكل تصنيف النمذجة التوليدية الانحدار التجميع تخفيض الأبعاد تقدير الكثافة كشف الشذوذ تنظيف البيانات التعلم الآلي التلقائي قواعد الجمعية التحليل الدلالي التنبؤ المنظم هندسة المميزات ميزة التعلم تعلم الترتيب الاستدلال النحوي التعلم الأنطولوجيا التعلم المتعدد الوسائط
التعلم الخاضع للإشراف ( التصنيف  • الانحدار ) التعلم عن طريق التدريب أشجار القرار الفرق الموسيقية التعبئة في أكياس تعزيز غابة عشوائية ك -ن ن الانحدار الخطي بايز الساذج الشبكات العصبية الاصطناعية الانحدار اللوجستي بيرسيبترون آلة متجهات الصلة (RVM) آلة الدعم المتجهي (SVM)
التجميع البتولا دواء هرمي ك- يعني غامض التوقع - التعظيم (EM) دي بي إس أي إن بصريات متوسط ​​التحول
تخفيض الأبعاد تحليل العوامل سي سي ايه ايكا لدا ن م ف تحليل البيانات الشخصية التشخيص قبل الزرع تي-SNE إس دي إل
التنبؤ المنظم النماذج الرسومية شبكة بايز حقل عشوائي مشروط ماركوف المخفي
كشف الشذوذ رانساك ك -ن ن عامل الشذوذ المحلي غابة العزلة
الشبكة العصبية الاصطناعية مُشفِّر ذاتي التعلم العميق الشبكة العصبية التغذية الأمامية الشبكة العصبية المتكررة LSTM المخابرات العسكرية الروسية رقم ESN الحوسبة الخزانية آلة بولتزمان مقيد شبكة GAN نموذج الانتشار سوم الشبكة العصبية التلافيفية يو نت لينت أليكس نت ديب دريم مجال الإشعاع العصبي محول رؤية مامبا الشبكة العصبية المتصاعدة ميمترانزستور ذاكرة الوصول العشوائي الكهروكيميائية (ECRAM)
التعلم التعزيزي التعلم عن طريق Q سارسا الفرق الزمني (TD) متعدد الوكلاء اللعب الذاتي
التعلم مع البشر التعلم النشط التمويل الجماعي الإنسان في الحلقة مؤسسة ريل إتش إف
تشخيصات النموذج معامل التحديد مصفوفة الارتباك منحنى التعلم منحنى ROC
الأسس الرياضية آلات النواة المقايضة بين التحيز والتباين نظرية التعلم الحاسوبي التقليل من المخاطر التجريبية التعلم أوكام التعلم PAC التعلم الإحصائي نظرية رأس المال الاستثماري
المجلات والمؤتمرات ECML PKDD نيوريبس شهادة ICML اي سي ال ار اي جيه سي ايه اي مل جيه إم إل آر
مقالات ذات صلة معجم الذكاء الاصطناعي قائمة مجموعات البيانات لأبحاث التعلم الآلي List of datasets in computer vision and image processing Outline of machine learning
v t e

التحلل المعمم السليم ( PGD ) هو طريقة عددية تكرارية لحل مشاكل القيمة الحدية (BVPs)، أي المعادلات التفاضلية الجزئية المقيدة بمجموعة من الشروط الحدودية، مثل معادلة بواسون أو معادلة لابلاس .

تحسب خوارزمية PGD تقريبًا لحل BVP عن طريق الإثراء المتتالي. وهذا يعني أنه في كل تكرار، يتم حساب مكون جديد (أو وضع ) وإضافته إلى التقريب. من حيث المبدأ، كلما زاد عدد الأوضاع التي تم الحصول عليها، كلما اقترب التقريب من حله النظري. على عكس المكونات الرئيسية لـ POD ، فإن أوضاع PGD ليست بالضرورة متعامدة مع بعضها البعض.

من خلال تحديد أوضاع PGD الأكثر صلة فقط، يتم الحصول على نموذج ترتيب مخفض للحل. ولهذا السبب، يُعتبر PGD خوارزمية لتقليل الأبعاد .

التحلل المعمم السليم هو طريقة تتميز بـ

1. صياغة متغيرة للمشكلة،
2. تقسيم المجال على غرار طريقة العناصر المحدودة ،
3. الافتراض بأن الحل يمكن تقريبه كتمثيل منفصل و
4. خوارزمية جشعة عددية لإيجاد الحل. ^{[1] [2]}

في طريقة التحلل المعمم السليم، تتضمن الصياغة المتغيرة ترجمة المشكلة إلى صيغة يمكن من خلالها تقريب الحل عن طريق تقليل (أو أحيانًا تعظيم) دالة . الدالة هي كمية قياسية تعتمد على دالة، والتي تمثل مشكلتنا في هذه الحالة.

الصيغة المتغيرة الأكثر شيوعًا في PGD هي طريقة Bubnov-Galerkin . ^{[3] [4]} تم اختيار هذه الطريقة لقدرتها على توفير حل تقريبي للمشكلات المعقدة، مثل تلك التي وصفتها معادلات التفاضل الجزئي (PDEs). في نهج Bubnov-Galerkin، تكمن الفكرة في إسقاط المشكلة على مساحة ممتدة بواسطة عدد محدود من الدوال الأساسية . يتم اختيار هذه الدوال الأساسية لتقريب مساحة حل المشكلة.

في طريقة بوبنوف-جاليركين، نسعى إلى إيجاد حل تقريبي يلبي الشكل التكاملي لمعادلات التفاضل الجزئي على نطاق المشكلة. وهذا يختلف عن حل المعادلات التفاضلية بشكل مباشر. ومن خلال القيام بذلك، تحول الطريقة المشكلة إلى إيجاد المعاملات التي تناسب هذه المعادلة التكاملية بشكل أفضل في مساحة الدالة المختارة.

في حين أن طريقة بوبنوف-جاليركين شائعة، يتم أيضًا استخدام صيغ متغيرة أخرى في التشخيص الوراثي قبل الزرع، ^{[5] [3]} اعتمادًا على المتطلبات والخصائص المحددة للمشكلة، مثل:

• طريقة بتروف-جاليركين : هذه الطريقة مشابهة لطريقة بوبنوف-جاليركين ولكنها تختلف في اختيار وظائف الاختبار. في طريقة بتروف-جاليركين، تختلف وظائف الاختبار (المستخدمة لإسقاط المتبقي من المعادلة التفاضلية) عن وظائف التجربة (المستخدمة لتقريب الحل). يمكن أن يؤدي هذا إلى تحسين الاستقرار والدقة لأنواع معينة من المشاكل. ^[6]
• طريقة التجميع : في طرق التجميع، يتم تحقيق المعادلة التفاضلية عند عدد محدود من النقاط في المجال، والمعروفة بنقاط التجميع. يمكن أن يكون هذا النهج أبسط وأكثر مباشرة من الطرق القائمة على التكامل مثل طريقة جاليركين، ولكنه قد يكون أيضًا أقل استقرارًا لبعض المشكلات.
• طريقة المربعات الصغرى : تتضمن هذه الطريقة تقليل مربع المتبقي من المعادلة التفاضلية على المجال. وهي مفيدة بشكل خاص عند التعامل مع المشكلات التي تكافح فيها الطرق التقليدية لتحقيق الاستقرار أو التقارب.
• طريقة العناصر المحدودة المختلطة : في الطرق المختلطة، يتم إدخال متغيرات إضافية (مثل التدفقات أو التدرجات) وتقريبها جنبًا إلى جنب مع المتغير الأساسي محل الاهتمام. يمكن أن يؤدي هذا إلى حلول أكثر دقة واستقرارًا لبعض المشكلات، وخاصة تلك التي تنطوي على عدم قابلية الضغط أو قوانين الحفاظ.
• طريقة جاليركين المتقطعة : هذه طريقة مختلفة من طريقة جاليركين حيث يُسمح للحل بأن يكون متقطعًا عبر حدود العناصر. هذه الطريقة مفيدة بشكل خاص للمشكلات ذات التدرجات الحادة أو عدم الاستمرارية.

إن تقسيم المجال عبارة عن مجموعة محددة جيدًا من الإجراءات التي تغطي (أ) إنشاء شبكات العناصر المحدودة، (ب) تعريف دالة الأساس على العناصر المرجعية (وتسمى أيضًا وظائف الشكل) و(ج) تعيين العناصر المرجعية على عناصر الشبكة.

تفترض PGD أن الحل u لمشكلة (متعددة الأبعاد) يمكن تقريبه كتمثيل منفصل للنموذج حيث يكون عدد الإضافات N والحاصلات الوظيفية X ₁ ( x ₁ )، X ₂ ( x ₂ )، ...، X _d ( x _d )، كل منها يعتمد على متغير (أو متغيرات)، غير معروفة مسبقًا. $${\displaystyle \mathbf {u} \approx \mathbf {u} ^{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{d})=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {X_{1}} _{i}(x_{1})\cdot \mathbf {X_{2}} _{i}(x_{2})\cdots \mathbf {X_{d}} _{i}(x_{d}),}$$

يتم البحث عن الحل من خلال تطبيق خوارزمية جشعة ، وعادة ما تكون خوارزمية النقطة الثابتة ، على الصياغة الضعيفة للمشكلة. لكل تكرار i للخوارزمية، يتم حساب وضع الحل. يتكون كل وضع من مجموعة من القيم العددية للحواصل الوظيفية X ₁ ( x ₁ )، ...، X _d ( x _d )، والتي تعمل على إثراء تقريب الحل. نظرًا للطبيعة الجشعة للخوارزمية، يتم استخدام مصطلح "إثراء" بدلاً من "تحسين"، حيث أن بعض الأوضاع قد تؤدي في الواقع إلى تفاقم النهج. يعتمد عدد الأوضاع المحسوبة المطلوبة للحصول على تقريب للحل أقل من عتبة خطأ معينة على معيار التوقف للخوارزمية التكرارية.

إن PGD مناسب لحل المشكلات عالية الأبعاد، لأنه يتغلب على قيود الأساليب الكلاسيكية. وعلى وجه الخصوص، يتجنب PGD لعنة الأبعاد ، حيث أن حل المشكلات المنفصلة أقل تكلفة من الناحية الحسابية من حل المشكلات متعددة الأبعاد.

لذلك، يتيح PGD إعادة تكييف المشاكل البارامترية في إطار متعدد الأبعاد من خلال تعيين معلمات المشكلة كإحداثيات إضافية: حيث تم دمج سلسلة من المنتجات الوظيفية K ₁ ( k ₁ )، K ₂ ( k ₂ )، ...، K _p ( k _p )، كل منها يعتمد على معلمة (أو معلمات)، في المعادلة. $${\displaystyle \mathbf {u} \approx \mathbf {u} ^{N}(x_{1},\ldots ,x_{d};k_{1},\ldots ,k_{p})=\sum _{i=1}^{N}\mathbf {X_{1}} _{i}(x_{1})\cdots \mathbf {X_{d}} _{i}(x_{d})\cdot \mathbf {K_{1}} _{i}(k_{1})\cdots \mathbf {K_{p}} _{i}(k_{p}),}$$

في هذه الحالة، يُطلق على التقريب الناتج عن الحل اسم النموذج الحسابي : وهو نموذج عام يحتوي على جميع الحلول الخاصة لكل قيمة ممكنة للمعلمات المعنية. ^[7]

This section may be confusing or unclear to readers. Please help clarify the section. There might be a discussion about this on the talk page. (April 2021) (Learn how and when to remove this message)

تستفيد طريقة التعلم الجزئي المتفرق (SSL) من استخدام التجميع الهرمي لتقريب الحل العددي للنماذج البارامترية. وفيما يتعلق بالنمذجة التقليدية القائمة على الإسقاط من حيث الترتيب المخفض، فإن استخدام التجميع يمكّن من اتباع نهج غير تدخلي يعتمد على أخذ عينات متفرقة متكيفة من الفضاء البارامتر. وهذا يسمح باستعادة البنية منخفضة الأبعاد للفضاء البارامترية للحل الجزئي مع تعلم التبعية الوظيفية من المعلمات في شكل صريح. ويمكن بناء تمثيل تقريبي متفرق منخفض الرتبة للحل البارامتر من خلال استراتيجية تدريجية تحتاج فقط إلى الوصول إلى مخرجات مُحلل حتمي. ويجعل عدم التدخل هذا النهج قابلاً للتطبيق بشكل مباشر على المشكلات الصعبة التي تتميز بعدم الخطية أو الأشكال الضعيفة غير المتجانسة. ^[8]