نظرية ريمان-روخ

سيتم توضيح النظرية باختيار نقطة${\displaystyle P}$على السطح المعني وفيما يتعلق بتسلسل الأرقام

${\displaystyle \ell (n\cdot P),n\geq 0}$

أي، بُعد فضاء الدوال التي تكون تامة الشكل في كل مكان باستثناء عند${\displaystyle P}$حيث يُسمح للدالة بأن يكون لها قطب من الرتبة على الأكثر${\displaystyle n}$. ل${\displaystyle n=0}$وبالتالي، يُشترط أن تكون الدوال كاملة ، أي هولومورفية على السطح بأكمله.${\displaystyle X}$وبحسب نظرية ليوفيل ، فإن هذه الدالة ثابتة بالضرورة. لذلك،${\displaystyle \ell (0)=1}$بشكل عام، التسلسل${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$هي متتالية متزايدة.

الجنس الأول

الحالة التالية هي سطح ريمان من جنس${\displaystyle g=1}$مثل التوروس${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$، أين${\displaystyle \Lambda }$هي شبكة ثنائية الأبعاد (مجموعة متماثلة مع${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$جنسها واحد: مجموعة التماثل المفردة الأولى تتولد بحرية بواسطة حلقتين، كما هو موضح في الرسم التوضيحي على اليمين. الإحداثي المركب القياسي${\displaystyle z}$على${\displaystyle \mathbb {C} }$ينتج عنه شكل واحد${\displaystyle \omega =dz}$على${\displaystyle X}$أي أنها دالة تامة الشكل في كل مكان، أي ليس لها أقطاب على الإطلاق. لذلك،${\displaystyle K}$، قاسم${\displaystyle \omega }$يساوي صفرًا.

على هذا السطح، يكون هذا التسلسل

1، 1، 2، 3، 4، 5 ...  ؛

وهذا ما يميز الحالة${\displaystyle g=1}$في الواقع، بالنسبة لـ${\displaystyle D=0}$،${\displaystyle \ell (KD)=\ell (0)=1}$كما ذُكر أعلاه. لـ${\displaystyle D=n\cdot P}$مع${\displaystyle n>0}$درجة${\displaystyle KD}$وهي سالبة تمامًا، لذا فإن حد التصحيح يساوي 0. ويمكن أيضًا اشتقاق سلسلة الأبعاد من نظرية الدوال الإهليلجية .

باستخدام التطابق الوثيق بين القواسم وحزم الخطوط الهولومورفية على سطح ريمان، يمكن أيضًا صياغة النظرية بطريقة مختلفة، ولكنها مكافئة: ليكن L حزمة خطوط هولومورفية على X.${\displaystyle H^{0}(X,L)}$لنرمز إلى فضاء المقاطع الهولومورفية لـ L. سيكون هذا الفضاء محدود الأبعاد؛ ويُرمز إلى بُعده بـ${\displaystyle h^{0}(X,L)}$لنفترض أن K تمثل الحزمة القانونية على X. عندئذٍ، تنص نظرية ريمان-روخ على أن

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g}$.

إن نظرية القسم السابق هي الحالة الخاصة عندما تكون L حزمة نقطية .

يمكن تطبيق هذه النظرية لإثبات وجود g مقاطع هولومورفية مستقلة خطيًا من K ، أو أشكال تفاضلية من الدرجة الأولى على X ، كما يلي. باعتبار L الحزمة التافهة،${\displaystyle h^{0}(X,L)=1}$بما أن الدوال التحليلية الوحيدة على X هي ثوابت، فإن درجة L تساوي صفرًا، و${\displaystyle L^{-1}}$هي الحزمة التافهة. وبالتالي،

${\displaystyle 1-h^{0}(X,K)=1-g}$.

لذلك،${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$، مما يثبت وجود أشكال أحادية هولومورفية g .

بما أن الحزمة القانونية${\displaystyle K}$لديه${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$تطبيق نظرية ريمان-روخ على${\displaystyle L=K}$أعطِ

${\displaystyle h^{0}(X,K)-h^{0}(X,K^{-1}\otimes K)=\deg(K)+1-g}$

والتي يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي

${\displaystyle g-1=\deg(K)+1-g}$

وبالتالي فإن درجة الحزمة القانونية هي${\displaystyle \deg(K)=2g-2}$.

لكل بند في الصيغة المذكورة أعلاه لنظرية ريمان-روخ للقواسم على أسطح ريمان نظير في الهندسة الجبرية . نظير سطح ريمان هو منحنى جبري غير شاذ C على حقل k . يكمن الاختلاف في المصطلحات (منحنى مقابل سطح) في أن بُعد سطح ريمان كمتشعب حقيقي هو اثنان، بينما هو واحد كمتشعب عقدي . تتوازى خاصية التراص لسطح ريمان مع شرط اكتمال المنحنى الجبري ، وهو ما يكافئ كونه إسقاطيًا . على حقل عام k ، لا يوجد مفهوم واضح للتماثل (المشترك) الشاذ. يُعرَّف ما يُسمى بالجنس الهندسي على النحو التالي:

${\displaystyle g(C):=\dim _{k}\Gamma (C,\Omega _{C}^{1})}$

أي، كبعد فضاء الأشكال التفاضلية الأحادية المعرفة عالميًا (انظر تفاضل كاهلر ). أخيرًا، تُمثَّل الدوال الميرومورفية على سطح ريمان محليًا ككسور من الدوال الهولومورفية. وبالتالي، تُستبدل بدوال كسرية هي كسور محلية من الدوال المنتظمة . وهكذا، بكتابة${\displaystyle \ell (D)}$بالنسبة للبعد (على k ) لفضاء الدوال الكسرية على المنحنى التي لا تكون أقطابها عند كل نقطة أسوأ من المعامل المقابل في D ، فإن نفس الصيغة المذكورة أعلاه تنطبق:

${\displaystyle \ell (D)-\ell (KD)=\deg(D)-g+1}$.

حيث C منحنى جبري إسقاطي غير منفرد على حقل مغلق جبريًا k . في الواقع، تنطبق الصيغة نفسها على المنحنيات الإسقاطية على أي حقل، باستثناء أن درجة القاسم يجب أن تأخذ في الاعتبار التعددية الناتجة عن الامتدادات الممكنة للحقل الأساسي وحقول البقايا للنقاط التي تدعم القاسم. ^{[ 4 ]} أخيرًا، بالنسبة لمنحنى مناسب على حلقة أرتينية ، تُعطى خاصية أويلر لحزمة الخطوط المرتبطة بقاسم ما بدرجة القاسم (المُعرَّفة بشكل مناسب) بالإضافة إلى خاصية أويلر للحزمة البنيوية.${\displaystyle {\mathcal {O}}}$[ ^{5 ]​}

يمكن أيضًا تخفيف فرضية السلاسة في النظرية: بالنسبة لمنحنى (إسقاطي) فوق حقل مغلق جبريًا، تكون جميع حلقاته المحلية حلقات غورنشتاين ، فإن العبارة نفسها المذكورة أعلاه صحيحة، بشرط استبدال الجنس الهندسي كما هو مُعرَّف أعلاه بالجنس الحسابي g _a ، المُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle g_{a}:=\dim _{k}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$[ ^{6 ]​}

(بالنسبة للمنحنيات الملساء، يتطابق الجنس الهندسي مع الجنس الحسابي). وقد تم توسيع نطاق النظرية لتشمل المنحنيات الشاذة العامة (والأنواع ذات الأبعاد الأعلى). ^{[ 7 ]}

من أهم نتائج نظرية ريمان-روخ أنها تقدم صيغة لحساب متعددة حدود هيلبرت لحزم الخطوط على منحنى. إذا كانت حزمة خطية${\displaystyle {\mathcal {L}}}$إذا كانت كافية، فإن متعددة حدود هيلبرت ستعطي الدرجة الأولى${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$إعطاء تضمين في الفضاء الإسقاطي. على سبيل المثال، الحزمة المتعارف عليها${\displaystyle \omega _{C}}$حاصل على درجة علمية${\displaystyle 2g-2}$، مما يوفر حزمة خطوط وافرة للجنس${\displaystyle g\geq 2}$[ ^{8 ] إذا} وضعنا${\displaystyle \omega _{C}(n)=\omega _{C}^{\otimes n}}$ثم تصبح صيغة ريمان-روخ كما يلي

${\displaystyle {\begin{align}\chi (\omega _{C}(n))&=\deg(\omega _{C}^{\otimes n})-g+1\\&=n(2g-2)-g+1\\&=2ng-2n-g+1\\&=(2n-1)(g-1)\end{محاذاة}}}$

منح الدرجة${\displaystyle 1}$متعددة حدود هيلبرت لـ${\displaystyle \omega _{C}}$

${\displaystyle H_{\omega _{C}}(t)=2(g-1)t-g+1}$.

لأن الحزمة الثلاثية القانونية${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$تُستخدم لتضمين المنحنى، متعدد الحدود هيلبرت

${\displaystyle H_{C}(t)=H_{\omega _{C}^{\otimes 3}}(t)}$

يُؤخذ هذا في الاعتبار عمومًا عند إنشاء مخطط هيلبرت للمنحنيات ( وفضاء المعاملات للمنحنيات الجبرية ). هذه متعددة الحدود هي

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{C}(t)&=(6t-1)(g-1)\\&=6(g-1)t+(1-g)\end{aligned}}}$

ويطلق عليه اسم متعددة حدود هيلبرت لمنحنى من النوع g .

وبمزيد من التحليل لهذه المعادلة، تصبح خاصية أويلر كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}^{\otimes n})&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\omega _{C}\otimes \left(\omega _{C}^{\otimes n}\right)^{\vee }\right)\\&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)\end{aligned}}}$

منذ${\displaystyle \deg(\omega _{C}^{\otimes n})=n(2g-2)}$

${\displaystyle h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)=0}$.

ل${\displaystyle n\geq 3}$لأن درجتها سالبة للجميع${\displaystyle g\geq 2}$مما يعني أنه ليس له أقسام عالمية، فهناك تضمين في بعض الفضاء الإسقاطي من الأقسام العالمية لـ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes n}}$. بخاصة،${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$يُعطي تضمينًا في${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}\cong \mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 3}))}$أين${\displaystyle N=5g-5-1=5g-6}$منذ${\displaystyle h^{0}(\omega _{C}^{\otimes 3})=6g-6-g+1}$يُعد هذا مفيدًا في بناء فضاء المعاملات للمنحنيات الجبرية لأنه يمكن استخدامه كفضاء إسقاطي لبناء مخطط هيلبرت باستخدام متعدد حدود هيلبرت${\displaystyle H_{C}(t)}$[ ^{9 ]​}

يحتوي المنحنى الجبري المستوي غير القابل للاختزال من الدرجة d على ( d  −  1)( d  −  2)/2  − g من النقاط الشاذة، عند حسابها بشكل صحيح. ويترتب على ذلك أنه إذا كان للمنحنى ( d − 1)( d − 2)/2 من النقاط الشاذة المختلفة، فإنه منحنى كسري ، وبالتالي، يقبل تمثيلاً كسريًا.     

إن صيغة ريمان-هرويتز المتعلقة بالخرائط (المتفرعة) بين أسطح ريمان أو المنحنيات الجبرية هي نتيجة لنظرية ريمان-روخ.

تُعدّ نظرية كليفورد حول القواسم الخاصة أيضًا نتيجة لنظرية ريمان-روخ. وتنص على أنه بالنسبة لقاسم خاص (أي، بحيث${\displaystyle \ell (K-D)>0}$مُرضٍ${\displaystyle \ell (D)>0}$، يتحقق التباين التالي: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle \ell (D)\leq {\frac {\deg D}{2}}+1}$.

يمكن إثبات العبارة الخاصة بالمنحنيات الجبرية باستخدام ازدواجية سير . العدد الصحيح${\displaystyle \ell (D)}$يمثل بُعد فضاء المقاطع العالمية لحزمة الخط${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$مرتبط بـ D ( انظر قاسم كارتييه ). من حيث تماثل الحزم ، لدينا بالتالي${\displaystyle \ell (D)=\mathrm {dim} H^{0}(X,{\mathcal {L}}(D))}$وبالمثل${\displaystyle \ell ({\mathcal {K}}_{X}-D)=\dim H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$لكن ازدواجية سير بالنسبة للأصناف الإسقاطية غير المنفردة في الحالة الخاصة للمنحنى تنص على أن${\displaystyle H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$متماثل مع الثنائي${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}}(D))^{\vee }}$وبالتالي، فإن الطرف الأيسر يساوي خاصية أويلر للقاسم D. عندما يكون D = 0، نجد أن خاصية أويلر لحزمة البنية هي${\displaystyle 1-g}$بحسب التعريف. لإثبات نظرية القاسم العام، يمكن للمرء بعد ذلك المتابعة بإضافة النقاط واحدة تلو الأخرى إلى القاسم والتأكد من أن خاصية أويلر تتحول وفقًا لذلك إلى الجانب الأيمن.

يمكن استنتاج نظرية أسطح ريمان المدمجة من صيغتها الجبرية باستخدام نظرية تشاو ومبدأ GAGA : في الواقع، يُعرَّف كل سطح ريمان مدمج بمعادلات جبرية في فضاء إسقاطي عقدي ما. (تنص نظرية تشاو على أن أي تنوع فرعي تحليلي مغلق في الفضاء الإسقاطي يُعرَّف بمعادلات جبرية، وينص مبدأ GAGA على أن تماثل الحزم لتنوع جبري هو نفسه تماثل الحزم للتنوع التحليلي المُعرَّف بالمعادلات نفسها).

يمكن تجنب استخدام نظرية تشاو من خلال الاستدلال بنفس طريقة البرهان في حالة المنحنيات الجبرية، ولكن باستبدالها${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$مع الحزمة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}}$من الدوال الميرومورفية h بحيث تكون جميع معاملات القاسم${\displaystyle (h)+D}$غير سالبة. هنا، يمكن استنتاج حقيقة أن خاصية أويلر تتحول كما هو مطلوب عند إضافة نقطة إلى القاسم من المتتالية التامة الطويلة الناتجة عن المتتالية التامة القصيرة.

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{D}\to {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}\to 0}$

أين${\displaystyle \mathbb {C} _{P}}$هي حزمة ناطحة السحاب عند النقطة P ، والخريطة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}}$يعيد${\displaystyle -k-1}$معامل لوران، حيث${\displaystyle k=D(P)}$[ ^{11 ]​}