الهندسة الطوبولوجية

يلعب مفهوم بُعد الفضاء الطوبولوجي دورًا بارزًا في دراسة الطوبولوجيا، ولا سيما دراسة المستويات المتصلة المدمجة. بالنسبة للفضاء الطبيعي${\displaystyle X}$البعد${\displaystyle \dim X}$يمكن وصفها على النحو التالي:

لو${\displaystyle \mathbb {S} _{n}}$يشير إلى${\displaystyle n}$-المجال، ثم${\displaystyle \dim X\leq n}$إذا، وفقط إذا، لكل فضاء جزئي مغلق${\displaystyle A\subset X}$كل خريطة متصلة${\displaystyle \varphi :A\to \mathbb {S} _{n}}$له امتداد مستمر${\displaystyle \psi :X\to \mathbb {S} _{n}}$.

للحصول على تفاصيل وتعريفات أخرى للبعد، انظر ^{[ 7 ]} والمراجع الواردة هناك، وخاصة إنجلكينج ^{[ 8 ]} أو فيدورتشوك. ^{[ 9 ]}

تشكل خطوط المستوى الطوبولوجي المضغوط ذي فضاء النقاط ثنائي الأبعاد عائلة من المنحنيات المتماثلة شكليًا مع دائرة، وهذه الخاصية تميز هذه المستويات بين المستويات الإسقاطية الطوبولوجية. ^{[ 10 ]} وبالمثل، فإن فضاء النقاط هو سطح . أمثلة مبكرة غير متماثلة مع المستوى الحقيقي الكلاسيكي${\displaystyle {\mathcal {E}}}$تم تقديم هذه الأمثلة من قِبل هيلبرت ^{[ 3 ] [ 11 ]} ومولتون ^{[ 12 ]} . لم تُدرس خصائص الاستمرارية لهذه الأمثلة بشكل صريح في ذلك الوقت، وربما اعتُبرت من المسلّمات. يمكن تعديل بناء هيلبرت للحصول على عدد لا يُحصى من العلاقات غير المتماثلة ثنائياً .${\displaystyle 2}$المستويات المدمجة ذات الأبعاد n. الطريقة التقليدية للتمييز${\displaystyle {\mathcal {E}}}$من الآخر${\displaystyle 2}$تُثبت صحة المستويات ذات الأبعاد n من خلال صحة نظرية ديزارغ أو نظرية بابوس (انظر، على سبيل المثال، بيكرت ^{[ 13 ]} لمناقشة هاتين النظريتين التكوينيتين). ومن المعروف أن الأخيرة تستلزم الأولى ( هيسنبرغ ^{[ 14 ]} ). تعبر نظرية ديزارغ عن نوع من تجانس المستوى. بشكل عام، تتحقق في المستوى الإسقاطي إذا، وفقط إذا، أمكن تحديد إحداثيات المستوى بواسطة حقل (ليس بالضرورة تبديليًا)، ^{[ 3 ] [ 15 ] [ 13 ]} وبالتالي فإنها تستلزم أن تكون مجموعة التشاكلات الذاتية متعدية على مجموعة المربعات (${\displaystyle 4}$لا توجد نقاط${\displaystyle 3}$(بعضها على خط مستقيم). في هذا السياق، يتميز شرط التجانس الأضعف بكثير${\displaystyle {\mathcal {E}}}$:

نظرية. إذا كانت زمرة التشاكل الذاتي${\displaystyle \Sigma }$من${\displaystyle 2}$مستوى مضغوط ذو أبعاد${\displaystyle {\mathcal {P}}}$إذا كانت الدالة متعدية على مجموعة النقاط (أو مجموعة الخطوط)، فإن${\displaystyle \Sigma }$يحتوي على مجموعة فرعية مضغوطة${\displaystyle \Phi }$وهي خاصية متعدية حتى على مجموعة الأعلام (أي أزواج النقاط والخطوط المتقاطعة)، و${\displaystyle {\mathcal {P}}}$كلاسيكي . ^{[ 10 ]}

مجموعة التشاكل الذاتي${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$من${\displaystyle 2}$مستوى مضغوط ذو أبعاد${\displaystyle {\mathcal {P}}}$، مع الأخذ في الاعتبار طوبولوجيا التقارب المنتظم على فضاء النقاط، فإنها مجموعة متراصة محليًا ذات بُعد لا يتجاوز${\displaystyle 8}$بل إنها في الواقع جماعة كاذبة .${\displaystyle 2}$مستويات ذات أبعاد بحيث${\displaystyle \dim \Sigma \geq 3}$يمكن وصفها بشكل صريح؛ ^{[ 10 ]} أولئك الذين لديهم${\displaystyle \dim \Sigma =4}$هي بالضبط مستويات مولتون، المستوى الكلاسيكي${\displaystyle {\mathcal {E}}}$هو الوحيد${\displaystyle 2}$مستوى ذو أبعاد${\displaystyle \dim \Sigma >4}$انظر أيضًا. ^{[ 16 ]}

النتائج على${\displaystyle 2}$تم توسيع المستويات ذات الأبعاد لتشمل مستويات مضغوطة ذات أبعاد${\displaystyle >2}$وهذا ممكن بفضل النظرية الأساسية التالية:

طوبولوجيا المستويات المدمجة. إذا كان بُعد فضاء النقاط${\displaystyle P}$إذا كانت قيمة لمستوى إسقاطي متصل مضغوط محدودة، فإن${\displaystyle \dim P=2^{m}}$مع${\displaystyle m\in \{1,2,3,4\}}$علاوة على ذلك، كل خط هو كرة تماثلية ذات بُعد${\displaystyle 2^{m-1}}$انظر ^{[ 17 ]} أو ^{[ 18 ]}

تُناقش الجوانب الخاصة بالمستويات رباعية الأبعاد في المرجع ^{[ 19 ]} ، ويمكن الاطلاع على نتائج أحدث في المرجع ^{[ 20 ]} . خطوط أ${\displaystyle 4}$المستويات المدمجة ذات الأبعاد n متماثلة تماثليًا مع${\displaystyle 2}$-المجال؛ ^{[ 21 ]} في الحالات${\displaystyle m>2}$لا يُعرف أن هذه الخطوط تمثل متعددات شعب، ولكن في جميع الأمثلة التي تم العثور عليها حتى الآن، تكون الخطوط عبارة عن كرات. مستوى فرعي${\displaystyle {\mathcal {B}}}$مستوى إسقاطي${\displaystyle {\mathcal {P}}}$يُقال إنها مستوى فرعي من مستويات باير ، ^{[ 22 ]} إذا كانت كل نقطة من${\displaystyle {\mathcal {P}}}$حادثة مع خط من${\displaystyle {\mathcal {B}}}$وكل سطر من${\displaystyle {\mathcal {P}}}$يحتوي على نقطة من${\displaystyle {\mathcal {B}}}$مستوى فرعي مغلق${\displaystyle {\mathcal {B}}}$هو مستوى فرعي من مستويات باير لمستوى متصل مضغوط${\displaystyle {\mathcal {P}}}$إذا، وفقط إذا، كانت فضاء النقاط لـ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$وخط من${\displaystyle {\mathcal {P}}}$لها نفس الأبعاد. ومن هنا تأتي خطوط المستوى ذي الأبعاد الثمانية.${\displaystyle {\mathcal {P}}}$متماثلة شكليًا مع الكرة${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$لو${\displaystyle {\mathcal {P}}}$يحتوي على مستوى فرعي مغلق من نوع باير. ^{[ 23 ]}

مستويات متجانسة. إذا${\displaystyle {\mathcal {P}}}$هو مستوى إسقاطي متصل مضغوط، وإذا${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$تكون متعدية على مجموعة النقاط الخاصة بـ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$، ثم${\displaystyle \Sigma }$يحتوي على مجموعة فرعية مدمجة متعدية على العلم${\displaystyle \Phi }$و${\displaystyle {\mathcal {P}}}$كلاسيكي ، انظر ^{[ 24 ]} أو ^{[ 25 ]} . في الواقع،${\displaystyle \Phi }$هي مجموعة حركة إهليلجية. ^{[ 26 ]}

يترك${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ليكن مستوى مضغوط ذو أبعاد${\displaystyle 2^{m},\;m=2,3,4}$واكتب${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$. لو${\displaystyle \dim \Sigma >8,18,40}$، ثم${\displaystyle {\mathcal {P}}}$كلاسيكي، ^{[ 27 ]} و${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$هي زمرة لي بسيطة ذات بُعد${\displaystyle 16,35,78}$على التوالي. جميع الطائرات${\displaystyle {\mathcal {P}}}$مع${\displaystyle \dim \Sigma =8,18,40}$معروفة صراحةً. ^{[ 28 ]} الطائرات ذات${\displaystyle \dim \Sigma =40}$هي بالضبط الإغلاقات الإسقاطية للمستويات الأفينية المنسقة بواسطة ما يسمى بالتحول${\displaystyle (\mathbb {O} ,+,\circ )}$من جبر الأوكتونيون${\displaystyle (\mathbb {O} ,+,\ \,)}$، حيث عملية الضرب الجديدة${\displaystyle \circ }$يُعرَّف على النحو التالي: اختر عددًا حقيقيًا${\displaystyle t}$مع${\displaystyle 1/2<t\neq 1}$وضع${\displaystyle a\circ b=t\cdot ab+(1-t)\cdot ba}$تم اكتشاف عائلات واسعة من المستويات ذات زمرة ذات بُعد كبير بشكل منهجي انطلاقًا من افتراضات حول زمر التشاكل الذاتي الخاصة بها، انظر على سبيل المثال ^{[ 20 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]} . العديد منها عبارة عن إغلاقات إسقاطية لمستويات الإزاحة (مستويات أفينية تقبل زمرة تشاكل ذاتي متعدية بدقة تُسقط كل خط على خط موازٍ)، انظر ^{[ 33 ]} . انظر أيضًا ^{[ 34 ]} للاطلاع على نتائج أحدث في هذه الحالة.${\displaystyle m=3}$و ^{[ 30 ]} لـ${\displaystyle m=4}$.

تتكون مستويات موبيوس من عائلة${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$من الدوائر، وهي عبارة عن كرات طوبولوجية من الدرجة الأولى، على${\displaystyle 2}$-جسم كروي${\displaystyle S}$بحيث يكون لكل نقطة${\displaystyle p}$البنية المشتقة​${\displaystyle (S\setminus \{p\},\{C\setminus \{p\}\mid p\in C\in {\mathfrak {C}}\})}$هو مستوى تآلفي طوبولوجي. ^{[ 55 ]} على وجه الخصوص، أي${\displaystyle 3}$تتصل النقاط المتميزة بدائرة فريدة. مساحة الدائرة${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ثم يكون متماثلًا مع الإسقاط الحقيقي${\displaystyle 3}$فضاء ذو ​​نقطة محذوفة. ^{[ 56 ]} تُعطى فئة كبيرة من الأمثلة من خلال المقاطع المستوية لسطح بيضاوي الشكل في الفضاء الحقيقي${\displaystyle 3}$-فضاء.

إذا كانت مجموعة التشاكل الذاتي${\displaystyle \Sigma }$إن خاصية مستوى موبيوس متعدية على مجموعة النقاط${\displaystyle S}$أو في موقع التصوير${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$من الدوائر، أو إذا${\displaystyle \dim \Sigma \geq 4}$، ثم${\displaystyle (S,{\mathfrak {C}})}$كلاسيكي و${\displaystyle \dim \Sigma =6}$انظر. ^{[ 57 ] [ 58 ]}

على عكس المستويات الإسقاطية المدمجة، لا توجد مستويات موبيوس طوبولوجية ذات دوائر ذات بُعد${\displaystyle >1}$، وعلى وجه الخصوص، لا توجد مستويات موبيوس مدمجة ذات${\displaystyle 4}$فضاء نقطي ذو أبعاد n. ^{[ 59 ]} جميع مستويات موبيوس ثنائية الأبعاد بحيث${\displaystyle \dim \Sigma \geq 3}$يمكن وصفها بشكل صريح. ^{[ 60 ] [ 61 ]}

يتكون النموذج الكلاسيكي لمستوى لاغير من سطح أسطواني دائري${\displaystyle C}$في الواقع${\displaystyle 3}$-فضاء${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$كمجموعة نقاط ومقاطع مستوية مضغوطة من${\displaystyle C}$كما هو الحال في الدوائر. تُسمى أزواج النقاط التي لا تربطها دائرة بالنقاط المتوازية . لنفترض${\displaystyle P}$لنرمز إلى فئة من النقاط المتوازية. إذن${\displaystyle C\setminus P}$هي طائرة${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$يمكن تمثيل الدوائر في هذا المستوى بواسطة قطع مكافئ على الشكل التالي:${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$.

وبالمثل، فإن الكلاسيكي${\displaystyle 4}$يرتبط مستوى لاغير ذو البعد n بهندسة كثيرات الحدود التربيعية المركبة. وبشكل عام، تتطلب بديهيات مستوى لاغير المتصل والمتراص محليًا أن تندمج المستويات المشتقة في مستويات إسقاطية متراصة ذات بعد محدود. الدائرة التي لا تمر بنقطة الاشتقاق تُنشئ شكلًا بيضاويًا في المستوى الإسقاطي المشتق. وبحسب ^{[ 62 ]} أو ^{[ 63 ]،} فإن الدوائر متماثلة شكليًا مع الكرات ذات البعد n.${\displaystyle 1}$أو${\displaystyle 2}$وبالتالي، فإن فضاء النقاط لمستوى لاغير المتصل والمتراص محليًا يكون متماثلًا مع الأسطوانة.${\displaystyle C}$أو هو${\displaystyle 4}$متعدد الشعب ذو الأبعاد n، انظر ^{[ 64 ]} فئة كبيرة من${\displaystyle 2}$تُعطى الأمثلة ذات الأبعاد n، والتي تُسمى مستويات لاغير البيضاوية، بواسطة المقاطع المستوية لأسطوانة في الفضاء الحقيقي ثلاثي الأبعاد قاعدتها بيضاوية في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

مجموعة التشاكل الذاتي لـ${\displaystyle 2d}$مستوى لاغير ذو الأبعاد (${\displaystyle d=1,2}$) هي زمرة لي فيما يتعلق بطوبولوجيا التقارب المنتظم على المجموعات الفرعية المدمجة من فضاء النقاط؛ علاوة على ذلك، فإن بُعد هذه الزمرة لا يتجاوز${\displaystyle 7d}$تشكل جميع التشاكلات الذاتية لمستوى لاغير التي تثبت كل فئة متوازية زمرة جزئية طبيعية ، وهي نواة زمرة التشاكل الذاتي الكاملة.${\displaystyle 2}$مستويات لاغير ذات الأبعاد n مع${\displaystyle \dim \Sigma =5}$هي بالضبط المستويات البيضاوية فوق القطع المكافئ المائل الصحيح. ^{[ 65 ]} الكلاسيكية${\displaystyle 2d}$تُعدّ مستويات لاغير ذات الأبعاد n هي المستويات الوحيدة التي تحقق ما يلي:${\displaystyle \dim \Sigma >5d}$انظر، ^{[ 66 ]} قارن أيضًا. ^{[ 67 ]}

إذا كانت مجموعة التشاكل الذاتي${\displaystyle \Sigma }$من${\displaystyle 2d}$مستوى لاغير ذو الأبعاد${\displaystyle {\mathcal {L}}}$تكون الدالة متعدية على مجموعة الفئات المتوازية، وإذا كانت النواة${\displaystyle T\triangleleft \Sigma }$إذا كانت الدالة متعدية على مجموعة الدوائر، فإن${\displaystyle {\mathcal {L}}}$كلاسيكي ، انظر ^{[ 68 ] [ 67 ]} 2.1،2.

ومع ذلك، فإن خاصية التعدي لمجموعة التشاكل الذاتي على مجموعة الدوائر لا تكفي لتوصيف النموذج الكلاسيكي بين${\displaystyle 2d}$مستويات لاغير ذات الأبعاد n.

النموذج الكلاسيكي لمستوى مينكوفسكي له شكل حلقي${\displaystyle \mathbb {S} _{1}\times \mathbb {S} _{1}}$باعتبارها فضاءً نقطيًا، فإن الدوائر هي رسوم بيانية للتحويلات الخطية الكسرية الحقيقية على${\displaystyle \mathbb {S} _{1}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$كما هو الحال مع مستويات لاغير، فإن فضاء النقاط لمستوى مينكوفسكي المتصل والمتراص محليًا هو${\displaystyle 1}$- أو${\displaystyle 2}$بعد - الأبعاد؛ يكون فضاء النقاط متماثلًا شكليًا مع الطارة أو إلى${\displaystyle \mathbb {S} _{2}\times \mathbb {S} _{2}}$انظر. ^{[ 69 ]}

إذا كانت مجموعة التشاكل الذاتي${\displaystyle \Sigma }$طائرة مينكوفسكي${\displaystyle {\mathcal {M}}}$من الأبعاد${\displaystyle 2d}$إذا كان متعدياً على العلم، فإن${\displaystyle {\mathcal {M}}}$كلاسيكي . ^{[ 70 ]}

مجموعة التشاكل الذاتي لـ${\displaystyle 2d}$مستوى مينكوفسكي ذو الأبعاد n هو زمرة لي ذات أبعاد على الأكثر${\displaystyle 6d}$. الجميع${\displaystyle 2}$مستويات مينكوفسكي ذات الأبعاد بحيث${\displaystyle \dim \Sigma \geq 4}$يمكن وصفها بشكل صريح. ^{[ 71 ]} الكلاسيكية${\displaystyle 2d}$يُعد مستوى مينكوفسكي ذو الأبعاد n هو المستوى الوحيد الذي يمتلك${\displaystyle \dim \Sigma >4d}$انظر. ^{[ 72 ]}