متعدد الأوجه المجرد

في الهندسة الإقليدية، قد يشترك شكلان غير متشابهين في بنية مشتركة. على سبيل المثال، يتكون كل من المربع وشبه المنحرف من سلسلة متناوبة من أربعة رؤوس وأربعة أضلاع، مما يجعلهما شكلين رباعيين . ويُقال إنهما متماثلان أو "حافظان على البنية".

يمكن تمثيل هذا الهيكل المشترك في متعدد سطوح تجريدي أساسي، وهو مجموعة جبرية بحتة مرتبة جزئيًا، تُجسد نمط الروابط (أو التداخلات) بين العناصر الهيكلية المختلفة. ولا معنى للخصائص القابلة للقياس لمتعددات السطوح التقليدية، مثل الزوايا وأطوال الحواف والالتواء والاستقامة والتحدب، بالنسبة لمتعدد السطوح التجريدي.

ما ينطبق على متعددات الوجوه التقليدية (وتسمى أيضًا متعددات الوجوه الكلاسيكية أو الهندسية) قد لا ينطبق على متعددات الوجوه المجردة، والعكس صحيح. على سبيل المثال، يكون متعدد الوجوه التقليدي منتظمًا إذا كانت جميع أوجهه وأشكال رؤوسه منتظمة ، ولكن هذا ليس بالضرورة صحيحًا بالنسبة لمتعدد الوجوه المجرد. ^{[ 2 ]}

في متعدد السطوح المجرد، يرتبط كل عنصر هيكلي (رأس، حافة، خلية، إلخ) بعنصر مناظر له في المجموعة. ويُستخدم مصطلح " الوجه" للإشارة إلى أي عنصر من هذا القبيل، مثل الرأس (الوجه 0)، أو الحافة (الوجه 1)، أو أي وجه عام من النوع k ، وليس فقط الوجه المضلع من النوع 2.

يتم تصنيف الوجوه وفقًا لأبعادها الحقيقية المرتبطة بها: الرؤوس لها الرتبة 0، والحواف لها الرتبة 1 وهكذا.

يتم ترتيب الوجوه المتداخلة ذات الرتب المختلفة، على سبيل المثال، رأس F لحافة G، وفقًا للعلاقة F < G. ويقال أن F هو وجه فرعي من G.

يُقال إن النقطتين F و G متجاورتان إذا كانت F = G أو F < G أو G < F. يُستخدم مصطلح "التجاور" هذا أيضًا في الهندسة المنتهية ، على الرغم من اختلافه عن الهندسة التقليدية وبعض فروع الرياضيات الأخرى. ويُفهم هذا المصطلح من حيث العقد والرؤوس في مخطط هاس للمضلع، وليس من حيث الرسم الهندسي للمضلع نفسه. فعلى سبيل المثال، في المربع ABCD ، لا تُعتبر الحافتان AB و BC متجاورتين بشكل مجرد كما هو موضح في مخطط هاس أعلاه (مع أنهما متجاورتان، بالمعنى الهندسي، مع الرأس B في الرسم الهندسي).

يُعرَّف متعدد السطوح بأنه مجموعة من الوجوه P ذات علاقة ترتيب < . وبصورة رسمية، فإن P (مع < ) ستكون مجموعة مرتبة جزئيًا (صارمة) ، أو مجموعة جزئية مرتبة .

كما أن العدد صفر ضروري في الرياضيات، فإن كل مجموعة تحتوي على المجموعة الفارغة ∅ كمجموعة جزئية. في متعدد السطوح المجرد، تُعرف ∅ اصطلاحًا بأنها الوجه الأصغر أو الوجه الخالي ، وهي وجه جزئي من جميع الوجوه الأخرى. ولأن الوجه الأصغر يقع في مستوى أدنى من الرؤوس أو الوجوه الصفرية، فإن رتبته هي -1، ويمكن الإشارة إليه بـ F⁻¹ . بالتالي، F⁻¹ _{≡ ∅} ، ويحتوي متعدد السطوح المجرد أيضًا على المجموعة الفارغة كعنصر. ^{[ 3 ]} عادةً لا تتحقق هذه المجموعة، مع أن عدم تحققها يمكن تفسيره على أنه تحققها كمجموعة لا تحتوي على أي نقاط، أي المجموعة الفارغة.

يوجد أيضًا وجه واحد تُعدّ جميع الوجوه الأخرى وجوهًا فرعية له. يُسمى هذا الوجه بالوجه الأعظم . في متعدد السطوح ذي البعد n ، يكون للوجه الأعظم رتبة تساوي n، ويُرمز له بـ F_{_n} . ويُمكن تمثيله أحيانًا بالجزء الداخلي للشكل الهندسي.

تُسمى هذه الوجوه الدنيا والعليا أحيانًا بالوجوه غير اللائقة ، بينما تُسمى جميع الوجوه الأخرى بالوجوه اللائقة . ^{[ 4 ]}

تظهر أوجه الشكل الرباعي أو المربع المجرد في الجدول أدناه:

تتضمن العلاقة < مجموعة من الأزواج، والتي تشمل هنا

F ₋₁ < a , ... , F ₋₁ <X, ... , F ₋₁ <G, ... , b <Y, ... , c <G, ... , Z<G.

العلاقات الترتيبية متعدية ، أي أن F < G و G < H يستلزم أن F < H. لذلك، لتحديد التسلسل الهرمي للوجوه، ليس من الضروري ذكر كل حالة F  <  H، بل فقط الأزواج التي يكون فيها أحدهما خلفًا للآخر، أي حيث F  <  H ولا يوجد G يحقق F  <  G  <  H.

تُكتب الحواف W و X و Y و Z أحيانًا على النحو ab و ad و bc و cd على التوالي، ولكن هذا الترميز ليس مناسبًا دائمًا.

جميع الحواف الأربعة متشابهة بنيوياً، وينطبق الأمر نفسه على الرؤوس. لذلك، يتمتع الشكل بتناظرات المربع، ويُشار إليه عادةً بالمربع.

غالبًا ما يكون من الأفضل تمثيل المجموعات المرتبة جزئيًا الأصغر حجمًا، وخاصةً متعددات الوجوه، باستخدام مخطط هاس ، كما هو موضح. اصطلاحًا، توضع الوجوه ذات الرتبة المتساوية على نفس المستوى الرأسي. يشير كل "خط" بين وجهين، ولنقل F و G، إلى علاقة ترتيب < بحيث يكون F < G حيث F أسفل G في المخطط.

يُحدد مخطط هاس المجموعة المرتبة جزئيًا الفريدة، وبالتالي يُجسد بنية متعدد السطوح بشكل كامل. تُنتج متعددات السطوح المتماثلة مخططات هاس متماثلة، والعكس صحيح. لكن هذا لا ينطبق عمومًا على التمثيل البياني لمتعددات السطوح.

يتم تعريف رتبة الوجه F على أنها (m − 2)، حيث m هو الحد الأقصى لعدد الوجوه في أي سلسلة (F'، F"، ...، F ) التي تحقق F ' < F " < ... < F. F ' هو دائمًا الوجه الأصغر، F ₋₁ .            

رتبة متعدد السطوح المجرد P هي أعلى رتبة n لأي وجه. وهي دائمًا رتبة أكبر وجه F _n .

عادةً ما تتوافق رتبة الوجه أو متعدد الأوجه مع بُعد نظيره في النظرية التقليدية.

بالنسبة لبعض الرتب، تم تحديد أنواع وجوههم في الجدول التالي.

† تقليديًا، كان مصطلح "الوجه" يعني وجهًا من الرتبة الثانية أو وجهًا من الرتبة الثانية. أما في النظرية المجردة، فيشير مصطلح "الوجه" إلى وجه من أي رتبة.

في الهندسة، العلم هو سلسلة قصوى من الأوجه، أي مجموعة مرتبة (كليًا) Ψ من الأوجه، كل وجه منها وجه جزئي من الوجه الذي يليه (إن وجد)، بحيث لا تكون Ψ مجموعة جزئية من أي سلسلة أكبر. إذا أُعطي أي وجهين مختلفين F و G في العلم، فإما أن F < G أو F > G.

على سبيل المثال، { ø , a , ab , abc } هو علم في المثلث abc .

بالنسبة لمتعدد الوجوه المحدد، تحتوي جميع الأعلام على نفس عدد الأوجه. أما المجموعات المرتبة جزئياً الأخرى، فلا تفي بهذا الشرط بشكل عام.

أي مجموعة جزئية P' من مجموعة مرتبة جزئياً P هي مجموعة مرتبة جزئياً (مع نفس العلاقة <، مقيدة بـ P').

في متعدد السطوح المجرد، إذا أُعطي أي وجهين F و H من P بحيث F ≤ H ، فإن المجموعة { G | F ≤ G ≤ H } تُسمى مقطعًا من P ، ويُرمز لها بـ H / F. (في نظرية الترتيب، يُسمى المقطع فترة مغلقة من المجموعة المرتبة جزئيًا ويُرمز لها بـ [ F , H ]).

على سبيل المثال، في الموشور abcxyz (انظر الرسم التوضيحي)، يمثل المقطع xyz / ø (المظلل باللون الأخضر) المثلث

{ ø , x , y , z , xy , xz , yz , xyz }.

المقطع k هو مقطع من الرتبة k .

وبالتالي فإن P هو جزء من نفسه.

لا يحمل مفهوم المقطع هذا نفس المعنى كما هو الحال في الهندسة التقليدية.

يوجد مجموعة جزئية مرتبة واحدة فقط لكل رتبة -1 و0. وهما، على التوالي، الوجه الصفري والنقطة. ولا تُعتبر هذه المجموعات دائمًا متعددة وجوه تجريدية صالحة.

يوجد متعدد سطوح واحد فقط من الرتبة 1، وهو القطعة المستقيمة. له وجه أصغر، ووجهان فقط من الرتبة 0، ووجه أكبر، على سبيل المثال {ø, a, b, ab }. وبالتالي، فإن الرأسين a و b لهما الرتبة 0، وأن الوجه الأكبر ab ، وبالتالي المجموعة المرتبة جزئيًا، لهما الرتبة 1.

لكل قيمة p ، 3 ≤ p <${\displaystyle \infty }$لدينا (المكافئ المجرد) للمضلع التقليدي ذي p رأسًا و p ضلعًا، أو المضلع ذو p ضلعًا. بالنسبة لـ p = 3، 4، 5، ... لدينا المثلث، والمربع، والخماسي، ....

عندما تكون قيمة p تساوي 2، يكون لدينا الشكل الثنائي ، و p =${\displaystyle \infty }$نحصل على الشكل غير المتجانس .

الديجون

المضلع الثنائي هو مضلع له ضلعان فقط. على عكس أي مضلع آخر، فإن كلا الضلعين لهما نفس الرأسين. لهذا السبب، فهو مضلع منحل في المستوى الإقليدي .

تُوصَف الوجوه أحيانًا باستخدام "ترميز الرؤوس" - على سبيل المثال { ø , a , b , c , ab , ac , bc , abc } للمثلث abc . تتميز هذه الطريقة بأنها تُشير ضمنيًا إلى علاقة < .

لا يمكن استخدام ترميز الرؤوس هذا مع المضلع الثنائي . من الضروري إعطاء الوجوه رموزًا فردية وتحديد أزواج الوجوه الفرعية F < G.

وبالتالي، يُعرَّف الديجون بأنه مجموعة { ø , a , b , E', E", G} مع العلاقة < المعطاة بواسطة

{ ø < ​​أ , ø < ب , أ <E', أ <E", ب <E', ب <E", E'<G, E"<G}

حيث E' و E" هما الحافتان، و G هو الوجه الأكبر.

إن الحاجة إلى تحديد كل عنصر من عناصر متعدد السطوح برمز فريد تنطبق على العديد من متعددات السطوح المجردة الأخرى، وبالتالي فهي ممارسة شائعة.

لا يمكن وصف متعدد السطوح وصفاً كاملاً باستخدام ترميز الرؤوس إلا إذا كان كل وجه متصلاً بمجموعة فريدة من الرؤوس . ويُقال عن متعدد السطوح الذي يتمتع بهذه الخاصية أنه متعدد السطوح ذري .

يتم تعميم الشكل الثنائي بواسطة الشكل المتماثل والشكل المتماثل ذي الأبعاد الأعلى، والتي يمكن تحقيقها جميعًا على شكل متعددات وجوه كروية - فهي ترصيع الكرة.

أربعة أمثلة على المجسمات المجردة غير التقليدية هي: نصف المكعب (الموضح)، ونصف ثماني الأوجه ، ونصف اثني عشري الأوجه ، ونصف عشريني الأوجه . هذه هي النظائر الإسقاطية للأجسام الأفلاطونية ، ويمكن تمثيلها كمجسمات إسقاطية (عالمية) - فهي تُشكل فسيفساء المستوى الإسقاطي الحقيقي .

يُعد نصف المكعب مثالاً آخر على الحالات التي لا يمكن فيها استخدام تدوين الرؤوس لتعريف متعدد السطوح - فجميع الوجوه الثنائية والوجوه الثلاثية لها نفس مجموعة الرؤوس.

تُوَلَّدُ زمرةُ التناظرات G لتحقيق V لمتعدد الوجوه المجرد P من خلال انعكاسين، ينتج عنهما نقل كل رأس من رؤوس P إلى الرأس التالي. ^{[ 10 ] [ 11 ]} ويمكن تحليل ناتج الانعكاسين إلى ناتج نقل غير صفري، وعدد محدود من الدورانات، وربما انعكاس تافه. ^{[ 12 ] [ 11 ]}

بشكل عام، فضاء المعاملات لتحقيقات متعدد السطوح المجرد هو مخروط محدب ذو بُعد لانهائي. ^{[ 13 ] [ 14 ]} مخروط تحقيق متعدد السطوح المجرد له بُعد جبري لانهائي غير قابل للعد ، ولا يمكن إغلاقه في الطوبولوجيا الإقليدية . ^{[ 12 ] [ 15 ]}

الخلية ذات الأحد عشر وجهًا ، التي اكتشفها كلٌ من إتش إس إم كوكسيتر وبرانكو غرونباوم بشكل مستقل ، هي متعدد سطوح تجريدي رباعي الأبعاد. وجوهها عبارة عن أنصاف عشرينيات الوجوه. ولأن وجوهها، من الناحية الطوبولوجية، عبارة عن مستويات إسقاطية وليست كرات، فإن الخلية ذات الأحد عشر وجهًا ليست تبليطًا لأي متعدد شعب بالمعنى المعتاد. بل هي متعدد سطوح إسقاطي محلي . وهي ثنائية ذاتية وعالمية: فهي متعدد السطوح الوحيد ذو الوجوه نصف العشرينية الوجوه وأشكال الرؤوس نصف الاثني عشرية الوجوه.

يُعدّ الشكل ذو الـ 57 خليةً ثنائيًا ذاتيًا، وله أوجه نصفية اثني عشرية. وقد اكتشفه إتش إس إم كوكسيتر بعد فترة وجيزة من اكتشاف الشكل ذي الـ 11 خلية. ومثل الشكل ذي الـ 11 خلية، فهو أيضًا شكل متعدد الأوجه عالمي، إذ يُعدّ الشكل الوحيد متعدد الأوجه ذي الأوجه النصفية الاثني عشرية وأشكال الرؤوس النصفية العشرينية. من ناحية أخرى، توجد العديد من الأشكال متعددة الأوجه الأخرى ذات الأوجه النصفية الاثني عشرية ونوع شلافلي {5، 3، 5}. الشكل متعدد الأوجه العالمي ذو الأوجه النصفية الاثني عشرية وأشكال الرؤوس العشرينية (وليس النصفية العشرينية) محدود، ولكنه كبير جدًا، إذ يحتوي على 10006920 وجهًا ونصف عدد الرؤوس.

لطالما دُرست مسألة الدمج، تاريخيًا، وفقًا للطوبولوجيا المحلية . أي أنه بدلًا من حصر K و L في متعددات وجوه محددة، يُسمح لهما بأن يكونا أي متعدد وجوه ذي طوبولوجيا معينة ، أي أي متعدد وجوه يُجزّئ سطحًا متعدد الشعب مُعطى. إذا كان K وL كرويين ( أي تجزئة لسطح كرة طوبولوجية ) ، فإن P يُسمى كرويًا محليًا ويُقابل تجزئة لسطح متعدد الشعب. على سبيل المثال، إذا كان كل من K و L مربعين (وبالتالي فهما متماثلان طوبولوجيًا مع الدوائر)، فإن P سيكون تجزئة للسطح المستوي أو الطارة أو زجاجة كلاين بواسطة مربعات. تجزئة سطح متعدد الشعب ذي n بُعد هي في الواقع متعدد وجوه من الرتبة n + 1. وهذا يتوافق مع الحدس الشائع بأن الأجسام الأفلاطونية ثلاثية الأبعاد، على الرغم من إمكانية اعتبارها تجزئة لسطح كرة ثنائي الأبعاد.  

بشكل عام، يُطلق على متعدد السطوح المجرد اسم متعدد السطوح X محليًا إذا كانت أوجهه وأشكال رؤوسه، من الناحية الطوبولوجية، إما كرات أو X ، ولكن ليس كلاهما كرات. يُعدّ كل من متعدد السطوح ذي 11 خلية ومتعدد السطوح ذي 57 خلية مثالين على متعددات السطوح الإسقاطية المحلية من الرتبة 4 (أي رباعية الأبعاد) ، حيث أن أوجههما وأشكال رؤوسهما عبارة عن تبليط لمستويات إسقاطية حقيقية . مع ذلك، يوجد قصور في هذا المصطلح، إذ لا يُتيح وصفًا سهلًا لمتعدد سطوح تكون أوجهه حلقات وأشكال رؤوسه مستويات إسقاطية، على سبيل المثال. ويزداد الأمر سوءًا إذا كانت الأوجه المختلفة ذات طوبولوجيات مختلفة، أو لا توجد لها طوبولوجيا محددة جيدًا على الإطلاق. ومع ذلك، فقد أُحرز تقدم كبير في التصنيف الكامل لمتعددات السطوح المنتظمة الحلقية المحلية ^{[ 16 ] .}

يُمكن الحصول على مزيد من المعلومات من خلال عدّ كل تكرار. يُتيح هذا الاستخدام العددي تجميعًا متناظرًا ، كما هو الحال في مخطط هاس للهرم المربع : إذا اعتُبرت الرؤوس B وC وD وE متكافئة تناظريًا داخل متعدد السطوح المجرد، فسيتم تجميع الحواف f وg وh وj معًا، وكذلك الحواف k وl وm وn، وأخيرًا المثلثات P و Q و R و S. وبالتالي، يُمكن تمثيل مصفوفة التواجد المقابلة لهذا متعدد السطوح المجرد كما يلي:

في هذا التمثيل لمصفوفة التراكم الحدوثي، تمثل المدخلات القطرية إجمالي عدد كل نوع من أنواع العناصر.

من الواضح أن العناصر من أنواع مختلفة من نفس الرتبة لا تحدث أبدًا، لذا ستكون القيمة دائمًا 0؛ ومع ذلك، للمساعدة في تمييز هذه العلاقات، يتم استخدام علامة النجمة (*) بدلاً من 0.

تمثل المدخلات الفرعية القطرية لكل صف عدد مرات حدوث العناصر الفرعية ذات الصلة، بينما تمثل المدخلات الرئيسية القطرية عدد العناصر الخاصة بالشكل الرأسي أو الحافة أو أي شكل آخر.

يُظهر هذا الهرم المربع البسيط بالفعل أن مصفوفات الوقوع المتراكمة بالتناظر لم تعد متناظرة. ولكن لا تزال هناك علاقة بسيطة بين الكيانات (إلى جانب صيغ أويلر المعممة للكيانات القطرية، والكيانات شبه القطرية لكل صف، والعناصر فوق القطرية لكل صف - على الأقل عندما لا تُؤخذ الثقوب أو النجوم وما إلى ذلك في الاعتبار)، كما هو الحال بالنسبة لأي مصفوفة وقوع من هذا القبيل.${\displaystyle I=(I_{ij})}$يحمل:

${\displaystyle I_{ii}\cdot I_{ij}=I_{ji}\cdot I_{jj}\ \ (i<j).}$