رقم ألف

في الرياضيات ، وخاصة في نظرية المجموعات ، تُستخدم أعداد الألف لتمثيل عدد عناصر المجموعات اللانهائية . ^{[ أ ]} وقد قدمها عالم الرياضيات جورج كانتور ^{[ 1 ]} ، وسُميت نسبةً إلى الرمز الذي استخدمه للدلالة عليها، وهو حرف الألف العبري ( ℵ). ^{[ 2 ] [ ب ]}

أصغر عدد أصلي لمجموعة غير منتهية هو عدد الأعداد الطبيعية ، ويرمز له بـ${\displaystyle \aleph _{0}}$(تُقرأ ألف-صفر ، أو ألف-صفر ، أو ألف-لا شيء )؛ العدد الأكبر التالي لمجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا هو${\displaystyle \aleph _{1},}$ثم${\displaystyle \aleph _{2},}$ثم${\displaystyle \aleph _{3},}$وهكذا دواليك. بالاستمرار على هذا المنوال، يمكن تعريف عدد أصلي لانهائي${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$لكل عدد ترتيبي${\displaystyle \alpha ,}$كما هو موضح أدناه.

يعود المفهوم والترميز إلى جورج كانتور ، ^{[ 5 ]} الذي حدد مفهوم العددية وأدرك أن المجموعات اللانهائية يمكن أن يكون لها أعداد مختلفة .

تختلف أعداد الألف عن اللانهاية (${\displaystyle \infty }$) شائعة في الجبر والتفاضل والتكامل، حيث تقيس الألف أحجام المجموعات، بينما يتم تعريف اللانهاية عادة إما كحد أقصى لخط الأعداد الحقيقية (يتم تطبيقه على دالة أو متتالية " تتباعد إلى اللانهاية" أو "تزداد بلا حدود")، أو كنقطة قصوى لخط الأعداد الحقيقية الممتد .

${\displaystyle \aleph _{0}}$( ألف صفر ، ألف صفر ، أو ألف نول ) هو عدد عناصر مجموعة جميع الأعداد الطبيعية، وهو عدد أصلي غير منتهٍ . أما مجموعة جميع الأعداد الترتيبية المنتهية ، فتُسمى${\displaystyle \omega }$أو${\displaystyle \omega _{0}}$(أين${\displaystyle \omega }$الحرف اليوناني الصغير أوميغا (ω )، وله أيضاً عددية${\displaystyle \aleph _{0}}$. المجموعة لها عدد أصلي${\displaystyle \aleph _{0}}$إذا وفقط إذا كانت مجموعة لا نهائية قابلة للعد ، أي أن هناك تقابلًا (تناظرًا واحدًا لواحد) بينها وبين الأعداد الطبيعية. ومن أمثلة هذه المجموعات:

• مجموعة الأعداد الطبيعية ، بغض النظر عن تضمين الصفر أو استبعاده،
• مجموعة جميع الأعداد الصحيحة ،
• أي مجموعة جزئية غير منتهية من الأعداد الصحيحة، مثل مجموعة جميع الأعداد المربعة أو مجموعة جميع الأعداد الأولية ،
• مجموعة جميع الأعداد النسبية ،
• مجموعة جميع الأعداد القابلة للإنشاء (بالمعنى الهندسي)،
• مجموعة جميع الأعداد الجبرية ،
• مجموعة جميع الأعداد القابلة للحساب ،
• مجموعة جميع الدوال القابلة للحساب ،
• مجموعة جميع السلاسل الثنائية ذات الطول المحدود، و
• مجموعة جميع المجموعات الجزئية المنتهية لأي مجموعة معطاة غير منتهية قابلة للعد.

من بين المجموعات غير المحدودة القابلة للعد توجد بعض الأعداد الترتيبية غير المحدودة، ^{[ ج ]} بما في ذلك على سبيل المثال${\displaystyle \omega }$،${\displaystyle \omega +1}$،${\displaystyle \omega \cdot 2}$،${\displaystyle \omega ^{2}}$،${\displaystyle \أوميغا ^{\أوميغا }}$، و${\displaystyle \varepsilon _{0}}$[ ^{6 ]} على سبيل المثال، التسلسل (مع نوع الترتيب ⁾${\displaystyle \omega \cdot 2}$) من جميع الأعداد الفردية الموجبة متبوعة بجميع الأعداد الزوجية الموجبة${\displaystyle \{1,3,5,7,9,\cdots ;2,4,6,8,10,\cdots \}}$هو ترتيب جيد للمجموعة (مع عدد عناصر)${\displaystyle \aleph _{0}}$) من الأعداد الصحيحة الموجبة.

إذا تحققت بديهية الاختيار القابل للعد (وهي نسخة أضعف من بديهية الاختيار )، فإن${\displaystyle \aleph _{0}}$أصغر من أي عدد أصلي لانهائي آخر.

${\displaystyle \aleph _{1}}$يمثل عدد عناصر مجموعة جميع الأعداد الترتيبية القابلة للعد . ^{[ 7 ]} ويُرمز لهذه المجموعة بـ${\displaystyle \omega _{1}}$(أو أحيانًا Ω). المجموعة${\displaystyle \omega _{1}}$هو نفسه عدد ترتيبي أكبر من جميع الأعداد القابلة للعد، لذا فهو مجموعة غير قابلة للعد . لذلك، ${\displaystyle \aleph _{1}}$هو أصغر عدد أصلي أكبر من${\displaystyle \aleph _{0},}$أصغر عدد لا نهائي.

تعريف${\displaystyle \aleph _{1}}$يشير ذلك (في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات بدون بديهية الاختيار) إلى أنه لا يوجد عدد أصلي بين${\displaystyle \aleph _{0}}$و${\displaystyle \aleph _{1}.}$إذا تم استخدام بديهية الاختيار ، فيمكن إثبات أن فئة الأعداد الأصلية مرتبة ترتيبًا كليًا ، وبالتالي${\displaystyle \aleph _{1}}$هو ثاني أصغر عدد أصلي لانهائي. يمكن للمرء أن يُظهر إحدى أكثر خصائص المجموعة فائدةً ⁠${\displaystyle \omega _{1}}$: أي مجموعة فرعية قابلة للعد من${\displaystyle \omega _{1}}$له حد أعلى في${\displaystyle \omega _{1}}$(ينتج هذا عن حقيقة أن اتحاد عدد قابل للعد من المجموعات القابلة للعد هو نفسه قابل للعد). هذه الحقيقة مماثلة للوضع في${\displaystyle \aleph _{0}}$: كل ​​مجموعة منتهية من الأعداد الطبيعية لها قيمة عظمى، وهي أيضًا عدد طبيعي، والاتحادات المنتهية للمجموعات المنتهية هي مجموعات منتهية.

مثال على تطبيق الترتيب${\displaystyle \omega _{1}}$يُقصد بـ "الإغلاق" هنا "الإغلاق" فيما يتعلق بعمليات العد ؛ على سبيل المثال، محاولة وصف جبر سيجما المُوَلَّد بواسطة مجموعة عشوائية من المجموعات الجزئية (انظر على سبيل المثال تسلسل بوريل الهرمي). يُعد هذا أصعب من معظم الأوصاف الصريحة لـ "التوليد" في الجبر ( الفضاءات المتجهة ، والمجموعات ، وما إلى ذلك) لأنه في تلك الحالات يتعين علينا فقط الإغلاق فيما يتعلق بالعمليات المنتهية - المجاميع، والضرب، وما إلى ذلك. تتضمن العملية تعريف مجموعة، لكل عدد ترتيبي قابل للعد، عبر الاستقراء المتسامي ، عن طريق "إدخال" جميع الاتحادات والمكملات القابلة للعد الممكنة ، وأخذ اتحاد كل ذلك على كل${\displaystyle \omega _{1}.}$

عدد عناصر مجموعة الأعداد الحقيقية ( عدد عناصر المتصل ) هو 2^{${\displaystyle \aleph _{0}}$}لا يمكن تحديد مكان هذا العدد بدقة في التسلسل الهرمي لأعداد الألف من خلال نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات المعززة ببديهية الاختيار ( ZFC )، ولكن يتبين من ZFC أن فرضية الاستمرارية (CH) مكافئة للهوية.

${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$[ ^{8 ]​}

تنص فرضية التماثل (CH) على أنه لا توجد مجموعة يكون عدد عناصرها محصورًا تمامًا بين عدد عناصر الأعداد الطبيعية والأعداد الحقيقية. ^{[ 9 ]} فرضية التماثل مستقلة عن نظرية ZFC: لا يمكن إثباتها أو دحضها في سياق نظام البديهيات هذا (شريطة أن تكون نظرية ZFC متسقة ). وقد أثبت كورت غودل اتساق فرضية التماثل مع نظرية ZFC عام 1940، عندما بيّن أن نفيها ليس نظرية من نظريات ZFC. وأثبت بول كوهين استقلالها عن نظرية ZFC عام 1963، عندما بيّن، على العكس، أن فرضية التماثل نفسها ليست نظرية من نظريات ZFC، باستخدام طريقة الإجبار (التي كانت جديدة آنذاك) . ^{[ 8 ] [ 10 ]}

ألف-أوميغا هو${\displaystyle \aleph _{\omega }=\aleph _{n}^{n\in \omega }=\aleph _{n}^{n\in \{0,1,2,\cdots \}}}$حيث يُرمز إلى أصغر عدد ترتيبي لانهائي بـ${\displaystyle \omega }$أي العدد الأصلي${\displaystyle \aleph _{\أوميغا }}$هو الحد الأعلى الأدنى لـ${\displaystyle \aleph _{n}^{n\in \{0,1,2,\cdots \}}}$.

والجدير بالذكر،${\displaystyle \aleph _{\أوميغا }}$هو أول عدد أصلي غير قابل للعد يمكن إثبات أنه في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات لا يساوي عدد عناصر مجموعة جميع الأعداد الحقيقية${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$: لأي عدد طبيعي${\displaystyle n\geq 1}$، يمكننا أن نفترض باستمرار أن${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}}$وعلاوة على ذلك، من الممكن افتراض أن${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$لا يقل حجمه عن أي عدد أصلي نرغب فيه. القيد الرئيسي الذي يفرضه ZFC على قيمة${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$وهو أنه لا يمكن أن يساوي أعدادًا أصلية خاصة معينة ذات نهاية مشتركة.${\displaystyle \aleph _{0}}$عدد أصلي لا نهائي لا يُحصى${\displaystyle \kappa }$وجود نهاية مشتركة${\displaystyle \aleph _{0}}$يعني ذلك وجود تسلسل (طوله قابل للعد)${\displaystyle \kappa _{0}\leq \kappa _{1}\leq \kappa _{2}\leq \cdots }$من الكرادلة${\displaystyle \kappa _{i}<\kappa }$حدها ​​(أي حدها الأعلى الأدنى) هو${\displaystyle \kappa }$(انظر نظرية إيستون ). وفقًا للتعريف أعلاه،${\displaystyle \aleph _{\أوميغا }}$هي نهاية سلسلة قابلة للعد من الأعداد الأصلية الأصغر.

لتحديد${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$لأي عدد ترتيبي${\displaystyle \alpha }$، يجب علينا تعريف عملية العدد الأصلي اللاحقة ، التي تُسند إلى أي عدد أصلي${\displaystyle \rho }$الكاردينال الأكبر التالي ذو النظام الجيد${\displaystyle \rho ^{+}}$(إذا صحت بديهية الاختيار ، فهذا هو العدد الأصلي الأكبر التالي (الفريد)).

يمكننا بعد ذلك تعريف أعداد الألف على النحو التالي:

${\displaystyle \aleph _{0}=\أوميغا }$

${\displaystyle \aleph _{\alpha +1}=(\aleph _{\alpha })^{+}}$

${\displaystyle \aleph _{\lambda }=\bigcup \{\aleph _{\alpha }|\alpha <\lambda \}}$ل${\displaystyle \lambda }$عدد ترتيبي ذو حد لانهائي ،

ال${\displaystyle \alpha }$يُكتب العدد الترتيبي الأولي اللانهائي رقم -th${\displaystyle \أوميغا _{\alpha }}$. عدد عناصرها مكتوب${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$.

أو بدلاً من ذلك، لكل عدد أصلي لانهائي${\displaystyle \kappa }$يمكن تعريف الفهرس بأنه الترتيب الترتيبي لمجموعة الأعداد الأصلية اللانهائية المرتبة ترتيبًا جيدًا والتي تسبقها.${\displaystyle \kappa }$ثم يمكن إثبات ذلك بالاستقراء المتسامي إذا${\displaystyle \alpha }$في فهرس${\displaystyle \kappa }$ثم${\displaystyle \kappa =\aleph _{\alpha }}$

بشكل غير رسمي، دالة أليف${\displaystyle \aleph$ الدالة `On` متناظرة من الأعداد الترتيبية إلى الأعداد الأصلية اللانهائية التي يمكن ترتيبها ترتيبًا جيدًا. رسميًا، في ZFC ،${\displaystyle \aleph }$ليست دالة ، بل هي فئة تشبه الدالة، لأنها ليست مجموعة (بسبب مفارقة بورالي-فورتي ).

لأي ترتيب${\displaystyle \alpha }$لدينا${\displaystyle \alpha \leq \omega _{\alpha }}$.

في كثير من الحالات${\displaystyle \أوميغا _{\alpha }}$أكبر من α بشكل قاطع . على سبيل المثال، ينطبق هذا على أي عدد ترتيبي لاحق :${\displaystyle \alpha +1\leq \omega _{\alpha }<\omega _{\alpha +1}}$صحيح. مع ذلك، توجد بعض القيم الترتيبية الحدية التي تمثل نقاطًا ثابتة لدالة أوميغا، وذلك بسبب مبرهنة النقطة الثابتة للدوال العادية . أول هذه القيم هي نهاية المتتالية

${\displaystyle \omega ,\omega _{\omega },\omega _{\omega _{\omega }},\cdots }$

والذي يُشار إليه أحيانًا بـ${\textstyle \omega _{\omega _{\ddots }}}$.

أي عدد أصلي ضعيف الوصول إليه هو أيضًا نقطة ثابتة لدالة أليف. ^{[ 11 ]} يمكن إثبات ذلك في ZFC كما يلي. لنفترض${\displaystyle \kappa =\aleph _{\lambda }}$هو عدد أصلي يصعب الوصول إليه بشكل ضعيف. إذا${\displaystyle \lambda }$كان ترتيبًا لاحقًا ، ثم${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$سيكون عددًا أصليًا خلفًا، وبالتالي لن يكون غير قابل للوصول إليه بشكل ضعيف. إذا${\displaystyle \lambda }$كانت حدًا ترتيبيًا أقل من${\displaystyle \kappa }$ثم نهايتها المشتركة (وبالتالي النهاية المشتركة لـ${\displaystyle \aleph _{\lambda }}$) سيكون أقل من${\displaystyle \kappa }$وهكذا${\displaystyle \kappa }$لن يكون منتظمًا، وبالتالي لن يكون غير قابل للوصول بشكل ضعيف.${\displaystyle \lambda \geq \kappa }$وبالتالي${\displaystyle \lambda =\kappa }$مما يجعلها نقطة ثابتة.

عدد عناصر أي عدد ترتيبي لانهائي هو عدد ألفي. كل عدد ألفي هو عدد عناصر عدد ترتيبي ما. أصغر هذه الأعداد هو العدد الترتيبي الأول . أي مجموعة عدد عناصرها عدد ألفي تكون متساوية في العدد مع عدد ترتيبي، وبالتالي فهي قابلة للترتيب الجيد .

كل مجموعة منتهية قابلة للترتيب الجيد، ولكن ليس لها عنصر ألف كعدد أصلي لها.

في نظرية ZF، يُكافئ افتراض أن عدد عناصر كل مجموعة لانهائية هو عدد ألفي وجود ترتيب جيد لكل مجموعة، وهو ما يُكافئ بدوره بديهية الاختيار . وتفترض نظرية ZFC للمجموعات، التي تتضمن بديهية الاختيار، أن كل مجموعة لانهائية لها عدد ألفي كعدد عناصرها (أي أنها متساوية في العدد مع ترتيبها الأولي)، وبالتالي فإن الترتيبات الأولية للأعداد الألفية تُمثل فئة من الممثلين لجميع الأعداد الأصلية اللانهائية الممكنة.

عند دراسة عدد العناصر في نظرية ZF دون مسلمة الاختيار، يصبح من غير الممكن إثبات أن كل مجموعة لانهائية تحتوي على عدد ألفي كعدد عناصرها؛ فالمجموعات التي يكون عدد عناصرها عددًا ألفيًا هي تحديدًا المجموعات اللانهائية التي يمكن ترتيبها ترتيبًا جيدًا. تُستخدم أحيانًا طريقة خدعة سكوت كطريقة بديلة لإنشاء ممثلين للأعداد الأصلية في سياق نظرية ZF. على سبيل المثال، يمكن تعريف${\displaystyle {\text{card}}(S)}$أن تكون مجموعة المجموعات التي لها نفس عدد العناصر مثل${\displaystyle S}$من أدنى رتبة ممكنة. وهذا يتميز بالخاصية التالية:${\displaystyle {\text{card}}(S)={\text{card}}(T)}$إذا وفقط إذا${\displaystyle S}$و${\displaystyle T}$لها نفس العدد الأصلي. (المجموعة)${\displaystyle {\text{card}}(S)}$لا يمتلك نفس عدد العناصر${\displaystyle S}$بشكل عام، ولكن جميع عناصرها تفعل ذلك.)

• رقم بيث
• دالة جيميل
• الكاردينال العادي
• اللانهاية
• عدد لا نهائي
• العدد الترتيبي

• "ألف-صفر" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "ألف-0" . عالم الرياضيات .