رقم مربع

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( فبراير 2012 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

في الرياضيات ، العدد المربع أو المربع الكامل هو عدد صحيح هو مربع عدد صحيح؛ ^[1] بمعنى آخر، هو حاصل ضرب عدد صحيح مع نفسه. على سبيل المثال، 9 هو عدد مربع، لأنه يساوي 3 ² ويمكن كتابته على النحو التالي 3 × 3 .

إن الصيغة المعتادة لتربيع عدد n ليست حاصل ضرب n  ×  n ، بل الأس المكافئ n ² ، والذي يُنطق عادةً " n تربيع". يأتي اسم العدد المربع من اسم الشكل. تُعرَّف وحدة المساحة بأنها مساحة المربع الوحدوي ( 1 × 1 ). وبالتالي، فإن المربع الذي يبلغ طول ضلعه n تبلغ مساحته n ^2. إذا تم تمثيل عدد مربع بنقاط n ، فيمكن ترتيب النقاط في صفوف كمربع يحتوي كل ضلع منه على نفس عدد النقاط مثل الجذر التربيعي لـ n ؛ وبالتالي، فإن الأعداد المربعة هي نوع من الأعداد المجازية (الأمثلة الأخرى هي الأعداد المكعبة والأعداد المثلثية ).

في نظام الأعداد الحقيقية ، تكون الأعداد المربعة غير سالبة . ويكون العدد الصحيح غير السالب عددًا مربعًا عندما يكون جذره التربيعي عددًا صحيحًا أيضًا. على سبيل المثال، 9 هو عدد مربع. ${\displaystyle {\sqrt {9}}=3,}$

العدد الصحيح الموجب الذي ليس له قواسم مربعة باستثناء 1 يسمى خاليًا من المربع .

بالنسبة لعدد صحيح غير سالب n ، فإن العدد المربع n هو n ² ، حيث 0 ² = 0 هو العدد صفر . يمكن توسيع مفهوم المربع إلى بعض أنظمة الأعداد الأخرى. إذا تم تضمين الأعداد النسبية ، فإن المربع هو نسبة عددين صحيحين مربعين، وعلى العكس من ذلك، فإن نسبة عددين صحيحين مربعين هي مربع، على سبيل المثال، . ${\displaystyle \textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}$

بدءًا من 1، هناك أرقام مربعة تصل إلى m بما في ذلك، حيث يمثل التعبير الحد الأدنى للرقم  x . ${\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor }$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$

المربعات (التسلسل A000290 في OEIS ) الأصغر من 60 ²  = 3600 هي:

الفرق بين أي مربع كامل ومربعه السابق يُعطى بواسطة المتطابقة n ² − ( n − 1) ² = 2 n − 1 . وعلى نحو مكافئ، من الممكن حساب الأعداد المربعة عن طريق إضافة المربع الأخير وجذر المربع الأخير والجذر الحالي، أي n ² = ( n − 1) ² + ( n − 1) + n .

العدد m هو عدد مربع إذا وفقط إذا كان من الممكن ترتيب m نقطة في مربع:

م = 1 2 = 1
م = 2 2 = 4
م = 3 2 = 9
م = 4 2 = 16
م = 5 2 = 25

إن تعبير العدد المربع n هو n ² . وهو يساوي أيضًا مجموع أول n عدد فردي كما يمكن رؤيته في الصور أعلاه، حيث ينتج مربع من العدد السابق عن طريق إضافة عدد فردي من النقاط (كما هو موضح باللون الأرجواني). والصيغة كالتالي: على سبيل المثال، 5 ² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 . $${\displaystyle n^{2}=\مجموع _{k=1}^{n}(2k-1).}$$

توجد عدة طرق متكررة لحساب الأعداد المربعة. على سبيل المثال، يمكن حساب العدد المربع n من العدد المربع السابق بواسطة n ² = ( n − 1) ² + ( n − 1) + n = ( n − 1) ² + (2 n − 1) . أو بدلاً من ذلك، يمكن حساب العدد المربع n من العددين السابقين عن طريق مضاعفة العدد المربع ( n  − 1) وطرح العدد المربع ( n  − 2) وإضافة 2، لأن n ² = 2( n − 1) ² − ( n − 2) ² + 2 . على سبيل المثال،

2 × 5 ² − 4 ² + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6 ² .

المربع ناقص واحد للعدد m هو دائمًا حاصل ضرب و أي، على سبيل المثال، بما أن 7 ² = 49 ، فإن واحد يكون . و بما أن العدد الأولي له عوامل 1 ونفسه فقط، و بما أن m = 2 هي القيمة الوحيدة غير الصفرية للعدد m التي تعطي عامل 1 على الجانب الأيمن من المعادلة أعلاه، فمن الطبيعي أن 3 هو العدد الأولي الوحيد الأقل من المربع بمقدار واحد ( 3 = 2 ² − 1 ). ${\displaystyle m-1}$${\displaystyle m+1;}$$${\displaystyle m^{2}-1=(m-1)(m+1).}$$${\displaystyle 6\times 8=48}$

بشكل عام، الفرق بين مربعي عددين هو حاصل ضرب مجموعهما في الفرق بينهما. أي أن هذه هي صيغة الفرق بين المربعين ، والتي يمكن أن تكون مفيدة للحساب الذهني: على سبيل المثال، يمكن حساب 47 × 53 بسهولة على النحو التالي: 50 ² − 3 ² = 2500 − 9 = 2491. العدد المربع هو أيضًا مجموع عددين مثلثيين متتاليين . مجموع عددين مربعين متتاليين هو عدد مربع مركزي . كل مربع فردي هو أيضًا عدد ثماني مركزي . $${\displaystyle أ^{2}-ب^{2}=(أ+ب)(أب)}$$

من خصائص العدد المربع أنه (باستثناء 0) يحتوي على عدد فردي من القواسم الموجبة، في حين أن الأعداد الطبيعية الأخرى تحتوي على عدد زوجي من القواسم الموجبة. الجذر الصحيح هو القاسم الوحيد الذي يقترن مع نفسه لإنتاج العدد المربع، في حين تأتي القواسم الأخرى في أزواج.

تنص نظرية المربعات الأربعة لاغرانج على أنه يمكن كتابة أي عدد صحيح موجب كمجموع أربعة مربعات كاملة أو أقل. لا تكفي ثلاثة مربعات للأعداد من النموذج 4 ^k (8 m + 7) . يمكن تمثيل عدد صحيح موجب كمجموع مربعين على وجه التحديد إذا كان تحليله إلى عوامل أولية لا يحتوي على قوى فردية للأعداد الأولية من النموذج 4 k + 3. يتم تعميم هذا من خلال مشكلة وارنج .

في القاعدة 10 ، يمكن أن ينتهي الرقم المربع فقط بالأرقام 0، 1، 4، 5، 6 أو 9، على النحو التالي:

• إذا كان الرقم الأخير من الرقم هو 0، فإن مربعه ينتهي بـ 00؛
• إذا كان الرقم الأخير في الرقم هو 1 أو 9، فإن مربعه ينتهي برقم زوجي يتبعه الرقم 1؛
• إذا كان الرقم الأخير في الرقم هو 2 أو 8، فإن مربعه ينتهي برقم زوجي يتبعه الرقم 4؛
• إذا كان الرقم الأخير في الرقم هو 3 أو 7، فإن مربعه ينتهي برقم زوجي يتبعه الرقم 9؛
• إذا كان الرقم الأخير من الرقم هو 4 أو 6، فإن مربعه ينتهي برقم فردي يتبعه الرقم 6؛ و
• إذا كان الرقم الأخير في الرقم هو 5، فإن مربعه ينتهي بالرقم 25.

في القاعدة 12 ، يمكن أن ينتهي الرقم المربع فقط بأرقام مربعة (كما هو الحال في القاعدة 12، يمكن أن ينتهي الرقم الأولي فقط بأرقام أولية أو 1)، أي 0 أو 1 أو 4 أو 9، على النحو التالي:

• إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 2 وعلى 3 (أي قابلاً للقسمة على 6)، فإن مربعه ينتهي بـ 0، ويجب أن يكون رقمه السابق 0 أو 3؛
• إذا كان الرقم لا يقبل القسمة على 2 ولا على 3، فإن مربعه ينتهي بالرقم 1، ويجب أن يكون الرقم السابق له زوجيًا؛
• إذا كان الرقم قابلاً للقسمة على 2، ولكن ليس على 3، فإن مربعه ينتهي بالرقم 4، ويجب أن يكون الرقم السابق له 0، 1، 4، 5، 8، أو 9؛ و
• إذا لم يكن الرقم قابلاً للقسمة على 2، بل على 3، فإن مربعه ينتهي بـ 9، ويجب أن يكون رقمه السابق 0 أو 6.

يمكن إعطاء قواعد مماثلة لقواعد أخرى، أو للأرقام السابقة (العشرات بدلاً من الآحاد، على سبيل المثال). ^{[ بحاجة لمصدر ]} ويمكن إثبات كل هذه القواعد من خلال التحقق من عدد ثابت من الحالات واستخدام الحساب المعياري .

بشكل عام، إذا قسم عدد أولي  p عددًا مربعًا  m ، فيجب أن يقسم مربع p أيضًا m ؛ إذا فشل p في القسمةم/ص⁠ ، إذن فإن m ليس مربعًا بالتأكيد. بتكرار عمليات التقسيم في الجملة السابقة، نستنتج أن كل عدد أولي يجب أن يقسم مربعًا كاملًا معينًا عددًا زوجيًا من المرات (بما في ذلك ربما 0 مرة). وبالتالي، فإن العدد m هو عدد مربع إذا وفقط إذا، في تمثيله التقليدي ، كانت جميع الأسس زوجية.

يمكن استخدام اختبار التربيع كطريقة بديلة في تحليل الأعداد الكبيرة إلى عوامل. فبدلاً من اختبار قابلية القسمة، اختبر التربيع: بالنسبة إلى m ورقم معين  k ، إذا كان k ² − m هو مربع عدد صحيح  n فإن k − n يقسم m . (هذا تطبيق لتحليل الفرق بين مربعين إلى عوامل ). على سبيل المثال، 100 ² − 9991 هو مربع 3، وبالتالي فإن 100 − 3 يقسم 9991. هذا الاختبار حتمي بالنسبة للقواسم الفردية في النطاق من k − n إلى k + n حيث يغطي k نطاقًا من الأعداد الطبيعية${\displaystyle k\geq {\sqrt {m}}.}$

لا يمكن للعدد المربع أن يكون عددًا مثاليًا .

مجموع الأعداد المربعة الأولى n هو القيم الأولى لهذه المجاميع، الأعداد الهرمية المربعة ، هي: (التسلسل A000330 في OEIS ) $${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.}$$

0، 1، 5، 14، 30، 55، 91، 140، 204، 285، 385، 506، 650، 819، 1015، 1240، 1496، 1785، 2109، 2470، 2870، 3311، 3795، 4324، 49 00، 5525، 6201...

مجموع الأعداد الصحيحة الفردية الأولى، التي تبدأ بالواحد، هو مربع كامل: 1، 1 + 3، 1 + 3 + 5، 1 + 3 + 5 + 7، إلخ. وهذا يفسر قانون جاليليو للأعداد الفردية : إذا قطع جسم سقط من السكون وحدة مسافة واحدة في أول فترة زمنية عشوائية، فإنه قطع 3، 5، 7، إلخ، وحدات مسافة في فترات زمنية لاحقة بنفس الطول. من ، لـ u = 0 والثابت a (تسارع بسبب الجاذبية بدون مقاومة الهواء)؛ لذا فإن s يتناسب مع t ² ، والمسافة من نقطة البداية عبارة عن مربعات متتالية للقيم الصحيحة للوقت المنقضي. ^[2]${\displaystyle s=ut+\tfrac {1}{2}}at^{2}}$

مجموع أول n مكعب هو مربع مجموع أول n عدد صحيح موجب؛ هذه هي نظرية نيقوماخوس .

جميع القوى الرابعة والسادسة والثامنة وما إلى ذلك هي مربعات كاملة.

العلاقة الفريدة مع الأعداد المثلثية هي:${\displaystyle T_{n}}$$${\displaystyle (T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}}$$

المربعات التي تحتوي على أعداد زوجية تكون زوجية، وقابلة للقسمة على 4، لأن (2 n ) ² = 4 n ² . والمربعات التي تحتوي على أعداد فردية تكون فردية، وقابلة للقسمة على 1 بتعديل 8، لأن (2 n + 1) ² = 4 n ( n + 1) + 1 ، و n ( n + 1) تكون زوجية دائمًا. بعبارة أخرى، يكون باقي جميع المربعات الفردية 1 عند قسمتها على 8.

كل مربع كامل فردي هو عدد ثماني الأضلاع مركزه . والفرق بين أي مربعين كاملين فرديين هو مضاعف للرقم 8. والفرق بين 1 وأي مربع كامل فردي أعلى هو دائمًا ثمانية أمثال عدد مثلثي، بينما الفرق بين 9 وأي مربع كامل فردي أعلى هو ثمانية أمثال عدد مثلثي ناقص ثمانية. ونظرًا لأن جميع الأعداد المثلثية لها عامل فردي، ولكن لا تختلف قيمتان لـ 2 ⁿ بمقدار يحتوي على عامل فردي، فإن المربع الكامل الوحيد من الشكل 2 ⁿ − 1 هو 1، والمربع الكامل الوحيد من الشكل 2 ⁿ + 1 هو 9.

• إذا كان الرقم من النموذج m 5 حيث يمثل m الأرقام السابقة، فإن مربعه هو n 25 حيث n = m ( m + 1) ويمثل الأرقام قبل 25. على سبيل المثال، يمكن حساب مربع 65 بواسطة n = 6 × (6 + 1) = 42 مما يجعل المربع يساوي 4225.
• إذا كان الرقم من النموذج m 0 حيث يمثل m الأرقام السابقة، فإن مربعه هو n 00 حيث n = m ^2. على سبيل المثال، مربع 70 هو 4900.
• إذا كان العدد مكونًا من رقمين وكان على هيئة 5 م حيث يمثل م رقم الآحاد، فإن مربعه يكون aabb حيث aa = 25 + م و bb = م ^2. على سبيل المثال، لحساب مربع 57، م = 7 و 25 + 7 = 32 و 7 ² = 49 ، لذا فإن 57 ² = 3249 .
• إذا انتهى الرقم بـ 5، فإن مربعه سينتهي بـ 5؛ وبالمثل بالنسبة للنهاية بـ 25، 625، 0625، 90625، ... 8212890625، إلخ. إذا انتهى الرقم بـ 6، فإن مربعه سينتهي بـ 6، وبالمثل بالنسبة للنهاية بـ 76، 376، 9376، 09376، ... 1787109376. على سبيل المثال، مربع 55376 هو 3066501376، وكلاهما ينتهي بـ 376. (تسمى الأرقام 5 و6 و25 و76 وما إلى ذلك بالأعداد المتماثلة . وهي التسلسل A003226 في OEIS . ^[3] )
• في الأساس 10، يتبع الرقمان الأخيران من الأرقام المربعة نمطًا متكررًا منعكسًا متماثلًا حول مضاعفات 25. في مثال 24 و26، كلاهما أقل بمقدار 1 من 25، 24 ² = 576 و 26 ² = 676 ، وكلاهما ينتهي بـ 76. بشكل عام، . ينطبق نمط مماثل على آخر 3 أرقام حول مضاعفات 250، وهكذا. نتيجة لذلك، من بين 100 رقمين أخيرين محتملين، يحدث 22 منهم فقط بين الأرقام المربعة (نظرًا لأن 00 و25 مكرران).${\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}$

• كونواي، جيه إتش وجاي ، آر كيه كتاب الأعداد . نيويورك: سبرينغر فيرلاغ، ص 30-32، 1996. رقم ISBN 0-387-97993-X 
• كيران بارولكار. الخصائص المذهلة للمربعات وحساباتها . كيران أنيل بارولكار، 2012 https://books.google.com/books?id=njEtt7rfexEC