حزمة مماسية

الحزمة المماسية هي مجموعة جميع الفضاءات المماسية لجميع النقاط على مشعب ، مُهيكلة بطريقة تُشكل مشعبًا جديدًا بحد ذاتها. رسميًا، في الهندسة التفاضلية ، الحزمة المماسية لمشعب قابل للتفاضل${\displaystyle M}$هو متعدد الشعب${\displaystyle TM}$والتي تجمع جميع متجهات المماس في${\displaystyle M}$كمجموعة، تُعطى بواسطة الاتحاد المنفصل ^{[ ملاحظة 1 ]} للفضاءات المماسية لـ${\displaystyle M}$. إنه،

${\displaystyle {\begin{aligned}TM&=\bigsqcup _{x\in M}T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{(x,y)\mid y\in T_{x}M\right\}\\&=\left\{(x,y)\mid x\in M,\,y\in T_{x}M\right\}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle T_{x}M}$يشير إلى الفضاء المماسي لـ${\displaystyle M}$عند النقطة${\displaystyle x}$إذن، عنصر من${\displaystyle TM}$يمكن اعتبارها زوجًا${\displaystyle (x,v)}$، أين${\displaystyle x}$هي نقطة في${\displaystyle M}$و${\displaystyle v}$هو متجه مماس لـ${\displaystyle M}$في${\displaystyle x}$.

يوجد بروز طبيعي

${\displaystyle \pi :TM\twoheadrightarrow M}$

محدد بواسطة${\displaystyle \pi (x,v)=x}$هذا الإسقاط يرسم كل عنصر من عناصر الفضاء المماسي${\displaystyle T_{x}M}$إلى نقطة واحدة${\displaystyle x}$.

تأتي الحزمة المماسية مزودة بطوبولوجيا طبيعية (موصوفة في قسم أدناه ). وبفضل هذه الطوبولوجيا، تُعد الحزمة المماسية لمتشعب مثالًا نموذجيًا للحزمة المتجهة (وهي حزمة ليفية أليافها فضاءات متجهة ) .${\displaystyle TM}$هو حقل متجه على${\displaystyle M}$والحزمة المزدوجة إلى${\displaystyle TM}$هي حزمة الظل المشترك ، وهي الاتحاد المنفصل لفضاءات الظل المشترك لـ${\displaystyle M}$. بحسب التعريف، متعدد الشعب${\displaystyle M}$تكون قابلة للتوازي إذا وفقط إذا كانت حزمة المماس تافهة . بحسب التعريف، فإن المتشعب${\displaystyle M}$يتم تأطيرها إذا وفقط إذا كانت حزمة المماس${\displaystyle TM}$هو تافه بشكل مستقر، مما يعني أنه بالنسبة لبعض الحزم التافهة${\displaystyle E}$مجموع ويتني${\displaystyle ™\oplus E}$هذا أمر بديهي. على سبيل المثال، الكرة ذات الأبعاد n S ⁿ مؤطرة لجميع قيم n ، ولكنها قابلة للتوازي فقط لـ n = 1، 3، 7 (بحسب نتائج بوت-ميلنور وكيرفير).

تتمثل إحدى الأدوار الرئيسية لحزمة المماس في توفير مجال ومدى لمشتقة دالة سلسة. أي، إذا${\displaystyle f:M\rightarrow N}$هي دالة سلسة، مع${\displaystyle M}$و${\displaystyle N}$في المشعبات الملساء، تكون مشتقتها دالة ملساء${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$.

تأتي حزمة المماس مزودة بطوبولوجيا طبيعية ( وليست طوبولوجيا الاتحاد المنفصل ) وبنية سلسة تجعلها متعددة الشعب بحد ذاتها. بُعد${\displaystyle TM}$يبلغ ضعف أبعاد${\displaystyle M}$.

كل فضاء مماس لمتشعب ذي n بُعد هو فضاء متجهي ذو n بُعد. إذا${\displaystyle U}$هي مجموعة فرعية مفتوحة قابلة للانكماش من ${\displaystyle M}$ثم يكون هناك تماثل تفاضلي${\displaystyle TU\to U\times \mathbb {R} ^{n}}$والذي يقتصر على التشاكل الخطي من كل فضاء مماس${\displaystyle T_{x}U}$ل${\displaystyle \{x\}\times \mathbb {R} ^{n}}$لكن ككيان متعدد الأوجه،${\displaystyle TM}$لا يكون دائمًا متماثلًا مع متعدد الشعب الناتج${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}$عندما يكون على شكل${\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}$إذا كان ، فإن الحزمة المماسية تُسمى حزمة تافهة . عادةً ما تظهر الحزم المماسية التافهة في الفضاءات متعددة الشعب المزودة بـ "بنية زمرة متوافقة"؛ على سبيل المثال، عندما يكون الفضاء متعدد الشعب زمرة لي . الحزمة المماسية لدائرة الوحدة تافهة لأنها زمرة لي (تحت الضرب وبنيتها التفاضلية الطبيعية). مع ذلك، ليس صحيحًا أن جميع الفضاءات ذات الحزم المماسية التافهة هي زمر لي؛ تُسمى الفضاءات متعددة الشعب التي تحتوي على حزمة مماسية تافهة قابلة للتوازي . وكما تُنمذج الفضاءات متعددة الشعب محليًا على الفضاء الإقليدي ، تُنمذج الحزم المماسية محليًا على${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}$، أين${\displaystyle U}$هي مجموعة فرعية مفتوحة من الفضاء الإقليدي.

إذا كانت M عبارة عن مشعب أملس ذي n بُعد، فإنه يأتي مزودًا بأطلس من المخططات${\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}$، أين${\displaystyle U_{\alpha }}$هي مجموعة مفتوحة في${\displaystyle M}$و

${\displaystyle \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}}$

هو تماثل تفاضلي . هذه الإحداثيات المحلية على${\displaystyle U_{\alpha }}$يؤدي إلى تماثل${\displaystyle T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$للجميع${\displaystyle x\in U_{\alpha }}$يمكننا بعد ذلك تعريف خريطة

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }:\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\to \mathbb {R} ^{2n}}$

بواسطة

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(x,v^{i}\partial _{i}\right)=\left(\phi _{\alpha }(x),v^{1},\cdots ,v^{n}\right)}$

نستخدم هذه الخرائط لتحديد الطوبولوجيا والبنية السلسة على${\displaystyle TM}$مجموعة فرعية${\displaystyle A}$ل${\displaystyle TM}$يفتح إذا وفقط إذا

${\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(A\cap \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\right)}$

مفتوح في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$لكل${\displaystyle \alpha .}$هذه الخرائط هي تماثلات بين مجموعات فرعية مفتوحة من${\displaystyle TM}$و${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$وبالتالي تُستخدم كرسوم بيانية للهيكل السلس على${\displaystyle TM}$تتداخل دوال الانتقال على الرسم البياني${\displaystyle \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)}$تُستنتج هذه الدوال من مصفوفات جاكوبي لتحويل الإحداثيات المرتبط بها، وبالتالي فهي دوال سلسة بين مجموعات فرعية مفتوحة من${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$.

تُعد الحزمة المماسية مثالاً على بنية أكثر عمومية تُسمى حزمة متجهة (وهي بحد ذاتها نوع محدد من الحزم الليفية ). وبالتحديد، الحزمة المماسية لـ${\displaystyle n}$متعدد الأبعاد${\displaystyle M}$يمكن تعريفها على أنها رتبة${\displaystyle n}$حزمة المتجهات${\displaystyle M}$والتي تُعطى دوال انتقالها بواسطة جاكوبيان تحويلات الإحداثيات المرتبطة بها.

أبسط مثال على ذلك هو مثال${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$في هذه الحالة، تكون حزمة المماس تافهة: كل${\displaystyle T_{x}\mathbf {\mathbb {R} } ^{n}}$متماثل قانونيًا مع${\displaystyle T_{\mathbf {0} }\mathbb {R} ^{n}}$عبر الخريطة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$والذي يطرح${\displaystyle x}$، مما يعطي شكلاً متماثلاً${\displaystyle T\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}$.

مثال بسيط آخر هو دائرة الوحدة ،${\displaystyle S^{1}}$(انظر الصورة أعلاه). حزمة المماس للدائرة هي أيضًا تافهة ومتماثلة مع${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$هندسياً، هذا عبارة عن أسطوانة ذات ارتفاع لانهائي.

الحزم المماسية الوحيدة التي يمكن تصورها بسهولة هي تلك الخاصة بالخط الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} }$ودائرة الوحدة${\displaystyle S^{1}}$وكلاهما أمران بديهيان. بالنسبة للمتشعبات ثنائية الأبعاد، تكون حزمة المماس رباعية الأبعاد، وبالتالي يصعب تصورها.

من الأمثلة البسيطة على حزمة مماسية غير تافهة هي كرة الوحدة${\displaystyle S^{2}}$هذه الحزمة المماسية غير تافهة نتيجة لنظرية الكرة المشعرة . لذلك، فإن الكرة غير قابلة للتوازي .

يُطلق على التخصيص السلس لمتجه مماس لكل نقطة من نقاط متعدد الشعب اسم حقل متجهي . وبشكل أكثر تحديدًا، حقل متجهي على متعدد الشعب${\displaystyle M}$هي خريطة سلسة

${\displaystyle V\colon M\to TM}$

بحيث${\displaystyle V(x)=(x,V_{x})}$مع${\displaystyle V_{x}\in T_{x}M}$لكل${\displaystyle x\in M}$في لغة حزم الألياف، يُطلق على هذه الخريطة اسم مقطع . حقل متجه على${\displaystyle M}$وبالتالي فهو جزء من حزمة المماس لـ${\displaystyle M}$.

مجموعة جميع حقول المتجهات على${\displaystyle M}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle \Gamma (TM)}$يمكن جمع حقول المتجهات معًا نقطة بنقطة

${\displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}}$

ومضروبة بدوال سلسة على M

${\displaystyle (fV)_{x}=f(x)V_{x}}$

للحصول على حقول متجهة أخرى. مجموعة جميع الحقول المتجهة${\displaystyle \Gamma (TM)}$ثم تتخذ بنية وحدة نمطية فوق الجبر التبادلي للدوال الملساء على M ، ويرمز لها بـ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$.

حقل متجه محلي على${\displaystyle M}$هو مقطع محلي من حزمة المماس. أي أن حقل المتجهات المحلي يُعرَّف فقط على مجموعة مفتوحة ما${\displaystyle U\subset M}$ويخصص لكل نقطة من${\displaystyle U}$متجه في الفضاء المماسي المرتبط به. مجموعة حقول المتجهات المحلية على${\displaystyle M}$يشكل بنية تُعرف باسم حزمة من فضاءات المتجهات الحقيقية على${\displaystyle M}$.

ينطبق البناء المذكور أعلاه بنفس القدر على حزمة الظل التمام - الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى على${\displaystyle M}$وهي تحديداً أقسام حزمة الظل التمام${\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}$،${\displaystyle \omega :M\to T^{*}M}$التي ترتبط بكل نقطة${\displaystyle x\in M}$متجه واحد${\displaystyle \omega _{x}\in T_{x}^{*}M}$، والتي تربط متجهات المماس بالأعداد الحقيقية: ${\displaystyle \omega _{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} }$بصورة مكافئة، شكل تفاضلي من الدرجة الأولى${\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}$يرسم حقل متجه سلس${\displaystyle X\in \Gamma (TM)}$إلى وظيفة سلسة${\displaystyle \omega (X)\in C^{\infty }(M)}$.

بما أن الحزمة المماسية${\displaystyle TM}$إذا كانت بحد ذاتها متعددة الشعب الملساء، فيمكن تعريف حزمة المماس من الدرجة الثانية من خلال التطبيق المتكرر لإنشاء حزمة المماس:

${\displaystyle T^{2}M=T(TM).\,}$

بشكل عام، الـ${\displaystyle k}$حزمة المماس من الرتبة n${\displaystyle T^{k}M}$يمكن تعريفها بشكل متكرر على النحو التالي${\displaystyle T\left(T^{k-1}M\right)}$.

خريطة سلسة${\displaystyle f:M\rightarrow N}$لها مشتقة مستحثة، والتي تكون حزمة المماس هي المجال والمدى المناسبين لها${\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}$وبالمثل، توفر حزم المماس ذات الرتبة الأعلى المجال والمدى للمشتقات ذات الرتبة الأعلى${\displaystyle D^{k}f:T^{k}M\to T^{k}N}$.

ومن بين البنى المتميزة ولكنها ذات صلة حزم النفاثات على مشعب، وهي عبارة عن حزم تتكون من نفاثات .

في كل حزمة مماسية${\displaystyle TM}$إذا اعتبرنا فضاءً متعدد الشعب، فيمكن تعريف حقل متجهي قانوني.${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$باعتبارها الخريطة القطرية على الفضاء المماسي عند كل نقطة. وهذا ممكن لأن الفضاء المماسي للفضاء المتجهي W هو بطبيعته حاصل ضرب.${\displaystyle TW\cong W\times W,}$بما أن الفضاء المتجهي نفسه مسطح، وبالتالي يحتوي على خريطة قطرية طبيعية${\displaystyle W\to TW}$مقدم من${\displaystyle w\mapsto (w,w)}$في ظل بنية المنتج هذه. بتطبيق بنية المنتج هذه على الفضاء المماسي عند كل نقطة وتعميمها، نحصل على حقل المتجهات المتعارف عليه. بشكل غير رسمي، على الرغم من أن المتشعب${\displaystyle M}$منحني، كل مساحة مماسية عند نقطة${\displaystyle x}$،${\displaystyle T_{x}M\approx \mathbb {R} ^{n}}$، مسطح، لذا فإن حزمة المماس متعددة الشعب${\displaystyle TM}$هو محلياً نتاج انحناء${\displaystyle M}$وشقة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$وبالتالي فإن الحزمة المماسية للحزمة المماسية تكون محلية (باستخدام${\displaystyle \approx }$لاختيار الإحداثيات و${\displaystyle \cong }$لأغراض "التعرف الطبيعي":

${\displaystyle T(TM)\approx T(M\times \mathbb {R} ^{n})\cong TM\times T(\mathbb {R} ^{n})\cong TM\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})}$

والخريطة${\displaystyle TTM\to TM}$هو الإسقاط على الإحداثيات الأولى:

${\displaystyle (TM\to M)\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}).}$

يؤدي تقسيم الخريطة الأولى عبر القسم الصفري والخريطة الثانية بواسطة القطر إلى الحصول على حقل المتجهات المتعارف عليه.

لو${\displaystyle (x,v)}$هي إحداثيات محلية لـ${\displaystyle TM}$، حقل المتجهات له التعبير

${\displaystyle V=\sum _{i}\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)}.}$

باختصار أكثر،${\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v,0,v)}$– لا يتغير الزوج الأول من الإحداثيات لأنه يمثل مقطعًا من حزمة، وهذه مجرد نقطة في الفضاء الأساسي؛ أما الزوج الأخير من الإحداثيات فهو المقطع نفسه. يعتمد هذا التعبير عن حقل المتجهات فقط على${\displaystyle v}$ليس على${\displaystyle x}$، حيث لا يمكن تحديد سوى الاتجاهات المماسية بشكل طبيعي.

أو بدلاً من ذلك، ضع في اعتبارك دالة الضرب القياسي:

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} \times TM\to TM\\(t,v)\longmapsto tv\end{cases}}}$

مشتقة هذه الدالة بالنسبة للمتغير${\displaystyle \mathbb {R} }$في ذلك الوقت${\displaystyle t=1}$هي دالة${\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}$، وهو وصف بديل لحقل المتجهات المتعارف عليه.

وجود مثل هذا الحقل المتجهي على${\displaystyle TM}$وهو مماثل للشكل التفاضلي الأحادي المتعارف عليه على حزمة الظل التمام . أحيانًا${\displaystyle V}$يُطلق عليه أيضًا اسم حقل متجه ليوفيل ، أو حقل متجه شعاعي . باستخدام${\displaystyle V}$يمكن للمرء أن يصف حزمة المماس. في الأساس،${\displaystyle V}$يمكن وصفها باستخدام 4 بديهيات، وإذا كان للمتشعب حقل متجه يحقق هذه البديهيات، فإن المتشعب يكون حزمة مماسية ويكون حقل المتجهات هو حقل المتجهات القانوني عليه. انظر على سبيل المثال، دي ليون وآخرون.

توجد طرق متنوعة لرفع الأشياء${\displaystyle M}$إلى كائنات على${\displaystyle TM}$على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \gamma }$هو منحنى في${\displaystyle M}$، ثم${\displaystyle \gamma '}$( مماس​${\displaystyle \gamma }$) هو منحنى في${\displaystyle TM}$. في المقابل، دون افتراضات إضافية بشأن${\displaystyle M}$(على سبيل المثال، مقياس ريماني )، لا يوجد رفع مماثل إلى حزمة الظل المشترك .

الرفع الرأسي للدالة${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} }$هي الوظيفة${\displaystyle f^{\vee }:TM\rightarrow \mathbb {R} }$محدد بواسطة${\displaystyle f^{\vee }=f\circ \pi }$، أين${\displaystyle \pi :TM\rightarrow M}$هو الإسقاط المتعارف عليه.

• الدفع للأمام (التفاضلي)
• حزمة المماس الموحد
• حزمة ظل الزاوية
• حزمة الإطار
• التماثل الموسيقي
• حزمة مماسية هولومورفية

• لي، جيفري م. (2009)، المتشعبات والهندسة التفاضلية ، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد  107، بروفيدنس: الجمعية الرياضية الأمريكيةرقم الكتاب المعياري الدولي ( ISBN) 978-0-8218-4815-9
• لي، جون م. (2012). مقدمة في المشعبات الملساء . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  218. doi : 10.1007/978-1-4419-9982-5 . ISBN 978-1-4419-9981-8.
• يورغن جوست ، الهندسة الريمانية والتحليل الهندسي ، (2002) سبرينغر-فيرلاغ، برلين. ISBN 3-540-42627-2
• رالف أبراهام وجيرولد إي. مارسدن ، أسس الميكانيكا ، (1978) بنجامين-كامينغز، لندن. ISBN 0-8053-0102-X
• ليون، م. دي؛ ميرينو، إي. أوبينيا، جا؛ سالغادو، م. (1994). “توصيف حزم الظل المماس والمستقر” (PDF) . حوليات IHP: Physique Théorique . 61 (1): 1- 15.
• جودموندسون، سيغموندور؛ كابوس، إلياس (2002). “في هندسة الحزم المماسية”. المعارض الرياضيات . 20 : 1– 41. دوى : 10.1016/S0723-0869(02)80027-5 .
• سليموف، عارف (2023). تطبيقات الدوال التحليلية في الهندسة . سلسلة فرونتيرز في الرياضيات، بيركهاوزر. doi : 10.1007/978-981-99-1296-4 . ISBN 978-1-4419-9981-8.

• "حزمة المماس" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• وولفرام ماث وورلد: حزمة المماس
• بلانيت ماث: حزمة المماس