الغرض المزدوج

في نظرية الفئات ، وهي فرع من الرياضيات ، يُعدّ الكائن الثنائي نظيرًا للفضاء المتجهي الثنائي في الجبر الخطي، وذلك بالنسبة للكائنات في فئات أحادية عشوائية . وهو تعميم جزئي فقط، يستند إلى الخصائص الفئوية للثنائية في الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة . يُطلق على الكائن الذي يقبل كائنًا ثنائيًا اسم الكائن القابل للثنائية . في هذا الإطار، لا تُعتبر الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد اللانهائية قابلة للثنائية، لأن الفضاء المتجهي الثنائي V ^* لا يُحقق البديهيات. ^{[ 1 ]} غالبًا، يكون الكائن قابلًا للثنائية فقط عندما يُحقق خاصية من خواص التناهي أو التراص . ^{[ 2 ]}

تُسمى الفئة التي يكون لكل عنصر فيها عنصر ثنائي فئة مستقلة أو صلبة . فئة الفضاءات المتجهة ذات الأبعاد المحدودة مع حاصل الضرب الموتري القياسي هي فئة صلبة، بينما فئة جميع الفضاءات المتجهة ليست كذلك.

ليكن V فضاءً متجهيًا محدود الأبعاد على حقل K. يتميز المفهوم القياسي للفضاء المتجهي الثنائي V ^* بالخاصية التالية: لأي فضاءين متجهيين U و W على K، يوجد اقتران Hom _K ( U ⊗ V , W ) = Hom _K ( U , V ^* ⊗ W )، وهذا يُميز V ^* حتى تماثل وحيد . يكون هذا التعبير منطقيًا في أي فئة مع استبدال مناسب للجداء الموتري للفضاءات المتجهة. لأي فئة أحادية ( C , ⊗)، يمكن محاولة تعريف ثنائي للكائن V على أنه كائن V ^* ∈ C مع تماثل طبيعي للدوال الثنائية.

هوم _ج ((–) ₁ ⊗ V , (–) ₂ ) → هوم _C ((–) ₁ , V ^∗ ⊗ (–) ₂ )

لكي يكون مفهوم الازدواجية سليماً، يجب ألا تكون هذه الخريطة طبيعية فحسب من منظور نظرية الفئات، بل يجب أن تحترم أيضاً البنية الأحادية بطريقة ما. ^{[ 1 ]} وبالتالي، فإن التعريف الفعلي للكائن المزدوج أكثر تعقيداً.

في فئة أحادية مغلقة C ، أي فئة أحادية ذات دالة Hom داخلية ، يتمثل أحد الأساليب البديلة في محاكاة التعريف القياسي للفضاء المتجهي الثنائي كفضاء للدوال . بالنسبة للكائن V ∈ C ، يُعرَّف V ^* على أنه${\displaystyle {\underline {\mathrm {Hom} }}_{C}(V,\mathbb {1} _{C})}$حيث يمثل 1 _C العنصر المحايد الأحادي. في بعض الحالات، سيكون هذا العنصر عنصرًا ثنائيًا لـ V بالمعنى المذكور أعلاه، ولكنه بشكل عام يؤدي إلى نظرية مختلفة. ^{[ 3 ]}

لنفترض وجود جسم ما${\displaystyle X}$في فئة أحادية${\displaystyle (\mathbf {C} ,\otimes ,I,\alpha ,\lambda ,\rho )}$الشيء${\displaystyle X^{*}}$يُطلق عليه اسم ثنائي يساري لـ${\displaystyle X}$إذا وُجد شكلان متماثلان

${\displaystyle \eta :I\to X\otimes X^{*}}$، والتي تُسمى التقييم المشترك ، و${\displaystyle \varepsilon :X^{*}\otimes X\to I}$، والتي تسمى التقييم

بحيث يكون المخططان التاليان قابلين للتبادل:

و

الشيء${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسم الثنائي الأيمن لـ${\displaystyle X^{*}}$هذا التعريف يعود إلى دولد وبوب (1980) .

تكون الثنائيات اليسرى متماثلة بشكل قانوني عند وجودها، وكذلك الثنائيات اليمنى. عندما تكون المجموعة C مضفرة (أو متناظرة )، فإن كل ثنائية يسارية هي أيضاً ثنائية يمنى، والعكس صحيح.

إذا اعتبرنا فئة أحادية كفئة ثنائية مع كائن واحد، فإن الزوج المزدوج هو بالضبط زوج مرافق .

• لنفترض فئة أحادية (Vect _K , ⊗ _K ) من الفضاءات المتجهة على حقل K مع الضرب الموتري القياسي. يكون الفضاء V قابلاً للثنائية إذا وفقط إذا كان محدود الأبعاد، وفي هذه الحالة يتطابق الكائن الثنائي V ^∗ مع المفهوم القياسي للفضاء المتجه الثنائي .
• لنفترض فئة أحادية (Mod _R , ⊗ _R ) من الوحدات النمطية على حلقة تبديلية R مع حاصل الضرب الموتري القياسي . تكون الوحدة النمطية M قابلة للثنائية إذا وفقط إذا كانت وحدة نمطية إسقاطية مولدة نهائيًا . في هذه الحالة، يُعطى الكائن الثنائي M ^∗ أيضًا بواسطة وحدة التشاكلات Hom _R ( M , R ). ^{[ 4 ]}
• لنفترض فئة تماثلية للأطياف المدببة Ho(Sp) مع حاصل الضرب التصادمي كبنية أحادية. إذا كانت M جوارًا مضغوطًا، فسيتم التراجع في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(على سبيل المثال، مشعب أملس مضغوط )، فإن الطيف المدبب المقابل Σ ^∞ ( M ⁺ ) يكون قابلاً للازدواجية. هذه نتيجة لازدواجية سبانير-وايت هيد ، والتي تستلزم على وجه الخصوص ازدواجية بوانكاريه للمشعبات المضغوطة. ^{[ 1 ]}
• الفئة${\displaystyle \mathrm {End} (\mathbf {C} )}$من الوظائف الداخلية لفئة${\displaystyle \mathbf {C} }$هي فئة أحادية تحت تركيب الدوال . دالة${\displaystyle F}$هو ثنائي يساري لدالة${\displaystyle G}$إذا وفقط إذا${\displaystyle F}$يُترك مجاورًا لـ${\displaystyle G}$[ ^{5 ]​}

تُسمى الفئة المونيدية التي يكون لكل عنصر فيها ثنائي أيسر (أو أيمن) أحيانًا بالفئة المستقلة اليسرى (أو اليمنى) . ويُطلق عليها علماء الهندسة الجبرية اسم الفئة الصلبة اليسرى (أو اليمنى) . أما الفئة المونيدية التي يكون لكل عنصر فيها ثنائي أيسر وثنائي أيمن فتُسمى فئة مستقلة . وتُسمى الفئة المستقلة المتناظرة أيضًا بالفئة المغلقة المدمجة .

أي تشاكل داخلي f لكائن قابل للازدواجية يقبل أثرًا ، وهو تشاكل داخلي معين للوحدة الأحادية لـ C. يشمل هذا المفهوم، كحالات خاصة جدًا، الأثر في الجبر الخطي وخاصية أويلر لمركب السلسلة .

• كائن مزدوج