العزم (الرياضيات)

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 50 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، تُعدّ عزوم الدوال مقاييس كمية محددة تتعلق بشكل منحنى الدالة . على سبيل المثال، إذا كانت الدالة تمثل كثافة الكتلة، فإن العزم الصفري هو الكتلة الكلية، والعزم الأول (مُقسّمًا على الكتلة الكلية) هو مركز الكتلة ، والعزم الثاني هو عزم القصور الذاتي . أما إذا كانت الدالة تمثل توزيعًا احتماليًا ، فإن العزم الأول هو القيمة المتوقعة ، والعزم المركزي الثاني هو التباين ، والعزم المعياري الثالث هو معامل الالتواء ، والعزم المعياري الرابع هو معامل التفرطح .

بالنسبة لتوزيع الكتلة أو الاحتمال على فترة محدودة ، فإن مجموعة جميع العزوم (من جميع الرتب، من 0 إلى ∞ ) تحدد التوزيع بشكل فريد ( مسألة عزم هاوسدورف ). ولا ينطبق الأمر نفسه على الفترات غير المحدودة ( مسألة عزم هامبرغر ).

في منتصف القرن التاسع عشر، أصبح بافنوتي تشيبيشيف أول شخص يفكر بشكل منهجي من حيث لحظات المتغيرات العشوائية . [ 1 ]

أهمية اللحظات

العزم الخام النوني ( أي العزم حول الصفر) لمتغير عشوائيX{\displaystyle X}باستخدام دالة الكثافةو(x){\displaystyle f(x)}يتم تعريفها بواسطة [ 2 ]μن′=⟨Xن⟩ =دهـو {∑أناxأنانو(xأنا)،التوزيع المنفصل∫xنو(x)دx،التوزيع المستمر{\displaystyle \mu '_{n}=\langle X^{n}\rangle ~{\overset {\mathrm {def} }{=}}~{\begin{cases}\sum _{i}x_{i}^{n}f(x_{i}),&{\text{توزيع منفصل}}\\[1.2ex]\int x^{n}f(x)\,dx,&{\text{توزيع متصل}}\end{cases}}}العزم النوني لمتغير عشوائي مستمر ذي قيم حقيقية ودالة كثافة احتماليةو(x){\displaystyle f(x)}حول قيمةج{\displaystyle c}التكامل​μن=∫-∞∞(x-ج)نو(x)دx.{\displaystyle \mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(xc)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.}

من الممكن تعريف العزوم للمتغيرات العشوائية بطريقة أكثر عمومية من تعريف العزوم للدوال ذات القيم الحقيقية - انظر العزوم في الفضاءات المترية . يشير عزم الدالة، دون مزيد من التوضيح، عادةً إلى التعبير المذكور أعلاه معج=0{\displaystyle c=0}بالنسبة للعزوم الثانية وما فوقها، عادة ما يتم استخدام العزم المركزي (العزوم حول المتوسط، حيث c هو المتوسط) بدلاً من العزوم حول الصفر، لأنها توفر معلومات أوضح حول شكل التوزيع.

يمكن تعريف لحظات أخرى أيضًا. على سبيل المثال، اللحظة العكسية النونية حول الصفر هيهـ⁡[X-ن]{\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{-n}\right]}والعزم اللوغاريتمي النوني حول الصفر هوهـ⁡[lnن⁡(X)].{\displaystyle \operatorname {E} \left[\ln ^{n}(X)\right].}

العزم النوني حول الصفر لدالة كثافة الاحتمالو(x){\displaystyle f(x)}القيمة المتوقعة لـXن{\displaystyle X^{n}}ويُطلق عليه اسم اللحظة الخام أو اللحظة الخام أو لحظة السكان أو اللحظة غير المصححة . [ 3 ] [ 4 ] اللحظات حول متوسطهاμ{\displaystyle \mu }وتسمى هذه اللحظات باللحظات المركزية ؛ وهي تصف شكل الدالة، بغض النظر عن الانتقال .

لوو{\displaystyle f}إذا كانت F دالة كثافة احتمالية ، فإن قيمة التكامل أعلاه تُسمى العزم النوني لتوزيع الاحتمال . وبشكل أعم، إذا كانت F دالة توزيع احتمالي تراكمي لأي توزيع احتمالي، والذي قد لا يمتلك دالة كثافة، فإن العزم النوني لتوزيع الاحتمال يُعطى بواسطة تكامل ريمان-ستيلتيس.μن′=هـ⁡[Xن]=∫-∞∞xندF(x){\displaystyle \mu '_{n}=\operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} F(x)}حيث X متغير عشوائي له هذا التوزيع التراكمي F ، و E هو عامل التوقع أو المتوسط. عندماهـ⁡[|Xن|]=∫-∞∞|xن|دF(x)=∞{\displaystyle \operatorname {E} \left[\left|X^{n}\right|\right]=\int _{-\infty }^{\infty }\left|x^{n}\right|\,\mathrm {d} F(x)=\infty }يُقال إن العزم غير موجود. إذا كان العزم النوني حول أي نقطة موجودًا، فإن العزم ( ن - ١) موجود أيضًا (وبالتالي، جميع العزوم ذات الرتب الأدنى) حول كل نقطة. العزم الصفري لأي دالة كثافة احتمالية يساوي ١ ، لأن المساحة تحت أي دالة كثافة احتمالية يجب أن تساوي واحدًا.

أهمية العزوم (الخام، والمركزية، والمعيارية) والتراكمات (الخام، والمعيارية)، فيما يتعلق بالخصائص المحددة للتوزيعات
ترتيب اللحظةلحظةالمتراكم
خاموسط المدينةمعياريخاممُعَيَّر
1يقصد00يقصدغير متوفر
2—التباين1التباين1
3——الانحراف—الانحراف
4——التفرطح (غير الزائد أو التاريخي)—التفرطح الزائد
5——الانحراف المفرط——
6——التفرع الذيلي——
7+—————

اللحظات المعيارية

العزم المركزي المعياري من الرتبة n أو العزم المعياري هو العزم المركزي من الرتبة n مقسومًا على σ n ؛ العزم المركزي المعياري من الرتبة n للمتغير العشوائي X هوμنσن=هـ⁡[(X-μ)ن]σن=هـ⁡[(X-μ)ن]هـ⁡[(X-μ)2]ن2.{\displaystyle {\frac {\mu _{n}}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\sigma ^{n}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{n}\right]}{\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]^{\frac {n}{2}}}}.}

هذه اللحظات المركزية المعيارية هي كميات لا أبعاد لها ، والتي تمثل التوزيع بشكل مستقل عن أي تغيير خطي في المقياس.

لحظات بارزة

يقصد

اللحظة الخام الأولى هي المتوسط ، ويرمز لها عادةً بـμ≡هـ⁡[X].{\displaystyle \mu \equiv \operatorname {E} [X].}

التباين

العزم المركزي الثاني هو التباين . والجذر التربيعي الموجب للتباين هو الانحراف المعياري.σ≡(هـ⁡[(x-μ)2])12.{\displaystyle \sigma \equiv \left(\operatorname {E} \left[(x-\mu )^{2}\right]\right)^{\frac {1}{2}}.}

الانحراف

العزم المركزي الثالث هو مقياس لعدم تماثل التوزيع؛ أي توزيع متماثل يكون له عزم مركزي ثالث، إن وُجد، يساوي صفرًا. يُسمى العزم المركزي الثالث المُعَيَّر معامل الالتواء ، ويُرمز له غالبًا بـ γ . التوزيع الملتوي إلى اليسار (ذيل التوزيع أطول على اليسار) يكون له معامل التواء سالب. أما التوزيع الملتوي إلى اليمين (ذيل التوزيع أطول على اليمين) فيكون له معامل التواء موجب.

بالنسبة للتوزيعات التي لا تختلف كثيراً عن التوزيع الطبيعي ، سيكون الوسيط في مكان ما بالقرب من μ − γσ /6 ؛ والمنوال حول μ − γσ / 2 .

التفرطح

العزم المركزي الرابع هو مقياس لثقل ذيل التوزيع. ولأنه يمثل القيمة المتوقعة للقوة الرابعة، فإن العزم المركزي الرابع، حيثما يُعرَّف، يكون دائمًا غير سالب؛ وباستثناء التوزيع النقطي ، يكون دائمًا موجبًا تمامًا. العزم المركزي الرابع للتوزيع الطبيعي هو 3σ⁴ .

يُعرَّف التفرطح κ بأنه العزم المركزي الرابع المعياري. (وبصورة مكافئة، كما في القسم التالي، فإن التفرطح الزائد هو العزم التراكمي الرابع مقسومًا على مربع العزم التراكمي الثاني . ) [ 5 ] [ 6 ] إذا كان للتوزيع ذيول سميكة، فسيكون التفرطح مرتفعًا (يُسمى أحيانًا التوزيع ذو الذيول المدببة)؛ وعلى العكس من ذلك، فإن التوزيعات ذات الذيول الخفيفة (على سبيل المثال، التوزيعات المحدودة مثل التوزيع المنتظم) لها تفرطح منخفض (يُسمى أحيانًا التوزيع ذو الذيول المسطحة).

يمكن أن تكون قيمة التفرطح موجبة بلا حدود، ولكن يجب أن تكون κ أكبر من أو تساوي γ² + 1 ؛ ولا تتحقق المساواة إلا في التوزيعات الثنائية . أما بالنسبة للتوزيعات الملتوية غير المحدودة التي لا تبتعد كثيرًا عن التوزيع الطبيعي، فإن قيمة κ تميل إلى أن تكون في مكان ما ضمن نطاق γ² و 2γ² .

يمكن إثبات عدم المساواة من خلال النظر فيهـ⁡[(تي2-أتي-1)2]{\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(T^{2}-aT-1\right)^{2}\right]}حيث T = ( X − μ )/ σ . هذا هو التوقع التربيعي، لذا فهو غير سالب لجميع قيم a ؛ ومع ذلك، فهو أيضًا متعدد حدود تربيعي في a . يجب أن يكون مميزه غير موجب، مما يعطي العلاقة المطلوبة.

لحظات أسمى

اللحظات ذات الرتبة العليا هي لحظات تتجاوز اللحظات ذات الرتبة الرابعة.

كما هو الحال مع التباين والالتواء والتفرطح، تُعدّ هذه إحصاءات من الرتب العليا ، تتضمن تركيبات غير خطية للبيانات، ويمكن استخدامها لوصف أو تقدير معلمات شكلية أخرى . كلما ارتفع العزم، زادت صعوبة تقديره، بمعنى أنه يتطلب عينات أكبر للحصول على تقديرات بجودة مماثلة. ويعود ذلك إلى درجات الحرية الزائدة التي تستهلكها الرتب العليا. علاوة على ذلك، قد يكون تفسيرها معقدًا، وغالبًا ما يكون فهمها أسهل من خلال عزوم الرتب الدنيا - قارن مشتقات الرتب العليا للارتجاج والقفز في الفيزياء . على سبيل المثال، كما يمكن تفسير العزم من الدرجة الرابعة (التفرطح) على أنه "الأهمية النسبية للذيول مقارنة بالأكتاف في المساهمة في التشتت" (بالنسبة لمقدار معين من التشتت، يتوافق التفرطح الأعلى مع ذيول أكثر سمكًا، بينما يتوافق التفرطح الأقل مع أكتاف أعرض)، يمكن تفسير العزم من الدرجة الخامسة على أنه يقيس "الأهمية النسبية للذيول مقارنة بالمركز ( المنوال والأكتاف) في المساهمة في الالتواء" (بالنسبة لمقدار معين من الالتواء، يتوافق العزم الخامس الأعلى مع التواء أعلى في أجزاء الذيل وانحراف قليل للمنوال، بينما يتوافق العزم الخامس الأقل مع مزيد من الالتواء في الأكتاف).

لحظات مختلطة

اللحظات المختلطة هي لحظات تتضمن متغيرات متعددة.

القيمةهـ[Xك]{\displaystyle E[X^{k}]}يُطلق عليه لحظة النظامك{\displaystyle k}(يتم تعريف العزوم أيضًا للوحدات غير الصحيحة)ك{\displaystyle k}). لحظات التوزيع المشترك للمتغيرات العشوائيةX1...Xن{\displaystyle X_{1}...X_{n}}يتم تعريفها بشكل مماثل. لأي أعداد صحيحةكأنا≥0{\displaystyle k_{i}\geq 0}، التوقع الرياضيهـ[X1ك1⋯Xنكن]{\displaystyle E[{X_{1}}^{k_{1}}\cdots {X_{n}}^{k_{n}}]}يُطلق عليه اسم لحظة النظام المختلطةك{\displaystyle k}(أينك=ك1+...+كن{\displaystyle k=k_{1}+...+k_{n}})، وهـ[(X1-هـ[X1])ك1⋯(Xن-هـ[Xن])كن]{\displaystyle E[(X_{1}-E[X_{1}])^{k_{1}}\cdots (X_{n}-E[X_{n}])^{k_{n}}]}يُطلق عليه اسم العزم المختلط المركزيك{\displaystyle k}اللحظة المختلطةهـ[(X1-هـ[X1])(X2-هـ[X2])]{\displaystyle E[(X_{1}-E[X_{1}])(X_{2}-E[X_{2}])]}يُطلق عليه اسم التغاير وهو أحد الخصائص الأساسية للتبعية بين المتغيرات العشوائية.

من الأمثلة على ذلك التغاير المشترك ، والالتواء المشترك ، والتفرطح المشترك . وبينما يوجد تغاير مشترك فريد، توجد عدة التواءات مشتركة وتفرطحات مشتركة.

خصائص العزوم

تحول المركز

منذ (x-ب)ن=(x-أ+أ-ب)ن=∑أنا=0ن(نأنا)(x-أ)أنا(أ-ب)ن-أنا{\displaystyle (xb)^{n}=(x-a+ab)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(xa)^{i}(ab)^{ni}} أين(نأنا){\textstyle {\binom {n}{i}}}إذا كان معامل ذات الحدين هو ، فإنه يترتب على ذلك أنه يمكن حساب العزوم حول b من العزوم حول a بواسطة: هـ[(x-ب)ن]=∑أنا=0ن(نأنا)هـ[(x-أ)أنا](أ-ب)ن-أنا.{\displaystyle E\left[(xb)^{n}\right]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}E\left[(xa)^{i}\right](ab)^{ni}.}

لحظة التفاف الدالة

اللحظة الخام للالتفافح(ت)=(و*ز)(ت)=∫-∞∞و(τ)ز(ت-τ)دτ{\textstyle h(t)=(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }يقرأ μن[ح]=∑أنا=0ن(نأنا)μأنا[و]μن-أنا[ز]{\displaystyle \mu _{n[h]=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}\mu _{i}[f]\mu _{ni[g]} أينμن[⋅]{\displaystyle \mu _{n}[\,\cdot \,]}يشير إلىن{\displaystyle n}العزم النوني للدالة المعطاة بين القوسين. وتنتج هذه المتطابقة من نظرية الالتفاف لدالة توليد العزوم، ومن تطبيق قاعدة السلسلة لاشتقاق حاصل الضرب .

التراكمات

العزم الخام الأول والعزمان المركزيان غير المعياريين الثاني والثالث مترابطان بمعنى أنه إذا كان X و Y متغيرين عشوائيين مستقلين ، فإنم1(X+Y)=م1(X)+م1(Y)متغير⁡(X+Y)=متغير⁡(X)+متغير⁡(Y)μ3(X+Y)=μ3(X)+μ3(Y){\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}(X+Y)&=m_{1}(X)+m_{1}(Y)\\\operatorname {Var} (X+Y)&=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y)\\\mu _{3}(X+Y)&=\mu _{3}(X)+\mu _{3}(Y)\end{aligned}}}

(يمكن أن تنطبق هذه الشروط أيضًا على المتغيرات التي تستوفي شروطًا أضعف من الاستقلال. الشرط الأول ينطبق دائمًا؛ إذا كان الشرط الثاني ينطبق، فإن المتغيرات تسمى غير مرتبطة ).

هذه هي العزوم الثلاثة الأولى، وتشترك جميع العزوم في خاصية الجمع هذه.

لحظات نموذجية

بالنسبة لجميع قيم k ، يمكن تقدير العزم الخام k للمجتمع باستخدام العزم الخام k للعينة1ن∑أنا=1نXأناك{\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{k}} يتم تطبيقها على عينة X 1 ، ... ، X n المسحوبة من المجتمع.

يمكن إثبات أن القيمة المتوقعة لعزم العينة الخام تساوي العزم الخام k للمجتمع الإحصائي، إن وُجد، لأي حجم عينة n . وبالتالي، فهو مُقدِّر غير متحيز. وهذا يختلف عن حالة العزوم المركزية، التي يستهلك حسابها درجة حرية باستخدام متوسط ​​العينة. فعلى سبيل المثال، يُعطى تقدير غير متحيز لتباين المجتمع الإحصائي (العزم المركزي الثاني) بالصيغة التالية: 1ن-1∑أنا=1ن(Xأنا-X¯)2{\displaystyle {\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}} حيث تم استبدال المقام السابق n بدرجات الحرية n − 1 ، وحيثX¯{\displaystyle {\bar {X}}}يشير هذا إلى متوسط ​​العينة. هذا التقدير لعزم المجتمع أكبر من عزم العينة المرصود غير المعدل بمعامل قدرهنن-1،{\displaystyle {\tfrac {n}{n-1}},}ويشار إليه باسم "تباين العينة المعدل" أو أحيانًا ببساطة "تباين العينة".

مسألة العزوم

تُسمى مسائل تحديد التوزيع الاحتمالي من سلسلة عزماته مسائل العزوم . وقد ناقش بي. إل. تشيبيشيف (1874) [ 7 ] هذه المسائل لأول مرة في سياق بحثه حول نظريات النهايات. ولكي يكون التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائيX{\displaystyle X}أن تُعرَّف بشكل فريد من خلال لحظاتهاαك=هـ[Xك]{\displaystyle \alpha _{k}=E\left[X^{k}\right]}يكفي، على سبيل المثال، أن يتم استيفاء شرط كارلمان: ∑ك=1∞1α2ك1/2ك=∞{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\alpha _{2k}^{1/2k}}}=\infty } وينطبق الأمر نفسه على عزوم المتجهات العشوائية. وتسعى مسألة العزوم إلى إيجاد خصائص للمتتاليات.μن′:ن=1،2،3،...{\displaystyle {{\mu _{n}}':n=1,2,3,\dots }}وهي متتابعات من لحظات دالة ما f ، جميع اللحظاتαك(ن){\displaystyle \alpha _{k}(n)}منها أعداد محدودة، ولكل عدد صحيحك≥1{\displaystyle k\geq 1}يترك αك(ن)→αك،ن→∞،{\displaystyle \alpha _{k}(n)\rightarrow \alpha _{k},n\rightarrow \infty ,} أينαك{\displaystyle \alpha _{k}}إذا كانت محدودة، فهناك متتاليةμن′{\displaystyle {\mu _{n}}'}التي تتقارب بشكل ضعيف إلى دالة توزيعμ{\displaystyle \mu }تناولαك{\displaystyle \alpha _{k}}كما في لحظاتها. إذا كانت اللحظات تحددμ{\displaystyle \mu }بشكل فريد، ثم التسلسلμن′{\displaystyle {\mu _{n}}'}يتقارب بشكل ضعيف إلىμ{\displaystyle \mu }.

لحظات جزئية

تُعرف العزوم الجزئية أحيانًا باسم "العزوم أحادية الجانب". ويمكن التعبير عن العزوم الجزئية الدنيا والعليا من الرتبة n بالنسبة لنقطة مرجعية r على النحو التالي:μن-(ر)=∫-∞ر(ر-x)نو(x)دx،{\displaystyle \mu _{n}^{-}(r)=\int _{-\infty }^{r}(rx)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x,}μن+(ر)=∫ر∞(x-ر)نو(x)دx.{\displaystyle \mu _{n}^{+}(r)=\int _{r}^{\infty }(x-r)^{n}\,f(x)\,\mathrm {d} x.}

إذا لم تتقارب الدالة التكاملية، فإن العزم الجزئي غير موجود.

يتم تطبيع العزوم الجزئية برفعها إلى القوة 1/ n . ويمكن التعبير عن نسبة الجهد الإيجابي كنسبة بين عزم جزئي علوي من الدرجة الأولى وعزم جزئي سفلي من الدرجة الثانية مُطَبَّع.

اللحظات المركزية في الفضاءات المترية

ليكن ( M , d ) فضاءً متريًا ، وليكن B( M ) جبر بوريل سيجما على M ، وهو جبر سيجما المتولد بواسطة المجموعات الجزئية المفتوحة من d في M. ( لأسباب تقنية، من الملائم أيضًا افتراض أن M فضاء قابل للفصل بالنسبة للمقياس d ). ليكن 1 ≤ p ≤ ∞ .

يُعرَّف العزم المركزي من الرتبة p لمقياس μ على الفضاء القابل للقياس ( M , B( M )) حول نقطة معينة x₀ ∈ M على النحو التالي:∫مد(x،x0)صدμ(x).{\displaystyle \int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mu (x).}

يقال أن μ لها عزم مركزي محدود من الرتبة p إذا كانالعزمالمركزي من الرتبة p لـ μ حول x 0 محدودًا لبعض x 0 ∈ M.

ينطبق هذا المصطلح الخاص بالقياسات على المتغيرات العشوائية بالطريقة المعتادة: إذا كان (Ω, Σ, P ) فضاء احتماليًا ، وكان X :  Ω → M متغيرًا عشوائيًا، فإن العزم المركزي من الرتبة p للمتغير X حول x ∈ M يُعرَّف على النحو التالي: ∫مد(x،x0)صد(X*(P))(x)=∫Ωد(X(ω)،x0)صدP(ω)=هـ⁡[د(X،x0)ص]،{\displaystyle \int _{M}d\left(x,x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \left(X_{*}\left(\mathbf {P} \right)\right)(x)=\int _{\Omega }d\left(X(\omega ),x_{0}\right)^{p}\,\mathrm {d} \mathbf {P} (\omega )=\operatorname {\mathbf {E} } [d(X,x_{0})^{p}],}ويكون لـ X عزم مركزي محدود من الرتبة p إذا كان العزم المركزي من الرتبة p لـ X حول x 0 محدودًا لبعض x 0 ∈ M.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ جورج ماكي (يوليو 1980). "التحليل التوافقي كاستغلال للتناظر - دراسة تاريخية". نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . سلسلة جديدة. 3 (1): 549.
  2. ↑ بابوليس، أ. (1984). الاحتمالات، والمتغيرات العشوائية، والعمليات العشوائية، الطبعة الثانية . نيويورك: ماكجرو هيل . ص 145-149 . 
  3. ↑ "لحظة خام - من Wolfram MathWorld" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 28-05-2009 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 24-06-2009 .لحظات خام في عالم الرياضيات
  4. ↑ ريغدون، ستيفن؛ فريكر، رونالد د.؛ مونتغمري، دوغلاس س. (2024). مقدمة في الاحتمالات والإحصاء لعلوم البيانات: باستخدام لغة البرمجة R. مطبعة جامعة كامبريدج. ص 209. ISBN  1009568353.
  5. ↑ كاسيلا، جورج ؛ بيرغر، روجر ل. (2002). الاستدلال الإحصائي ( الطبعة الثانية). باسيفيك غروف: دوكسبوري. ISBN  0-534-24312-6.
  6. ↑ بالاندا، كيفن ب.؛ ماكجيليفراي، هـ. ل. (1988). "التفرطح: مراجعة نقدية". الإحصائي الأمريكي . 42 (2). الجمعية الإحصائية الأمريكية: 111-119 . doi : 10.2307/2684482 . JSTOR 2684482 . 
  7. ↑ فيلر، و. (1957-1971). مقدمة في نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها . نيويورك: جون وايلي وأولاده. 419 صفحة.

للمزيد من القراءة