تاريخ التوافقية

دُرِسَ فرع الرياضيات التوافقية بدرجات متفاوتة في العديد من المجتمعات القديمة. ويعود تاريخ دراسته في أوروبا إلى أعمال ليوناردو فيبوناتشي في القرن الثالث عشر الميلادي، الذي أدخل الأفكار العربية والهندية إلى القارة. واستمرت دراسته حتى العصر الحديث.

يعود أقدم استخدام مسجل للتقنيات التوافقية إلى المسألة رقم 79 من بردية رايند ، التي يعود تاريخها إلى القرن السادس عشر قبل الميلاد. وتتعلق المسألة بمتسلسلة هندسية معينة ، وتتشابه مع مسألة فيبوناتشي المتمثلة في حساب عدد تركيبات الرقمين 1 و2 التي مجموعها يساوي مجموعًا معينًا. ^{[ 1 ]}

في اليونان، كتب بلوتارخ أن زينوقراطيس الخلقيدوني (396-314 قبل الميلاد) اكتشف عدد المقاطع الصوتية المختلفة الممكنة في اللغة اليونانية . وكانت هذه ستكون أول محاولة موثقة لحل مسألة معقدة في التباديل والتوافيق . ^{[ 2 ]} إلا أن هذا الادعاء غير معقول: فهذه إحدى الإشارات القليلة إلى علم التوافيق في اليونان ، ويبدو أن العدد الذي توصلوا إليه، 1.002 × 10¹² ، ^{عددٌ كبيرٌ جدًا لدرجة} يصعب معها تصديق أنه أكثر من مجرد تخمين. ^{[ 3 ] [ 4 ]}   

لاحقًا، ذُكر جدال بين خريسيبوس (القرن الثالث قبل الميلاد) وهيبارخوس (القرن الثاني قبل الميلاد) حول مسألة إحصائية دقيقة ، تبين لاحقًا أنها مرتبطة بأعداد شرودر-هيبارخوس . ^{[ 5 ] [ 6 ]} وهناك أيضًا أدلة على أن أرخميدس (القرن الثالث قبل الميلاد) تناول في كتابه " أوستوماتشيون " تكوينات لغز التبليط ، ^{[ 7 ]} بينما ربما كانت بعض الاهتمامات التوافقية موجودة في أعمال أبولونيوس المفقودة . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

في الهند ، ورد ذكر مسألة التوافيق لأول مرة في بهاغافاتي سوترا ؛ حيث تساءلت المسألة عن عدد التوليفات الممكنة للأذواق من خلال اختيار الأذواق فرادى، أو ثنائيات، أو ثلاثيات، وهكذا، من بين ستة أذواق مختلفة (الحلو، والحارق، والقابض، والحامض، والمالح، والمر). كما يُعدّ بهاغافاتي أول نص يذكر دالة الاختيار . ^{[ 10 ]} في القرن الثاني قبل الميلاد، أدرج بينغالا مسألة تعداد في تشاند سوترا (أو تشاندهاسوترا) والتي تساءلت عن عدد الطرق التي يمكن بها تكوين وزن موسيقي من ستة مقاطع من نغمات قصيرة وطويلة. ^{[ 11 ] [ 12 ]} وقد وجد بينغالا عدد الأوزان الموسيقية التي${\displaystyle n}$ملاحظات طويلة و${\displaystyle k}$ملاحظات مختصرة؛ هذا يعادل إيجاد معاملات ذات الحدين .

قام عالم الرياضيات الهندي ماهافيرا بتعميم أفكار بهاغافاتي عام 850 ميلادي، ووسّع بهاسكارا الثاني ^{[ 10 ] [ 13 ]} وهيماشاندرا عام 1100 ميلادي  عمل بينغالا في علم العروض . كان بهاسكارا أول من اكتشف دالة الاختيار المعممة، مع أن براهماغوبتا ربما كان قد عرفها قبل ذلك. ^{[ 1 ]} تساءل هيماشاندرا عن عدد المقاييس الموجودة بطول معين إذا اعتُبرت النوتة الطويلة ضعف طول النوتة القصيرة، وهو ما يُعادل إيجاد أعداد فيبوناتشي . ^{[ 11 ]} 

يصف كتاب التغيرات الصيني القديم (الإي تشينغ) الشكل السداسي بأنه تبديل بستة خطوط متكررة، حيث يمكن أن يكون كل خط أحد حالتين: متصل أو متقطع. ومن خلال وصف الأشكال السداسية بهذه الطريقة، يحددون أن هناك${\displaystyle 2^{6}=64}$الأشكال السداسية المحتملة. ربما يكون راهب صيني قد أحصى عدد التكوينات للعبة مشابهة للعبة غو حوالي عام 700  ميلادي. ^{[ 3 ]} على الرغم من أن الصين لم تشهد تقدمًا كبيرًا في مجال التوافيق العددية، إلا أنها حلت حوالي عام 100 ميلادي مسألة مربع لو شو، وهي مسألة التصميم التوافقي للمربع السحري العادي من الرتبة الثالثة. ^{[ 1 ] [ 14 ]} ظلت المربعات السحرية محل اهتمام الصين، وبدأوا في تعميم مفهومهم الأصلي.${\displaystyle 3\times 3}$المربع بين عامي 900 و1300  ميلادي. راسلت الصين الشرق الأوسط بشأن هذه المسألة في القرن الثالث عشر. ^{[ 1 ]} كما تعلم الشرق الأوسط عن معاملات ذات الحدين من أعمال هندية، ووجدوا صلة بينها وبين مفكوك كثيرات الحدود . ^{[ 15 ]} أثرت أعمال الهندوس على العرب، كما يتضح من أعمال الخليل بن أحمد الذي درس الترتيبات الممكنة للأحرف لتكوين المقاطع. تُظهر حساباته فهمًا للتباديل والتوافيق. في فقرة من أعمال عالم الرياضيات العربي عمر الخيام، والتي يعود تاريخها إلى حوالي عام 1100 ميلادي، يُؤكد أن الهندوس كانوا على دراية بمعاملات ذات الحدين، وأن أساليبهم وصلت إلى الشرق الأوسط.

كتب أبو بكر بن محمد بن الحسين الكرجي (حوالي 953-1029) عن نظرية ذات الحدين ومثلث باسكال . وفي عمل مفقود الآن، لا يُعرف إلا من خلال اقتباسات لاحقة من السماول ، قدّم الكرجي فكرة الاستدلال بالاستقراء الرياضي .

أحصى الفيلسوف وعالم الفلك إبراهيم بن عزرا ( حوالي 1140) التباديل مع التكرارات في ترديد الاسم الإلهي . ^{[ 16 ]} كما أثبت تناظر معاملات ذات الحدين، بينما توصل عالم التلمود والرياضيات ليفي بن جيرسون (المعروف باسم جيرسونيدس) إلى صيغة مغلقة في عام 1321. ^{[ 17 ]} وقدّم علماء الرياضيات المثلث الحسابي - وهو رسم بياني يوضح العلاقات بين معاملات ذات الحدين - في رسائل تعود إلى القرن العاشر، وأصبح يُعرف لاحقًا باسم مثلث باسكال. وفي وقت لاحق، في إنجلترا في القرن السابع عشر، قدّم علم الأجراس أمثلة لما يُعرف الآن بدورات هاميلتون في بعض رسوم كايلي البيانية على التباديل. ^{[ 18 ]} 

وصل علم التوافيق إلى أوروبا في القرن الثالث عشر على يد عالمي الرياضيات ليوناردو فيبوناتشي وجوردانوس دي نيمور . وقد أدخل كتاب فيبوناتشي " ليبر أباتشي" العديد من الأفكار العربية والهندية إلى أوروبا، بما في ذلك أعداد فيبوناتشي. ^{[ 19 ]} وكان جوردانوس أول من رتب معاملات ذات الحدين في مثلث ، كما فعل في القضية 70 من كتابه "دي أريثميتيكا" . وقد تم ذلك أيضًا في الشرق الأوسط عام 1265، وفي الصين حوالي عام 1300. ^{[ 1 ]} ويُعرف هذا المثلث اليوم باسم مثلث باسكال.

يُعزى إسهام باسكال في المثلث الذي يحمل اسمه إلى عمله على البراهين الرسمية المتعلقة به، والروابط التي أوجدها بين مثلث باسكال والاحتمالات . ^{[ 1 ]} من رسالة أرسلها لايبنتز إلى دانيال برنولي، نعلم أن لايبنتز كان يدرس رسميًا النظرية الرياضية لتقسيمات الأعداد الصحيحة في القرن السابع عشر، على الرغم من عدم نشر أي عمل رسمي في هذا الشأن. وقد نشر باسكال، بالاشتراك مع لايبنتز، كتاب " فن التوافقية" (De Arte Combinatoria) عام 1666. ^{[ 20 ]} يُعتبر باسكال ولايبنتز مؤسسي التوافقية الحديثة. ^{[ 21 ]}

أدرك كلٌّ من باسكال وليبنيز أن مفكوك ذات الحدين يُكافئ دالة الاختيار. وقد وسّع دي موافر مفهومَ تطابق الجبر والتوافقية ، إذ وجد مفكوكًا لمتعدد الحدود . ^{[ 22 ]} كما وجد دي موافر صيغة الترتيبات غير المنتظمة باستخدام مبدأ الإدراج والاستبعاد ، ^{[ 1 ]} وهي طريقة تختلف عن طريقة نيكولاس برنولي الذي سبقه في إيجادها. ^{[ 23 ] [ 24 ]} وتمكّن دي موافر أيضًا من تقريب معاملات ذات الحدين والمضروب ، ووجد صيغة مغلقة لأعداد فيبوناتشي باختراع الدوال المولدة . ^{[ 25 ] [ 26 ]}

في القرن الثامن عشر، عمل أويلر على مسائل التوافقية، والعديد من مسائل الاحتمالات المرتبطة بها. ومن بين المسائل التي تناولها أويلر: جولة الفرسان ، والمربع اليوناني اللاتيني ، والأعداد الأويلرية ، وغيرها. ولحل مسألة جسور كونيغسبرغ السبعة، ابتكر نظرية المخططات ، التي أدت أيضًا إلى نشأة علم الطوبولوجيا . وأخيرًا، حقق إنجازًا رائدًا في مجال التقسيمات باستخدام الدوال المولدة . ^{[ 27 ]}

في القرن التاسع عشر، نشأ موضوع المجموعات المرتبة جزئيًا ونظرية الشبكات من أعمال ديديكيند وبيرس وشرودر . إلا أن العمل الرائد لغاريت بيركوف في كتابه " نظرية الشبكات" المنشور عام ١٩٦٧، ^{[ ٢٨ ]} وعمل جون فون نيومان هما اللذان رسّخا هذين الموضوعين فعليًا. ^{[ ٢٩ ]} في ثلاثينيات القرن العشرين، صاغ كل من هول (١٩٣٦) ووايزنر (١٩٣٥) بشكل مستقل الصيغة العامة لانعكاس موبيوس . ^{[ ٣٠ ]} في عام ١٩٦٤، قدّم جيان كارلو روتا في كتابه "حول أسس نظرية التوافقية ١: نظرية دوال موبيوس" نظرية المجموعات المرتبة جزئيًا ونظرية الشبكات كنظريتين في التوافقية. ^{[ 29 ]} كان لريتشارد ب. ستانلي أثرٌ بالغٌ في علم التوافيق المعاصر بفضل عمله في نظرية الماترويد ، ^{[ 31 ]} وتقديمه لكثيرات حدود زيتا، ^{[ 32 ]} وتعريفه الصريح للمجموعات المرتبة جزئيًا وفقًا لنظرية أويلر ، ^{[ 33 ]} وتطويره لنظرية المجموعات المرتبة جزئيًا وفقًا لنظرية ذات الحدين بالتعاون مع روتا وبيتر دوبيليه، ^{[ 34 ]} وغير ذلك. وقدّم بول إيردوس إسهاماتٍ رائدةً في علم التوافيق على مدار القرن، وفاز بجائزة وولف جزئيًا تقديرًا لهذه الإسهامات. ^{[ 35 ]}

• NL Biggs ، جذور التوافقية، Historia Mathematica 6 (1979)، 109-136.
• كاتز، فيكتور ج. (1998). تاريخ الرياضيات: مقدمة ، الطبعة الثانية. دار نشر أديسون-ويسلي التعليمية. رقم ISBN 0-321-01618-1.
• أوكونور، جون جيه وروبرتسون، إدموند إف (1999-2004). أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات . جامعة سانت أندروز .
• راشد، ر. (1994). تطور الرياضيات العربية: بين الحساب والجبر . لندن.
• ويلسون، ر. وواتكينز، ج. (2013). التوافقية: القديمة والحديثة . أكسفورد.
• ستانلي، ريتشارد (2012). التوافيق العددية (الطبعة الثانية) . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 1107602629.