الوظيفة الشاملة

يترك${\displaystyle \mathbb {K} }$ليكن حقلاً ذا خاصية صفر (على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {Q} }$أو${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {C} }$).

وظيفة${\displaystyle f=f(x)}$يُطلق عليه اسم${\displaystyle D}$- منتهية (أو هولونومية ) إذا وُجدت كثيرات حدود${\displaystyle 0\neq a_{r}(x),a_{r-1}(x),\ldots ,a_{0}(x)\in \mathbb {K} [x]}$بحيث

${\displaystyle a_{r}(x)f^{(r)}(x)+a_{r-1}(x)f^{(r-1)}(x)+\cdots +a_{1}(x)f'(x)+a_{0}(x)f(x)=0}$

ينطبق على الجميع${\displaystyle x}$ويمكن كتابة ذلك أيضاً على النحو التالي:${\displaystyle Af=0}$أين

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}D_{x}^{k}}$

و${\displaystyle D_{x}}$هو المؤثر التفاضلي الذي يحول${\displaystyle f(x)}$ل${\displaystyle f'(x)}$.${\displaystyle A}$يُطلق عليه اسم عامل الإفناء لـ${\displaystyle f}$(العوامل المُبيدة لـ${\displaystyle f}$يشكل مثالاً مثالياً في الحلقة${\displaystyle \mathbb {K} [x][D_{x}]}$، الذي يُطلق عليه اسم مُبيد${\displaystyle f}$الكمية${\displaystyle r}$يُطلق عليه رتبة عامل الإفناء. وبالتوسع، الدالة الهولونومية${\displaystyle f}$يقال إنه من النظام${\displaystyle r}$عندما يوجد عامل إفناء من هذا النوع.

تسلسل${\displaystyle c=c_{0},c_{1},\ldots }$يُطلق عليه اسم${\displaystyle P}$- تكراري (أو هولونومي ) إذا كانت هناك كثيرات حدود${\displaystyle a_{r}(n),a_{r-1}(n),\ldots ,a_{0}(n)\in \mathbb {K} [n]}$بحيث

${\displaystyle a_{r}(n)c_{n+r}+a_{r-1}(n)c_{n+r-1}+\cdots +a_{0}(n)c_{n}=0}$

ينطبق على الجميع${\displaystyle n}$ويمكن كتابة ذلك أيضاً على النحو التالي:${\displaystyle Ac=0}$أين

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{r}a_{k}S_{n}}$

و${\displaystyle S_{n}}$عامل المناوبة الذي يقوم بالتخطيط${\displaystyle c_{0},c_{1},\ldots }$ل${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots }$.${\displaystyle A}$يُطلق عليه اسم عامل الإفناء لـ${\displaystyle c}$(العوامل المُبيدة لـ${\displaystyle c}$يشكل مثالاً مثالياً في الحلقة${\displaystyle \mathbb {K} [n][S_{n}]}$، الذي يُطلق عليه اسم مُبيد${\displaystyle c}$الكمية${\displaystyle r}$يُطلق عليه رتبة عامل الإفناء. وبالتوسع، يُطلق عليه أيضًا المتتالية الهولونومية${\displaystyle c}$يقال إنه من النظام${\displaystyle r}$عندما يوجد عامل إفناء من هذا النوع.

الدوال الهولونومية هي تحديداً الدوال المولدة للمتتاليات الهولونومية: إذا${\displaystyle f(x)}$إذا كانت الدالة هولونومية، فإن المعاملات${\displaystyle c_{n}}$في توسعة سلسلة الطاقة

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}}$

تشكل متتالية شاملة. وعلى العكس من ذلك، بالنسبة لمتتالية شاملة معينة${\displaystyle c_{n}}$، الدالة المحددة بواسطة المجموع أعلاه هي دالة هولونومية (هذا صحيح بمعنى متسلسلات القوى الرسمية ، حتى لو كان للمجموع نصف قطر تقارب صفري ).

تُحقق الدوال (أو المتتاليات) الهولونومية عدة خصائص إغلاق . وعلى وجه الخصوص، تُشكل الدوال (أو المتتاليات) الهولونومية حلقة . إلا أنها ليست مغلقة تحت القسمة، وبالتالي لا تُشكل حقلاً .

لو${\displaystyle \textstyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}x^{n}}$و${\displaystyle \textstyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}x^{n}}$إذا كانت الدوال التالية دوالًا شاملة، فإن الدوال التالية هي أيضًا دوال شاملة:

• ${\displaystyle h(x)=\alpha f(x)+\beta g(x)}$، أين${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$هي ثوابت
• ${\displaystyle h(x)=f(x)g(x)}$( حاصل ضرب كوشي للمتتاليات)
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}g_{n}x^{n}}$(ناتج هادامارد للمتتاليات)
• ${\displaystyle h(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$
• ${\displaystyle h(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{n}f_{k}\right)x^{n}}$
• ${\displaystyle h(x)=f(a(x))}$، أين${\displaystyle a(x)}$هي أي دالة جبرية . ومع ذلك،${\displaystyle a(f(x))}$لا يُعتبر عموماً نظاماً هولونومياً.

تتمثل إحدى الخصائص الأساسية للدوال الهولونومية في أن خصائص الإغلاق فعالة: بالنظر إلى عوامل الإفناء لـ${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$، عامل إبادة لـ${\displaystyle h}$يمكن حسابها بشكل صريح باستخدام أي من العمليات المذكورة أعلاه.

تشمل أمثلة الوظائف الشاملة ما يلي:

• جميع الدوال الجبرية ، بما في ذلك كثيرات الحدود والدوال الكسرية
• دوال الجيب وجيب التمام (ولكن ليس الظل، أو ظل التمام، أو القاطع، أو قاطع التمام)
• دوال الجيب الزائدي وجيب التمام الزائدي (ولكن ليس الظل الزائدي، أو ظل التمام الزائدي، أو القاطع الزائدي، أو قاطع التمام الزائدي)
• الدوال الأسية واللوغاريتمات ( لأي أساس)
• الدالة الهندسية الفائقة المعممة${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p},b_{1},\ldots ,b_{q},x)}$، باعتبارها دالة لـ${\displaystyle x}$مع جميع المعايير${\displaystyle a_{i}}$،${\displaystyle b_{i}}$مثبتة
• دالة الخطأ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$
• دوال بيسل${\displaystyle J_{n}(x)}$،${\displaystyle Y_{n}(x)}$،${\displaystyle I_{n}(x)}$،${\displaystyle K_{n}(x)}$
• وظائف Airy${\displaystyle \operatorname {Ai} (x)}$،${\displaystyle \operatorname {Bi} (x)}$

تُعدّ فئة الدوال الهولونومية مجموعةً شاملةً صارمةً لفئة الدوال فوق الهندسية. ومن أمثلة الدوال الخاصة التي تُصنّف ضمن الدوال الهولونومية ولكنها ليست فوق هندسية، دوال هيون .

تتضمن أمثلة التسلسلات الهولونومية ما يلي:

• متتالية أعداد فيبوناتشي${\displaystyle F_{n}}$وبشكل أعم، جميع المتتابعات الثابتة المتكررة
• سلسلة المضروب${\displaystyle n!}$
• سلسلة معاملات ذات الحدين${\displaystyle \textstyle {n \choose k}}$(كوظائف إما${\displaystyle n}$أو${\displaystyle k}$)
• متتالية الأعداد التوافقية${\displaystyle \textstyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$وبشكل أعم${\displaystyle \textstyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}}$لأي عدد صحيح${\displaystyle m}$
• تسلسل الأرقام الكاتالونية
• سلسلة أرقام موتزكين
• تعداد الاضطرابات .

تُعدّ الدوال الهندسية الفائقة، ودوال بيسل، ومتعددات الحدود المتعامدة الكلاسيكية ، بالإضافة إلى كونها دوالًا هولونومية لمتغيراتها، متتابعات هولونومية أيضًا بالنسبة لمعاملاتها. على سبيل المثال، دوال بيسل${\displaystyle J_{n}}$و${\displaystyle Y_{n}}$تحقق التكرار الخطي من الدرجة الثانية${\displaystyle x(f_{n+1}+f_{n-1})=2nf_{n}}$.

تشمل أمثلة الدوال غير الهولونومية ما يلي:

• الوظيفة${\displaystyle {\tfrac {x}{e^{x}-1}}}$^{[ 2 ]}
• الوظيفة${\displaystyle \tan x+\sec x}$^{[ 3 ]}
• إن ناتج قسمة دالتين هولونوميتين ليس هولونومياً بشكل عام.

تتضمن أمثلة المتتاليات غير الهولونومية ما يلي:

• أرقام برنولي
• عدد التباديل المتناوبة ^{[ 4 ]}
• عدد التقسيمات الصحيحة ^{[ 3 ]}
• الأرقام${\displaystyle \log n}$^{[ 3 ]}
• الأرقام${\displaystyle n^{\alpha }}$أين${\displaystyle \alpha \not \in \mathbb {Z} }$^{[ 3 ]}
• الأعداد الأولية ^{[ 3 ]}
• تعداد التباديل غير القابلة للاختزال والمتصلة . ^{[ 5 ]}