معادلات ماكسويل

معادلات ماكسويل هي مجموعة من المعادلات التفاضلية الجزئية المترابطة التي تصف كيفية توليد المجالات الكهربائية والمغناطيسية بواسطة الشحنات والتيارات الكهربائية . تشكل هذه المعادلات، إلى جانب قانون لورنتز ، أساس الكهرومغناطيسية الكلاسيكية ، والبصريات الكلاسيكية ، والدوائر الكهربائية والمغناطيسية . كما توفر نموذجًا رياضيًا للتقنيات الكهربائية والبصرية واللاسلكية، مثل توليد الطاقة، والمحركات الكهربائية، والاتصالات اللاسلكية ، والعدسات، والرادار، وغيرها.

توجد معادلات ماكسويل بصيغتين رئيسيتين:

تتمتع المعادلات المجهرية بتطبيقات عالمية، لكنها غير عملية في الحسابات الشائعة. وهي تربط المجالات الكهربائية والمغناطيسية بالشحنة الكلية والتيار الكلي، بما في ذلك الشحنات والتيارات المعقدة في المواد على المستوى الذري .
تُعرّف المعادلات الماكروسكوبية مجالين مساعدين جديدين يصفان سلوك المادة على نطاق واسع دون الحاجة إلى مراعاة الشحنات على المستوى الذري والظواهر الكمومية كالدوران المغزلي. مع ذلك، يتطلب استخدامها معايير محددة تجريبياً لوصف الاستجابة الكهرومغناطيسية للمواد وصفاً ظاهرياً.

يُستخدم مصطلح "معادلات ماكسويل" غالبًا للإشارة إلى الصيغ البديلة المكافئة . وتُفضّل صيغ معادلات ماكسويل القائمة على الكمونين القياسيين الكهربائي والمغناطيسي لحلّ المعادلات صراحةً كمسألة قيمة حدية ، أو في الميكانيكا التحليلية ، أو لاستخدامها في ميكانيكا الكم . وتُظهر الصيغة المتغيرة (على الزمكان بدلًا من المكان والزمان بشكل منفصل) توافق معادلات ماكسويل مع النسبية الخاصة . أما معادلات ماكسويل في الزمكان المنحني ، الشائعة الاستخدام في فيزياء الطاقة العالية والجاذبية ، فهي متوافقة مع النسبية العامة . ^[^{ملاحظة 1}^]

سُميت معادلات ماكسويل نسبةً إلى الفيزيائي والرياضي جيمس كلارك ماكسويل ، الذي نشر في عامي 1861 و1862 صيغةً مبكرةً للمعادلات تضمنت قانون قوة لورنتز. وقد مثّل نشر هذه المعادلات توحيدًا لنظريةٍ واحدةٍ لظواهر كانت تُوصف سابقًا بشكلٍ منفصل: المغناطيسية، والكهرباء، والضوء، والإشعاع المرتبط بها. أما الصيغة الحديثة للمعادلات، بصيغتها الأكثر شيوعًا، فتُنسب إلى أوليفر هيفسايد . ^{[ 1 ]}

منذ منتصف القرن العشرين، أصبح من المفهوم أن معادلات ماكسويل لا تقدم وصفًا دقيقًا للظواهر الكهرومغناطيسية، بل هي بدلاً من ذلك حد كلاسيكي لنظرية الديناميكا الكهربائية الكمومية الأكثر دقة .

ملخص

أكثر صيغ معادلات ماكسويل استخداماً هما الصيغة التفاضلية المجهرية والصيغة التفاضلية العيانية في وحدات النظام الدولي للوحدات .

النسخة المجهرية بوحدات النظام الدولي للوحدات

في شكل معادلة تفاضلية جزئية وبوحدات النظام الدولي للوحدات، تُكتب معادلات ماكسويل المجهرية على النحو التالي (من الأعلى إلى الأسفل: قانون جاوس ، قانون جاوس للمغناطيسية ، قانون فاراداي ، قانون أمبير-ماكسويل ).

${\begin{array}{lcl}\nabla \cdot \mathbf {E} &=&{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=&0\\\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &=&\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\end{array}}$

في هذه المعادلات، $\mathbf {E}$ هو المجال الكهربائي، $\mathbf {B}$ المجال المغناطيسي، $\rho$ كثافة الشحنة الكهربائية الكلية ، $\mathbf {J}$ كثافة التيار الكلية ، $\varepsilon _{0}$ سماحية الفراغ ، $\mu _{0}$ نفاذية الفراغ ، $\nabla \cdot$ عامل التباعد ، و $\nabla \times$ عامل curl .

النسخة الماكروسكوبية بوحدات النظام الدولي للوحدات

تُكتب معادلات ماكسويل الماكروسكوبية في صورة معادلات تفاضلية جزئية وبوحدات النظام الدولي للوحدات على النحو التالي:

${\begin{array}{lcl}\nabla \cdot \mathbf {D} &=&\rho _{f}\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=&0\\\nabla \times \mathbf {E} &=&-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {H} &=&\mathbf {J} _{f}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\end{array}}$

في هذه المعادلات، $\mathbf {D}$ هو مجال الإزاحة الكهربائية ، $\mathbf {E}$ المجال الكهربائي ، $\mathbf {B}$ المجال المغناطيسي ، $\mathbf {H}$ شدة المجال المغناطيسي ، $\rho _{f}$ كثافة الشحنة الكهربائية الحرة ، $\mathbf {J} _{f}$ كثافة التيار الحر ، $\nabla \cdot$ عامل التباعد ، و $\nabla \times$ عامل curl .

تاريخ المعادلات

الأوصاف المفاهيمية

قانون جاوس

يصف قانون جاوس العلاقة بين المجال الكهربائي والشحنات الكهربائية : يتجه المجال الكهربائي بعيدًا عن الشحنات الموجبة ونحو الشحنات السالبة، ويتناسب صافي تدفق المجال الكهربائي عبر سطح مغلق طرديًا مع الشحنة المحصورة، بما في ذلك الشحنة المقيدة الناتجة عن استقطاب المادة. معامل هذا التناسب هو سماحية الفراغ .

قانون جاوس للمغناطيسية

ينص قانون جاوس للمغناطيسية على أن الشحنات الكهربائية ليس لها نظائر مغناطيسية تُسمى الأقطاب المغناطيسية الأحادية ؛ فلا يوجد قطب مغناطيسي شمالي أو جنوبي بمعزل عن غيره. ^{[ 2 ]} وبدلاً من ذلك، يُعزى المجال المغناطيسي للمادة إلى ثنائي قطب ، ويكون صافي تدفق المجال المغناطيسي عبر سطح مغلق صفرًا. ويمكن تمثيل ثنائيات الأقطاب المغناطيسية على شكل حلقات تيار أو أزواج غير قابلة للفصل من "شحنات مغناطيسية" متساوية ومتعاكسة. وبشكل أدق، يكون التدفق المغناطيسي الكلي عبر سطح جاوس صفرًا، ويكون المجال المغناطيسي مجالًا متجهيًا لولبيًا . ^{[ ملاحظة 2 ]}

قانون فاراداي

يصف قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي، بصيغة ماكسويل -فاراداي، كيف يتوافق المجال المغناطيسي المتغير مع الزمن مع الدوران السالب للمجال الكهربائي . ^[²^] وينص القانون، بصيغته التكاملية، على أن الشغل اللازم لتحريك وحدة شحنة حول حلقة مغلقة يساوي معدل تغير التدفق المغناطيسي عبر السطح المغلق.

الحث الكهرومغناطيسي هو مبدأ التشغيل وراء العديد من المولدات الكهربائية : على سبيل المثال، يقوم مغناطيس قضيب دوار بإنشاء مجال مغناطيسي متغير ويولد مجالًا كهربائيًا في سلك قريب.

قانون أمبير-ماكسويل

ينص قانون أمبير الأصلي على أن المجالات المغناطيسية ترتبط بالتيار الكهربائي . ويضيف ماكسويل أن المجالات المغناطيسية ترتبط أيضًا بالمجالات الكهربائية المتغيرة، والتي أطلق عليها ماكسويل اسم تيار الإزاحة . وينص الشكل التكاملي على أن التيارات الكهربائية وتيارات الإزاحة مرتبطة بمجال مغناطيسي متناسب على طول أي منحنى محيط بها.

يُعدّ تعديل ماكسويل لقانون أمبير الدائري مهمًا، إذ يتطلب تعديل قانوني أمبير وغوس في حالة الحقول الساكنة. ^{[ 3 ]} ونتيجةً لذلك، يتنبأ هذا التعديل بوجود مجال مغناطيسي دوّار مع تغيّر المجال الكهربائي. ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]} ومن النتائج الأخرى وجود موجات كهرومغناطيسية ذاتية الاستدامة تنتقل عبر الفضاء الفارغ .

تتطابق السرعة المحسوبة للموجات الكهرومغناطيسية، والتي يمكن التنبؤ بها من خلال تجارب الشحنات والتيارات، ^{[ ملاحظة 3 ]} مع سرعة الضوء ؛ في الواقع، يُعد الضوء أحد أشكال الإشعاع الكهرومغناطيسي (كما هو الحال مع الأشعة السينية وموجات الراديو وغيرها). وقد أدرك ماكسويل العلاقة بين الموجات الكهرومغناطيسية والضوء في عام 1861، موحدًا بذلك نظريات الكهرومغناطيسية والبصريات .

صياغة مجهرية من حيث المجالات الكهربائية والمغناطيسية (في نسخة الفراغ)

في صياغة المجالين الكهربائي والمغناطيسي، توجد أربع معادلات تحدد المجالات لتوزيع معين للشحنة والتيار. ويصف قانون لورنتز ، وهو قانون طبيعي منفصل ، كيفية تأثير المجالين الكهربائي والمغناطيسي على الجسيمات المشحونة والتيارات. واصطلاحًا، لم يعد يُستخدم أحد أشكال هذا القانون في المعادلات الأصلية لماكسويل. وقد أصبح نموذج حساب المتجهات ، الذي وضعه أوليفر هيفسايد [ ⁵^]^[⁶^]، هو المعيار. وهو ثابت دورانيًا، وبالتالي أكثر وضوحًا من الناحية الرياضية من معادلات ماكسويل الأصلية العشرين في المركبات x و y و z . أما ^الصيغ النسبية فهي أكثر تناظرًا وثابتة تحت تأثير لورنتز. وللحصول على المعادلات نفسها المعبر عنها باستخدام حساب الموترات أو الصيغ التفاضلية (انظر § الصيغ البديلة ).

تُعدّ الصيغتان التفاضلية والتكاملية متكافئتين رياضيًا، وكلاهما مفيد. تربط الصيغة التكاملية الحقول داخل منطقة معينة من الفضاء بالحقول على حدودها، ويمكن استخدامها غالبًا لتبسيط وحساب الحقول مباشرةً من التوزيعات المتناظرة للشحنات والتيارات. من ناحية أخرى، تُعدّ المعادلات التفاضلية محلية بحتة، وهي نقطة انطلاق أكثر طبيعية لحساب الحقول في حالات أكثر تعقيدًا (أقل تناظرًا)، على سبيل المثال باستخدام تحليل العناصر المحدودة . ^{[ 7 ]}

مفتاح الترميز

تمثل الرموز المكتوبة بخط غامق الكميات المتجهة ، بينما تمثل الرموز المكتوبة بخط مائل الكميات العددية ، ما لم يُذكر خلاف ذلك. تُعرّف المعادلات المجال الكهربائي $E$ ، وهو مجال متجه ، والمجال المغناطيسي $B$ ، وهو مجال شبه متجه ، ولكل منهما اعتماد على الزمن والموقع. المصادر هي

كثافة الشحنة الكهربائية الكلية (إجمالي الشحنة لكل وحدة حجم)، $ρ$ ، و
كثافة التيار الكهربائي الكلية (التيار الكلي لكل وحدة مساحة) ، $J.$

الثوابت العامة التي تظهر في المعادلات (أول اثنين منها يظهران صراحةً فقط في صيغة النظام الدولي للوحدات) هي:

سماحية الفراغ الحر ، $ε₀ ،$ و
نفاذية الفراغ الحر ، $μ 0$ ، و
سرعة الضوء ، $c=({\varepsilon _{0}\mu _{0}})^{-1/2}$

المعادلات التفاضلية

في المعادلات التفاضلية،

يرمز الرمز نابلا ، $\nabla ، إلى عامل$ التدرج ثلاثي الأبعاد ، del .
يرمز الرمز $\nabla\cdot$ (الذي يُنطق "دل دوت") إلى عامل التباعد ،
يرمز الرمز $\nabla\times$ (الذي ينطق "دل كروس") إلى عامل الدوران .

المعادلات التكاملية

في المعادلات التكاملية،

$Ω$ هو أي حجم ذو سطح حدودي مغلق $\partialΩ$ ، و
$Σ$ هو أي سطح ذو منحنى حدودي مغلق $\partialΣ$ ،

تُصبح المعادلات أسهل في التفسير عند التعامل مع الأسطح والأحجام غير المرتبطة بالزمن. فالأسطح والأحجام غير المرتبطة بالزمن "ثابتة" ولا تتغير خلال فترة زمنية محددة. على سبيل المثال، بما أن السطح غير مرتبط بالزمن، يمكننا وضع التفاضل تحت علامة التكامل في قانون فاراداي. ${\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \,,$ يمكن صياغة معادلات ماكسويل باستخدام أسطح وأحجام تعتمد على الزمن باستخدام الصيغة التفاضلية واستخدام نظريات جاوس وستوكس حسب الاقتضاء.

$\oiint$ ${\vphantom {\int }}_{\scriptstyle \partial \Omega }$ هو تكامل سطحي على السطح الحدودي $\partialΩ$ ، حيث تشير الحلقة إلى أن السطح مغلق
$\iiint _{\أوميغا }$ هو تكامل حجمي على الحجم $Ω$ ،
$\oint _{\partial \Sigma }$ هو تكامل خطي حول منحنى الحدود $\partialΣ$ ، مع الإشارة إلى أن الحلقة تشير إلى أن المنحنى مغلق.
$\iint _{\Sigma }$ هو تكامل سطحي على السطح $Σ$ ،
إن إجمالي الشحنة الكهربائية $Q$ المحصورة في $Ω$ هو التكامل الحجمي على $Ω$ لكثافة الشحنة ρ $($ انظر قسم "الصيغة الماكروسكوبية" أدناه): $Q=\iiint _{\Omega }\rho \ \mathrm {d} V,$ حيث يمثل $d V$ عنصر الحجم .
التدفق المغناطيسي الصافي $Φ$ $B$ هو التكامل السطحي للمجال المغناطيسي $B$ الذي يمر عبر سطح ثابت، $Σ$ : $\Phi _{B}=\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,$
التدفق الكهربائي الصافي $Φ$ $E$ هو التكامل السطحي للمجال الكهربائي E $الذي$ يمر عبر $Σ$ : $\Phi _{E}=\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,$
التيار الكهربائي الصافي $I$ هو التكامل السطحي لكثافة التيار الكهربائي J $المار$ عبر Σ $:$ $I=\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,$ حيث يرمز $d S$ إلى عنصر المتجه التفاضلي لمساحة السطح $S$ ، العمودي على السطح $Σ$ . (يرمز أحيانًا إلى مساحة المتجه بـ $A$ بدلاً من $S$ ، لكن هذا يتعارض مع الترميز الخاص بالجهد المتجه المغناطيسي ).

الصيغة في النظام الدولي للوحدات

اسم	المعادلات التكاملية	المعادلات التفاضلية
قانون جاوس	$\oiint$ ${\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$
قانون جاوس للمغناطيسية	$\oiint$ ${\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
معادلة ماكسويل-فاراداي ( قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي )	$\oint _{\partial \Sigma}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
قانون أمبير-ماكسويل	$// _ {0}{\frac {\mathrm {d} {\mathrm {d} t}}\iint _{\Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \right)\\\end{محاذاة}}}$	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)$

الصياغة في النظام الغاوسي

يمكن تعديل تعريفات الشحنة والمجال الكهربائي والمجال المغناطيسي لتبسيط الحسابات النظرية، وذلك بدمج عوامل ذات أبعاد محددة لـ $ε₀$ و $μ₀$ في الوحدات (وبالتالي إعادة تعريفها). ومع تغيير مماثل في قيم كميات قانون قوة لورنتز $،$ ينتج عن ذلك نفس الفيزياء، أي مسارات الجسيمات المشحونة، أو الشغل المبذول بواسطة محرك كهربائي. غالبًا ما تُفضَّل هذه التعريفات في الفيزياء النظرية وفيزياء الطاقة العالية $،$ حيث من الطبيعي اعتبار المجالين الكهربائي والمغناطيسي بنفس الوحدات، لتبسيط شكل موتر الكهرومغناطيسية : سيحتوي الكائن المتغير لورنتز الذي يوحد المجالين الكهربائي والمغناطيسي حينها على مكونات ذات وحدة وأبعاد موحدة. ^{[ 8 ]}^{: 7} تُستخدم هذه التعريفات المعدلة عادةً مع وحدات غاوس ( CGS ). باستخدام هذه التعريفات، أو ما يُعرف بالعامية بـ "وحدات غاوس"، ^{[ 9 ]} تصبح معادلات ماكسويل كما يلي: ^{[ 10 ]}

اسم	المعادلات التكاملية	المعادلات التفاضلية
قانون جاوس	$\oiint$ ${\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =4\pi \iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho$
قانون جاوس للمغناطيسية	$\oiint$ ${\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
معادلة ماكسويل-فاراداي ( قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي )	$// \mathbf {S} }$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
قانون أمبير-ماكسويل	${\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma}&\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}={\frac {1}{c}}\left(4\pi \iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} + {\frac {\mathrel {\mathrm {d}}} {\mathrm {d} t}}\iint _ {\Sigma}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \right)\end {محاذاة}}$	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)$

تتبسط المعادلات قليلاً عند اختيار نظام من الكميات في سرعة الضوء، c ، ويتم استخدامها لإزالة الأبعاد ، بحيث تكون الثواني والثواني الضوئية قابلة للتبادل، و c = 1.

يمكن إجراء تغييرات إضافية عن طريق عوامل امتصاص مقدارها $4π$ $.$ هذه العملية، التي تسمى الترشيد، تؤثر على ما إذا كان قانون كولوم أو قانون جاوس يتضمن مثل هذا العامل (انظر وحدات هيفسايد-لورنتز ، المستخدمة بشكل رئيسي في فيزياء الجسيمات ).

العلاقة بين الصيغ التفاضلية والتكاملية

إن تكافؤ الصيغ التفاضلية والتكاملية هو نتيجة لنظرية تباعد جاوس ونظرية كلفن-ستوكس .

التدفق والتباعد

وفقًا لنظرية تباعد جاوس (الرياضية البحتة) ، يمكن إعادة كتابة التدفق الكهربائي عبر السطح الحدودي $\partialΩ على النحو التالي:$

$\oiint$

{\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d} V

وبالتالي، يمكن إعادة كتابة الصيغة التكاملية لمعادلة جاوس على النحو التالي: $\iiint _{\Omega }\left(\nabla \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)\,\mathrm {d} V=0$ بما أن $Ω$ اختيارية (مثلاً كرة صغيرة عشوائية ذات مركز عشوائي)، فإن هذا الشرط يتحقق فقط إذا كان التكامل يساوي صفرًا في كل مكان. هذه هي الصيغة التفاضلية لمعادلة جاوس حتى إعادة ترتيب بسيطة.

وبالمثل، فإن إعادة كتابة التدفق المغناطيسي في قانون جاوس للمغناطيسية في شكل تكاملي يعطي

$\oiint$

{\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {B} \,\mathrm {d} V=0.

يتحقق ذلك لجميع $قيم Ω$ إذا وفقط إذا $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ في كل مكان.

الدورة الدموية والتجعيد

باستخدام نظرية كلفن-ستوكس، يمكننا إعادة كتابة التكاملات الخطية للحقول حول منحنى الحدود المغلق $\partialΣ$ إلى تكامل "دوران الحقول" (أي التفافاتها ) على سطح يحده، أي $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} ,$ وبالتالي، يمكن إعادة كتابة قانون أمبير-ماكسويل ، وهو النسخة المعدلة من قانون أمبير الدائري، في شكله التكاملي على النحو التالي: $\iint _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0.$ بما أن $Σ$ يمكن اختيارها بشكل عشوائي، كأن تكون قرصًا صغيرًا وموجهًا ومركزًا بشكل عشوائي، نستنتج أن الدالة التكاملية تساوي صفرًا إذا وفقط إذا تحقق قانون أمبير-ماكسويل في صيغة المعادلات التفاضلية. وينطبق الأمر نفسه على تكافؤ قانون فاراداي في الصيغتين التفاضلية والتكاملية.

التكاملات الخطية والالتفافات مماثلة للكميات في ديناميكا الموائع الكلاسيكية : دوران المائع هو التكامل الخطي لحقل سرعة تدفق المائع حول حلقة مغلقة، ودوران المائع هو التفاف حقل السرعة.

حفظ الشحنة

يمكن استنتاج ثبات الشحنة كنتيجة طبيعية لمعادلات ماكسويل. يُظهر الطرف الأيسر من قانون أمبير-ماكسويل تباعدًا صفريًا وفقًا لهوية التباعد والالتفاف . وبتوسيع تباعد الطرف الأيمن، وتبديل المشتقات، وتطبيق قانون جاوس، نحصل على: $0=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \cdot \left(\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {E} \right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\right)$ أي، ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.$ بحسب نظرية تباعد جاوس، هذا يعني أن معدل تغير الشحنة في حجم ثابت يساوي التيار الصافي المتدفق عبر الحدود:

{\frac {d}{dt}}Q_{\Omega }={\frac {d}{dt}}\iiint _{\Omega }\rho \mathrm {d} V=-

$\oiint$

\partial \Omega

\mathbf {J} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =-I_{\partial \Omega }.

وعلى وجه الخصوص، في نظام معزول، يتم الحفاظ على الشحنة الكلية.

معادلات الفراغ، والموجات الكهرومغناطيسية، وسرعة الضوء

يُظهر هذا الرسم التخطيطي ثلاثي الأبعاد موجة مستوية مستقطبة خطيًا تنتشر من اليسار إلى اليمين، مُعرَّفة بالمعادلتين $E$ $= E₀ sin (-ωt + k \cdot r)$ و $B = B₀ sin(-ωt + k \cdot r).$ $يتم$ رصد المجالات المتذبذبة عند نقطة الوميض. الطول الموجي $الأفقي$ $هو$ λ . $E₀ \cdot B₀ = 0 = E₀ \cdot k = B₀ \cdot k$

في منطقة خالية من الشحنات ( $ρ = 0$ ) والتيارات ( $J = 0$ )، كما هو الحال في الفراغ، تُختزل معادلات ماكسويل إلى: ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0,&\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0,\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0,&\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=0.\end{aligned}}$

بأخذ التفاف $(\nabla\times)$ معادلات الالتفاف، وباستخدام التفاف متطابقة الالتفاف، نحصل على ${\begin{aligned}\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}$

الكمية $\mu _{0}\varepsilon _{0}$ له البعد (T/L) ^2. تعريف $c=(\mu _{0}\varepsilon _{0})^{-1/2}$ تأخذ المعادلات المذكورة أعلاه شكل معادلات الموجة القياسية. ${\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0,\\{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0.\end{aligned}}$

حتى خلال حياة ماكسويل، تم اكتشاف أن القيم المعروفة لـ $\varepsilon _{0}$ و $\mu _{0}$ يعطي $c\approx 2.998\times 10^{8}~{\text{m/s}}$ كانت سرعة الضوء في الفضاء الحر معروفة آنذاك. دفعه هذا إلى اقتراح أن الضوء والموجات الراديوية عبارة عن موجات كهرومغناطيسية منتشرة، وهو ما تم تأكيده بشكل قاطع منذ ذلك الحين. في نظام الوحدات الدولي القديم ، كانت قيم $\mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}$ و $c=299\,792\,458~{\text{m/s}}$ هي ثوابت محددة، (وهذا يعني أنه بحكم التعريف $\varepsilon _{0}=8.854\,187\,8...\times 10^{-12}~{\text{F/m}}$ ) التي تحدد الأمبير والمتر. في نظام الوحدات الدولي الجديد ، يحتفظ التيار c فقط بقيمته المحددة، وتحصل شحنة الإلكترون على قيمة محددة.

$في$ المواد ذات السماحية $النسبية$ εr والنفاذية النسبية $μr$ ، $تصبح$ سرعة طور الضوء $v_{\text{p}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\mu _{\text{r}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{\text{r}}}}},$ وهو عادةً ^{[ ملاحظة 4 ]} أقل من $ج$ .

بالإضافة إلى ذلك، يكون المجال الكهربائي $(E)$ والمجال المغناطيسي ( $B)$ متعامدين على بعضهما البعض وعلى اتجاه انتشار الموجة، ومتوافقين في الطور . تُعدّ الموجة المستوية الجيبية حلاً خاصاً لهذه المعادلات. تشرح معادلات ماكسويل كيفية انتشار هذه الموجات فيزيائياً في الفضاء. يُولّد المجال المغناطيسي المتغير مجالاً كهربائياً متغيراً وفقاً لقانون فاراداي . بدوره، يُولّد هذا المجال الكهربائي مجالاً مغناطيسياً متغيراً وفقاً لتعديل ماكسويل لقانون أمبير الدائري . تسمح هذه الدورة المستمرة لهذه الموجات، المعروفة الآن بالإشعاع الكهرومغناطيسي ، بالتحرك في الفضاء بسرعة الضوء $(c)$ .

صياغة ماكروسكوبية من حيث الإزاحة ومجالات التمغنط (في نسخة المادة)

المعادلات المذكورة أعلاه هي النسخة المجهرية لمعادلات ماكسويل، حيث تعبر عن المجالين الكهربائي والمغناطيسي بدلالة الشحنات والتيارات الموجودة (التي قد تصل إلى المستوى الذري). يُطلق على هذه الصيغة أحيانًا اسم الصيغة "العامة"، لكن الصيغة العيانية أدناه عامة بنفس القدر، والفرق يكمن في الحسابات.

يُطلق على النسخة المجهرية أحيانًا اسم "معادلات ماكسويل في الفراغ": ويشير هذا إلى أن الوسط المادي غير مُدمج في بنية المعادلات، وإنما يظهر فقط في حدود الشحنة والتيار. وقد قدّم لورنتز النسخة المجهرية، محاولًا استخدامها لاستنتاج الخصائص العيانية للمادة من مكوناتها المجهرية. ^{[ 11 ]}^{: 5}

إن "معادلات ماكسويل العيانية"، والمعروفة أيضًا باسم معادلات ماكسويل في المادة ، تشبه إلى حد كبير تلك التي قدمها ماكسويل بنفسه.

اسم	المعادلات التكاملية (SI)	المعادلات التفاضلية (SI)	المعادلات التفاضلية (النظام الغاوسي)
قانون جاوس	$\oiint$ ${\scriptstyle \partial \Omega }$ $\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\rho _{\text{f}}\,\mathrm {d} V$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{f}}$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho _{\text{f}}$
قانون أمبير-ماكسويل	${\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }&\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\\&\iint _{\Sigma }\mathbf {J} _{\text{f}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \\\end{aligned}}$	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\right)$
قانون جاوس للمغناطيسية	$\oiint$ ${\scriptstyle \partial \Omega }$ $\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
معادلة ماكسويل-فاراداي (قانون فاراداي للحث الكهرومغناطيسي)	$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

في المعادلات الكلية، يُدمج تأثير الشحنة المقيدة $Q b$ والتيار المقيد $I b$ في مجال الإزاحة $D$ ومجال التمغنط $H$ ، بينما تعتمد المعادلات فقط على الشحنات الحرة $Q f$ والتيارات الحرة $I f$ . ويعكس هذا تقسيم الشحنة الكهربائية الكلية Q والتيار I (وكثافتيهما $ρ$ و J ) إلى أجزاء حرة ومقيدة. ${\begin{aligned}Q&=Q_{\text{f}}+Q_{\text{b}}=\iiint _{\Omega }\left(\rho _{\text{f}}+\rho _{\text{b}}\right)\,\mathrm {d} V=\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V,\\I&=I_{\text{f}}+I_{\text{b}}=\iint _{\Sigma }\left(\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{b}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .\end{aligned}}$

إن تكلفة هذا الانقسام هي أن الحقول الإضافية $D$ و $H$ تحتاج إلى تحديدها من خلال معادلات المكونات الظاهرية التي تربط هذه الحقول بالمجال الكهربائي $E$ والمجال المغناطيسي $B$ ، بالإضافة إلى الشحنة والتيار المقيدين.

انظر أدناه للحصول على وصف مفصل للاختلافات بين المعادلات المجهرية، التي تتعامل مع الشحنة الكلية والتيار بما في ذلك مساهمات المواد، وهي مفيدة في الهواء / الفراغ؛ ^{[ ملاحظة 5 ]} والمعادلات العيانية، التي تتعامل مع الشحنة الحرة والتيار، وهي عملية للاستخدام داخل المواد.

الشحنة المقيدة والتيار

عند تطبيق مجال كهربائي على مادة عازلة، تستجيب جزيئاتها بتكوين ثنائيات أقطاب كهربائية مجهرية ؛ إذ تتحرك أنوية ذراتها مسافة ضئيلة في اتجاه المجال، بينما تتحرك إلكتروناتها مسافة ضئيلة في الاتجاه المعاكس. ينتج عن ذلك شحنة مقيدة كلية في المادة، على الرغم من أن جميع الشحنات المعنية مرتبطة بجزيئات منفردة. على سبيل المثال، إذا استجابت جميع الجزيئات بنفس الطريقة، كما هو موضح في الشكل، فإن هذه الحركات الدقيقة للشحنة تتحد لتكوين طبقة من الشحنة المقيدة الموجبة على أحد جانبي المادة وطبقة من الشحنة السالبة على الجانب الآخر. يُوصف الاستقطاب P $للمادة$ ، أي عزم ثنائي القطب لكل وحدة حجم، بأنه الشحنة المقيدة. إذا كان $P$ منتظمًا، فإن فصل الشحنة الكلي يحدث فقط على الأسطح التي يدخل منها $P$ ويخرج من المادة. أما في حالة $P$ غير المنتظم ، فتتولد شحنة أيضًا في المادة نفسها. ^[¹²^]

وبشكل مشابه إلى حد ما، تُظهر الذرات المكونة لجميع المواد عزمًا مغناطيسيًا مرتبطًا جوهريًا بالزخم الزاوي لمكونات الذرات، وخاصة إلكتروناتها . يوحي هذا الارتباط بالزخم الزاوي بصورة مجموعة من حلقات التيار المجهرية. خارج المادة، لا تختلف مجموعة حلقات التيار المجهرية هذه عن تيار عياني يدور حول سطح المادة، على الرغم من عدم انتقال أي شحنة منفردة لمسافة كبيرة. يمكن وصف هذه ^{التيارات} المقيدة باستخدام المغنطة $M.$ [ ^{13 ]}

لذا، يمكن تمثيل الشحنات والتيارات المقيدة المعقدة والدقيقة للغاية على المستوى العياني بدلالة $P$ و $M$ ، حيث يمثلان متوسط هذه الشحنات والتيارات على نطاق واسع بما يكفي لإخفاء دقة الذرات الفردية، ولكنه في الوقت نفسه صغير بما يكفي لتغيرها بتغير الموقع في المادة. وبالتالي، تتجاهل معادلات ماكسويل العيانية العديد من التفاصيل الدقيقة التي قد لا تكون مهمة لفهم الأمور على المستوى الكلي، وذلك بحساب المجالات التي يتم حساب متوسطها على حجم مناسب.

المجالات المساعدة والاستقطاب والمغنطة

تعريفات الحقول المساعدة هي : ${\begin{aligned}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t),\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t),\end{aligned}}$ حيث $P$ هو مجال الاستقطاب و $M$ هو مجال المغنطة ، ويتم تعريفهما بدلالة الشحنات المقيدة المجهرية والتيارات المقيدة على التوالي. ثم يتم تعريف كثافة الشحنة المقيدة العيانية $ρb$ وكثافة التيار المقيد $Jb$ $بدلالة$ الاستقطاب P $والمغنطة$ M $على النحو$ $التالي$ : ${\begin{aligned}\rho _{\text{b}}&=-\nabla \cdot \mathbf {P} ,\\\mathbf {J} _{\text{b}}&=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}.\end{aligned}}$

إذا عرّفنا الشحنة الكلية والمقيدة والحرة وكثافة التيار بـ ${\begin{aligned}\rho &=\rho _{\text{b}}+\rho _{\text{f}},\\\mathbf {J} &=\mathbf {J} _{\text{b}}+\mathbf {J} _{\text{f}},\end{aligned}}$ واستخدام العلاقات المحددة أعلاه لإزالة $D$ و $H$ ، فإن معادلات ماكسويل "العيانية" تعيد إنتاج المعادلات "الميكروسكوبية".

العلاقات التكوينية

لتطبيق معادلات ماكسويل الماكروسكوبية، من الضروري تحديد العلاقات بين مجال الإزاحة $D$ والمجال الكهربائي $E$ ، وكذلك بين مجال التمغنط $H$ والمجال المغناطيسي $B.$ وبصورة مكافئة، يجب تحديد اعتماد الاستقطاب $P$ (وبالتالي الشحنة المقيدة) والتمغنط $M$ (وبالتالي التيار المقيد) على المجالين الكهربائي والمغناطيسي المطبقين. تُسمى المعادلات التي تحدد هذه الاستجابة بالعلاقات التكوينية . بالنسبة للمواد في العالم الحقيقي، نادرًا ما تكون العلاقات التكوينية بسيطة، إلا تقريبًا، وعادةً ما تُحدد تجريبيًا. انظر المقال الرئيسي حول العلاقات التكوينية للحصول على وصف أكثر تفصيلًا. ^{[ 14 ]}^{: 44-45}

بالنسبة للمواد التي لا تمتلك استقطابًا أو مغنطة، فإن العلاقات التكوينية هي (بحسب التعريف) ^{[ 8 ]}^{: 2} $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ,$ حيث $ε₀$ هي سماحية الفراغ و $μ₀$ $هي$ نفاذية الفراغ. وبما أنه لا توجد شحنة مقيدة، $فإن$ الشحنة الكلية والتيار الحر متساويان.

ثمة وجهة نظر بديلة حول المعادلات المجهرية، وهي أنها تمثل المعادلات العيانية بالإضافة إلى القول بأن الفراغ يتصرف كمادة خطية مثالية دون استقطاب أو مغنطة إضافية. وبشكل أعم، فإن العلاقات التكوينية للمواد الخطية هي ^{[ 14 ]}^{: 44-45} $\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} ,$ حيث $ε$ هي سماحية المادة و $μ$ هي نفاذيتها . بالنسبة لحقل الإزاحة $D$ ، يكون التقريب الخطي ممتازًا عادةً، لأنه باستثناء أقصى الحقول الكهربائية أو درجات الحرارة التي يمكن الحصول عليها في المختبر (مثل الليزر النبضي عالي الطاقة)، تكون الحقول الكهربائية بين الذرات في المواد، والتي تبلغ قيمتها 10¹¹ ^فولت /متر، أعلى بكثير من الحقل الخارجي. أما بالنسبة لحقل التمغنط $\mathbf {H}$ مع ذلك، قد ينهار التقريب الخطي في المواد الشائعة كالحديد، مما يؤدي إلى ظواهر مثل التخلف المغناطيسي . وحتى الحالة الخطية قد تنطوي على تعقيدات مختلفة.

بالنسبة للمواد المتجانسة، تكون قيمتا $ε$ و $μ$ ثابتتين في جميع أنحاء المادة، بينما تعتمدان في المواد غير المتجانسة على الموقع داخل المادة (وربما على الزمن). ^{[ 15 ]}^{: 463}
بالنسبة للمواد المتجانسة، يكون كل من $ε$ و $μ$ كميات قياسية، بينما يكونان موترين بالنسبة للمواد غير المتجانسة (على سبيل المثال، بسبب البنية البلورية) . ^{[ 14 ]}^{: 421}^{[ 15 ]}^{: 463}
تتميز المواد عمومًا بخاصية التشتت ، لذا فإنّ $ε$ و $μ$ يعتمدان على تردد أي موجات كهرومغناطيسية ساقطة. ^{[ 14 ]}^{: 625}^{[ 15 ]}^{: 397}

وبشكل أعم، في حالة المواد غير الخطية (انظر على سبيل المثال البصريات غير الخطية )، فإن $D$ و $P$ لا تتناسبان بالضرورة مع $E$ ، وبالمثل فإن $H$ أو $M$ لا تتناسبان بالضرورة مع $B.$ بشكل عام ، تعتمد $D$ و $H$ على كل من $E$ و $B$ ، وعلى الموقع والزمن، وربما على كميات فيزيائية أخرى.

في التطبيقات، يجب أيضًا وصف كيفية سلوك التيارات الحرة وكثافة الشحنة بدلالة المجالين $الكهربائي$ والمغناطيسي، $وربما$ ربطها بكميات فيزيائية أخرى مثل الضغط، وكتلة الجسيمات الحاملة للشحنة، وكثافتها العددية، وسرعتها. على سبيل المثال، تضمنت المعادلات الأصلية التي وضعها ماكسويل (انظر تاريخ معادلات ماكسويل ) قانون أوم بالصيغة التالية: $\mathbf {J} _{\text{f}}=\sigma \mathbf {E} .$

تركيبات بديلة

فيما يلي بعض الصيغ الرياضية الأخرى لمعادلات ماكسويل، حيث تفصل الأعمدة بين معادلتي ماكسويل المتجانستين والمعادلتين غير المتجانستين. لكل صيغة صيغٌ مباشرة بدلالة المجالين الكهربائي والمغناطيسي، وغير مباشرة بدلالة الجهد الكهربائي $φ$ والجهد الشعاعي $A.$ استُخدمت الجهود كطريقة ملائمة لحل المعادلات المتجانسة، ولكن كان يُعتقد أن جميع الظواهر الفيزيائية القابلة للملاحظة تكمن في المجالين الكهربائي والمغناطيسي (أو، من منظور النسبية، في موتر فاراداي). مع ذلك، تلعب الجهود دورًا محوريًا في ميكانيكا الكم، وتؤثر كميًا بنتائج قابلة للملاحظة حتى عند انعدام المجالين الكهربائي والمغناطيسي ( تأثير أهارونوف-بوم ).

يصف كل جدول شكلاً من أشكال الصياغة. راجع المقال الرئيسي للاطلاع على تفاصيل كل شكل.

تُظهر الصيغ المباشرة للزمكان بوضوح أن معادلات ماكسويل ثابتة نسبيًا ، حيث يُعامل المكان والزمان على قدم المساواة. وبسبب هذا التناظر، يُعامل المجالين الكهربائي والمغناطيسي على قدم المساواة ويُعتبران من مكونات موتر فاراداي . هذا يُختزل معادلات ماكسويل الأربع إلى معادلتين، مما يُبسط المعادلات، على الرغم من أننا لم نعد قادرين على استخدام الصيغة المتجهة المألوفة. معادلات ماكسويل في الصيغ التي لا تُعامل المكان والزمان بشكل واضح على قدم المساواة، تتمتع بثبات لورنتز كتناظر ضمني. كان هذا مصدر إلهام رئيسي لتطوير نظرية النسبية. في الواقع، حتى الصيغة التي تُعامل المكان والزمان بشكل منفصل ليست تقريبًا غير نسبي، وتصف نفس الفيزياء بمجرد إعادة تسمية المتغيرات. لهذا السبب، تُسمى المعادلات الثابتة نسبيًا عادةً بمعادلات ماكسويل أيضًا.

يصف كل جدول أدناه شكلاً شكلياً واحداً.

حساب الموترات
التركيبة	المعادلات المتجانسة	المعادلات غير المتجانسة
مساحة فيلدز مينكوفسكي	$\partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0$	$\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }$
فضاء مينكوفسكي (بأي مقياس)	$F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}$	$2\partial _{\alpha }\partial ^{[\alpha }A^{\beta ]}=\mu _{0}J^{\beta }$
الإمكانات ( مقياس لورنز ) فضاء مينكوفسكي	$F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}$ $\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$	$\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }A^{\beta }=\mu _{0}J^{\beta }$
حقول أي زمكان	${\begin{aligned}&\partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=\\&\qquad \nabla _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0\end{aligned}}$	${\begin{aligned}&{\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\alpha }({\sqrt {-g}}F^{\alpha \beta })=\\&\qquad \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }\end{aligned}}$
الإمكانيات (بأي مقياس) أي زمكان (مع القيود الطوبولوجية )	$F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}$	${\begin{aligned}&{\frac {2}{\sqrt {-g}}}\partial _{\alpha }({\sqrt {-g}}g^{\alpha \mu }g^{\beta \nu }\partial _{[\mu }A_{\nu ]})=\\&\qquad 2\nabla _{\alpha }(\nabla ^{[\alpha }A^{\beta ]})=\mu _{0}J^{\beta }\end{aligned}}$
الكمونات ( مقياس لورنز ) أي زمكان (مع قيود طوبولوجية)	$F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}$ $\nabla _{\alpha }A^{\alpha }=0$	$\nabla _{\alpha }\nabla ^{\alpha }A^{\beta }-R^{\beta }{}_{\alpha }A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\beta }$

الأشكال التفاضلية
التركيبة	المعادلات المتجانسة	المعادلات غير المتجانسة
حقول أي زمكان	$\mathrm {d} F=0$	$\mathrm {d} {\star }F=\mu _{0}J$
الإمكانيات (بأي مقياس) أي زمكان (مع قيود طوبولوجية)	$F=\mathrm {d} A$	$\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} A=\mu _{0}J$
الكمونات ( مقياس لورنز ) أي زمكان (مع قيود طوبولوجية)	$F=\mathrm {d} A$ $\mathrm {d} {\star }A=0$	${\star }\Box A=\mu _{0}J$

في صياغة حساب الموترات، يُعدّ الموتر الكهرومغناطيسي $F αβ$ موترًا متغايرًا مضادًا للتناظر من الرتبة الثانية؛ والجهد $الرباعي A$ α متجه $متغاير$ ؛ والتيار $J$ $α$ متجه؛ وتشير الأقواس المربعة $[ ] إلى$ التناظر المضاد للمؤشرات ؛ $و\partial$ $α$ هو المشتق الجزئي بالنسبة للإحداثي $x$ $α$ . في فضاء مينكوفسكي، تُختار الإحداثيات بالنسبة لإطار مرجعي قصوري ؛ $($ $x$ $α$ $) = ($ $ct$ $,$ $x$ $,$ $y$ $,$ $z$ $)$ ، بحيث يكون موتر القياس المستخدم لرفع وخفض المؤشرات هو $η$ $αβ$ $= diag(1,$ $-1,$ $-1,$ $-1)$ . يُعرَّف مؤثر دالمبير على فضاء مينكوفسكي على النحو $التالي: ◻ = \partialα/\partialα$ $كما$ $في$ $الصيغة$ $المتجهة$ . في الزمكانات العامة، يكون نظام الإحداثيات $xα$ اختياريًا، والمشتقة المتغيرة $\nablaα$ $،$ وموتر ريتشي $Rαβ$ ، ورفع وخفض المؤشرات مُعرَّفة بواسطة المقياس اللورنتزي gαβ، ويُعرَّف $مؤثر$ $دالمبير$ على النحو التالي: $◻$ $= \nablaα$ $/$ $\nablaα$ $. يتمثل القيد الطوبولوجي في أن مجموعة$ التماثل الحقيقية الثانية للفضاء تتلاشى (انظر صيغة الشكل التفاضلي لمزيد من التوضيح). يُنتهك هذا القيد في فضاء مينكوفسكي عند إزالة خط منه، والذي يمكنه نمذجة زمكان (مسطح) مع قطب أحادي نقطي على مكمل الخط.
في صياغة $الشكل$ التفاضلي على أزمنة مكانية عشوائية، $F = 1 / 2 F αβ ‍ d x α \land d x β$ هو موتر الكهرومغناطيسية الذي يعتبر شكلاً ثنائياً، $A = A α d x α$ هو الشكل الأحادي الكامن $،$ $J=-J_{\alpha }{\star }\mathrm {d} x^{\alpha }$ يمثل الشكل الثالث الحالي، $و d$ هو المشتق الخارجي ، و ${\star }$ هو نجم هودج على الأشكال المعرفة (حتى اتجاهه، أي إشارته) بواسطة مقياس لورنتز للزمكان. في الحالة الخاصة للأشكال الثنائية مثل F ، يكون نجم هودج ${\star }$ يعتمد على موتر القياس فقط لمقياسه المحلي . هذا يعني أنه، كما هو مُصاغ، فإن معادلات المجال التفاضلية ثابتة توافقياً ، لكن شرط لورنز القياسي يكسر الثبات التوافقي. المؤثر $\Box =(-{\star }\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} -\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} {\star })$ هو مؤثر دالمبير-لابلاس-بيلترامي على الأشكال التفاضلية من الرتبة الأولى في فضاء لورنتزي عشوائي . الشرط الطوبولوجي هو أن تكون مجموعة التماثل الحقيقية الثانية "تافهة" (أي أن شكلها يتبع من تعريف). وبسبب التشاكل مع مجموعة دي رام الثانية، فإن هذا الشرط يعني أن كل شكل تفاضلي مغلق من الرتبة الثانية يكون تامًا.

تشمل الصيغ الأخرى صياغة الجبر الهندسي وتمثيل مصفوفة معادلات ماكسويل . تاريخياً، تم استخدام صياغة رباعية ^{[ 16 ]}^{[ 17 ] .}

الحلول

معادلات ماكسويل هي معادلات تفاضلية جزئية تربط بين المجالين الكهربائي والمغناطيسي، وبين الشحنات والتيارات الكهربائية. غالبًا ما تعتمد الشحنات والتيارات نفسها على المجالين الكهربائي والمغناطيسي عبر معادلة قوة لورنتز والعلاقات التكوينية . تشكل هذه المعادلات مجتمعةً مجموعةً من المعادلات التفاضلية الجزئية المترابطة، والتي يصعب حلها في كثير من الأحيان، إذ تشمل حلولها جميع الظواهر المتنوعة للكهرومغناطيسية الكلاسيكية . فيما يلي بعض الملاحظات العامة.

كما هو الحال في أي معادلة تفاضلية، فإن الشروط الحدية ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}^{[ 20 ]} والشروط الابتدائية ^{[ 21 ]} ضرورية لإيجاد حل وحيد . فعلى سبيل المثال، حتى في غياب الشحنات والتيارات في أي مكان في الزمكان، توجد حلول بديهية تكون فيها قيمتا E و B صفرًا أو ثابتتين، ولكن توجد أيضًا حلول غير بديهية تتوافق مع الموجات الكهرومغناطيسية. في بعض الحالات، تُحل معادلات ماكسويل على كامل الفضاء، وتُعطى الشروط الحدية كحدود تقاربية عند اللانهاية. ^{[ 22 ]} وفي حالات أخرى، تُحل معادلات ماكسويل في منطقة محدودة من الفضاء، مع شروط مناسبة على حدود تلك المنطقة، على سبيل المثال حدود امتصاص اصطناعية تمثل بقية الكون، ^{[ 23 ]}^{[ 24 ]} أو شروط حدية دورية ، أو جدران تعزل منطقة صغيرة عن العالم الخارجي (كما هو الحال في الدليل الموجي أو الرنان التجويفي ). ^{[ 25 ]}

تُعدّ معادلات جيفيمينكو (أو كمونات ليينارد-فيشرت ذات الصلة الوثيقة بها ) الحل الصريح لمعادلات ماكسويل للحقول الكهربائية والمغناطيسية الناتجة عن أي توزيع مُعطى للشحنات والتيارات. وتفترض هذه المعادلات شروطًا ابتدائية مُحددة للحصول على ما يُسمى "الحل المتأخر"، حيث تكون الحقول الموجودة هي فقط تلك الناتجة عن الشحنات. مع ذلك، فإن معادلات جيفيمينكو غير مُجدية في الحالات التي تتأثر فيها الشحنات والتيارات نفسها بالحقول التي تُنشئها.

يمكن استخدام الطرق العددية للمعادلات التفاضلية لحساب حلول تقريبية لمعادلات ماكسويل عندما يتعذر إيجاد حلول دقيقة. وتشمل هذه الطرق طريقة العناصر المحدودة وطريقة الفروق المحدودة في المجال الزمني . ^{[ 18 ]}^{[ 20 ]}^{[ 26 ]}^{[ 27 ]}^{[ 28 ]} لمزيد من التفاصيل، انظر: الكهرومغناطيسية الحاسوبية .

تحديد زائد لمعادلات ماكسويل

تبدو معادلات ماكسويل مُفرطة التحديد ، إذ تتضمن ستة مجاهيل (المكونات الثلاثة للمجالين $الكهربائي والمغناطيسي$ $)$ وثماني معادلات (معادلة لكل من قانوني غاوس، وثلاثة مكونات متجهة لكل من قانوني فاراداي وأمبير الدائريين). (التيارات والشحنات ليست مجاهيل، إذ يمكن تحديدها بحرية مع مراعاة حفظ الشحنة ). يرتبط هذا بنوع محدود من التكرار في معادلات ماكسويل: يمكن إثبات أن أي نظام يحقق قانون فاراداي وقانون أمبير الدائري يحقق تلقائيًا قانوني غاوس، طالما أن الشرط الابتدائي للنظام يحققهما، وبافتراض حفظ الشحنة وعدم وجود أقطاب مغناطيسية أحادية. ^[²⁹^]^[³⁰^] وقد قدم جوليوس آدامز ستراتون هذا التفسير لأول مرة عام 1941. ^[³¹^]

على الرغم من إمكانية تجاهل قانوني غاوس في الخوارزمية العددية (باستثناء الشروط الابتدائية)، إلا أن عدم دقة الحسابات قد يؤدي إلى انتهاكات متزايدة لهذين القانونين. وبإدخال متغيرات وهمية تُحدد هذه الانتهاكات، تصبح المعادلات الأربع غير مُفرطة التحديد. ويمكن أن تُفضي الصيغة الناتجة إلى خوارزميات أكثر دقة تأخذ القوانين الأربعة جميعها في الحسبان. ^{[ 32 ]}

كلا الهويتين $\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {B} \equiv 0,\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {E} \equiv 0$ إنّ هذه المعادلات، التي تُختزل ثماني معادلات إلى ست معادلات مستقلة، هي السبب الحقيقي للتحديد الزائد. ^{[ 33 ]}^{[ 34 ]}

وبالمثل، يمكن اعتبار التحديد الزائد بمثابة إشارة إلى حفظ الشحنة الكهربائية والمغناطيسية، حيث إنها مطلوبة في الاشتقاق الموصوف أعلاه ولكنها مضمنة في قانوني جاوس.

بالنسبة للمعادلات الجبرية الخطية، يمكن وضع قواعد بسيطة لإعادة كتابة المعادلات والمجاهيل. قد تكون المعادلات مرتبطة خطيًا. أما في المعادلات التفاضلية، وخاصة المعادلات التفاضلية الجزئية، فيلزم وجود شروط حدودية مناسبة، تعتمد على المعادلات بطرق غير واضحة. بل وأكثر من ذلك، إذا أُعيدت كتابتها بدلالة الكمون المتجهي والكموني، فإنها تصبح غير محددة بسبب تثبيت القياس .

معادلات ماكسويل كحد كلاسيكي لنظرية الكهروديناميكا الكمية

تُعدّ معادلات ماكسويل وقانون قوة لورنتز (إلى جانب بقية مبادئ الكهرومغناطيسية الكلاسيكية) ناجحة للغاية في تفسير وتوقع مجموعة متنوعة من الظواهر. مع ذلك، فهي لا تأخذ في الحسبان التأثيرات الكمومية، ولذا فإن نطاق تطبيقها محدود. تُعتبر معادلات ماكسويل الحد الكلاسيكي للديناميكا الكهربائية الكمومية .

لا يمكن تفسير بعض الظواهر الكهرومغناطيسية المرصودة باستخدام معادلات ماكسويل إذا كان مصدر المجالات الكهرومغناطيسية هو التوزيعات الكلاسيكية للشحنة والتيار. تشمل هذه الظواهر تشتت الفوتون-فوتون، والعديد من الظواهر الأخرى المتعلقة بالفوتونات أو الفوتونات الافتراضية ، و" الضوء غير الكلاسيكي " ، والتشابك الكمي للمجالات الكهرومغناطيسية (انظر البصريات الكمية ). على سبيل المثال، لا يمكن وصف التشفير الكمي بنظرية ماكسويل، ولا حتى تقريبًا. وتتضح الطبيعة التقريبية لمعادلات ماكسويل أكثر فأكثر عند الانتقال إلى نظام المجال القوي للغاية (انظر لاغرانجيان أويلر-هايزنبرغ ) أو إلى مسافات متناهية الصغر.

أخيرًا، لا تستطيع معادلات ماكسويل تفسير أي ظاهرة تتضمن تفاعل الفوتونات الفردية مع المادة الكمومية، مثل التأثير الكهروضوئي ، وقانون بلانك ، وقانون دوان-هانت ، وكواشف الضوء أحادية الفوتون . مع ذلك، يمكن تفسير العديد من هذه الظواهر باستخدام نظرية شبه كلاسيكية للمادة الكمومية مقترنة بمجال كهرومغناطيسي كلاسيكي، إما كمجال خارجي أو بالقيمة المتوقعة لتيار الشحنة وكثافتها في الطرف الأيمن من معادلات ماكسويل. تُعرف هذه النظرية بنظرية شبه الكلاسيكية أو نظرية الكهروديناميكا الكمية للمجال الذاتي، وقد اكتشفها دي برولي وشرودنغر في البداية، ثم طورها لاحقًا إي تي جاينز وإيه أو باروت بشكل كامل.

الاختلافات

تعد الاختلافات الشائعة في معادلات ماكسويل كنظرية كلاسيكية للمجالات الكهرومغناطيسية نادرة نسبيًا لأن المعادلات القياسية صمدت أمام اختبار الزمن بشكل ملحوظ.

الأقطاب المغناطيسية الأحادية

تفترض معادلات ماكسويل وجود شحنة كهربائية في الكون ، دون وجود شحنة مغناطيسية (تُسمى أيضًا الأقطاب المغناطيسية الأحادية ). في الواقع، لم تُلاحظ الشحنة المغناطيسية قط، على الرغم من عمليات البحث المكثفة، ^{[ ملاحظة 6 ]} وقد لا تكون موجودة. إذا وُجدت، فسيتعين تعديل كل من قانون جاوس للمغناطيسية وقانون فاراداي، وستكون المعادلات الأربع الناتجة متناظرة تمامًا عند تبادل المجالين الكهربائي والمغناطيسي. ^{[ 8 ]}^{: 273-275}

انظر أيضاً

ملاحظات توضيحية

↑ في النسبية العامة، مع ذلك، يجب أن تدخل، من خلال موتر الإجهاد والطاقة الخاص بها ، في معادلات مجال أينشتاين التي تتضمن انحناء الزمكان.
↑ إن غياب مصادر/مصارف المجال لا يعني بالضرورة أن خطوط المجال مغلقة أو تمتد إلى ما لا نهاية. بل يمكنها أن تلتف حول نفسها إلى ما لا نهاية دون تقاطعات. علاوة على ذلك، حول النقاط التي يكون فيها المجال صفراً (والتي لا يمكن أن تتقاطع مع خطوط المجال، لأن اتجاهها لن يكون محدداً)، يمكن أن تبدأ بعض الخطوط وتنتهي أخرى في الوقت نفسه. يحدث هذا، على سبيل المثال، في المنتصف بين مغناطيسين أسطوانيين متطابقين، يتقابل قطباهما الشماليان. في هذه المنطقة، يكون المجال صفراً وتنتهي خطوط المجال المحورية الصادرة من المغناطيسين. في الوقت نفسه، ينبثق عدد لا نهائي من الخطوط المتشعبة شعاعياً من هذه النقطة. إن وجود خطوط تنتهي وتبدأ حول هذه النقطة يحافظ على خاصية عدم التباعد للمجال. للحصول على مناقشة مفصلة حول خطوط المجال غير المغلقة، انظر L. Zilberti "The Misconception of Closed Magnetic Flux Lines" , IEEE Magnetics Letters, vol. 8, art. 1306005, 2017.
↑ الكمية التي نسميها الآن $(ε₀μ₀) ⁻¹ / ² ،$ بوحدات السرعة، تم قياسها مباشرةً قبل معادلات ماكسويل، في تجربة أجراها ويلهلم إدوارد ويبر ورودولف كولراوش عام 1855. قام الباحثان بشحن جرة ليدن (نوع من المكثفات )، وقاسوا القوة الكهروستاتيكية المرتبطة بالجهد؛ ثم قاما بتفريغها مع قياس القوة المغناطيسية الناتجة عن التيار في سلك التفريغ. وكانت النتيجة3.107 × 10⁸ م/ث ، ^وهي سرعة قريبة بشكل ملحوظ من سرعة الضوء. انظر جوزيف ف. كيثلي، قصة القياسات الكهربائية والمغناطيسية: من 500 قبل الميلاد إلى أربعينيات القرن العشرين ، صفحة 115 .
↑ توجد حالات ( تشتت شاذ ) حيث يمكن أن تتجاوز سرعة الطور سرعة الضوء $c$ ، لكن "سرعة الإشارة" ستظل $\leq c$
↑ في بعض الكتب - على سبيل المثال، في كتاب الفيزياء النظرية الأساسية لـ U. Krey و A. Owenيتم استخداممصطلح الشحنة الفعالة بدلاً من الشحنة الكلية ، بينماتسمى الشحنة الحرة ببساطة بالشحنة .
↑ انظر إلى القطب المغناطيسي الأحادي لمناقشة عمليات البحث عن الأقطاب المغناطيسية الأحادية. اكتشف العلماء مؤخرًا أن بعض أنواع المادة المكثفة، بما في ذلك الجليد المغزلي والعوازل الطوبولوجية ، تُظهر سلوكًا ناشئًا يُشبه الأقطاب المغناطيسية الأحادية. (انظر sciencemag.org و nature.com ). على الرغم من وصف هذه الاكتشافات في الصحافة الشعبية بأنها الاكتشاف المنتظر للأقطاب المغناطيسية الأحادية، إلا أن العلاقة بينهما سطحية فقط. القطب المغناطيسي الأحادي "الحقيقي" هو حالة يكون فيها $\nabla \cdot B \neq 0$ ، بينما في أنظمة المادة المكثفة هذه، $يكون \nabla \cdot B = 0$ بينما يكون $\nabla \cdot H \neq 0$ فقط .

مراجع

↑ هامبشاير، داميان ب. (29 أكتوبر 2018). "اشتقاق معادلات ماكسويل باستخدام ترميز هيفسايد" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ: العلوم الرياضية والفيزيائية والهندسية . 376 ( 2134). arXiv : 1510.04309 . Bibcode : 2018RSPTA.37670447H . doi : 10.1098/rsta.2017.0447 . ISSN 1364-503X . PMC 6232579. PMID 30373937 .
1 2 3 جاكسون، جون. "معادلات ماكسويل" . معجم فيديو العلوم . مختبر بيركلي. مؤرشف من الأصل بتاريخ 29 يناير 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 يونيو 2016 .
↑ جيه دي جاكسون، الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية ، القسم 6.3
↑ مبادئ الفيزياء: نص قائم على حساب التفاضل والتكامل ، بقلم آر إيه سيرواي، جيه دبليو جويت، صفحة 809.
↑ بروس ج. هانت (1991) الماكسويليون ، الفصل 5 والملحق، مطبعة جامعة كورنيل
↑ "معادلات ماكسويل" . موسوعة تاريخ الهندسة والتكنولوجيا. 29 أكتوبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 ديسمبر 2021 .
↑ سولين، بافيل (2006). المعادلات التفاضلية الجزئية وطريقة العناصر المحدودة . جون وايلي وأولاده. ص 273. ISBN 978-0-471-72070-6.
1 2 3 ج. د. جاكسون (17-10-1975). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية ( الطبعة الثالثة). وايلي. ISBN 978-0-471-43132-9.
↑ ليتلجون، روبرت (خريف 2007). "نظام غاوس، والنظام الدولي للوحدات، وأنظمة أخرى للوحدات في النظرية الكهرومغناطيسية" (ملف PDF) . فيزياء 221A، جامعة كاليفورنيا، بيركلي . تاريخ الاسترجاع: 6 مايو 2008 .
↑ ديفيد ج. غريفيث (1999). مقدمة في الديناميكا الكهربائية ( الطبعة الثالثة). برنتيس هول. الصفحات 559-562 . ISBN 978-0-13-805326-0.
↑ كيمبال ميلتون؛ ج. شوينجر (18 يونيو 2006). الإشعاع الكهرومغناطيسي: الطرق التباينية، والموجهات الموجية، والمسرعات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-540-29306-4.
↑ انظر ديفيد ج. غريفيث (1999). "4.2.2". مقدمة في الديناميكا الكهربائية ( الطبعة الثالثة). برنتيس هول . ISBN 9780138053260.للحصول على وصف جيد لكيفية ارتباط $P$ بالشحنة المقيدة .
↑ انظر ديفيد ج. غريفيث (1999). "6.2.2". مقدمة في الديناميكا الكهربائية ( الطبعة الثالثة). برنتيس هول . ISBN 9780138053260.للحصول على وصف جيد لكيفية ارتباط $M$ بالتيار المقيد .
1 2 3 4 أندرو زانغويل (2013). الديناميكا الكهربائية الحديثة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-89697-9.
1 2 3 كيتل، تشارلز (2005)، مقدمة في فيزياء الحالة الصلبة ( الطبعة الثامنة)، الولايات المتحدة الأمريكية: جون وايلي وأولاده، ISBN 978-0-471-41526-8
↑ جاك، بي إم (2003). "الفضاء الفيزيائي كبنية رباعية 1: معادلات ماكسويل. ملاحظة موجزة". arXiv : math-ph/0307038 .
↑ أ. واسر (2000). "حول تدوين معادلات ماكسويل للمجال" (ملف PDF) . دار نشر AW.
1 2 بيتر مونك (2003). طرق العناصر المحدودة لمعادلات ماكسويل . أكسفورد، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة أكسفورد. ص 1 وما يليها. ISBN 978-0-19-850888-5.
↑ توماس بي إيه سينيور ؛ جون إل. فولاكيس (1995-03-01). شروط الحدود التقريبية في الكهرومغناطيسية . لندن، المملكة المتحدة: معهد المهندسين الكهربائيين. ص 261 وما يليها. ISBN 978-0-85296-849-9.
1 2 تي هاغستروم (بيورن إنكويست وغريغوري أ. كريغسمان، محرران) (1997). انتشار الموجات الحسابية . برلين: سبرينغر. ص. 1 وما يليها. رقم ISBN 978-0-387-94874-4.
↑ هينينغ ف. هارموث ومالك ج. م. حسين (1994). انتشار الإشارات الكهرومغناطيسية . سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ص 17. ISBN 978-981-02-1689-4.
↑ ديفيد إم كوك (2002). نظرية المجال الكهرومغناطيسي . مينولا، نيويورك: منشورات كوريير دوفر. ص 335 وما بعدها. ISBN 978-0-486-42567-2.
↑ جان ميشيل لورتيوز (23 مايو 2005). البلورات الضوئية: نحو أجهزة ضوئية نانوية . برلين: سبرينغر. ص 84. ISBN 978-3-540-24431-8.
↑ إس جي جونسون، ملاحظات حول الطبقات المتطابقة تمامًا ، ملاحظات دورة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا عبر الإنترنت (أغسطس 2007).
↑ إس إف محمود (1991). الموجهات الكهرومغناطيسية: النظرية والتطبيقات . لندن، المملكة المتحدة: معهد المهندسين الكهربائيين. الفصل 2. ISBN 978-0-86341-232-5.
↑ جون ليونيداس فولاكيس؛ أريندام تشاتيرجي؛ ليو سي. كيمبل (1998). طريقة العناصر المحدودة للكهرومغناطيسية : الهوائيات، ودوائر الميكروويف، وتطبيقات التشتت . نيويورك: وايلي IEEE. ص 79 وما بعدها. ISBN 978-0-7803-3425-0.
↑ برنارد فريدمان (1990). مبادئ وتقنيات الرياضيات التطبيقية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-66444-6.
↑ تافلوف أ وهاغنيس س س (2005). الديناميكا الكهربائية الحاسوبية: طريقة المجال الزمني للفروق المحدودة . بوسطن، ماساتشوستس: دار أرتيك هاوس . الفصلان 6 و7. ISBN 978-1-58053-832-9.
^ H Freistühler & G Warnecke (2001). المشاكل الزائدية: النظرية والأرقام والتطبيقات . سبرينغر. ص. 605. ردمك 9783764367107.
↑ ج. روزن (1980). "التكرار والزيادة في المجالات والجهود الكهرومغناطيسية". المجلة الأمريكية للفيزياء . 48 (12): 1071. Bibcode : 1980AmJPh..48.1071R . doi : 10.1119/1.12289 .
↑ جيه إيه ستراتون (1941). النظرية الكهرومغناطيسية . شركة ماكجرو هيل للنشر. الصفحات 1-6 . ISBN 9780470131534.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
↑ ب. جيانغ، ج. وو، ل. أ. بوفينيللي (1996). "أصل الحلول الزائفة في الكهرومغناطيسية الحاسوبية". مجلة الفيزياء الحاسوبية . 125 (1): 104. Bibcode : 1996JCoPh.125..104J . doi : 10.1006/jcph.1996.0082 . hdl : 2060/19950021305 .
↑ واينبرغ، ستيفن (1972). الجاذبية وعلم الكونيات . جون وايلي. ص 161-162 . ISBN 978-0-471-92567-5.
↑ كوران، ر. وهيلبرت ، د. (1962)، أساليب الفيزياء الرياضية: المعادلات التفاضلية الجزئية ، المجلد الثاني، نيويورك: وايلي-إنترساينس، الصفحات 15-18 ، ISBN 9783527617241{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

للمزيد من القراءة

إيميدا، ك. (1995)، "صياغة ثنائية رباعية لمعادلات ماكسويل وحلولها"، في أبلاموفيتش، رافال؛ لونستو، بيرتي (محرران)، جبر كليفورد وبنى السبينور ، سبرينغر، ص 265-280 ، doi : 10.1007/978-94-015-8422-7_16 ، ISBN 978-90-481-4525-6

المنشورات التاريخية

حول خطوط قوة فاراداي – 1855/56. الورقة الأولى لماكسويل (الجزء 1 و 2) – تم تجميعها بواسطة Blaze Labs Research (PDF).
حول خطوط القوة الفيزيائية – 1861. ورقة ماكسويل لعام 1861 التي تصف خطوط القوة المغناطيسية – سلف أطروحة 1873.
جيمس كلارك ماكسويل ، " نظرية ديناميكية للمجال الكهرومغناطيسي "، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن 155 ، 459-512 (1865). (هذه المقالة مصاحبة لعرض قدمه ماكسويل للجمعية الملكية في 8 ديسمبر 1864).
- نظرية ديناميكية للمجال الكهرومغناطيسي – 1865. ورقة ماكسويل لعام 1865 التي تصف معادلاته العشرين، رابط من كتب جوجل .
ج. كليرك ماكسويل (1873)، " رسالة في الكهرباء والمغناطيسية ":
- ماكسويل، جي سي، "رسالة في الكهرباء والمغناطيسية" - المجلد 1 - 1873 - مجموعة بوسنر التذكارية - جامعة كارنيجي ميلون.
- ماكسويل، جي سي، "رسالة في الكهرباء والمغناطيسية" - المجلد 2 - 1873 - مجموعة بوسنر التذكارية - جامعة كارنيجي ميلون.

التطورات التي سبقت نظرية النسبية

لارمور جوزيف (1897). "حول نظرية ديناميكية للوسط الكهربائي والمضيء. الجزء 3، العلاقات مع الأوساط المادية" . معاملات الجمعية الملكية 190 : 205-300 .
لورنتز هندريك (1899). "نظرية مبسطة للظواهر الكهربائية والبصرية في الأنظمة المتحركة" . وقائع أكاديمية العلوم بأمستردام . الجزء الأول : 427-443 .
لورنتز هندريك (1904). "الظواهر الكهرومغناطيسية في نظام يتحرك بأي سرعة أقل من سرعة الضوء" . وقائع أكاديمية العلوم بأمستردام . المجلد الرابع : 669-678 .
هنري بوانكاريه (1900) “La théorie de Lorentz et le Principe de Réaction” (بالفرنسية) ، Archives Néerlandaises ، V ، 253–278.
هنري بوانكاريه (1902) " العلم والفرضيات " (بالفرنسية) .
هنري بوانكاريه (1905) "Sur la dynamique de l'électron" (بالفرنسية) ، Comptes Rendus de l'Académie des Sciences ، 140 ، 1504-1508.
كات، والتون، وديفيدسون. "تاريخ تيار الإزاحة". مؤرشف بتاريخ 6 مايو 2008 في موقع Wayback Machine . مجلة Wireless World ، مارس 1979.

روابط خارجية

"معادلات ماكسويل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
maxwells-equations.com — برنامج تعليمي سهل الفهم لمعادلات ماكسويل.
محاضرات فاينمان في الفيزياء، المجلد الثاني، الفصل 18: معادلات ماكسويل
صفحة ويكيفيرسيتي حول معادلات ماكسويل

العلاجات الحديثة

الكهرومغناطيسية (الفصل 11) ، ب. كرويل، كلية فولرتون
سلسلة محاضرات: النسبية والكهرومغناطيسية ، ر. فيتزباتريك، جامعة تكساس في أوستن
الموجات الكهرومغناطيسية من معادلات ماكسويل على مشروع PHYSNET .
سلسلة محاضرات الفيديو من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (36 محاضرة مدة كل منها 50 دقيقة) (بصيغة mp4) - الكهرباء والمغناطيسية، يقدمها البروفيسور والتر ليوين .

آخر

سيلاجادزه، ZK (2002). “اشتقاق فاينمان لمعادلات ماكسويل والأبعاد الإضافية”. حوليات مؤسسة لويس دي برولي . 27 : 241 – 256. أرخايف : hep-ph/0106235 .
معالم بارزة في علم الطبيعة: الفوتونات – المعلم الثاني (1861) معادلات ماكسويل

[1] في النسبية العامة، مع ذلك، يجب أن تدخل، من خلال موتر الإجهاد والطاقة الخاص بها ، في معادلات مجال أينشتاين التي تتضمن انحناء الزمكان.

[4] إن غياب مصادر/مصارف المجال لا يعني بالضرورة أن خطوط المجال مغلقة أو تمتد إلى ما لا نهاية. بل يمكنها أن تلتف حول نفسها إلى ما لا نهاية دون تقاطعات. علاوة على ذلك، حول النقاط التي يكون فيها المجال صفراً (والتي لا يمكن أن تتقاطع مع خطوط المجال، لأن اتجاهها لن يكون محدداً)، يمكن أن تبدأ بعض الخطوط وتنتهي أخرى في الوقت نفسه. يحدث هذا، على سبيل المثال، في المنتصف بين مغناطيسين أسطوانيين متطابقين، يتقابل قطباهما الشماليان. في هذه المنطقة، يكون المجال صفراً وتنتهي خطوط المجال المحورية الصادرة من المغناطيسين. في الوقت نفسه، ينبثق عدد لا نهائي من الخطوط المتشعبة شعاعياً من هذه النقطة. إن وجود خطوط تنتهي وتبدأ حول هذه النقطة يحافظ على خاصية عدم التباعد للمجال. للحصول على مناقشة مفصلة حول خطوط المجال غير المغلقة، انظر L. Zilberti "The Misconception of Closed Magnetic Flux Lines" , IEEE Magnetics Letters, vol. 8, art. 1306005, 2017.

[7] الكمية التي نسميها الآن $(ε₀μ₀) ⁻¹ / ² ،$ بوحدات السرعة، تم قياسها مباشرةً قبل معادلات ماكسويل، في تجربة أجراها ويلهلم إدوارد ويبر ورودولف كولراوش عام 1855. قام الباحثان بشحن جرة ليدن (نوع من المكثفات )، وقاسوا القوة الكهروستاتيكية المرتبطة بالجهد؛ ثم قاما بتفريغها مع قياس القوة المغناطيسية الناتجة عن التيار في سلك التفريغ. وكانت النتيجة3.107 × 10⁸ م/ث ، ^وهي سرعة قريبة بشكل ملحوظ من سرعة الضوء. انظر جوزيف ف. كيثلي، قصة القياسات الكهربائية والمغناطيسية: من 500 قبل الميلاد إلى أربعينيات القرن العشرين ، صفحة 115 .

[14] توجد حالات ( تشتت شاذ ) حيث يمكن أن تتجاوز سرعة الطور سرعة الضوء $c$ ، لكن "سرعة الإشارة" ستظل $\leq c$

[Effective_charge-16] في بعض الكتب - على سبيل المثال، في كتاب الفيزياء النظرية الأساسية لـ U. Krey و A. Owenيتم استخداممصطلح الشحنة الفعالة بدلاً من الشحنة الكلية ، بينماتسمى الشحنة الحرة ببساطة بالشحنة .

[40] انظر إلى القطب المغناطيسي الأحادي لمناقشة عمليات البحث عن الأقطاب المغناطيسية الأحادية. اكتشف العلماء مؤخرًا أن بعض أنواع المادة المكثفة، بما في ذلك الجليد المغزلي والعوازل الطوبولوجية ، تُظهر سلوكًا ناشئًا يُشبه الأقطاب المغناطيسية الأحادية. (انظر sciencemag.org و nature.com ). على الرغم من وصف هذه الاكتشافات في الصحافة الشعبية بأنها الاكتشاف المنتظر للأقطاب المغناطيسية الأحادية، إلا أن العلاقة بينهما سطحية فقط. القطب المغناطيسي الأحادي "الحقيقي" هو حالة يكون فيها $\nabla \cdot B \neq 0$ ، بينما في أنظمة المادة المكثفة هذه، $يكون \nabla \cdot B = 0$ بينما يكون $\nabla \cdot H \neq 0$ فقط .

[Hampshire-2] هامبشاير، داميان ب. (29 أكتوبر 2018). "اشتقاق معادلات ماكسويل باستخدام ترميز هيفسايد" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية أ: العلوم الرياضية والفيزيائية والهندسية . 376 ( 2134). arXiv : 1510.04309 . Bibcode : 2018RSPTA.37670447H . doi : 10.1098/rsta.2017.0447 . ISSN 1364-503X . PMC 6232579. PMID 30373937 .

[VideoGlossary-3] 1 2 3 جاكسون، جون. "معادلات ماكسويل" . معجم فيديو العلوم . مختبر بيركلي. مؤرشف من الأصل بتاريخ 29 يناير 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 يونيو 2016 .

[5] جيه دي جاكسون، الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية ، القسم 6.3

[6] مبادئ الفيزياء: نص قائم على حساب التفاضل والتكامل ، بقلم آر إيه سيرواي، جيه دبليو جويت، صفحة 809.

[8] بروس ج. هانت (1991) الماكسويليون ، الفصل 5 والملحق، مطبعة جامعة كورنيل

[9] "معادلات ماكسويل" . موسوعة تاريخ الهندسة والتكنولوجيا. 29 أكتوبر 2019. تم الاطلاع عليه بتاريخ 4 ديسمبر 2021 .

[10] سولين، بافيل (2006). المعادلات التفاضلية الجزئية وطريقة العناصر المحدودة . جون وايلي وأولاده. ص 273. ISBN 978-0-471-72070-6.

[Jackson-11] 1 2 3 ج. د. جاكسون (17-10-1975). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية ( الطبعة الثالثة). وايلي. ISBN 978-0-471-43132-9.

[Littlejohn-12] ليتلجون، روبرت (خريف 2007). "نظام غاوس، والنظام الدولي للوحدات، وأنظمة أخرى للوحدات في النظرية الكهرومغناطيسية" (ملف PDF) . فيزياء 221A، جامعة كاليفورنيا، بيركلي . تاريخ الاسترجاع: 6 مايو 2008 .

[Griffiths-13] ديفيد ج. غريفيث (1999). مقدمة في الديناميكا الكهربائية ( الطبعة الثالثة). برنتيس هول. الصفحات 559-562 . ISBN 978-0-13-805326-0.

[MiltonSchwinger2006-15] كيمبال ميلتون؛ ج. شوينجر (18 يونيو 2006). الإشعاع الكهرومغناطيسي: الطرق التباينية، والموجهات الموجية، والمسرعات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-540-29306-4.

[17] انظر ديفيد ج. غريفيث (1999). "4.2.2". مقدمة في الديناميكا الكهربائية ( الطبعة الثالثة). برنتيس هول . ISBN 9780138053260.للحصول على وصف جيد لكيفية ارتباط $P$ بالشحنة المقيدة .

[18] انظر ديفيد ج. غريفيث (1999). "6.2.2". مقدمة في الديناميكا الكهربائية ( الطبعة الثالثة). برنتيس هول . ISBN 9780138053260.للحصول على وصف جيد لكيفية ارتباط $M$ بالتيار المقيد .

[Zangwill2013-19] 1 2 3 4 أندرو زانغويل (2013). الديناميكا الكهربائية الحديثة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-89697-9.

[Kittel2005-20] 1 2 3 كيتل، تشارلز (2005)، مقدمة في فيزياء الحالة الصلبة ( الطبعة الثامنة)، الولايات المتحدة الأمريكية: جون وايلي وأولاده، ISBN 978-0-471-41526-8

[21] جاك، بي إم (2003). "الفضاء الفيزيائي كبنية رباعية 1: معادلات ماكسويل. ملاحظة موجزة". arXiv : math-ph/0307038 .

[22] أ. واسر (2000). "حول تدوين معادلات ماكسويل للمجال" (ملف PDF) . دار نشر AW.

[Monk-23] 1 2 بيتر مونك (2003). طرق العناصر المحدودة لمعادلات ماكسويل . أكسفورد، المملكة المتحدة: مطبعة جامعة أكسفورد. ص 1 وما يليها. ISBN 978-0-19-850888-5.

[Volakis-24] توماس بي إيه سينيور ؛ جون إل. فولاكيس (1995-03-01). شروط الحدود التقريبية في الكهرومغناطيسية . لندن، المملكة المتحدة: معهد المهندسين الكهربائيين. ص 261 وما يليها. ISBN 978-0-85296-849-9.

[Hagstrom-25] 1 2 تي هاغستروم (بيورن إنكويست وغريغوري أ. كريغسمان، محرران) (1997). انتشار الموجات الحسابية . برلين: سبرينغر. ص. 1 وما يليها. رقم ISBN 978-0-387-94874-4.

[Hussain-26] هينينغ ف. هارموث ومالك ج. م. حسين (1994). انتشار الإشارات الكهرومغناطيسية . سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ص 17. ISBN 978-981-02-1689-4.

[Cook-27] ديفيد إم كوك (2002). نظرية المجال الكهرومغناطيسي . مينولا، نيويورك: منشورات كوريير دوفر. ص 335 وما بعدها. ISBN 978-0-486-42567-2.

[Lourtioz-28] جان ميشيل لورتيوز (23 مايو 2005). البلورات الضوئية: نحو أجهزة ضوئية نانوية . برلين: سبرينغر. ص 84. ISBN 978-3-540-24431-8.

[29] إس جي جونسون، ملاحظات حول الطبقات المتطابقة تمامًا ، ملاحظات دورة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا عبر الإنترنت (أغسطس 2007).

[30] إس إف محمود (1991). الموجهات الكهرومغناطيسية: النظرية والتطبيقات . لندن، المملكة المتحدة: معهد المهندسين الكهربائيين. الفصل 2. ISBN 978-0-86341-232-5.

[Kempel-31] جون ليونيداس فولاكيس؛ أريندام تشاتيرجي؛ ليو سي. كيمبل (1998). طريقة العناصر المحدودة للكهرومغناطيسية : الهوائيات، ودوائر الميكروويف، وتطبيقات التشتت . نيويورك: وايلي IEEE. ص 79 وما بعدها. ISBN 978-0-7803-3425-0.

[Friedman-32] برنارد فريدمان (1990). مبادئ وتقنيات الرياضيات التطبيقية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-66444-6.

[Taflove-33] تافلوف أ وهاغنيس س س (2005). الديناميكا الكهربائية الحاسوبية: طريقة المجال الزمني للفروق المحدودة . بوسطن، ماساتشوستس: دار أرتيك هاوس . الفصلان 6 و7. ISBN 978-1-58053-832-9.

[34] H Freistühler & G Warnecke (2001). المشاكل الزائدية: النظرية والأرقام والتطبيقات . سبرينغر. ص. 605. ردمك 9783764367107.

[35] ج. روزن (1980). "التكرار والزيادة في المجالات والجهود الكهرومغناطيسية". المجلة الأمريكية للفيزياء . 48 (12): 1071. Bibcode : 1980AmJPh..48.1071R . doi : 10.1119/1.12289 .

[36] جيه إيه ستراتون (1941). النظرية الكهرومغناطيسية . شركة ماكجرو هيل للنشر. الصفحات 1-6 . ISBN 9780470131534.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[37] ب. جيانغ، ج. وو، ل. أ. بوفينيللي (1996). "أصل الحلول الزائفة في الكهرومغناطيسية الحاسوبية". مجلة الفيزياء الحاسوبية . 125 (1): 104. Bibcode : 1996JCoPh.125..104J . doi : 10.1006/jcph.1996.0082 . hdl : 2060/19950021305 .

[38] واينبرغ، ستيفن (1972). الجاذبية وعلم الكونيات . جون وايلي. ص 161-162 . ISBN 978-0-471-92567-5.

[39] كوران، ر. وهيلبرت ، د. (1962)، أساليب الفيزياء الرياضية: المعادلات التفاضلية الجزئية ، المجلد الثاني، نيويورك: وايلي-إنترساينس، الصفحات 15-18 ، ISBN 9783527617241{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[

[ 1 ]

[ 2 ]

[ ملاحظة 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ ملاحظة 3 ]

5

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ ملاحظة 4 ]

[ 11 ]

[ ملاحظة 5 ]

[

التيارات

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ] .

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[

[

[

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ ملاحظة 6 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗