التكامل المتعدد

في الرياضيات (وتحديداً حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات )، التكامل المتعدد هو تكامل محدد لدالة لعدة متغيرات حقيقية ، على سبيل المثال، $f (x, y)$ أو $f (x, y, z)$ .

تكاملات دالة لمتغيرين على منطقة في $\mathbb {R} ^{2}$ ( مستوى الأعداد الحقيقية ) تسمى التكاملات المزدوجة ، وتكاملات دالة لثلاثة متغيرات على منطقة في $\mathbb {R} ^{3}$ (الفضاء ثلاثي الأبعاد للأعداد الحقيقية) تسمى التكاملات الثلاثية . ^{[ 1 ]}

مقدمة

كما أن التكامل المحدد لدالة موجبة لمتغير واحد يمثل مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة ومحور السينات ، فإن التكامل الثنائي لدالة موجبة لمتغيرين يمثل حجم المنطقة المحصورة بين السطح المحدد بالدالة (على المستوى الديكارتي ثلاثي الأبعاد حيث $z$ $=$ $f$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ ) والمستوى الذي يحتوي على مجالها . [ ¹ $]$ ^{إذا كان هناك أكثر من متغير،}^فإن التكامل المتعدد سينتج عنه أحجام فائقة للدوال متعددة الأبعاد.

$يُعبَّر عن$ التكامل المتعدد لدالة في $n$ متغيرًا: $f (x1, x2, ..., xn)$ على مجال $D عادةً بعلامات تكامل متداخلة بترتيب عكسي للتنفيذ (تُحسب علامة التكامل الموجودة في أقصى اليسار أخيرًا)$ $،$ متبوعةً بمعاملات الدالة والمُكاملة بالترتيب الصحيح (يُحسب التكامل بالنسبة للمعامل الموجود في أقصى اليمين أخيرًا). يُعبَّر عن مجال التكامل إما رمزيًا لكل معامل فوق كل علامة تكامل، أو يُختصر بمتغير عند علامة التكامل الموجودة في أقصى اليمين: ^{[ 2 ]}

\int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}

بما أن مفهوم الدالة الأصلية لا يتم تعريفه إلا لدوال متغير حقيقي واحد، فإن التعريف المعتاد للتكامل غير المحدد لا يمتد مباشرة إلى التكامل المتعدد.

التعريف الرياضي

بالنسبة $لـ n > 1$ ، ضع في اعتبارك ما يسمى بالمجال المستطيل الفائق ذي الأبعاد $n "نصف المفتوح"$ $T$ ، المعرف على النحو التالي

T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}

.

قم بتقسيم كل فترة $[a j, b j)$ إلى عائلة محدودة $I j$ من الفترات الفرعية غير المتداخلة $i j α$ ، مع إغلاق كل فترة فرعية من الطرف الأيسر، وفتحها من الطرف الأيمن.

ثم تُعطى العائلة المنتهية من المستطيلات الفرعية $C$ بالعلاقة التالية:

C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}

هو تجزئة لـ $T$ ؛ أي أن المستطيلات الفرعية $C k$ غير متداخلة واتحادها هو $T.$

لتكن $f$ دالة معرفة على $T$ $من$ $T$ $إلى$ $R.$ لنعتبر تجزئة $C$ لـ $T$ كما هو مُعرَّف أعلاه، بحيث تكون $C$ عائلة من $m$ مستطيلات فرعية $C m$ و

T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}

يمكننا تقريب الحجم الكلي ذي الأبعاد $(n + 1)$ المحدد من الأسفل بالمستطيل الفائق $T ذي الأبعاد$ $n$ ومن الأعلى بالرسم البياني $f$ ذي الأبعاد $n باستخدام$ مجموع ريمان التالي :

\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})

حيث $P k$ هي نقطة في $C k$ و $m(C k)$ هو ناتج أطوال الفترات التي يكون حاصل ضربها الديكارتي هو $C k$ ، والمعروف أيضًا باسم قياس $C k$ .

قطر المستطيل الجزئي $C$  $k$ هو أكبر أطوال الفترات التي يكون حاصل ضربها الديكارتي $C$ $k$ . يُعرَّف قطر أي تجزئة للمجموعة $T$ بأنه أكبر أقطار المستطيلات الجزئية في تلك التجزئة. وبشكل بديهي، كلما صغر قطر التجزئة $C ، ازداد عدد المستطيلات الجزئية$ $m$ ، وصغر قياس $m($ $C$ $k$ $)$ لكل مستطيل جزئي. يُقال إن الدالة $f$ قابلة للتكامل وفقًا لريمان إذا كانت النهاية

S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})

يوجد، حيث يتم أخذ النهاية على جميع التقسيمات الممكنة لـ $T$ بقطر لا يتجاوز $δ$ . ^{[ 3 ]}

إذا كانت الدالة $f قابلة للتكامل وفقًا لريمان،$ $فإن S$ يُطلق عليها اسم التكامل الريماني للدالة $f$ على $T$ ويُرمز لها بـ

\int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}

.

غالباً ما يتم اختصار هذه الصيغة إلى

\int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x}

.

حيث يمثل $x$ المجموعة $المكونة من n عنصر$ $(x 1, ..., x n)$ و $d n x$ هو التفاضل الحجمي ذو الأبعاد $n$ .

يمكن تعريف تكامل ريمان لدالة معرفة على مجموعة محدودة ذات $n$ بُعدًا بتمديد تلك الدالة إلى دالة معرفة على مستطيل نصف مفتوح، حيث تكون قيمها صفرًا خارج نطاق الدالة الأصلية. عندئذٍ، يُعرَّف تكامل الدالة الأصلية على نطاقها الأصلي بأنه تكامل الدالة المُمدَّدة على نطاقها المستطيل، إن وُجد.

فيما يلي، سيُطلق على التكامل الريماني في $n بُعد اسم$ التكامل المتعدد .

ملكيات

تتشابه التكاملات المتعددة في العديد من الخصائص مع تكاملات الدوال ذات المتغير الواحد (كالخطية، والتبادلية، والرتابة، وما إلى ذلك). ومن أهم خصائص التكاملات المتعددة أن قيمة التكامل لا تتأثر بترتيب الدوال المراد تكاملها في ظل شروط معينة. وتُعرف هذه الخاصية باسم نظرية فوبيني . ^{[ 4 ]}

حالات خاصة

في حالة $T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ التكامل

l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy

هو التكامل الثنائي للدالة $f$ على $T$ ، وإذا $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ التكامل

l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz

هو التكامل الثلاثي للدالة $f$ على $T.$

لاحظ أنه، بحسب الاصطلاح، يحتوي التكامل المزدوج على علامتي تكامل، ويحتوي التكامل الثلاثي على ثلاث علامات؛ وهذا اصطلاح تدويني ملائم عند حساب التكامل المتعدد كتكامل متكرر، كما هو موضح لاحقًا في هذه المقالة.

أساليب التكامل

في معظم الحالات، يكمن حل مسائل التكاملات المتعددة في إيجاد طريقة لتحويل التكامل المتعدد إلى تكامل متكرر ، أي سلسلة من التكاملات لمتغير واحد، كل منها قابل للحل المباشر. بالنسبة للدوال المتصلة، يُبرر ذلك بنظرية فوبيني . أحيانًا، يمكن الحصول على نتيجة التكامل بالفحص المباشر دون أي حسابات.

فيما يلي بعض الطرق البسيطة للتكامل: ^{[ 1 ]}

تكامل الدوال الثابتة

عندما تكون الدالة المراد تكاملها دالة ثابتة $c ،$ $فإن$ التكامل يساوي حاصل ضرب $c$ في مساحة مجال التكامل. إذا كانت $c = 1$ وكان المجال منطقة جزئية من $R²$ ، فإن التكامل يعطي مساحة تلك المنطقة، بينما إذا كان المجال منطقة جزئية من $R³ ، فإن$ التكامل يعطي حجم تلك المنطقة.

مثال. ليكن $f (x, y) = 2$ و
${\displaystyle D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\$ ,
وفي هذه الحالة
$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {area} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12$ ،
بما أننا، بحسب التعريف، لدينا:
$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {area} (D)$ .

استخدام التناظر

عندما يكون مجال التكامل متناظرًا حول نقطة الأصل بالنسبة لأحد متغيرات التكامل على الأقل، وكانت الدالة المراد تكاملها فردية بالنسبة لهذا المتغير، فإن التكامل يساوي صفرًا، لأن التكاملات على نصفي المجال لها نفس القيمة المطلقة ولكن بإشارتين متعاكستين. أما عندما تكون الدالة المراد تكاملها زوجية بالنسبة لهذا المتغير، فإن التكامل يساوي ضعف التكامل على نصف المجال، لأن التكاملات على نصفي المجال متساوية.

مثال 1. لنفترض الدالة $f (x, y) = 2 sin(x) - 3y³ + 5$ بعد تكاملها على المجال $.$
${\displaystyle T=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\$ ,
قرص نصف قطره 1 مركزه نقطة الأصل مع تضمين حدوده.
باستخدام خاصية الخطية، يمكن تقسيم التكامل إلى ثلاثة أجزاء:
$\iint _{T}\left(2\sin x-3y^{3}+5\right)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy$ .
الدالة $2 sin(x)$ دالة فردية في المتغير $x،$ والقرص $T$ متناظر حول المحور $y$ ، لذا فإن قيمة التكامل الأول تساوي صفرًا. وبالمثل، الدالة $3y³$ دالة فردية في $y$ ، والقرص $T$ $متناظر$ حول المحور $x ، وبالتالي فإن المساهمة الوحيدة في النتيجة النهائية هي مساهمة التكامل الثالث. لذلك$ $،$ فإن التكامل الأصلي يساوي مساحة القرص مضروبة في 5، أو $5π$ .

مثال 2. لنفترض الدالة $f (x, y, z) = x exp(y 2 + z 2)$ ومنطقة التكامل هي الكرة التي نصف قطرها 2 ومركزها نقطة الأصل،
${\displaystyle T=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\$ .
الكرة متناظرة حول المحاور الثلاثة جميعها، ولكن يكفي إجراء التكامل بالنسبة للمحور $x$ لإظهار أن التكامل يساوي 0، لأن الدالة هي دالة فردية لهذا المتغير.

المجالات الطبيعية على $R 2$

هذه الطريقة قابلة للتطبيق على أي مجال $D$ الذي:

$يكون$ إسقاط D على المحور $x$ أو المحور $y$ محصورًا بين القيمتين $a$ و $b$ .
أي خط عمودي على هذا المحور يمر بين هاتين القيمتين يتقاطع مع المجال في فترة تُعطى نهايتاها بواسطة رسوم بيانية لدالتين، $α$ و $β$

يُطلق على هذا المجال هنا اسم المجال الطبيعي . وفي مواضع أخرى من المراجع، تُسمى المجالات الطبيعية أحيانًا مجالات من النوع الأول أو النوع الثاني، وذلك بحسب المحور الذي يُمرر عليه المجال. وفي جميع الأحوال، يجب أن تكون الدالة المراد تكاملها قابلة للتكامل وفقًا لريمان على المجال، وهو ما يتحقق (على سبيل المثال) إذا كانت الدالة متصلة.

المحور $السيني$

إذا كان المجال $D$ طبيعيًا بالنسبة للمحور $x$ ، وكانت $f : D \to R$ دالة متصلة ؛ فإن $α (x)$ و $β (x)$ (وكلتاهما معرفتان على الفترة $[a, b]$ ) هما الدالتان اللتان تحددان $D.$ وبناءً على نظرية فوبيني: ^{[ 5 ]}

\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dx\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,y)\,dy

.

المحور $الصادي$

إذا كانت $D$ دالة طبيعية بالنسبة لمحور $الصادات$ ، وكانت $f : D \to R$ دالة متصلة، فإن $α (y)$ و $β (y)$ (وكلتاهما معرفتان على الفترة $[a, b]$ ) هما الدالتان اللتان تحددان $D.$ وبحسب نظرية فوبيني:

\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\int _{a}^{b}dy\int _{\alpha (y)}^{\beta (y)}f(x,y)\,dx

.

المجالات الطبيعية على $R 3$

إذا كانت $T$ نطاقًا عموديًا على المستوى $xy$ ومحددًا بالدالتين $α (x, y)$ و $β (x, y)$ ، فإن

\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iint _{D}\int _{\alpha (x,y)}^{\beta (x,y)}f(x,y,z)\,dz\,dx\,dy

.

ينطبق هذا التعريف نفسه على حالات التوزيع الطبيعي الخمس الأخرى على $R 3.$ ويمكن تعميمه بطريقة مباشرة على المجالات في $R n$ .

تغيير المتغيرات

غالبًا ما يصعب تبديل حدود التكامل (إما لعدم وجود شرط التعامد أو لوجود صيغ معقدة للتكامل). لذا، يُجرى تغيير في المتغيرات لإعادة كتابة التكامل في نطاق أكثر ملاءمة، يمكن وصفه بصيغ أبسط. وللقيام بذلك، يجب تعديل الدالة لتتوافق مع الإحداثيات الجديدة.

مثال 1أ. الدالة هي $f (x, y) = (x - 1) 2 + \sqrt y$ ؛ إذا اعتمدنا الاستبدال $u = x - 1$ ، $v = y$ وبالتالي $x = u + 1$ ، $y = v$ نحصل على الدالة الجديدة $f 2 (u, v) = (u) 2 + \sqrt v$ .

وبالمثل بالنسبة للمجال لأنه محدد بالمتغيرات الأصلية التي تم تحويلها من قبل ( $x$ و $y$ على سبيل المثال).
يتم تحويل التفاضلات $dx$ و $dy$ عبر القيمة المطلقة لمحدد مصفوفة جاكوبي التي تحتوي على المشتقات الجزئية للتحويلات فيما يتعلق بالمتغير الجديد (على سبيل المثال، التحويل التفاضلي في الإحداثيات القطبية).

توجد ثلاثة "أنواع" رئيسية من تغييرات المتغير (واحد في $R 2$ ، واثنان في $R 3$ )؛ ومع ذلك، يمكن إجراء عمليات استبدال أكثر عمومية باستخدام نفس المبدأ.

الإحداثيات القطبية

في الفضاء $الإحداثي R² ،$ إذا كان للمجال تناظر دائري وللدالة خصائص معينة، يمكن تطبيق التحويل على الإحداثيات القطبية (انظر المثال في الصورة)، ما يعني أن النقاط العامة $P (x, y)$ في الإحداثيات الديكارتية تتحول إلى نقاطها المناظرة في الإحداثيات القطبية. وهذا يسمح بتغيير شكل المجال وتبسيط العمليات.

العلاقة الأساسية لإجراء هذا التحول هي التالية:

f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )

.

مثال 2أ. الدالة هي $f (x, y) = x + y$ ، وبتطبيق التحويل نحصل على
$f(x,y)=f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi )$ .

المثال 2ب. الدالة هي $f (x, y) = x 2 + y 2$ ، وفي هذه الحالة يكون لدينا:
$f(x,y)=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}$
استخدام متطابقة فيثاغورس المثلثية (يمكن أن يكون مفيدًا لتبسيط هذه العملية).

يتم تحويل المجال عن طريق تحديد طول تاج نصف القطر وسعة الزاوية الموصوفة لتحديد فترات $ρ و φ$ بدءًا من $x و y$ .

المثال 2ج. المجال هو $D = {x 2 + y 2 \leq 4}$ ، أي محيط نصف قطره 2؛ من الواضح أن الزاوية المغطاة هي زاوية الدائرة، لذا فإن $φ$ تتغير من 0 إلى 2 $π$ ، بينما يتغير نصف قطر التاج من 0 إلى 2 (التاج ذو نصف القطر الداخلي الصفري هو مجرد دائرة).

مثال 2د. المجال هو $D = { x² + y² \leq 9, x² + y² \geq 4, y \geq 0} ، أي التاج الدائري$ في نصف المستوى الموجب $y$ (انظر الصورة في المثال)؛ $φ$ تصف زاوية مستوية بينما $ρ تتراوح$ $من$ 2 إلى 3. لذلك، سيكون المجال المُحوَّل هو المستطيل التالي :
$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}$ .
المحدد اليعقوبي لهذا التحويل هو التالي:
${\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho$ ،
والتي تم الحصول عليها عن طريق إدخال المشتقات الجزئية لـ $x = ρ cos(φ)$ ، $y = ρ sin(φ)$ في العمود الأول بالنسبة إلى $ρ$ وفي العمود الثاني بالنسبة إلى $φ$ ، وبالتالي تصبح التفاضلات $dx dy في هذا التحويل$ $ρ dρ dφ$ .
بمجرد تحويل الدالة وتقييم المجال، يصبح من الممكن تحديد صيغة تغيير المتغيرات في الإحداثيات القطبية:
$\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi$ .
$φ$ صالحة في الفترة $[0، 2π]$ بينما $ρ$ ، وهو مقياس للطول، لا يمكن أن يكون له إلا قيم موجبة.

المثال 2هـ. الدالة هي $f (x, y) = x$ ، ومجالها هو نفسه كما في المثال 2د. من التحليل السابق للمجال، $نعرف$ فترات $ρ$ (من 2 إلى 3) و $φ$ (من 0 إلى $π$ ). الآن نغير الدالة:
$f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi$ .
وأخيراً، لنطبق صيغة التكامل:
$\iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi$ .
بمجرد معرفة الفترات الزمنية، يكون لديك
$\int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0$ .

الإحداثيات الأسطوانية

في $R 3،$ يمكن إجراء التكامل على المجالات ذات القاعدة الدائرية عن طريق الانتقال إلى الإحداثيات الأسطوانية ؛ ويتم تحويل الدالة من خلال العلاقة التالية:

f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)

يمكن تحقيق تحويل المجال بيانياً، لأن شكل القاعدة فقط هو الذي يتغير، بينما يتبع الارتفاع شكل المنطقة الأولية.

مثال 3أ. المنطقة هي $D = {x 2 + y 2 \leq 9, x 2 + y 2 \geq 4, 0 \leq z \leq 5}$ (أي "الأنبوب" الذي قاعدته هي التاج الدائري في المثال 2د وارتفاعه 5)؛ إذا تم تطبيق التحويل، فسيتم الحصول على هذه المنطقة:
$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}$
(أي متوازي المستطيلات الذي تشبه قاعدته المستطيل في المثال 2د والذي يبلغ ارتفاعه 5).
لأن المكون $z$ لا يتغير أثناء التحويل، فإن التفاضلات $dx dy dz$ تتغير كما في الانتقال إلى الإحداثيات القطبية: لذلك، تصبح $ρ dρ dφ dz$ .
وأخيرًا، من الممكن تطبيق الصيغة النهائية على الإحداثيات الأسطوانية:
$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$ .
تُعد هذه الطريقة ملائمة في حالة المجالات الأسطوانية أو المخروطية أو في المناطق التي يسهل فيها تحديد فاصل z وحتى تحويل القاعدة الدائرية والدالة.

مثال 3ب. الدالة هي $f (x, y, z) = x² + y² + z ،$ ومجال التكامل هو الأسطوانة : $D = {x² + y² \leq 9, -5 \leq z \leq 5}$ $.$ تحويل $D$ إلى الإحداثيات الأسطوانية هو كما يلي $:$
$T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}$ .
بينما تصبح الدالة
$f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z$ .
وأخيرًا، يمكن تطبيق صيغة التكامل:
$\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$ ؛
تطوير الصيغة التي لديك
$\int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi$ .

الإحداثيات الكروية

في الفضاء ثلاثي الأبعاد $R³ ،$ تتمتع بعض المجالات بتناظر كروي، لذا يُمكن تحديد إحداثيات كل نقطة في منطقة التكامل باستخدام زاويتين ومسافة واحدة. وبالتالي، يُمكن استخدام الانتقال إلى الإحداثيات الكروية ؛ حيث يتم تحويل الدالة وفقًا لهذه العلاقة:

f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )

.

لا تتمتع النقاط على المحور $z بتوصيف دقيق في الإحداثيات الكروية، لذلك يمكن أن تتراوح قيمة$ $θ$ بين 0 و 2 $π$ .

المجال الأنسب للتكامل في هذه الفقرة هو الكرة.

$مثال$ 4أ. المجال هو $D = x² + y² + z² \leq 16 ($ كرة نصف قطرها 4 ومركزها نقطة الأصل)؛ بتطبيق التحويل نحصل على $المنطقة$
$T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}$ .
المحدد اليعقوبي لهذا التحويل هو التالي:
${\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\varphi ,\theta )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi$ .
وبالتالي يتم تحويل التفاضلات dx $dy dz إلى$ $ρ 2 sin(φ) dρ dθ dφ$ .
وهذا ينتج عنه صيغة التكامل النهائية:
$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$ .

من الأفضل استخدام هذه الطريقة في حالة المجالات الكروية وفي حالة الدوال التي يمكن تبسيطها بسهولة بواسطة العلاقة الأساسية الأولى لعلم المثلثات الممتدة إلى $R 3$ (انظر المثال 4ب)؛ في الحالات الأخرى، قد يكون من الأفضل استخدام الإحداثيات الأسطوانية (انظر المثال 4ج).

\iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi

.

$يأتي كل من ρ 2$ و $sin φ$ الإضافيان من جاكوبيان.

في الأمثلة التالية تم عكس أدوار $φ$ و $θ .$

المثال 4ب. المنطقة $D$ هي نفسها المنطقة في المثال 4أ، والدالة $f$ $($ $x, y, z) = x² + y² + z² هي الدالة$ المراد تكاملها. تحويلها سهل للغاية:
$f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2}$ ،
بينما نعرف فترات المنطقة المحولة $T$ من $D$ :
$T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}$ .
لذلك نطبق صيغة التكامل:
$\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$ ،
ومع التطور، نحصل على
$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}$ .

مثال 4ج. المجال $D$ هو الكرة التي مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها $3 أ$ ،
$D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}$ ،
و $f (x, y, z) = x 2 + y 2$ هي الدالة المراد تكاملها.
بالنظر إلى المجال، يبدو من المناسب اعتماد الانتقال إلى الإحداثيات الكروية، في الواقع، فترات المتغيرات التي تحدد منطقة $T$ الجديدة هي:
$T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}$ .
لكن بتطبيق التحويل، نحصل على
$f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta$ .
بتطبيق صيغة التكامل نحصل على:
$\iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$ ،
والتي يمكن حلها بتحويلها إلى تكامل متكرر. $\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\underbrace {\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho } _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta } _{II}\,\underbrace {\int _{0}^{2\pi }d\varphi } _{III}$ .
$I=\left.\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho ={\frac {\rho ^{5}}{5}}\right\vert _{0}^{3a}={\frac {243}{5}}a^{5}$ ،
$II=\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta =-\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d(\cos \theta )=\int _{0}^{\pi }(\cos ^{2}\theta -1)\,d(\cos \theta )=\left.{\frac {\cos ^{3}\theta }{3}}\right|_{0}^{\pi }-\left.\cos \theta \right|_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}$ ،
$III=\int _{0}^{2\pi }d\varphi =2\pi$ .
تجميع جميع الأجزاء،
$\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}$ .
بدلاً من ذلك، يمكن حل هذه المشكلة باستخدام الانتقال إلى الإحداثيات الأسطوانية. فترات $T$ الجديدة هي
$T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\}$ ؛
تم الحصول على الفترة $z$ بتقسيم الكرة إلى نصفين ببساطة عن طريق حل المتباينة من صيغة $D$ $($ ثم تحويل $x² + y²$ مباشرةً إلى $ρ²$ ). الدالة الجديدة هي ببساطة $ρ² .$ $بتطبيق صيغة$ التكامل
$\iiint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz$ .
ثم نحصل على:
${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}\end{aligned}}$
بفضل الانتقال إلى الإحداثيات الأسطوانية، أصبح من الممكن اختزال التكامل الثلاثي إلى تكامل أسهل بمتغير واحد.

انظر أيضًا إلى مدخل الحجم التفاضلي في نابلا في الإحداثيات الأسطوانية والكروية .

أمثلة

التكامل المزدوج على مستطيل

لنفترض أننا نرغب في حساب تكامل دالة متعددة المتغيرات $f$ على منطقة $A$ :

{\displaystyle A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\

.

ومن هذا نصيغ التكامل المتكرر

\int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy

.

يُجرى التكامل الداخلي أولاً، حيث يُكامل بالنسبة إلى $x$ مع اعتبار $y$ ثابتًا، لأنه ليس متغير التكامل . ثم تُكامل نتيجة هذا التكامل، وهي دالة تعتمد فقط على $y$ ، بالنسبة إلى $y$ .

{\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}

ثم نقوم بتكامل النتيجة بالنسبة إلى $y$ .

{\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}

في الحالات التي يكون فيها التكامل الثنائي للقيمة المطلقة للدالة محدودًا، يكون ترتيب التكامل قابلاً للتبديل، أي أن التكامل بالنسبة إلى x أولاً والتكامل بالنسبة إلى y أولاً يُعطيان النتيجة نفسها. هذه هي نظرية فوبيني . على سبيل المثال، إجراء الحساب السابق بترتيب معكوس يُعطي النتيجة نفسها.

{\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}

التكامل المزدوج على مجال طبيعي

مثال: التكامل المزدوج على المنطقة الطبيعية D

ضع في اعتبارك المنطقة (يرجى الاطلاع على الرسم البياني في المثال):

{\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\

.

احسب

\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy

.

هذا المجال طبيعي بالنسبة للمحورين السيني والصادي . لتطبيق الصيغ، يلزم إيجاد الدوال التي تحدد المجال D والفترات التي تُعرَّف عليها هذه الدوال. في هذه الحالة ، الدالتان هما:

\alpha (x)=x^{2}{\text{ and }}\beta (x)=1

بينما يتم تحديد الفترة من خلال تقاطعات الدوال مع x = 0، لذا فإن الفترة هي [ a , b ] = [0, 1] (تم اختيار الوضع الطبيعي بالنسبة للمحور x من أجل فهم بصري أفضل).

أصبح من الممكن الآن تطبيق الصيغة التالية:

\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}

(في البداية، يتم حساب التكامل الثاني بافتراض أن x ثابت). أما العمليات المتبقية فتتمثل في تطبيق التقنيات الأساسية للتكامل:

\int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}

.

إذا اخترنا التوزيع الطبيعي بالنسبة للمحور الصادي ، فيمكننا حساب

\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx

.

والحصول على نفس القيمة.

حساب الحجم

باستخدام الطرق الموصوفة سابقاً، من الممكن حساب أحجام بعض المواد الصلبة الشائعة.

الأسطوانة : يمكن حساب حجم الأسطوانة ذات الارتفاع $h$ والقاعدة الدائرية ذات نصف القطر $R$ عن طريق تكامل الدالة الثابتة $h$ على القاعدة الدائرية، باستخدام الإحداثيات القطبية.

\mathrm {Volume} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h

وهذا يتفق مع صيغة حجم المنشور

\mathrm {Volume} ={\text{base area}}\times {\text{height}}

.

الكرة : يمكن حساب حجم الكرة التي نصف قطرها $R$ عن طريق تكامل الدالة الثابتة 1 على الكرة، باستخدام الإحداثيات الكروية.

{\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\end{aligned}}

الهرم الرباعي ( الهرم المثلثي أو 3- سيمبلكس ): يمكن حساب حجم الهرم الرباعي الذي رأسه عند نقطة الأصل وأضلاعه بطول $ℓ$ على طول المحاور $x$ و $y$ و $z$ عن طريق تكامل الدالة الثابتة 1 على الهرم الرباعي.

{\begin{aligned}{\text{Volume}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}

وهذا يتفق مع صيغة حجم الهرم .

\mathrm {Volume} ={\frac {1}{3}}\times {\text{base area}}\times {\text{height}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}

.

تكاملات متعددة غير صحيحة

في حالة المجالات غير المحدودة أو الدوال غير المحدودة بالقرب من حدود المجال، يتعين علينا إدخال التكامل غير المحدود المزدوج أو التكامل غير المحدود الثلاثي .

التكاملات المتعددة والتكاملات المتكررة

تنص نظرية فوبيني على أنه إذا ^{[ 4 ]}

\iint _{A\times B}\left|f(x,y)\right|\,d(x,y)<\infty

،

أي أنه إذا كان التكامل متقاربًا بشكل مطلق، فإن التكامل المتعدد سيعطي نفس النتيجة التي يعطيها أي من التكاملين المتكررين:

\iint _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy

.

سيحدث هذا على وجه الخصوص إذا كانت $| f (x, y) |$ دالة محدودة و $A$ و $B$ مجموعات محدودة .

إذا لم يكن التكامل متقاربًا تقاربًا مطلقًا، فيجب توخي الحذر لتجنب الخلط بين مفهومي التكامل المتعدد والتكامل المتكرر ، خاصةً وأن نفس الترميز يُستخدم غالبًا لكلا المفهومين.

\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx

يعني ذلك، في بعض الحالات، التكامل المتكرر بدلاً من التكامل المزدوج الحقيقي. في التكامل المتكرر، يكون التكامل الخارجي

\int _{0}^{1}\cdots \,dx

هو التكامل بالنسبة إلى $x$ للدالة التالية لـ $x$ :

g(x)=\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy

.

أما التكامل الثنائي، فيُعرَّف بالنسبة للمساحة في المستوى $xy$ . إذا وُجد التكامل الثنائي، فإنه يساوي أحد التكاملين المتكررين (إما " $dy/dx$ " أو " $dx/dy$ ")، وغالبًا ما يُحسب بحساب أيٍّ منهما. لكن في بعض الأحيان، يكون التكاملان المتكرران موجودين بينما لا يوجد التكامل الثنائي، وفي بعض هذه الحالات يكون التكاملان المتكرران عددين مختلفين، أي أن أحدهما يساوي صفرًا والآخر يساوي صفرًا.

\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x,y)\,dx\,dy

.

هذا مثال على إعادة ترتيب تكامل متقارب شرطياً .

من جهة أخرى، تضمن بعض الشروط تساوي التكاملين المتكررين حتى وإن لم يكن التكامل الثنائي موجودًا بالضرورة. فبحسب نظرية فيشتنهولز - ليختنشتاين ، إذا كانت الدالة $f$ محدودة على الفترة $[0, 1] \times [0, 1]$ وكان كلا التكاملين المتكررين موجودين، فإنهما متساويان. علاوة على ذلك، يضمن وجود التكاملات الداخلية وجود التكاملات الخارجية. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]} ولا يشترط وجود التكامل الثنائي في هذه الحالة حتى كتكامل ليبيغ ، وفقًا لسيربينسكي . ^{[ 9 ]}

الترميز

\int _{[0,1]\times [0,1]}f(x,y)\,dx\,dy

يمكن استخدام هذا إذا رغب المرء في التأكيد على نيته إجراء تكامل مزدوج بدلاً من التكامل المتكرر.

التكامل الثلاثي

تم إثبات التكامل الثلاثي بواسطة نظرية فوبيني. ^{[ 10 ]} نظرية دريشليه ونظرية ليوفيل للتمديد على التكامل الثلاثي.

بعض التطبيقات العملية

بشكل عام، كما هو الحال في متغير واحد، يمكن استخدام التكامل المتعدد لإيجاد متوسط دالة على مجموعة معينة. إذا كانت لدينا مجموعة $D \subseteq R n$ ودالة قابلة للتكامل $f$ على $D$ ، فإن متوسط قيمة $f$ على مجالها يُعطى بالعلاقة التالية:

{\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx

،

حيث $m (D)$ هو مقياس D . $$

بالإضافة إلى ذلك، تُستخدم التكاملات المتعددة في العديد من التطبيقات في الفيزياء . كما تُظهر الأمثلة أدناه بعض الاختلافات في الترميز.

في علم الحركة ، يُعرَّف الموضع بالنسبة للزمن ( $x(t)$ ) هو التكامل المزدوج للتسارع بالنسبة للزمن ( $a(t)$ ).

x(t)=\iint a(t)\,d^{2}t

.

في علم الميكانيكا ، يتم حساب عزم القصور الذاتي على أنه التكامل الحجمي (التكامل الثلاثي) للكثافة مضروبًا في مربع المسافة من المحور:

I_{z}=\iiint _{V}\rho r^{2}\,dV

.

الجهد الجاذبي المرتبط بتوزيع الكتلة المعطى بواسطة مقياس الكتلة $dm على$ الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد $R 3$ هو ^{[ 11 ]}

V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,dm(\mathbf {y} )

.

$إذا$ $كانت$ هناك دالة متصلة $ρ (x)$ تمثل كثافة التوزيع عند $x$ ، بحيث يكون $dm$ $(x) = ρ (x) d³x ،$ حيث $d³x$ هو عنصر الحجم الإقليدي ، فإن الجهد التثاقلي هو

V(\mathbf {x} )=-\iiint _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |}}\,\rho (\mathbf {y} )\,d^{3}\mathbf {y}

.

في الكهرومغناطيسية ، يمكن كتابة معادلات ماكسويل باستخدام تكاملات متعددة لحساب المجالين المغناطيسي والكهربائي الكليين. ^{[ 12 ]} في المثال التالي، يُحسب المجال الكهربائي الناتج عن توزيع الشحنات المعطى بكثافة الشحنة الحجمية $ρ (r \to) من خلال$ تكامل ثلاثي لدالة متجهة:

{\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\iiint {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{\left\|{\vec {r}}-{\vec {r}}'\right\|^{3}}}\rho ({\vec {r}}')\,d^{3}r'

.

ويمكن كتابة ذلك أيضًا على شكل تكامل بالنسبة إلى مقياس موقع يمثل توزيع الشحنة.

انظر أيضاً

أهم نظريات التحليل التي تربط التكاملات المتعددة:

مراجع

1 2 3 ستيوارت، جيمس (2008). حساب التفاضل والتكامل: الدوال المتسامية المبكرة ( الطبعة السادسة). بروكس كول سينجج ليرنينج. ISBN 978-0-495-01166-8.
↑ لارسون؛ إدواردز (2014). حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ( الطبعة العاشرة). سينجايج ليرنينج. ISBN 978-1-285-08575-3.
↑ رودين، والتر (1976). مبادئ التحليل الرياضي . سلسلة والتر رودين للطلاب في الرياضيات المتقدمة ( الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-054235-8.
1 2 جونز، فرانك (2001). تكامل لوبيغ على الفضاء الإقليدي . جونز وبارتليت. ص 527-529 . ISBN 9780763717087.
↑ ستيوارت، جيمس (2015-05-07). حساب التفاضل والتكامل، الطبعة الثامنة . سينجايج ليرنينج. ISBN 978-1285740621.
↑ ليوين، جوناثان (2003). مقدمة تفاعلية في التحليل الرياضي . كامبريدج. القسم 16.6. ISBN 978-1107694040.
↑ ليوين، جوناثان (1987). "بعض تطبيقات نظرية التقارب المحدود لدورة تمهيدية في التحليل" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 94 (10). AMS: 988–993 . doi : 10.2307/2322609 . JSTOR 2322609 .
↑ سينكلير، جورج إدوارد (1974). "تعميم جمعي محدود لنظرية فيشتنهولز-ليختنشتاين" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 193. AMS: 359-374 . doi : 10.2307/1996919 . JSTOR 1996919 .
↑ بوغاتشيف، فلاديمير إي. (2006). نظرية القياس . المجلد 1. سبرينغر. البند 3.10.49.
^ "5.4 التكاملات الثلاثية - المجلد 3 من حساب التفاضل والتكامل" | OpenStax" . openstax.org . 30 مارس 2016 . تم الاسترجاع بتاريخ 25-08-2022 .
↑ كيبل، توم دبليو بي؛ بيركشاير، فرانك إتش. (2004). الميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الخامسة). مطبعة إمبريال كوليدج . ISBN 978-1-86094-424-6.
↑ جاكسون، جون د. (1998). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية ( الطبعة الثالثة). وايلي. ISBN 0-471-30932-X.

للمزيد من القراءة

آدامز، روبرت أ. (2003). حساب التفاضل والتكامل: دورة كاملة ( الطبعة الخامسة). أديسون-ويسلي. ISBN 0-201-79131-5.
جاين، آر كيه؛ إيينجار، إس آر كيه (2009). الرياضيات الهندسية المتقدمة ( الطبعة الثالثة). دار ناروسا للنشر. رقم ISBN 978-81-7319-730-7.
هيرمان، إدوين "جيد" وسترانج، جيلبرت (2016): حساب التفاضل والتكامل: المجلد 3 : أوبن ستاكس، جامعة رايس، هيوستن، تكساس، الولايات المتحدة الأمريكية. ISBN 978-1-50669-805-2( ملف PDF )

روابط خارجية

وايسشتاين، إريك دبليو. "التكامل المتعدد" . عالم الرياضيات .
ل. د. كودريافتسيف (2001) [1994]، "التكامل المتعدد" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
مساعد رياضي على الويب لتقييم التكاملات المزدوجة عبر الإنترنت في الإحداثيات الديكارتية والإحداثيات القطبية (يتضمن خطوات وسيطة في الحل، مدعوم ببرنامج Maxima ).
حاسبة التكامل المزدوج عبر الإنترنت من WolframAlpha
حاسبة التكامل الثلاثي عبر الإنترنت من WolframAlpha

[Stewart-1] 1 2 3 ستيوارت، جيمس (2008). حساب التفاضل والتكامل: الدوال المتسامية المبكرة ( الطبعة السادسة). بروكس كول سينجج ليرنينج. ISBN 978-0-495-01166-8.

[2] لارسون؛ إدواردز (2014). حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات ( الطبعة العاشرة). سينجايج ليرنينج. ISBN 978-1-285-08575-3.

[3] رودين، والتر (1976). مبادئ التحليل الرياضي . سلسلة والتر رودين للطلاب في الرياضيات المتقدمة ( الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-054235-8.

[a-4] 1 2 جونز، فرانك (2001). تكامل لوبيغ على الفضاء الإقليدي . جونز وبارتليت. ص 527-529 . ISBN 9780763717087.

[5] ستيوارت، جيمس (2015-05-07). حساب التفاضل والتكامل، الطبعة الثامنة . سينجايج ليرنينج. ISBN 978-1285740621.

[6] ليوين، جوناثان (2003). مقدمة تفاعلية في التحليل الرياضي . كامبريدج. القسم 16.6. ISBN 978-1107694040.

[7] ليوين، جوناثان (1987). "بعض تطبيقات نظرية التقارب المحدود لدورة تمهيدية في التحليل" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 94 (10). AMS: 988–993 . doi : 10.2307/2322609 . JSTOR 2322609 .

[8] سينكلير، جورج إدوارد (1974). "تعميم جمعي محدود لنظرية فيشتنهولز-ليختنشتاين" . معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 193. AMS: 359-374 . doi : 10.2307/1996919 . JSTOR 1996919 .

[9] بوغاتشيف، فلاديمير إي. (2006). نظرية القياس . المجلد 1. سبرينغر. البند 3.10.49.

[10] "5.4 التكاملات الثلاثية - المجلد 3 من حساب التفاضل والتكامل" | OpenStax" . openstax.org . 30 مارس 2016 . تم الاسترجاع بتاريخ 25-08-2022 .

[11] كيبل، توم دبليو بي؛ بيركشاير، فرانك إتش. (2004). الميكانيكا الكلاسيكية ( الطبعة الخامسة). مطبعة إمبريال كوليدج . ISBN 978-1-86094-424-6.

[12] جاكسون، جون د. (1998). الديناميكا الكهربائية الكلاسيكية ( الطبعة الثالثة). وايلي. ISBN 0-471-30932-X.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗