دالة شوارتز-بروهات

في الرياضيات ، تُعرف دالة شوارتز-بروهات ، نسبةً إلى لوران شوارتز وفرانسوا بروهات ، بأنها دالة ذات قيم مركبة على زمرة أبيلية متراصة محليًا ، مثل زمرة الأديل ، وهي تعميم لدالة شوارتز على فضاء متجهي حقيقي. ويُعرَّف التوزيع المعتدل بأنه دالة خطية متصلة على فضاء دوال شوارتز-بروهات.

• في فضاء متجهي حقيقي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إن دوال شوارتز-بروهات هي مجرد دوال شوارتز المعتادة (جميع مشتقاتها تتناقص بسرعة) وتشكل الفضاء${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$.
• على سطح حلقي، تكون دوال شوارتز-بروهات هي الدوال الملساء.
• على مجموع نسخ الأعداد الصحيحة، تكون دوال شوارتز-بروهات هي الدوال المتناقصة بسرعة.
• في مجموعة أولية (أي مجموعة أبيلية متراصة محليًا وهي ناتج نسخ من الأعداد الحقيقية ، والأعداد الصحيحة ، ومجموعة الدائرة ، والمجموعات المنتهية)، فإن دوال شوارتز-بروهات هي دوال ملساء تتناقص مشتقاتها بسرعة. ^{[ 1 ]}
• على مجموعة أبيلية محلية مضغوطة عامة${\displaystyle G}$، يترك${\displaystyle A}$لتكن مجموعة فرعية مولدة بشكل مضغوط ، و${\displaystyle B}$مجموعة فرعية متراصة من${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle A/B}$هو أمر بسيط. ثم يكون سحب دالة شوارتز-بروهات على${\displaystyle A/B}$هي دالة شوارتز-بروهات على${\displaystyle G}$وجميع دوال شوارتز-بروهات على${\displaystyle G}$يتم الحصول عليها بهذه الطريقة من أجل مناسب${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$(فضاء دوال شوارتز-بروهات على${\displaystyle G}$(مزود بطوبولوجيا الحد الاستقرائي .)
• في حقل محلي غير أرخميدسي${\displaystyle K}$، دالة شوارتز-بروهات هي دالة ثابتة محليًا ذات دعم مضغوط.
• على وجه الخصوص، على حلقة أديل${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$على نطاق عالمي${\displaystyle K}$دوال شوارتز-بروهات${\displaystyle f}$هي تركيبات خطية محدودة من المنتجات${\displaystyle \prod _{v}f_{v}}$في كل مكان${\displaystyle v}$ل${\displaystyle K}$حيث كل${\displaystyle f_{v}}$هي دالة شوارتز-بروهات على حقل محلي${\displaystyle K_{v}}$و${\displaystyle f_{v}=\mathbf {1} _{{\mathcal {O}}_{v}}}$هي الدالة المميزة على حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من${\displaystyle v}$(بالنسبة لأماكن أرخميدس)${\displaystyle K}$، ال${\displaystyle f_{v}}$هي مجرد وظائف شوارتز المعتادة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$أما بالنسبة للأماكن غير الأرخميدية${\displaystyle f_{v}}$(هي دوال شوارتز-بروهات للحقول المحلية غير الأرخميدية.)
• فضاء دوال شوارتز-بروهات على الأديلات${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$يُعرَّف بأنه حاصل الضرب الموتر المقيد ^{[ 2 ]}${\displaystyle \bigotimes _{v}'{\mathcal {S}}(K_{v}):=\varinjlim _{E}\left(\bigotimes _{v\in E}{\mathcal {S}}(K_{v})\right)}$فضاءات شوارتز-بروهات${\displaystyle {\mathcal {S}}(K_{v})}$من الحقول المحلية، حيث${\displaystyle E}$هي مجموعة محدودة من أماكن${\displaystyle K}$عناصر هذا الفضاء هي من الشكل التالي:${\displaystyle f=\otimes _{v}f_{v}}$، أين${\displaystyle f_{v}\in {\mathcal {S}}(K_{v})}$للجميع${\displaystyle v}$و${\displaystyle f_{v}=1_{{\mathcal {O}}_{v}}}$بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من${\displaystyle v}$لكل${\displaystyle x=(x_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$يمكننا الكتابة${\displaystyle f(x)=\prod _{v}f_{v}(x_{v})}$وهي محدودة وبالتالي فهي محددة جيدًا. ^{[ 3 ]}

• كل دالة شوارتز-بروهات${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {Q} _{p})}$يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\mathbf {1} _{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}}$حيث كل${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Q} _{p}}$،${\displaystyle k_{i}\in \mathbb {Z} }$، و${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {C} }$[ ^{4 ]} ويمكن ملاحظة ذلك من خلال ملاحظة ^أن${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$كون المجال محلياً يعني أن${\displaystyle f}$بحكم التعريف، يتمتع بدعم مضغوط، أي${\displaystyle \operatorname {supp} (f)}$يحتوي على غلاف فرعي محدود. بما أن كل مجموعة مفتوحة في${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$يمكن التعبير عنها كاتحاد منفصل لكرات مفتوحة من الشكل${\displaystyle a+p^{k}\mathbb {Z} _{p}}$(بالنسبة للبعض) ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} _{p}}$و${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$) لدينا

${\displaystyle \operatorname {supp} (f)=\coprod _{i=1}^{n}(a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p})}$الوظيفة${\displaystyle f}$يجب أن يكون ثابتًا محليًا أيضًا، لذلك${\displaystyle f|_{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}=c_{i}\mathbf {1} _{a_{i}+p^{k_{i}}\mathbb {Z} _{p}}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle c_{i}\in \mathbb {C} }$أما بالنسبة لـ${\displaystyle f}$تم تقييمها عند الصفر،${\displaystyle f(0)\mathbf {1} _{\mathbb {Z} _{p}}}$(يتم تضمينها دائمًا كمصطلح.)

• حول أديل العقلانية${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$جميع الدوال في فضاء شوارتز-بروهات${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })}$هي تركيبات خطية محدودة من${\displaystyle \prod _{p\leq \infty }f_{p}=f_{\infty }\times \prod _{p<\infty }f_{p}}$على جميع الأعداد الأولية النسبية${\displaystyle p}$، أين${\displaystyle f_{\infty }\in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$،${\displaystyle f_{p}\in {\mathcal {S}}(\mathbb {Q} _{p})}$، و${\displaystyle f_{p}=\mathbf {1} _{\mathbb {Z} _{p}}}$بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من${\displaystyle p}$المجموعات${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$و${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$يمثل حقل الأعداد p-adic وحلقة الأعداد الصحيحة p-adic على التوالي.

إن تحويل فورييه لدالة شوارتز-بروهات على زمرة أبيلية متراصة محليًا هو دالة شوارتز-بروهات على الزمرة الثنائية بونترياغين . وبالتالي، فإن تحويل فورييه يحول التوزيعات المعتدلة على هذه الزمرة إلى توزيعات معتدلة على الزمرة الثنائية. وبالنظر إلى مقياس هار (الجمعي) على${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$فضاء شوارتز-بروهات${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{K})}$كثيف في الفضاء${\displaystyle L^{2}(\mathbb {A} _{K},dx).}$

يترك${\displaystyle G}$ليكن زمرة أبيلية متراصة محليًا ولتكن${\displaystyle {\widehat {G}}}$للدلالة على ثنائي بونترياجين الخاص به . بعد اختيار مقاييس هار المتوافقة على${\displaystyle G}$و${\displaystyle {\widehat {G}}}$، التحويل الفورييه لدالة قابلة للتكامل${\displaystyle f}$على${\displaystyle G}$يتم تعريفها بواسطة $${\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\,dx,\qquad \chi \in {\widehat {G}}.}$$ من الخصائص الأساسية لفضاء شوارتز-بروهات أن تحويل فورييه يُحوّل${\displaystyle S(G)}$بشكل متماثل على${\displaystyle S({\widehat {G}})}$[ ^{5 ]​}

بالنسبة لفضاء متجهي محدود الأبعاد${\displaystyle V}$على حقل محلي${\displaystyle F}$عادة ما تُكتب تحويلة فورييه بالنسبة إلى خاصية جمعية غير تافهة${\displaystyle \psi }$ل${\displaystyle F}$. لو${\displaystyle V^{*}}$إذا كان الفضاء المتجهي الثنائي، $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\int _{V}f(x)\psi (\langle x,\xi \rangle )\,dx,\qquad \xi \in V^{*}.}$$ خرائط التحويل${\displaystyle S(V)}$على${\displaystyle S(V^{*})}$في حالة فضاء أرخميدس، يؤكد هذا الحقيقة المعتادة بأن تحويل فورييه يحافظ على فضاء شوارتز . أما في حالة فضاء غير أرخميدس، فيشير إلى أن تحويل فورييه لدالة ثابتة محليًا وذات دعم مضغوط يكون ثابتًا محليًا وذو دعم مضغوط أيضًا.

على خاتم أديل${\displaystyle \mathbf {A} _{K}}$في مجال عالمي${\displaystyle K}$يُستخلص تحويل فورييه من حاصل ضرب تحويلات فورييه المحلية. وباختيار قياسي للخاصية الجمعية ومقياس هار الذاتي المزدوج، فإنه يحافظ على فضاء شوارتز-بروهات الأديلي.${\displaystyle S(\mathbf {A} _{K})}$. يتم استخدام هذا التوافق في صيغة جمع بواسون الأديلية وفي أطروحة تيت . ^{[ 6 ]}

فضاء شوارتز-بروهات ليس مجرد فضاء متجهي للدوال، بل هو أيضًا فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا . في الحالة الحقيقية، يُمثل هذا الفضاء طوبولوجيا فريشيه المعتادة على فضاء شوارتز ، والمُعرّفة بواسطة أنصاف معايير شوارتز. في حالة الحقول المحلية غير الأرخميدية، يكون الفضاء حدًا استقرائيًا لفضاءات دوال محدودة الأبعاد، مدعومة على مجموعة مفتوحة مضغوطة ثابتة، وثابتة تحت الإزاحة بواسطة زمرة فرعية مفتوحة مضغوطة ثابتة. يشير شرط الاستمرارية في تعريف التوزيع المعتدل إلى هذه الطوبولوجيا المحدبة محليًا.

بفضل هذه الطوبولوجيا المحدبة محليًا، تُعتبر فضاءات شوارتز-بروهات فضاءات نووية . وعلى وجه الخصوص، تشمل الأمثلة الشائعة فضاءات فريشيه النووية.${\displaystyle S(\mathbf {R} ^{n})}$،${\displaystyle C^{\infty }(\mathbf {T} ^{n})}$ومساحة الدوال المتناقصة بسرعة على${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}}$في حالة الحقل المحلي غير الأرخميدي،${\displaystyle S(K)}$هي حد استقرائي للفضاءات ذات الأبعاد المحدودة.

الفضاء الثنائي المتصل لفضاء شوارتز-بروهات هو الفضاء المقابل للتوزيعات المعتدلة . وبالتالي، فإن التوزيع المعتدل على مجموعة أبيلية متراصة محليًا${\displaystyle G}$هي دالة خطية متصلة على${\displaystyle S(G)}$بما أن تحويل فورييه هو تماثل من${\displaystyle S(G)}$ل${\displaystyle S({\widehat {G}})}$، ويمتد ذلك عن طريق الازدواجية إلى تماثل بين التوزيعات المعتدلة على${\displaystyle G}$وتوزيعات معتدلة على${\displaystyle {\widehat {G}}}$.

بالنسبة للحقل المحلي غير الأرخميدي، فإن فضاء شوارتز-بروهات هو فضاء الدوال الثابتة محليًا ذات الدعم المدمج. في هذه الحالة، تتطابق دوال الاختبار المعتادة للتوزيعات مع دوال اختبار شوارتز-بروهات، لذا يكون التمييز بين التوزيعات والتوزيعات المعتدلة أقل وضوحًا مما هو عليه في فضاء شوارتز-بروهات.${\displaystyle \mathbf {R} }$.

في نظرية الأعداد الجبرية ، يمكن استخدام دوال شوارتز-بروهات على الأديلات لإعطاء صيغة جمع بواسون الأديلية من التحليل، أي لكل${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}(\mathbb {A} _{K})}$يمتلك المرء${\displaystyle \sum _{x\in K}f(ax)={\frac {1}{|a|}}\sum _{x\in K}{\hat {f}}(a^{-1}x)}$، أين${\displaystyle a\in \mathbb {A} _{K}^{\times }}$طوّر جون تيت هذه الصيغة في أطروحته للدكتوراه لإثبات صيغة أكثر عمومية للمعادلة الدالية لدالة زيتا لريمان . يتضمن ذلك إعطاء دالة زيتا لحقل عددي تمثيلًا تكامليًا، حيث يتم فيه تعديل تكامل دالة شوارتز-بروهات، المختارة كدالة اختبار، بواسطة خاصية معينة، ثم يتم تكامله على${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$فيما يتعلق بمقياس هار المضاعف لهذه المجموعة. وهذا يسمح بتطبيق الأساليب التحليلية لدراسة دوال زيتا من خلال تكاملات زيتا هذه. ^{[ 7 ]}

• أوزبورن، إم. سكوت (1975). "حول فضاء شوارتز-بروهات ونظرية بالي-وينر للمجموعات الأبيلية المدمجة محليًا" . مجلة التحليل الوظيفي . 19 : 40-49 . doi : 10.1016/0022-1236(75)90005-1 .
• جيلفاند، آي إم؛ وآخرون  (1990). نظرية التمثيل والدوال التلقائية . بوسطن: أكاديميك برس. ISBN 0-12-279506-7.
• بامب، دانيال (1998). الأشكال والتمثيلات التلقائية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0521658188.
• ديتمار، أنطون (2012). الأشكال التلقائية . برلين: سبرينغر-فيرلاغ لندن. ISBN 978-1-4471-4434-2ISSN 0172-5939​​ 
• راماكريشنان، ف.؛ فالينزا، ر. ج. (1999). تحليل فورييه على حقول الأعداد . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 978-0387984360.
• تيت، جون ت. (1950)، "تحليل فورييه في حقول الأعداد، ودوال زيتا لهيكه"، نظرية الأعداد الجبرية (وقائع المؤتمر التعليمي، برايتون، 1965) ، طومسون، واشنطن العاصمة، ص 305-347 ، ISBN  978-0-9502734-2-6، MR 0217026 {{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )