الدوران (الفيزياء)

تصورت النماذج الأولى لدوران الإلكترون كتلة مشحونة تدور، لكن هذا النموذج يفشل عند فحصه بالتفصيل. فالتوزيع المكاني المطلوب لا يتوافق مع حدود نصف قطر الإلكترون ، وسرعة الدوران المطلوبة تتجاوز سرعة الضوء. ^{[ 4 ]} في النموذج القياسي ، تُعتبر الجسيمات الأساسية جميعها "نقاطية"، وتؤثر من خلال المجال المحيط بها. ^{[ 5 ]} أي نموذج للدوران يعتمد على دوران الكتلة يجب أن يكون متسقًا مع هذا النموذج.

رفض فولفغانغ باولي ، الشخصية المحورية في تاريخ اللف المغزلي الكمومي، في البداية أي فكرة تربط "درجة الحرية" التي طرحها لتفسير الملاحظات التجريبية بالدوران. وأطلق عليها اسم "ثنائية القيمة غير القابلة للوصف كلاسيكيًا". لاحقًا، أقرّ باولي بارتباطها بالزخم الزاوي، لكنه أصرّ على اعتبار اللف المغزلي خاصية مجردة. ^{[ 6 ]} مكّن هذا النهج باولي من تطوير برهان لمبدأ استبعاد باولي الأساسي ، وهو برهان يُعرف الآن بنظرية إحصاءات اللف المغزلي . ^{[ 7 ]} وبالنظر إلى الماضي، فقد دشّن هذا الإصرار وأسلوب برهانه عصر فيزياء الجسيمات الحديثة، حيث تهيمن الخصائص الكمومية المجردة المستمدة من خصائص التناظر. وأصبح التفسير الملموس ثانويًا واختياريًا. ^{[ 6 ]}

اقترح النموذج الكلاسيكي الأول للدوران جسيمًا صلبًا صغيرًا يدور حول محور، كما قد يوحي الاستخدام الشائع للكلمة. ويمكن حساب الزخم الزاوي من مجال كلاسيكي أيضًا. ^{[ 8 ] [ 9 ] : 63} بتطبيق منهج فريدريك بيلينفانت لحساب الزخم الزاوي للمجال، بيّن هانز سي. أوهانيان أن "الدوران هو في الأساس خاصية موجية... تتولد عن تدفق دائري للشحنة في المجال الموجي للإلكترون". ^{[ 10 ]} ويمكن تطبيق المفهوم نفسه للدوران على موجات الجاذبية في الماء: "يتولد الدوران عن طريق حركة دائرية دون طول الموجة لجزيئات الماء". ^{[ 11 ]}

على عكس دوران المجال الموجي الكلاسيكي، الذي يسمح بقيم متصلة للزخم الزاوي، فإن المجالات الموجية الكمومية لا تسمح إلا بقيم منفصلة. ^{[ 10 ]} ونتيجة لذلك، يحدث انتقال الطاقة من وإلى حالات الدوران دائمًا بخطوات كمومية ثابتة. يُسمح ببضع خطوات فقط: ولأغراض نوعية كثيرة، يمكن تجاهل تعقيد المجالات الموجية الكمومية للدوران، ويمكن مناقشة خصائص النظام من حيث نماذج الدوران "الصحيحة" أو "نصف الصحيحة" كما هو موضح في الأعداد الكمومية أدناه.

يمكن فهم اللف المغزلي بطرق مختلفة تبعًا لتفسيرات ميكانيكا الكم . ففي تفسير دي برولي-بوم ، تمتلك الجسيمات مسارات محددة، لكن حركتها مدفوعة بدالة الموجة أو الموجة الدليلية. وفي هذا التفسير، يُعد اللف المغزلي خاصية للموجة الدليلية وليس للجسيم نفسه. ^{[ 12 ]}

تتطلب الحسابات النسبية لخصائص الدوران للإلكترونات معادلة ديراك . ^{[ 7 ]}

تُعرف الجسيمات ذات اللف المغزلي نصف الصحيح، مثل 1/2 و3/ 2 و 5 / 2 ، باسم الفرميونات ، بينما تُعرف الجسيمات ذات اللف المغزلي الصحيح ، مثل 0 و1 و2، باسم البوزونات . تخضع هاتان المجموعتان من الجسيمات لقواعد مختلفة، وتؤديان أدوارًا متباينة في العالم من حولنا. يتمثل أحد الفروق الرئيسية بينهما في أن الفرميونات تخضع لمبدأ استبعاد باولي ، أي أنه لا يمكن أن يوجد فرميونان متطابقان لهما نفس العدد الكمي (أي، تقريبًا، نفس الموضع والسرعة واتجاه اللف المغزلي). تخضع الفرميونات لقواعد إحصاءات فيرمي-ديراك . في المقابل، تخضع البوزونات لقواعد إحصاءات بوز-أينشتاين ، ولا تخضع لهذا القيد، لذا يمكنها التجمع في حالات متطابقة. كما يمكن أن يكون للجسيمات المركبة لف مغزلي مختلف عن جسيماتها المكونة لها. على سبيل المثال، ذرة الهيليوم-4 في الحالة الأرضية لها دوران 0 وتتصرف مثل البوزون، على الرغم من أن الكواركات والإلكترونات التي تشكلها كلها فرميونات. 

وهذا له بعض العواقب الوخيمة:

• الكواركات واللبتونات (بما فيها الإلكترونات والنيوترينوات )، التي تُشكّل ما يُعرف تقليديًا بالمادة ، هي جميعها فرميونات ذات لف مغزلي 1/2 . وتنشأ الفكرة الشائعة بأن "المادة تشغل حيزًا" من مبدأ استبعاد باولي الذي يؤثر على هذه الجسيمات لمنع الفرميونات من التواجد في نفس الحالة الكمومية. ويتطلب المزيد من التقارب أن تشغل الإلكترونات نفس مستويات الطاقة، وبالتالي يعمل نوع من الضغط ( يُعرف أحيانًا بضغط انحلال الإلكترونات ) على مقاومة تقارب الفرميونات بشكل مفرط. 
  لا يُعرف أن الفرميونات الأولية ذات اللف المغزلي الأخرى ( ⁠ 3 / 2 ⁠ ، ⁠ 5 / 2 ⁠ ، إلخ) موجودة.
• جميع الجسيمات الأولية التي يُعتقد أنها تحمل قوى  هي بوزونات ذات لف مغزلي يساوي 1. وتشمل هذه الجسيمات الفوتون ، الذي يحمل القوة الكهرومغناطيسية ، والغلوون ( القوة النووية القوية )، وبوزوني W وZ ( القوة النووية الضعيفة ). تُستغل قدرة البوزونات على شغل نفس الحالة الكمومية في الليزر ، الذي يُرتب العديد من الفوتونات التي لها نفس العدد الكمومي (نفس الاتجاه والتردد)، وفي الهيليوم السائل فائق الميوعة الناتج عن كون ذرات الهيليوم-4 بوزونات، وفي الموصلية الفائقة ، حيث تعمل أزواج الإلكترونات (التي تُعتبر فرميونات منفردة) كبوزونات مركبة واحدة.
  لم يكن معروفًا تاريخيًا وجود البوزونات الأولية ذات اللف المغزلي المختلف (0، 2، 3، إلخ)، على الرغم من أنها حظيت باهتمام نظري كبير وأصبحت راسخة في نظرياتها الرئيسية. على وجه الخصوص، اقترح علماء الفيزياء النظرية وجود الجرافيتون (الذي تنبأت بعض نظريات الجاذبية الكمومية بوجوده ) ذي اللف المغزلي  2، وبوزون هيغز (الذي يفسر كسر التناظر الكهروضعيف ) ذي اللف المغزلي 0. ​​منذ عام 2013، يُعتبر وجود  بوزون هيغز ذي اللف المغزلي 0 مؤكدًا. ^{[ 14 ]} وهو أول جسيم أولي قياسي (ذي لف مغزلي 0) معروف وجوده في الطبيعة.  
• تمتلك النوى الذرية دورانًا نوويًا قد يكون نصف عدد صحيح أو عدد صحيح، بحيث يمكن أن تكون النوى إما فرميونات أو بوزونات.

تقسم نظرية الإحصاء الدوراني الجسيمات إلى مجموعتين: البوزونات والفيرميونات ، حيث تخضع البوزونات لإحصاءات بوز-أينشتاين ، بينما تخضع الفيرميونات لإحصاءات فيرمي-ديراك (وبالتالي مبدأ استبعاد باولي ). وبالتحديد، تنص النظرية على أن الجسيمات ذات الدوران النصفي تخضع لمبدأ استبعاد باولي ، بينما لا تخضع له الجسيمات ذات الدوران الصحيح. فعلى سبيل المثال، يمتلك الإلكترون دورانًا نصف صحيح وهو فيرميون يخضع لمبدأ استبعاد باولي، بينما يمتلك الفوتون دورانًا صحيحًا ولا يخضع له. وقد اشتق فولفغانغ باولي هذه النظرية عام 1940، وهي تعتمد على كلٍ من ميكانيكا الكم ونظرية النسبية الخاصة . وصف باولي هذا الارتباط بين الدوران والإحصاء بأنه "أحد أهم تطبيقات نظرية النسبية الخاصة". ^{[ 15 ]}

في الميكانيكا الكلاسيكية، لا يمتلك الزخم الزاوي للجسيم مقدارًا فقط (سرعة دوران الجسم)، بل يمتلك أيضًا اتجاهًا (إما لأعلى أو لأسفل على محور دوران الجسيم). يحتوي اللف المغزلي في ميكانيكا الكم أيضًا على معلومات حول الاتجاه، ولكن بصورة أكثر دقة. تنص ميكانيكا الكم على أن مركبة الزخم الزاوي لجسيم ذي لف مغزلي يساوي s، مقاسة على طول أي اتجاه، لا يمكن أن تأخذ إلا القيم ^{[ 23 ].}

${\displaystyle S_{i}=\hbar s_{i},\quad s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

حيث S _{_i} هو مُركِّب الدوران على طول المحور i (إما x أو y أو z )، و s _i هو عدد الكم الدوراني الإسقاطي على طول المحور i ، و s هو عدد الكم الدوراني الرئيسي (الذي نوقش في القسم السابق). ويُختار عادةً المحور z  .

${\displaystyle S_{z}=\hbar s_{z},\quad s_{z}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

حيث S _z هو المكون الدوراني على طول المحور z  ، و s _z هو العدد الكمي للإسقاط الدوراني على طول المحور z  .

يمكن ملاحظة وجود 2s + 1 قيمة ممكنة لـ _sz . يُمثل العدد " 2s + 1 " تعددية نظام الدوران . على سبيل المثال ، توجد قيمتان ممكنتان فقط لجسيم ذي دوران 1/2 : sz = +1/2 و sz = -1/2 . تُقابل هاتان القيمتان حالتين كموميتين يكون فيهما مُركب الدوران مُوجهًا في الاتجاه + _z أو -z _على التوالي ، ويُشار إليهما غالبًا بـ " دوران لأعلى" و "دوران لأسفل" . بالنسبة لجسيم ذي دوران 3 / 2 ، مثل الباريون دلتا ، فإن القيم الممكنة هي + 3 / 2 ، + 1 / 2 ، - 1 / 2 ، - 3 / 2 .

بالنسبة لحالة كمومية معينة ، يمكن للمرء أن يفكر في متجه الدوران${\textstyle \langle S\rangle }$مكوناتها هي القيم المتوقعة لمكونات الدوران على طول كل محور، أي${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$يصف هذا المتجه "الاتجاه" الذي يشير إليه اللف المغزلي، بما يتوافق مع المفهوم الكلاسيكي لمحور الدوران . لكن اتضح أن متجه اللف المغزلي ليس مفيدًا جدًا في الحسابات الكمومية الفعلية، لأنه لا يمكن قياسه مباشرةً: إذ _لا يمكن أن تمتلك sx _و sy و _sz قيمًا محددة في آنٍ واحد، نظرًا لوجود علاقة عدم يقين كمومية بينها. مع ذلك، بالنسبة لمجموعات كبيرة إحصائيًا من الجسيمات الموضوعة في نفس الحالة الكمومية النقية، كما هو الحال عند استخدام جهاز شتيرن-غيرلاخ ، فإن لمتجه اللف المغزلي دلالة تجريبية محددة جيدًا: فهو يحدد الاتجاه في الفضاء العادي الذي يجب أن يتجه إليه الكاشف اللاحق لتحقيق أقصى احتمال ممكن (100%) للكشف عن كل جسيم في المجموعة. بالنسبة للجسيمات ذات اللف المغزلي 1/2 ، يتناقص هذا الاحتمال بسلاسة مع زيادة الزاوية بين متجه اللف المغزلي والكاشف، حتى عند زاوية 180 درجة - أي بالنسبة للكواشف الموجهة في الاتجاه المعاكس لمتجه اللف المغزلي - يصل توقع اكتشاف الجسيمات من المجموعة إلى الحد الأدنى وهو 0%.

كمفهوم نوعي، يُعدّ متجه اللف المغزلي مفيدًا في كثير من الأحيان لسهولة تصوره كلاسيكيًا. فعلى سبيل المثال، يمكن أن يُظهر اللف المغزلي الكمومي ظواهر مشابهة لتأثيرات الجيروسكوب الكلاسيكية . فعلى سبيل المثال، يمكن تطبيق نوع من " العزم " على الإلكترون بوضعه في مجال مغناطيسي (يؤثر المجال على عزم ثنائي القطب المغناطيسي الذاتي للإلكترون - انظر القسم التالي). والنتيجة هي أن متجه اللف المغزلي يخضع لترنح ، تمامًا مثل الجيروسكوب الكلاسيكي. تُعرف هذه الظاهرة باسم رنين اللف المغزلي الإلكتروني (ESR). ويُستخدم السلوك المكافئ للبروتونات في نوى الذرات في مطيافية وتصوير الرنين المغناطيسي النووي (NMR).

رياضيًا، تُوصف حالات الدوران الكمومي بأجسام شبيهة بالمتجهات تُعرف باسم السبينورات . ثمة اختلافات دقيقة بين سلوك السبينورات والمتجهات عند دوران الإحداثيات . على سبيل المثال، لا يُعيد تدوير جسيم ذي دوران 1/2 بزاوية 360° إلى حالته الكمومية الأصلية، بل إلى حالة ذات طور كمومي معاكس ؛ وهذا قابل للكشف ، من حيث المبدأ، بتجارب التداخل . لإعادة الجسيم إلى حالته الأصلية تمامًا، يلزم تدويره بزاوية 720°. ( تُقدم خدعة الصفيحة وشريط موبيوس تشبيهات غير كمومية). لا يمكن لجسيم ذي دوران صفري أن يمتلك إلا حالة كمومية واحدة، حتى بعد تطبيق عزم الدوران. يُمكن تدوير جسيم ذي دوران 2 بزاوية 180° لإعادته إلى حالته الكمومية الأصلية، بينما يجب تدوير جسيم ذي دوران 4 بزاوية 90° لإعادته إلى حالته الكمومية الأصلية. يمكن تشبيه الجسيم ذو اللف المغزلي 2 بعصا مستقيمة تبدو كما هي حتى بعد تدويرها 180 درجة، ويمكن تخيل الجسيم ذو اللف المغزلي 0 على أنه كرة، والتي تبدو كما هي بغض النظر عن الزاوية التي تدور بها.

يخضع الدوران لعلاقات التبادل ^{[ 28 ]} المشابهة لتلك الخاصة بالزخم الزاوي المداري : $${\displaystyle \left[{\hat {S}}_{j},{\hat {S}}_{k}\right]=i\hbar \varepsilon _{jkl}{\hat {S}}_{l},}$$ حيث ε _jkl هو رمز ليفي-سيفيتا . ويترتب على ذلك (كما هو الحال مع الزخم الزاوي ) أن المتجهات الذاتية لـ${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$و${\displaystyle {\hat {S}}_{z}}$(معبرًا عنها كـ kets في أساس S الكلي ) هي ^{[ 2 ] : 166}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}^{2}|s,m_{s}\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle ,\\{\hat {S}}_{z}|s,m_{s}\rangle &=\hbar m_{s}|s,m_{s}\rangle .\end{aligned}}}$$

تعطي عوامل رفع وخفض الدوران التي تعمل على هذه المتجهات الذاتية $${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}|s,m_{s}\pm 1\rangle ,}$$ أين${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}}$[ ^{2 ] : 166​}

لكن على عكس الزخم الزاوي المداري، فإن المتجهات الذاتية ليست توافقيات كروية . فهي ليست دوالًا لـ θ و φ . كما لا يوجد سبب لاستبعاد القيم النصفية الصحيحة لـ s و m _s .

تمتلك جميع الجسيمات الكمومية دورانًا ذاتيًا${\displaystyle s}$(مع أن هذه القيمة قد تساوي صفرًا). إسقاط الدوران${\displaystyle s}$يتم تكميم أي محور بوحدات ثابت بلانك المختزل ، بحيث تكون دالة حالة الجسيم، على سبيل المثال، غير${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}$، لكن${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,s_{z})}$، أين${\displaystyle s_{z}}$لا يمكن أن تأخذ إلا قيم المجموعة المنفصلة التالية: $${\displaystyle s_{z}\in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\dots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.}$$

يُفرّق بين البوزونات (ذات اللف المغزلي الصحيح) والفيرميونات (ذات اللف المغزلي نصف الصحيح). ويكون الزخم الزاوي الكلي المحفوظ في عمليات التفاعل هو مجموع الزخم الزاوي المداري واللف المغزلي.

المؤثرات الميكانيكية الكمومية المرتبطة بالكميات القابلة للرصد ذات اللف المغزلي 1/2 هي $${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }},}$$ أين في المركبات الديكارتية $${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}.}$$

في الحالة الخاصة للجسيمات ذات اللف المغزلي 1/2 ، فإن σ _x و σ _y و σ _z هي مصفوفات باولي الثلاث : $${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$

ينص مبدأ استبعاد باولي على أن الدالة الموجية${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})}$بالنسبة لنظام مكون من N جسيمًا متطابقًا لها عزم مغزلي s، يجب أن يتغير هذا العزم عند تبادل أي اثنين من الجسيمات N.$${\displaystyle \psi (\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots )=(-1)^{2s}\psi (\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ).}$$

وبالتالي، بالنسبة للبوزونات، سيختزل العامل (−1) ^{2 s} إلى +1، وبالنسبة للفيرميونات إلى −1. إن فرضية التبديل هذه لدوال الحالة المكونة من N جسيم لها أهم النتائج في الحياة اليومية، على سبيل المثال الجدول الدوري للعناصر الكيميائية.

كما ذُكر أعلاه، تنص ميكانيكا الكم على أن مركبات الزخم الزاوي المقاسة على طول أي اتجاه لا يمكن أن تأخذ إلا عددًا من القيم المنفصلة. ولذلك، فإن الوصف الكمي الأنسب لدوران الجسيم هو باستخدام مجموعة من الأعداد المركبة التي تُقابل سعات إيجاد قيمة معينة لإسقاط زخمه الزاوي الذاتي على محور معين. على سبيل المثال، بالنسبة لجسيم ذي دوران 1/2 ، نحتاج إلى عددين a ± 1 / 2 ، يُعطيان سعات إيجاده بإسقاط زخم زاوي يساوي + ħ / ₂ و -ħ / 2 ، مُحققين بذلك الشرط .$${\displaystyle |a_{+1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}=1.}$$

بالنسبة لجسيم عام ذي عزم مغزلي s ، نحتاج إلى 2s + 1 من هذه المعاملات. وبما أن هذه الأرقام تعتمد على اختيار المحور، فإنها تتحول إلى بعضها البعض بطريقة غير بديهية عند تدوير هذا المحور. من الواضح أن قانون التحويل يجب أن يكون خطيًا، لذا يمكننا تمثيله بربط مصفوفة بكل دوران، ويجب أن يكون حاصل ضرب مصفوفتي تحويل متناظرتين للدورانين A وB مساويًا (في حدود الطور) للمصفوفة التي تمثل الدوران AB. علاوة على ذلك، تحافظ الدورانات على الضرب الداخلي الكمومي، وكذلك يجب أن تحافظ مصفوفات التحويل لدينا. $${\displaystyle \sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right),}$$$${\displaystyle \sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.}$$

رياضيًا، تُقدّم هذه المصفوفات تمثيلًا إسقاطيًا وحدويًا لمجموعة الدوران SO(3) . يُقابل كل تمثيل من هذا النوع تمثيلًا لمجموعة التغطية لـ SO(3)، وهي SU(2) . ^{[ 29 ]} يوجد تمثيل واحد غير قابل للاختزال ذو بُعد n لـ SU(2) لكل بُعد، مع العلم أن هذا التمثيل يكون حقيقيًا ذو بُعد n عندما يكون n فرديًا، ومركبًا ذو بُعد n عندما يكون n زوجيًا (وبالتالي يكون بُعده الحقيقي 2 ^n ). بالنسبة لدوران بزاوية θ في المستوى ذي متجه عمودي ،${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$، $${\displaystyle U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {S} },}$$ أين${\textstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$، و S هو متجه عوامل الدوران .

يمكن بناء دوران عام في الفضاء ثلاثي الأبعاد عن طريق تركيب عوامل من هذا النوع باستخدام زوايا أويلر : $${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha S_{x}}e^{-i\beta S_{y}}e^{-i\gamma S_{z}}.}$$

يتم توفير تمثيل غير قابل للاختزال لهذه المجموعة من المؤثرات بواسطة مصفوفة ويغنر D : $${\displaystyle D_{m'm}^{s}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle sm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|sm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{s}(\beta )e^{-im\gamma },}$$ أين $${\displaystyle d_{m'm}^{s}(\beta )=\langle sm'|e^{-i\beta s_{y}}|sm\rangle }$$ هي مصفوفة ويغنر الصغيرة . لاحظ أنه عندما γ = 2π و α = β = 0 ؛ أي عند دوران كامل حول المحور z  ، تصبح عناصر مصفوفة ويغنر D كما يلي: $${\displaystyle D_{m'm}^{s}(0,0,2\pi )=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2\pi }=\delta _{m'm}(-1)^{2m}.}$$

بالنظر إلى أن حالة الدوران العامة يمكن كتابتها كتراكب لحالات ذات قيم m محددة ، نلاحظ أنه إذا كان s عددًا صحيحًا، فإن قيم m جميعها أعداد صحيحة، وتتوافق هذه المصفوفة مع عامل الوحدة. أما إذا كان s نصف عدد صحيح، فإن قيم m أيضًا جميعها أنصاف أعداد صحيحة، مما يعطي (−1) ^{2 m} = −1 لجميع قيم m ، وبالتالي عند الدوران بمقدار 2π ، تكتسب الحالة إشارة سالبة. تُعد هذه الحقيقة عنصرًا أساسيًا في برهان نظرية إحصاءات الدوران .

يمكننا تجربة نفس المنهج لتحديد سلوك اللف المغزلي تحت تحويلات لورنتز العامة ، لكننا سنواجه عقبة كبيرة على الفور. فعلى عكس SO(3)، فإن مجموعة تحويلات لورنتز SO(3,1) غير متراصة ، وبالتالي لا تملك أي تمثيلات أمينة، وحدوية، ومحدودة الأبعاد.

في حالة الجسيمات ذات اللف المغزلي 1/2 ، من الممكن إيجاد بنية تتضمن تمثيلاً محدود الأبعاد وضربًا قياسيًا محفوظًا بواسطة هذا التمثيل. نُلحق بكل جسيم متجه ديراك رباعي المكونات ψ . تتحول هذه المتجهات تحت تحويلات لورنتز وفقًا للقانون $${\displaystyle \psi '=\exp {\left({\tfrac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi ,}$$ حيث γ _{و ν} مصفوفات غاما ، و ω و μ _{و ν} مصفوفة متناظرة عكسية من الرتبة 4  ×  4 تُستخدم لتمثيل التحويل. ويمكن إثبات أن الضرب القياسي $${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$$ يتم الحفاظ عليها. ومع ذلك، فهي ليست موجبة التحديد، لذا فإن التمثيل ليس وحدويًا.

لكل مصفوفة من مصفوفات باولي ( الهرميتية ) للجسيمات ذات اللف المغزلي 1/2 قيمتان ذاتيتان ، +1 و -1 . والمتجهات الذاتية المعيارية المقابلة هي $${\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{array}}}$$

(بما أن أي متجه ذاتي مضروبًا في ثابت يظل متجهًا ذاتيًا، فهناك غموض بشأن الإشارة الكلية. في هذه المقالة، تم اختيار الاصطلاح لجعل العنصر الأول تخيليًا وسالبًا في حالة وجود غموض في الإشارة. يستخدم هذا الاصطلاح برامج مثل SymPy ؛ بينما تفضل العديد من كتب الفيزياء، مثل كتاب ساكوراي وغريفيث، جعله حقيقيًا وموجبًا.)

بحسب مسلمات ميكانيكا الكم _، فإن تجربة مصممة لقياس دوران الإلكترون على المحور x أو y أو z لا يمكن أن  تُنتج إلا قيمة ذاتية لمؤثر الدوران المقابل ( Sx _أو Sy أو Sz ) على ذلك المحور، أي ħ / 2 أو -ħ / 2 . ويمكن _تمثيل الحالة الكمومية للجسيم (بالنسبة للدوران) بواسطة سبينور ثنائي المكونات . $${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}a+bi\\c+di\end{pmatrix}}.}$$

عند قياس دوران هذا الجسيم بالنسبة لمحور معين (في هذا المثال، المحور x  )، فإن احتمال أن يُقاس دورانه على أنه ħ / 2 هو ببساطة${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$وبناءً على ذلك، فإن احتمال أن يتم قياس دورانه على أنه − ⁠ ħ / 2 ⁠ هو فقط${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$بعد القياس، تنهار حالة دوران الجسيم إلى الحالة الذاتية المناظرة. ونتيجة لذلك، إذا تم قياس دوران الجسيم على طول محور معين بقيمة ذاتية معينة، فإن جميع القياسات ستعطي نفس القيمة الذاتية (لأن${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{x+}\rangle {\big |}^{2}=1}$، إلخ)، بشرط عدم إجراء أي قياسات للدوران على طول محاور أخرى.

يمكن بسهولة الحصول على المؤثر لقياس اللف المغزلي على طول أي محور من مصفوفات باولي لللف المغزلي. ليكن u = (uₓ, uᵧ, u₂) _متجه وحدة عشوائي . عندئذٍ _يكون المؤثر لللف المغزلي _في هذا الاتجاه ببساطة$${\displaystyle S_{u}={\frac {\hbar }{2}}(u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z}).}$$

للمؤثر Su قيم ذاتية تساوي ± ħ / 2 ، تمامًا مثل مصفوفات الدوران المعتادة. هذه الطريقة لإيجاد المؤثر للدوران في أي اتجاه قابلة للتعميم على حالات الدوران الأعلى، حيث يتم حساب _الجداء الداخلي للاتجاه مع متجه المؤثرات الثلاثة لاتجاهات المحاور x و y و z .

المتجه الدوراني المعياري للدوران 1/2 في الاتجاه ( ux _, y , z ) ₍ والذي يعمل لجميع حالات الدوران باستثناء الدوران لأسفل ، حيث يعطي 0/0 ) _هو$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{pmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{pmatrix}}.}$$

يُحسب المتجه الدوراني المذكور أعلاه بالطريقة المعتادة عن طريق قطريّة مصفوفة σ _u وإيجاد الحالات الذاتية الموافقة للقيم الذاتية. في ميكانيكا الكم، تُسمى المتجهات "مُعَيَّرة" عند ضربها بمعامل معايرة، مما ينتج عنه متجه طوله يساوي واحدًا.

بما أن مصفوفات باولي لا تتبادل ، فإن قياسات اللف المغزلي على طول المحاور المختلفة غير متوافقة. هذا يعني أنه إذا عرفنا، على سبيل المثال، اللف المغزلي على طول المحور x  ، ثم قمنا بقياس اللف المغزلي على طول المحور y  ، فإننا بذلك نبطل معرفتنا السابقة باللف المغزلي على المحور x  . ويمكن ملاحظة ذلك من خاصية المتجهات الذاتية (أي الحالات الذاتية) لمصفوفات باولي. $${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{y\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{y\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$$

لذا، عندما يقيس الفيزيائيون دوران جسيم على طول المحور السيني  ، على سبيل المثال، ħ / 2 ، فإن حالة دوران الجسيم تنهار إلى الحالة الذاتية .${\displaystyle |\psi _{x+}\rangle }$عندما نقيس بعد ذلك دوران الجسيم على طول المحور y  ، فإن حالة الدوران ستنهار الآن إلى أحد هذين الخيارين.${\displaystyle |\psi _{y+}\rangle }$أو${\displaystyle |\psi _{y-}\rangle }$، كل منها باحتمال 1/2 . لنفترض، في مثالنا، أننا نقيس −ħ / 2 . عندما نعود الآن لقياس دوران الجسيم على طول المحور x مرة أخرى ، فإن احتمالات قياس ⁠ħ / 2 أو −ħ / 2 هي 1/2 لكل منهما ( أي أنها ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$و${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$على التوالي). وهذا يعني أن القياس الأصلي للدوران على طول المحور x لم يعد صالحًا، حيث سيتم الآن قياس  الدوران على طول المحور x بحيث يكون له أي قيمة ذاتية باحتمالية متساوية. 

يشكل المؤثر ذو اللف المغزلي 1/2، S = ħ / 2 σ ، التمثيل الأساسي لـ SU ( 2 ) . وبأخذ جداء كرونكر لهذا التمثيل مع نفسه بشكل متكرر، يمكن بناء جميع التمثيلات غير القابلة للاختزال الأعلى. أي أنه يمكن حساب مؤثرات اللف المغزلي الناتجة لأنظمة اللف المغزلي الأعلى في ثلاثة أبعاد مكانية لقيم s كبيرة كيفما كانت باستخدام هذا المؤثر ومؤثرات السلم . على سبيل المثال، ينتج عن أخذ جداء كرونكر لمؤثرين ذوي لف مغزلي 1/2 تمثيل رباعي الأبعاد ، والذي يمكن فصله إلى تمثيل ثلاثي الأبعاد ذي لف مغزلي 1 ( حالات ثلاثية ) وتمثيل أحادي البعد ذي لف مغزلي 0 ( حالة مفردة ).

ينتج عن التمثيلات غير القابلة للاختزال مصفوفات الدوران والقيم الذاتية التالية في أساس z:

كما أن مجموعة باولي العامة G _n مفيدة في ميكانيكا الكم لأنظمة الجسيمات المتعددة، حيث يتم تعريفها على أنها تتكون من جميع نواتج الموتر n -fold لمصفوفات باولي.

الصيغة التناظرية لصيغة أويلر بدلالة مصفوفات باولي$${\displaystyle {\hat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})=e^{i{\frac {\theta }{2}}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}=I\cos {\frac {\theta }{2}}+i\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\sin {\frac {\theta }{2}}}$$ أما بالنسبة للدوران الأعلى، فهو قابل للمعالجة، ولكنه أقل بساطة. ^{[ 31 ]}