دائرة LC

دائرة LC ، وتُسمى أيضاً دائرة رنانة أو دائرة خزان أو دائرة رنانة ، هي دائرة كهربائية تتكون من ملف حثي ، يُرمز له بالحرف L، ومكثف ، يُرمز له بالحرف C، موصلين معاً. يمكن لهذه الدائرة أن تعمل كمرنان كهربائي ، وهو نظير كهربائي للشوكة الرنانة ، حيث تخزن الطاقة وتتذبذب بتردد الرنين الخاص بالدائرة .

تُستخدم دوائر LC إما لتوليد إشارات بتردد معين، أو لاستخلاص إشارة بتردد معين من إشارة أكثر تعقيدًا؛ وتُسمى هذه الوظيفة مرشح تمرير النطاق . وهي مكونات أساسية في العديد من الأجهزة الإلكترونية، وخاصة أجهزة الراديو، وتُستخدم في دوائر مثل المذبذبات والمرشحات والموالفات وخلاطات التردد .

دائرة LC هي نموذج مثالي لأنها تفترض عدم وجود فقد للطاقة بسبب المقاومة . أي تطبيق عملي لدائرة LC سيتضمن دائمًا فقدًا ناتجًا عن مقاومة صغيرة، ولكنها غير معدومة، داخل المكونات وأسلاك التوصيل. عادةً ما يكون الغرض من دائرة LC هو التذبذب بأقل قدر من التخميد ، لذا تُصنع المقاومة بأقل قدر ممكن. مع أن أي دائرة عملية لا تخلو من الفقد، إلا أنه من المفيد دراسة هذا الشكل المثالي للدائرة لاكتساب فهم أعمق وإدراك فيزيائي. للاطلاع على نموذج دائرة يتضمن مقاومة، انظر دائرة RLC .

تُعدّ دائرة LC ثنائية العناصر الموصوفة أعلاه أبسط أنواع شبكات المحاثات والمكثفات (أو شبكات LC ). ويُشار إليها أيضًا بدائرة LC من الدرجة الثانية ^{[ 1 ] [ 2 ]} لتمييزها عن شبكات LC الأكثر تعقيدًا (ذات الرتب الأعلى) التي تحتوي على عدد أكبر من المحاثات والمكثفات. وقد يكون لهذه الشبكات، التي تحتوي على أكثر من مفاعلين، أكثر من تردد رنين واحد .

رتبة الشبكة هي رتبة الدالة الكسرية التي تصف الشبكة بدلالة متغير التردد المركب s . وعمومًا، تساوي الرتبة عدد عناصر L و C في الدائرة، ولا يمكن بأي حال من الأحوال أن تتجاوز هذا العدد.

تستطيع دائرة LC، التي تتذبذب بترددها الرنيني الطبيعي ، تخزين الطاقة الكهربائية . شاهد الرسوم المتحركة. يخزن المكثف الطاقة في المجال الكهربائي ( E ) بين لوحيه، وذلك تبعًا للجهد الكهربائي المطبق عليه، بينما يخزن المحث الطاقة في مجاله المغناطيسي ( B )، وذلك تبعًا للتيار المار فيه.

إذا وُصِلَ ملف حثي بمكثف مشحون، فإن الجهد الكهربائي عبر المكثف سيدفع تيارًا عبر الملف، مما يُولِّد مجالًا مغناطيسيًا حوله. ينخفض ​​الجهد عبر المكثف إلى الصفر مع استهلاك الشحنة بواسطة التيار. عند هذه النقطة، تُحفِّز الطاقة المُخزَّنة في المجال المغناطيسي للملف جهدًا عبره، لأن الملفات الحثية تُعاكس تغيرات التيار. يتسبب هذا الجهد المُستحث في بدء تيار لإعادة شحن المكثف بجهد ذي قطبية مُعاكسة لشحنته الأصلية. وفقًا لقانون فاراداي ، فإن القوة الدافعة الكهربائية التي تدفع التيار ناتجة عن انخفاض المجال المغناطيسي، وبالتالي تُستخلص الطاقة اللازمة لشحن المكثف من المجال المغناطيسي. عندما يتبدد المجال المغناطيسي تمامًا، يتوقف التيار وتُخزَّن الشحنة مرة أخرى في المكثف، بقطبية مُعاكسة لما كانت عليه سابقًا. ثم تبدأ الدورة من جديد، حيث يتدفق التيار في الاتجاه المُعاكس عبر الملف.

تتدفق الشحنة ذهابًا وإيابًا بين لوحي المكثف، عبر المحث. تتذبذب الطاقة بين المكثف والمحث حتى (إذا لم يتم تعويضها من دائرة خارجية) تتسبب المقاومة الداخلية في تلاشي التذبذبات. يشبه عمل الدائرة الرنانة، المعروف رياضيًا باسم المذبذب التوافقي ، حركة البندول ذهابًا وإيابًا، أو حركة الماء ذهابًا وإيابًا في خزان؛ ولهذا السبب تُسمى الدائرة أيضًا بدائرة الخزان . ^{[ 3 ]} يتم تحديد التردد الطبيعي (أي التردد الذي تتذبذب عنده الدائرة عند عزلها عن أي نظام آخر، كما هو موضح أعلاه) من خلال قيم السعة والمحث. في معظم التطبيقات، تكون الدائرة الرنانة جزءًا من دائرة أكبر تُطبق عليها تيارًا متناوبًا ، مما يؤدي إلى تذبذبات مستمرة. إذا كان تردد التيار المطبق هو تردد الرنين الطبيعي للدائرة ( التردد الطبيعي${\displaystyle f_{0}\,}$عند تطبيق التيار المتردد، يحدث الرنين ، ويمكن لتيار صغير أن يُثير جهدًا وتيارًا متذبذبين بسعة كبيرة. في الدوائر الرنانة النموذجية في المعدات الإلكترونية، تكون التذبذبات سريعة جدًا، من آلاف إلى مليارات المرات في الثانية.

يحدث الرنين عندما يتم تغذية دائرة LC بمصدر خارجي بتردد زاوي ω₀ تتساوى عنده المفاعلة الحثية والمفاعلة السعوية في المقدار. يُسمى التردد الذي تتحقق عنده هذه المساواة في الدائرة بتردد الرنين. _تردد الرنين لدائرة LC هو

${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$

حيث L هي المحاثة بوحدة هنري ، و C هي السعة بوحدة فاراد . التردد الزاوي ω₀ بوحدة راديان لكل ثانية _.

التردد المكافئ بوحدة الهرتز هو

${\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.}$

يُعد تأثير الرنين في دائرة LC ذا أهمية بالغة في العديد من التطبيقات المهمة في معالجة الإشارات وأنظمة الاتصالات.

• يُعدّ ضبط أجهزة الإرسال والاستقبال اللاسلكية من أكثر التطبيقات شيوعًا لدوائر الرنين . فعلى سبيل المثال، عند ضبط جهاز راديو على محطة معينة، يتم ضبط دوائر LC على تردد الرنين الخاص بتلك المحطة .
• توفر دائرة الرنين المتسلسلة تضخيم الجهد .
• توفر دائرة الرنين المتوازية تضخيم التيار .
• يمكن استخدام دائرة رنين متوازية كمقاومة حمل في دوائر خرج مضخمات الترددات الراديوية. وبسبب المقاومة العالية ، يكون كسب المضخم في أعلى مستوياته عند تردد الرنين.
• تُستخدم كل من الدوائر الرنانة المتوازية والمتسلسلة في التسخين بالحث .

تتصرف دوائر LC كمرنانات إلكترونية ، وهي عنصر أساسي في العديد من التطبيقات:

• مكبرات الصوت
• بطاقات الدفع بدون تلامس
• مراقبة المنتجات الإلكترونية (علامات الأمان)
• الفلاتر
• التمييز بين فوستر-سيلي
• أجهزة الرسم اللوحية
• خلاطات
• المذبذبات
• موالفات

في دائرة LC ذات التوصيل التسلسلي، يتم توصيل المحث (L) والمكثف (C) على التوالي، كما هو موضح هنا. الجهد الكلي V عبر الأطراف المفتوحة هو ببساطة مجموع الجهد عبر المحث والجهد عبر المكثف. التيار I الداخل إلى الطرف الموجب للدائرة يساوي التيار المار عبر كل من المكثف والمحث.

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{L}+V_{C},\\I&=I_{L}=I_{C}.\end{aligned}}}$

عند توصيل المحث (L) والمكثف (C) على التوازي كما هو موضح هنا، يكون الجهد V عبر طرفي الدائرة المفتوحين مساويًا لكل من الجهد عبر المحث والجهد عبر المكثف. ويكون التيار الكلي I المتدفق إلى الطرف الموجب للدائرة مساويًا لمجموع التيار المتدفق عبر المحث والتيار المتدفق عبر المكثف.

${\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{\mathsf {L}}=V_{\mathsf {C}}\ ,\\I&=I_{\mathsf {L}}+I_{\mathsf {C}}~.\end{aligned}}}$

The LC circuit can be solved using the Laplace transform.

We begin by defining the relation between current and voltage across the capacitor and inductor in the usual way:

${\displaystyle v_{\mathrm {C} }(t)=v(t)\ ,~}$${\displaystyle i(t)=C\ {\frac {\mathrm {d} \ v_{\mathrm {C} }}{\mathrm {d} t}}\ ,~}$ and ${\displaystyle ~v_{\mathrm {L} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}\;.}$

Then by application of Kirchhoff's laws, we may arrive at the system's governing differential equations

${\displaystyle v_{in}(t)=v_{\mathrm {L} }(t)+v_{\mathrm {C} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}+v=L\ C\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}\ v}{\mathrm {d} t^{2}}}+v\;.}$

With initial conditions ${\displaystyle \ v(0)=v_{0}\ }$ and ${\displaystyle \ i(0)=i_{0}=C\cdot v'(0)=C\cdot v'_{0}\;.}$

Making the following definitions,

${\displaystyle \omega _{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {L\ C\ }}}}~}$ and ${\displaystyle ~f(t)\equiv \omega _{0}^{2}\ v_{\mathrm {in} }(t)}$

gives

${\displaystyle f(t)={\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\;.}$

Now we apply the Laplace transform.

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} \left[\ f(t)\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} \left[\ {\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\ \right]\,,}$

${\displaystyle F(s)=s^{2}\ V(s)-s\ v_{0}-v'_{0}+\omega _{0}^{2}\ V(s)\;.}$

The Laplace transform has turned our differential equation into an algebraic equation. Solving for V in the s domain (frequency domain) is much simpler viz.

${\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}+v'_{0}+F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}}$

${\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\,,}$

Which can be transformed back to the time domain via the inverse Laplace transform:

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ V(s)\ \right]}$

${\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

For the second summand, an equivalent fraction of ${\displaystyle \omega _{0}}$ is needed:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+v'_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

For the second summand, an equivalent fraction of ${\displaystyle \omega _{0}}$ is needed:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\ \omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]}$

The final term is dependent on the exact form of the input voltage. Two common cases are the Heaviside step function and a sine wave. For a Heaviside step function we get

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=M\ u(t)\,,}$

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}{\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]~=~\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ M\ {\frac {1}{\ s\ (s^{2}+\omega _{0}^{2})\ }}\ \right]~=~M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\,,}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}\ \cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)+M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\;.}$

For the case of a sinusoidal function as input we get:

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=U\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\Rightarrow V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\,}$

where ${\displaystyle U}$ is the amplitude and ${\displaystyle \omega _{f}}$ the frequency of the applied function.

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Using the partial fraction method:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {A+Bs}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ +{\frac {C+Ds}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Simplifiying on both sides

${\displaystyle 1=(A+Bs)(\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+(C+Ds)(\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ )}$

${\displaystyle 1=(A\ s^{2}+\ A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ B\ s^{3}+\ B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+(C\ s^{2}+\ C\ \omega _{0}^{2}\ +\ D\ s^{3}+\ D\ s\omega _{0}^{2}\ )}$

${\displaystyle 1=s^{3}(B\ +\ D\ )+s^{2}(A\ +\ C)+s(B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2})+(A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2})}$

We solve the equation for A, B and C:

${\displaystyle A+C=0\Rightarrow C=-A}$

${\displaystyle A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2}=1\Rightarrow A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\ A\ \omega _{0}^{2}=1}$

${\displaystyle \Rightarrow A\ ={\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}$

${\displaystyle \Rightarrow C\ =-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}$

${\displaystyle B+C=0}$

${\displaystyle B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\ B\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ (\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2})=0}$

${\displaystyle \Rightarrow B=0,\ D=0}$

Substitute the values of A, B and C:

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}+{\frac {-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}$

Isolating the constant and using equivalent fractions to adjust for lack of numerator:

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\left({\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}-{\frac {\omega _{f}}{\omega _{f}(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right)\right]\,}$

Performing the reverse Laplace transform on each summands:

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left(\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {1}{\omega _{0}}}{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,}$

${\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,}$

${\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)={\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;,}$

Using initial conditions in the Laplace solution:

${\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+{\frac {\omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;.}$

The first evidence that a capacitor and inductor could produce electrical oscillations was discovered in 1826 by French scientist Felix Savary.^[6][7] He found that when a Leyden jar was discharged through a wire wound around an iron needle, sometimes the needle was left magnetized in one direction and sometimes in the opposite direction. He correctly deduced that this was caused by a damped oscillating discharge current in the wire, which reversed the magnetization of the needle back and forth until it was too small to have an effect, leaving the needle magnetized in a random direction. American physicist Joseph Henry repeated Savary's experiment in 1842 and came to the same conclusion, apparently independently.^[8][9]

Irish scientist William Thomson (Lord Kelvin) in 1853 showed mathematically that the discharge of a Leyden jar through an inductance should be oscillatory, and derived its resonant frequency.^[6][8][9] British radio researcher Oliver Lodge, by discharging a large battery of Leyden jars through a long wire, created a tuned circuit with its resonant frequency in the audio range, which produced a musical tone from the spark when it was discharged.^[8] In 1857, German physicist Berend Wilhelm Feddersen photographed the spark produced by a resonant Leyden jar circuit in a rotating mirror, providing visible evidence of the oscillations.^[6][8][9] In 1868, Scottish physicist James Clerk Maxwell calculated the effect of applying an alternating current to a circuit with inductance and capacitance, showing that the response is maximum at the resonant frequency.^[6] The first example of an electrical resonance curve was published in 1887 by German physicist Heinrich Hertz in his pioneering paper on the discovery of radio waves, showing the length of spark obtainable from his spark-gap LC resonator detectors as a function of frequency.^[6]

كانت تجربة "الجرار المتزامنة" التي أجراها لودج حوالي عام 1889 من أوائل التجارب التي أثبتت وجود الرنين بين الدوائر الرنانة. ^{[ 6 ] [ 8 ]} وضع لودج دائرتين رنينيتين متجاورتين، تتكون كل منهما من جرة ليدن موصولة بملف قابل للتعديل ذي لفة واحدة وفجوة شرارة. عند تطبيق جهد عالٍ من ملف حثي على إحدى الدائرتين الرنانتين، مما أدى إلى توليد شرارات وبالتالي تيارات متذبذبة، لم تتولد شرارات في الدائرة الرنانة الأخرى إلا عند ضبط الدائرتين على الرنين. فضل لودج وبعض العلماء الإنجليز مصطلح " التزامن " لوصف هذه الظاهرة، لكن مصطلح " الرنين " هو الذي شاع استخدامه في النهاية. ^{[ 6 ]} كان أول استخدام عملي لدوائر LC في تسعينيات القرن التاسع عشر في أجهزة إرسال الراديو ذات فجوة الشرارة، وذلك لتمكين ضبط جهاز الاستقبال وجهاز الإرسال على نفس التردد. تم تقديم أول براءة اختراع لنظام راديو يسمح بالضبط بواسطة لودج في عام 1897، على الرغم من أن الأنظمة العملية الأولى تم اختراعها في عام 1900 بواسطة رائد الراديو الإيطالي غولييلمو ماركوني . ^{[ 6 ]}

• دائرة RL
• دائرة RC
• دائرة RLC

• An electric pendulum by Tony Kuphaldt is a classical story about the operation of LC tank
• How the parallel-LC circuit stores energy is another excellent LC resource.