نظرية تشيرن-سيمونز

في أربعينيات القرن العشرين، درس إس إس تشيرن وأ . ويل خصائص الانحناء الكلي للمشعبات الملساء M كعلم تماثل دي رام ( نظرية تشيرن-ويل )، وهو ما يُعد خطوةً مهمةً في نظرية الفئات المميزة في الهندسة التفاضلية . بالنظر إلى حزمة رئيسية مسطحة G - P على M ، يوجد تشاكل وحيد، يُسمى تشاكل تشيرن-ويل ، من جبر كثيرات الحدود الثابتة المرافقة G- من g ( جبر لي لـ G ) إلى علم التماثل.${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {R} )}$إذا كانت متعددة الحدود الثابتة متجانسة، فيمكن للمرء أن يكتب بشكل ملموس أي شكل k للاتصال المغلق ω كشكل 2 k لشكل الانحناء المرتبط Ω لـ ω .

في عام 1974، قام كل من إس إس تشيرن وجيه إتش سيمونز بإنشاء شكل (2 k − 1) df ( ω ) بشكل ملموس بحيث  

${\displaystyle dTf(\omega )=f(\Omega ^{k}),}$

حيث T هو تشاكل تشيرن-ويل. يُسمى هذا الشكل شكل تشيرن-سيمونز . إذا كانت df ( ω ) مغلقة، فيمكن تكامل الصيغة أعلاه.

${\displaystyle Tf(\omega )=\int _{C}f(\Omega ^{k}),}$

حيث C دورة ذات (2k − 1 ) بُعد على M. يُسمى هذا الثابت ثابت تشيرن-سيمونز . وكما ذُكر في مقدمة ورقة تشيرن-سيمونز، فإن ثابت تشيرن-سيمونز CS( M ) هو الحد الحدودي الذي لا يمكن تحديده بأي صيغة توافقية بحتة. ويمكن تعريفه أيضًا على النحو التالي:  

${\displaystyle \operatorname {CS} (M)=\int _{s(M)}{\tfrac {1}{2}}Tp_{1}\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,}$

أين${\displaystyle p_{1}}$يمثل العدد الأول لبونترياجين و s ( M ) هو مقطع الحزمة المتعامدة العادية P. علاوة على ذلك، يتم وصف مصطلح تشيرن-سيمونز بأنه ثابت إيتا المحدد بواسطة أتياه وباتودي وسينغر.

يمكن اعتبار ثبات القياس وثبات المقياس بمثابة الثبات تحت تأثير فعل زمرة لي المرافقة في نظرية تشيرن-ويل. يُنظر إلى تكامل الفعل ( تكامل المسار ) لنظرية الحقل في الفيزياء على أنه التكامل اللاغرانجي لصيغة تشيرن-سيمونز وحلقة ويلسون، وهولونوميا حزمة المتجهات على M. وهذا يفسر سبب ارتباط نظرية تشيرن-سيمونز ارتباطًا وثيقًا بنظرية الحقل الطوبولوجية .

يمكن تعريف نظريات تشيرن-سيمونز على أي فضاء طوبولوجي ثلاثي الأبعاد M ، سواء كان ذا حدود أم لا. ولأن هذه النظريات هي نظريات طوبولوجية من نوع شوارتز، فلا حاجة إلى تعريف مقياس على M.

نظرية تشيرن-سيمونز هي نظرية قياس ، ما يعني أن التكوين الكلاسيكي في هذه النظرية على M مع زمرة القياس G يُوصف بحزمة رئيسية G على M. يتميز اتصال هذه الحزمة بشكل اتصال أحادي A، قيمته في جبر لي g لزمرة لي G. بشكل عام ، يُعرَّف الاتصال A فقط على رقع إحداثيات فردية ، وترتبط قيم A على الرقع المختلفة بتحويلات تُعرف بتحويلات القياس . تتميز هذه التحويلات بأن المشتقة المتغيرة ، وهي مجموع مؤثر المشتقة الخارجية d والاتصال A ، تتحول في التمثيل المرافق لزمرة القياس G. يمكن تفسير مربع المشتقة المتغيرة بالنسبة لنفسها على أنه شكل ثنائي F ذو قيمة g، يُسمى شكل الانحناء أو قوة المجال . وهو أيضًا يتحول في التمثيل المرافق.

يتناسب الفعل S في نظرية تشيرن-سيمونز مع تكامل الشكل الثلاثي لتشيرن- سيمونز

${\displaystyle S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}{\text{tr}}\,(A\wedge dA+{\tfrac {2}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

يُطلق على الثابت k اسم مستوى النظرية. ولا تتأثر الفيزياء الكلاسيكية لنظرية تشيرن-سيمونز باختيار المستوى k .

تقليديًا، يتميز النظام بمعادلات حركته التي تمثل القيم القصوى للفعل بالنسبة لتغيرات المجال A. من حيث انحناء المجال

${\displaystyle F=dA+A\wedge A\,}$

معادلة المجال هي صراحةً

${\displaystyle 0={\frac {\delta S}{\delta A}}={\frac {k}{2\pi }}F.}$

تتحقق معادلات الحركة الكلاسيكية إذا وفقط إذا انعدم الانحناء في كل مكان، وفي هذه الحالة يُقال إن الاتصال مسطح . وبالتالي، فإن الحلول الكلاسيكية لنظرية تشيرن-سيمونز G هي الاتصالات المسطحة للحزم الرئيسية G على M. وتُحدد الاتصالات المسطحة كليًا بواسطة التشاكلات حول الدورات غير القابلة للانكماش على القاعدة M. وبشكل أدق، فهي في تناظر أحادي مع فئات التكافؤ للتشاكلات من المجموعة الأساسية لـ M إلى مجموعة القياس G حتى الاقتران.

إذا كان للمجموعة M حدود N، فهناك بيانات إضافية تصف اختيار تبسيط الحزمة الرئيسية G على N. هذا الاختيار يُميّز تطبيقًا من N إلى G. يتم وصف ديناميكيات هذا التطبيق بواسطة نموذج ويس-زومينو-ويتن (WZW) على N عند المستوى k .

تُعدّ دوال الارتباط ذات النقاط n للمؤثرات الثابتة تحت التحويلات القياسية هي المتغيرات القابلة للرصد في نظرية تشيرن-سايمونز . وتُعتبر حلقات ويلسون الفئة الأكثر دراسةً من بين المؤثرات الثابتة تحت التحويلات القياسية . حلقة ويلسون هي التماثل حول حلقة في M ، مُتتبّعةً في تمثيل مُعطى R لـ G. ولأننا سنهتم بنِتَج حلقات ويلسون، يُمكننا، دون فقدان للعمومية، حصر اهتمامنا على التمثيلات غير القابلة للاختزال R.

وبشكل أكثر تحديدًا، بالنظر إلى تمثيل غير قابل للاختزال R وحلقة K في M ، يمكن تعريف حلقة ويلسون${\displaystyle W_{R}(K)}$بواسطة

${\displaystyle W_{R}(K)=\operatorname {Tr} _{R}\,{\mathcal {P}}\exp \left(i\oint _{K}A\right)}$

حيث A هي صيغة الاتصال من الدرجة الأولى، ونأخذ القيمة الرئيسية لكوشي للتكامل الكفافي و${\displaystyle {\mathcal {P}}\exp }$هو الدالة الأسية المرتبة حسب المسار .

لنفترض وجود رابط L في M ، وهو عبارة عن مجموعة من ℓ حلقات منفصلة. من بين المتغيرات القابلة للملاحظة المثيرة للاهتمام دالة الارتباط عند ℓ نقطة، والمُشتقة من حاصل ضرب حلقات ويلسون المحيطة بكل حلقة منفصلة، ​​والتي يتم تتبعها في التمثيل الأساسي لـ G. يمكن تكوين دالة ارتباط مُعَيَّرة بقسمة هذا المتغير القابل للملاحظة على دالة التقسيم Z ( M )، وهي ببساطة دالة الارتباط عند 0 نقطة.

في الحالة الخاصة التي تكون فيها M هي الكرة ثلاثية الأبعاد، أثبت ويتن أن دوال الارتباط المعيارية هذه تتناسب مع كثيرات حدود العقد المعروفة . على سبيل المثال، في نظرية تشيرن-سيمونز G  = U ( N ) عند المستوى k ، تكون دالة الارتباط المعيارية، حتى طور معين، مساوية لـ 

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))}}}$

مضروبة في متعددة حدود HOMFLY . على وجه الخصوص، عندما N  =  2، تختزل متعددة حدود HOMFLY إلى متعددة حدود جونز . في حالة SO( N )، نجد تعبيرًا مشابهًا مع متعددة حدود كوفمان .

يعكس غموض الطور حقيقة أن دوال الارتباط الكمومي، كما بيّن ويتن، لا تُعرَّف تعريفًا كاملًا بالبيانات الكلاسيكية. يدخل عدد الربط بين حلقة ونفسها في حساب دالة التقسيم، لكن هذا العدد ليس ثابتًا تحت التشوهات الصغيرة، وبالتحديد، ليس ثابتًا طوبولوجيًا. يمكن تعريف هذا العدد تعريفًا دقيقًا باختيار إطار لكل حلقة، وهو اختيار متجه عمودي غير صفري مفضل عند كل نقطة يُشوَّه عندها الحلقة لحساب عدد الربط الذاتي. يُعد هذا الإجراء مثالًا على إجراء تنظيم تقسيم النقاط الذي قدمه بول ديراك ورودولف بيرلز لتعريف الكميات المتباعدة ظاهريًا في نظرية الحقل الكمومي عام ١٩٣٤.

أثبت السير مايكل عطية وجود خيار نموذجي للتأطير الثنائي ^{[ 5 ]} ، وهو الخيار الشائع في الأدبيات الحالية، ويؤدي إلى عدد ربط محدد بدقة. في هذا الإطار النموذجي، تكون المرحلة المذكورة أعلاه هي الدالة الأسية لـ 2πi / ( k  + N ) مضروبة في عدد ربط L مع نفسه. 

المسألة (تمديد متعددة حدود جونز إلى متعددات الشعب العامة ثلاثية الأبعاد)

تم تعريف متعددة حدود جونز الأصلية للوصلات الأحادية في الكرة ثلاثية الأبعاد (الكرة ثلاثية الأبعاد، الفضاء ثلاثي الأبعاد R3). هل يمكنك تعريف متعددة حدود جونز للوصلات الأحادية في أي فضاء ثلاثي الأبعاد؟

انظر القسم 1.1 من هذه الورقة ^{[ 6 ]} للاطلاع على خلفية هذه المسألة وتاريخها. قدّم كوفمان حلاً في حالة مشعب الضرب لسطح مغلق موجه وفترة مغلقة، وذلك بإدخال عقد افتراضية من الرتبة 1. ^{[ 7 ]} ولا تزال المسألة مفتوحة في الحالات الأخرى. يُكتب تكامل مسار ويتن لكثير حدود جونز للروابط في أي مشعب ثلاثي الأبعاد مضغوط شكليًا، ولكن لا يتم إجراء الحساب حتى على مستوى الفيزياء في أي حالة أخرى غير الكرة ثلاثية الأبعاد (الكرة ثلاثية الأبعاد، الفضاء ثلاثي الأبعاد ^R³ ) . هذه المسألة مفتوحة أيضًا على مستوى الفيزياء. أما في حالة كثير حدود ألكسندر، فقد تم حل هذه المسألة.

في سياق نظرية الأوتار ، تنشأ نظرية تشيرن-سيمونز U ( N ) على فضاء فرعي لاغرانجي موجه ثلاثي الأبعاد M لفضاء سداسي الأبعاد X ، كنظرية حقل الأوتار للأوتار المفتوحة التي تنتهي بغشاء D يغلف X، وذلك في نظرية الأوتار الطوبولوجية من النوع A على X. أما نظرية حقل الأوتار المفتوحة الطوبولوجية من النوع B على حجم العالم الذي يملأ الفراغ لمجموعة من أغشية D5، فهي شكل سداسي الأبعاد من نظرية تشيرن-سيمونز، وتُعرف بنظرية تشيرن-سيمونز الهولومورفية.

ترتبط نظريات تشيرن-سيمونز بالعديد من نظريات الحقول الأخرى. على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى نظرية تشيرن-سيمونز ذات زمرة قياس G على مشعب ذي حدود، فإنه يمكن إزالة جميع درجات الحرية المنتشرة ثلاثية الأبعاد، تاركةً نظرية حقل توافقي ثنائية الأبعاد تُعرف بنموذج G ويس-زومينو-ويتن على الحدود. إضافةً إلى ذلك، فإن نظريات تشيرن-سيمونز U ( N ) و SO( N ) عند قيم N الكبيرة تُقارب جيدًا بنماذج المصفوفات .

في عام 1982، اقترح كلٌّ من إس. ديزر ، وآر. جاكيو، وإس. تمبلتون نظرية تشيرن-سيمونز للجاذبية في ثلاثة أبعاد، حيث تم تعديل فعل أينشتاين-هيلبرت في نظرية الجاذبية بإضافة حد تشيرن-سيمونز. ( ديزر، جاكيو ، وتمبلتون (1982) )

في عام 2003، قام كل من ر. جاكيو و إس واي بي بتوسيع هذه النظرية إلى أربعة أبعاد ( جاكيو وبي (2003) )، ولنظرية جاذبية تشيرن-سيمونز بعض التأثيرات الكبيرة ليس فقط على الفيزياء الأساسية ولكن أيضًا على نظرية المادة المكثفة وعلم الفلك.

تُشابه الحالة رباعية الأبعاد الحالة ثلاثية الأبعاد إلى حد كبير. في ثلاثة أبعاد، يكون حد تشيرن-سيمونز الجاذبي هو

${\displaystyle \operatorname {CS} (\Gamma )={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int d^{3}x\varepsilon ^{ijk}{\biggl (}\Gamma _{iq}^{p}\partial _{j}\Gamma _{kp}^{q}+{\frac {2}{3}}\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jr}^{q}\Gamma _{kp}^{r}{\biggr )}.}$

هذا التباين يعطي موتر كوتون

${\displaystyle =-{\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}{\bigl (}\varepsilon ^{mij}D_{i}R_{j}^{n}+\varepsilon ^{nij}D_{i}R_{j}^{m}).}$

ثم يتم إجراء تعديل تشيرن-سيمونز للجاذبية ثلاثية الأبعاد عن طريق إضافة موتر كوتون المذكور أعلاه إلى معادلة المجال، والتي يمكن الحصول عليها كحل فراغي عن طريق تغيير فعل أينشتاين-هيلبرت.

في عام ٢٠١٣، قام كلٌ من كينيث أ. إنتريليغاتور وناثان سيبرغ بحلّ نظريات قياس تشيرن-سايمونز ثلاثية الأبعاد وأطوارها باستخدام أحاديات القطب التي تحمل درجات حرية إضافية. حُسب مؤشر ويتن للعديد من الفراغات المكتشفة عن طريق تكثيف الفضاء بتفعيل معلمات الكتلة ثم حساب المؤشر. في بعض الفراغات، وُجد أن التناظر الفائق مكسور. رُبطت أحاديات القطب هذه بدوامات المادة المكثفة . ( إنتريليجيتور وسيبرغ (٢٠١٣) )

نظرية المادة تشيرن-سيمونز N = 6 هي النظير  الهولوغرافي لنظرية M على ${\displaystyle AdS_{4}\times S_{7}}$.

في عام 2013، وضع كيفن كوستيلو نظرية وثيقة الصلة، مُعرَّفة على مشعب رباعي الأبعاد يتكون من حاصل ضرب "مستوى طوبولوجي" ثنائي الأبعاد ومنحنى معقد ثنائي الأبعاد (أو أحادي البعد المركب). ^{[ 8 ]} ثم درس النظرية بتفصيل أكبر مع ويتن وماساهيتو يامازاكي، ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} موضحين كيف يمكن ربط نظرية القياس بالعديد من المفاهيم في نظرية الأنظمة التكاملية ، بما في ذلك نماذج الشبكة القابلة للحل بدقة (مثل نموذج الرؤوس الستة أو سلسلة الدوران XXZ )، ونظريات الحقول الكمومية التكاملية (مثل نموذج غروس-نيفو ، والنموذج الكيرالي الرئيسي ، ونماذج سيجما لمجموعة المشاركة في الفضاء المتناظر )، ومعادلة يانغ-باكستر، والمجموعات الكمومية مثل مجموعة يانغيان التي تصف التناظرات التي تدعم تكامل الأنظمة المذكورة آنفًا.

الإجراء على مشعب رباعي${\displaystyle M=\Sigma \times C}$أين${\displaystyle \Sigma }$هو متعدد الأبعاد و${\displaystyle C}$هو منحنى معقد $${\displaystyle S=\int _{M}\omega \wedge CS(A)}$$ أين${\displaystyle \omega }$هو شكل ميرومورفي أحادي على${\displaystyle C}$.

إذا أُضيفت المادة إلى نظرية قياس تشيرن-سيمونز، فإنها تفقد طوبولوجيتها عمومًا. مع ذلك، إذا أُضيفت n من فرميونات ماجورانا ، فبسبب شذوذ التكافؤ ، عند دمجها، تُصبح نظرية تشيرن-سيمونز خالصة مع إعادة تطبيع أحادية الحلقة لمستوى تشيرن-سيمونز بمقدار − n /2، أي أن نظرية المستوى k مع n من الفرميونات تُكافئ نظرية المستوى k − n /2 بدون فرميونات.