الشبكة (المجموعة)

في الهندسة ونظرية الزمر ، الشبكة في فضاء الإحداثيات الحقيقي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هي مجموعة لانهائية من النقاط في هذا الفضاء بهذه الخصائص: ^{[ 1 ]}

• تؤدي عملية الجمع أو الطرح الإحداثي لنقطتين في الشبكة إلى إنتاج نقطة شبكية أخرى.
• جميع نقاط الشبكة مفصولة بمسافة دنيا معينة.
• تقع كل نقطة في الفضاء ضمن مسافة قصوى معينة من نقطة شبكية.

يُعدّ المربع أحد أبسط الأمثلة على الشبكة ، والذي يتكون من جميع النقاط${\displaystyle (a,b)}$في المستوى الذي تكون إحداثياته ​​أعدادًا صحيحة ، ونظائره ذات الأبعاد الأعلى، الشبكات الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$.

يعني الانغلاق تحت عمليتي الجمع والطرح أن الشبكة يجب أن تكون زمرة جزئية من الزمرة الجمعية للنقاط في الفضاء. ويمكن تلخيص متطلبات الحد الأدنى والحد الأقصى للمسافة بالقول إن الشبكة هي مجموعة ديلون . ^{[ 2 ]}

بصورة أكثر تجريدًا، يمكن وصف الشبكة بأنها مجموعة أبيلية حرة ذات بُعد${\displaystyle n}$والذي يمتد عبر فضاء المتجهات${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. لأي أساس من ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$تشكل المجموعة الفرعية لجميع التراكيب الخطية ذات المعاملات الصحيحة لمتجهات الأساس شبكةً، ويمكن تكوين أي شبكة من أساس بهذه الطريقة. ويمكن اعتبار الشبكة بمثابة تبليط منتظم للفضاء بواسطة خلية أولية .

تُستخدم الشبكات على نطاق واسع في الرياضيات البحتة، لا سيما في جبر لي ، ونظرية الأعداد ، ونظرية الزمر . كما تُستخدم في الرياضيات التطبيقية في نظرية الترميز ، وفي نظرية الترشيح لدراسة الترابط الناتج عن التفاعلات الصغيرة، وفي علم التشفير نظرًا للصعوبة الحسابية المتوقعة لبعض مسائل الشبكات ، وتُستخدم بكثرة في العلوم الفيزيائية. فعلى سبيل المثال، في علم المواد وفيزياء الحالة الصلبة ، تُعتبر الشبكة مرادفًا للبنية البلورية ، وهي عبارة عن مصفوفة ثلاثية الأبعاد من النقاط المتباعدة بانتظام، والتي تتطابق في حالات خاصة مع مواقع الذرات أو الجزيئات في البلورة . وبشكل عام، تُدرس نماذج الشبكات في الفيزياء ، غالبًا باستخدام تقنيات الفيزياء الحاسوبية .

الشبكة هي مجموعة التناظر ذات التناظر الانتقالي المنفصل في n اتجاهًا. لا يمكن لنمط ذي هذه الشبكة من التناظر الانتقالي أن يمتلك تناظرًا أكثر من الشبكة نفسها، ولكنه قد يمتلك تناظرًا أقل منها. ^{[ 3 ]} كمجموعة (مع إغفال بنيتها الهندسية)، تُعد الشبكة مجموعة أبيلية حرة مولدة نهائيًا ، وبالتالي فهي متماثلة مع${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$⁠ .

الشبكة بمعنى مصفوفة ثلاثية الأبعاد من النقاط المتباعدة بانتظام والتي تتطابق مع مواقع الذرات أو الجزيئات في البلورة ، أو بشكل عام، مدار فعل المجموعة تحت التناظر الانتقالي، هي انتقال لشبكة الانتقال: مجموعة مشاركة، والتي لا يلزم أن تحتوي على الأصل، وبالتالي لا يلزم أن تكون شبكة بالمعنى السابق.

مثال بسيط على شبكة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هي المجموعة الفرعية${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ومن الأمثلة الأكثر تعقيدًا شبكة E ₈ ، وهي شبكة في${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$، وشبكة ليتش في​${\displaystyle \mathbb {R} ^{24}}$. الشبكة الدورية في${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$يُعدّ هذا المفهوم أساسيًا لدراسة الدوال الإهليلجية ، التي طُوّرت في الرياضيات في القرن التاسع عشر؛ وهو يُعمّم إلى أبعاد أعلى في نظرية الدوال الأبيلية . وتُعتبر الشبكات التي تُسمى شبكات الجذور مهمة في نظرية جبر لي البسيط ؛ فعلى سبيل المثال، ترتبط شبكة E8 بجبر لي يحمل الاسم نفسه _.

شبكة${\displaystyle \Lambda }$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$وبالتالي يكون له الشكل

${\displaystyle \Lambda ={\biggl \{}\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\mathbin {\bigg \vert } a_{i}\in \mathbb {Z} {\biggr \}},}$

أين${\textstyle \{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\}}$يشكل أساسًا لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، والتيتشكل متجهات أعمدتها مصفوفة M من الرتبة n × n . أي أساس آخر${\textstyle \{v_{1}',v_{2}',\ldots ,v_{n}'\}}$مع المصفوفة M'ترتبط هذه المجموعات بتشاكل ذاتي للمجموعة.${\displaystyle \Lambda \cong \mathbb {Z} ^{n}}$، معنى${\displaystyle M'=AM}$لمصفوفة انتقال عددية صحيحة${\displaystyle A\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$تناول${\displaystyle \det(A)=\pm 1}$.

شبكة تملأ كامل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$باستخدام بلاطات متساوية ، تُشكل نسخ من متوازي المستطيلات ذي الأبعاد n الممتد بواسطة متجهات الأساس، والمعروف باسم المجال الأساسي أو الخلية الأولية للشبكة. يُطلق على حجم هذا المجال الأساسي ذي الأبعاد n أحيانًا اسم الحجم المشترك للشبكة: وهو ثابت لأي أساس، ويمكن حسابه على النحو التالي:${\displaystyle d(\Lambda )=|\det(M)|}$(إذا كانت الشبكة ذات الأبعاد n)${\displaystyle \Lambda }$يقع في فضاء ذي أبعاد أعلى${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$، يشكل أساسها مصفوفة من الرتبة m × n يمكن حساب حجمها باستخدام مصفوفة غرام :${\displaystyle d(\Lambda )={\sqrt {\det M^{t}M}}}$.) شبكة مع${\displaystyle d(\Lambda )=1}$يُطلق عليه اسم أحادي المعامل .

تربط نظرية مينكوفسكي العدد ⁠${\displaystyle \mathrm {d} (\Lambda )}$أو بشكل أعم حجم مجموعة محدبة متناظرة${\displaystyle S}$، إلى عدد نقاط الشبكة الموجودة في ⁠${\displaystyle S}$بالنسبة لمتعدد السطوح الذي تمثل رؤوسه عناصر الشبكة، فإن عدد نقاط الشبكة التي يحتويها يُوصف بواسطة متعددة حدود إيرهارت الخاصة بمتعدد السطوح . تتضمن صيغ بعض معاملات هذه المتعددة الحدود ما يلي :${\displaystyle \mathrm {d} (\Lambda )}$وكذلك .

تُستخدم مسائل الشبكة الحسابية في العديد من تطبيقات علوم الحاسوب. فعلى سبيل المثال، استُخدمت خوارزمية لينسترا-لينسترا-لوفاس لتقليل أساس الشبكة (LLL) في تحليل التشفير للعديد من أنظمة التشفير بالمفتاح العام ، ^{[ 4 ]} ومن المعروف أن العديد من أنظمة التشفير القائمة على الشبكة آمنة بافتراض أن بعض مسائل الشبكة صعبة حسابيًا . ^{[ 5 ]}

توجد خمسة أنواع من الشبكات ثنائية الأبعاد وفقًا لنظرية التقييد البلوري . فيما يلي، مجموعة ورق الحائط للشبكة${\displaystyle \Lambda }$يُعرض هذا النموذج باستخدام ترميز الاتحاد الدولي لعلم البلورات (IUCr) ، وترميز أوربيفولد ، وترميز كوكسيتر ، بالإضافة إلى مخطط توضيحي يُبين نطاقات التناظر. تجدر الإشارة إلى أن النمط الذي يمتلك هذه الشبكة من التناظر الانتقالي لا يمكن أن يمتلك تناظرًا أكثر من الشبكة نفسها، ولكنه قد يمتلك تناظرًا أقل. تتوفر قائمة كاملة بالمجموعات الفرعية . على سبيل المثال، تُعرض أدناه الشبكة السداسية/المثلثة مرتين، بتناظر انعكاسي سداسي كامل وتناظر انعكاسي ثلاثي نصف. إذا احتوت مجموعة التناظر لنمط ما على دوران من الرتبة n، فإن الشبكة تمتلك تناظرًا من الرتبة n عندما يكون n زوجيًا ، وتناظرًا من الرتبة 2n عندما يكون n فرديًا .

cmm, (2*22), [ ∞ ,2 + , ∞ ]	p4m, (*442), [4,4]	p6m، (*632)، [6،3]
الشبكة المعينية، وكذلك الشبكة المستطيلة المركزية، والشبكة المثلثية متساوية الساقين	شبكة مربعة قائمة متساوية الساقين مثلث	الشبكة السداسية (الشبكة المثلثية متساوية الأضلاع)
pmm, *2222, [ ∞ ,2, ∞ ]	p2, 2222, [ ∞ ,2, ∞ ] +	p3m1, (*333), [3 [3] ]
الشبكة المستطيلة، وكذلك الشبكة المعينية المركزية، والشبكة المثلثية القائمة	شعرية مائلة سكالين الثلاثي	شبكة مثلثية متساوية الأضلاع (شبكة سداسية)

لتصنيف شبكة معينة، ابدأ بنقطة واحدة، ثم اختر أقرب نقطة ثانية إليها. بالنسبة للنقطة الثالثة، التي لا تقع على نفس الخط، احسب المسافة بينها وبين النقطتين. من بين النقاط التي تكون فيها المسافة الأصغر من هاتين النقطتين هي الأقل، اختر النقطة التي تكون فيها المسافة الأكبر من هاتين النقطتين هي الأقل. (ليست هذه العملية متكافئة منطقيًا ، ولكن في حالة الشبكات التي تعطي نفس النتيجة، فهي ببساطة "اختر النقطة التي تكون فيها المسافة الأكبر من هاتين النقطتين هي الأقل").

تُشير الحالات الخمس إلى أن المثلث متساوي الأضلاع، قائم الزاوية ومتساوي الساقين، قائم الزاوية ومتساوي الساقين، ومختلف الأضلاع. في الشبكة المعينية، قد تكون أقصر مسافة إما قطرًا أو ضلعًا من أضلاع المعين، أي أن القطعة المستقيمة الواصلة بين أول نقطتين قد تكون أو لا تكون أحد الأضلاع المتساوية في المثلث متساوي الساقين. يعتمد ذلك على ما إذا كانت الزاوية الأصغر في المعين أقل من 60° أو بين 60° و90°.

تُعرف الحالة العامة باسم شبكة دورية . المتجهان { p , q } هما زوج مولد أو أساس للشبكة.${\displaystyle \Lambda }$بدلاً من { p , q } ، يمكننا أيضاً استخدام الأساس { p , p − q }، أو بشكل عام { ap + bq , cp + dq } للأعداد الصحيحة a و b و c و d، والتي تشكل مصفوفة انتقال عددية صحيحة .${\displaystyle T={\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$من محدد الوحدة، بمعنى${\displaystyle \det T=ad-bc=\pm 1}$وهذا يضمن أن يكون كل من p و q عبارة عن تركيبات خطية صحيحة للمتجهين الآخرين. (مصفوفة الانتقال)${\displaystyle T}$يكمن في${\displaystyle \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {Z} )}$، مجموعة التشاكل الذاتي للشبكة${\displaystyle L\cong \mathbb {Z} ^{2}}$، وهو غطاء مزدوج للمجموعة المعيارية المدروسة جيدًا${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$.)

يُحدد كل زوج أساسي { p , q } متوازي أضلاع، جميعها لها نفس المساحة التي تُحددها قيمة الضرب الاتجاهي p x q . يُعد متوازي الأضلاع هذا متوازي أضلاع أساسي لتناظرات الإزاحة، أي مجال أساسي أو خلية أولية.

يمكن تمثيل متجهات الأساس { p,q } بالأعداد المركبة . وبخلاف تغيير مقياس الشبكة وتدويرها، يمكن تمثيل الزوج { p,q } بقسمة عدد مركب بينهما: إذا ثبّتنا نقطتين قياسيتين على الشبكة، 0 و1، في المستوى المركب، فإن شكل الشبكة يتحدد بالنقطة الثالثة z = p / q . ويُمثَّل تغيير الأساس بالمجموعة النمطية.${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$، والتي تعمل على المستوى المركب عن طريق تحويلات كسرية خطية ، ناتجة عن العمليتين${\displaystyle T:z\mapsto z+1}$، والانتقال إلى نقطة ثالثة مختلفة في نفس الشبكة، و${\displaystyle S:z\mapsto -1/z}$باختيار ضلع مختلف من المثلث كضلع مرجعي 0-1. يوضح الشكل تأثير المجموعة النمطية على المستوى المركب.${\displaystyle \mathbb {C} }$(لا ينبغي الخلط بينه وبين الشبكة التي تنقل المستوى الحقيقي)${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$كل "مثلث منحني" في الصورة هو مجال أساسي للمجموعة النمطية، ويحتوي على عدد مركب واحد لكل شبكة ثنائية الأبعاد${\displaystyle \Lambda }$حتى مع تغيير الحجم والتدوير. المنطقة الرمادية هي نطاق أساسي قياسي، يتوافق مع التمثيل المتعارف عليه لـ${\displaystyle \Lambda }$حيث يُمثل الصفر والواحد نقطتين متجاورتين على الشبكة؛ ويتم تجنب التكرار بتضمين نصف الحدود فقط. تُمثل الشبكات المعينية بالنقاط الموجودة على الحدود، مع اعتبار الشبكة السداسية رأسًا، و i للشبكة المربعة. تقع الشبكات المستطيلة على المحور التخيلي، وتمثل المساحة المتبقية شبكات متوازي الأضلاع، مع تمثيل صورة متوازي الأضلاع المعكوسة بالصورة المعكوسة على المحور التخيلي.

تُسمى أنواع الشبكات الأربعة عشر في الفضاء ثلاثي الأبعاد بشبكات برافي . وتتميز هذه الشبكات بمجموعتها الفراغية . لا يمكن أن تمتلك الأنماط ثلاثية الأبعاد ذات التناظر الانتقالي من نوع معين تناظرًا أكبر من تناظر الشبكة نفسها، ولكن قد تمتلك تناظرًا أقل.

شبكة في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$هي مجموعة فرعية منفصلة من${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$والتي تمتد${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$كفضاء متجهي حقيقي. كبعد لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$بما أن الفضاء المتجهي الحقيقي يساوي${\displaystyle 2n}$، شبكة في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ستكون مجموعة أبيلية حرة من الرتب${\displaystyle 2n}$⁠ .

على سبيل المثال، الأعداد الصحيحة الغاوسية${\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\mathbb {Z} +i\mathbb {Z} }$تشكيل شبكة في${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {C} ^{1}}$، كما${\displaystyle (1,i)}$يشكل أساسًا لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$أكثر من${\displaystyle \mathbb {R} }$⁠ .

بشكلٍ أعم، تُعرَّف الشبكة Γ في زمرة لي G بأنها زمرة جزئية منفصلة ، ​​بحيث يكون خارج القسمة G /Γ ذا قياس منتهٍ، وذلك لأن القياس عليه موروث من قياس هار على G (ثابت من اليسار أو ثابت من اليمين - التعريف مستقل عن هذا الاختيار). ويتحقق ذلك بالتأكيد عندما تكون G /Γ متراصة ، لكن هذا الشرط الكافي ليس ضروريًا، كما يتضح من حالة الزمرة النمطية في SL² ( R ) ، وهي شبكة ولكن خارج قسمتها ليس متراصًا (لها رؤوس مدببة ₎ . وهناك نتائج عامة تُثبت وجود الشبكات في زمر لي.

يقال إن الشبكة منتظمة أو متراصة إذا كانت G /Γ متراصة؛ وإلا فإن الشبكة تسمى غير منتظمة .

بينما نعتبر عادةً${\displaystyle \mathbb {Z} }$الشبكات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يمكن تعميم هذا المفهوم على أي فضاء متجهي محدود الأبعاد على أي حقل . ويمكن القيام بذلك على النحو التالي:

ليكن K حقلاً ، وليكن V فضاءً متجهيًا K ذو n بُعد ، وليكن${\displaystyle B=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ليكن K أساسًا لـ V ، ولتكن R حلقةً محتواةً داخل K. عندئذٍ تكون شبكة R${\displaystyle {\mathcal {L}}}$يُعطى الجهد V الناتج عن المجال المغناطيسي B بالصيغة التالية:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\biggl \{}\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}\mathbin {\bigg \vert } a_{i}\in R{\biggr \}}.}$

بشكل عام، ستولد القواعد المختلفة B شبكات مختلفة. ومع ذلك، إذا كانت مصفوفة الانتقال${\displaystyle T}$بين القواعد في${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$– المجموعة الخطية العامة لـ${\displaystyle R}$(ببساطة، هذا يعني أن جميع مدخلات${\displaystyle T}$في${\displaystyle R}$وجميع إدخالات${\displaystyle T^{-1}}$في${\displaystyle R}$– وهو ما يعادل القول بأن محدد T موجود في${\displaystyle R^{*}}$– مجموعة الوحدة للعناصر في R مع المعكوسات الضربية) ثم ستكون الشبكات المتولدة بواسطة هذه القواعد متماثلة لأن T يحث على التماثل بين الشبكتين.

تظهر حالات مهمة لمثل هذه الشبكات في نظرية الأعداد مع K ، وهو حقل p -adic و${\displaystyle T}$الأعداد الصحيحة p -adic .

بالنسبة لفضاء متجهي هو أيضًا فضاء جداء داخلي ، يمكن وصف الشبكة الثنائية بشكل ملموس بواسطة المجموعة

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}=\{\mathbf {v} \in V\mid \langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \rangle \in R\,{\text{ for all }}\,\mathbf {x} \in {\mathcal {L}}\},}$

أو ما يعادل ذلك

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}=\{\mathbf {v} \in V\mid \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{i}\rangle \in R,\ i=1,...,n\}.}$

العنصر الأولي للشبكة هو عنصر${\displaystyle v\in \Lambda }$أي ليس مضاعفًا صحيحًا موجبًا لعنصر آخر في الشبكة. إذا${\displaystyle \Lambda }$له أساس${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$يمكننا تحديدها باستخدام الشبكة القياسية${\displaystyle \Lambda \cong \mathbb {Z} ^{n}}$عبر${\displaystyle a_{1}v_{1}+\cdots a_{n}v_{n}\mapsto (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ثم متجه${\displaystyle v=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$بدائي كلما${\displaystyle {\tfrac {1}{d}}v\notin \mathbb {Z} ^{n}}$لأي عدد صحيح${\displaystyle d>1}$وهذا يعادل كون الإحداثيات أعدادًا أولية فيما بينها ،${\displaystyle \gcd(a_{1},\ldots ,a_{n})=1}$كل شبكة فرعية أحادية البعد${\displaystyle \Gamma \subset \Lambda }$يحتوي على مولد أولي فريد من نوعه حتى الإشارة.

بشكل عام، ضع في اعتبارك${\displaystyle \ell }$شبكة فرعية ذات أبعاد${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {Z} ^{n}}$مع أساس${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{\ell }\}}$تشكل متجهات أعمدتها مصفوفة${\displaystyle M\in \mathrm {M} _{n\times \ell }(\mathbb {Z} )}$نقول${\displaystyle \Gamma }$تكون الشبكة الفرعية مشبعة عندما يتحقق أي من الشروط المتكافئة التالية:

• ${\displaystyle \Gamma =V\cap \mathbb {Z} ^{n}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle \ell }$-الأبعاد${\displaystyle \mathbb {Q} }$- فضاء خطي${\displaystyle V\subset \mathbb {Q} ^{n}}$
• لكل${\displaystyle v\in \mathbb {Z} ^{n}}$وعدد صحيح${\displaystyle d>1}$لدينا${\displaystyle dv\in \Gamma }$فقط عندما${\displaystyle v\in \Gamma }$.
• مجموعة القسمة${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}/\Gamma }$هي مجموعة أبيلية حرة ، بدون التواء .
• ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}=\Gamma \oplus \Gamma ^{\perp }}$، أين${\displaystyle \Gamma ^{\perp }}$الفضاء الفرعي المتعامد في${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$فيما يتعلق بالضرب النقطي القياسي .
• مصفوفة الأساس${\displaystyle M\in \mathrm {M} _{n\times \ell }(\mathbb {Z} )}$يمتلك معكوسًا صحيحًا من اليسار${\displaystyle N\in \mathrm {M} _{\ell \times n}(\mathbb {Z} )}$مع${\displaystyle NM=\mathrm {Id} _{n}}$.
• الشكل الطبيعي لـ Smith${\displaystyle M}$يحتوي على الرقم 1 فقط على القطر الرئيسي.
• المحددات الصغرى القصوى لـ${\displaystyle M}$هي أعداد أولية فيما بينها:${\displaystyle \gcd\{\Delta _{I}(M)\}=1}$، أين${\displaystyle I}$يتم تشغيلها على جميع المجموعات الفرعية المكونة من n عنصرًا من${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$.

• كونواي, جون هورتون ; سلون ، نيل جيه إيه (1999)، عبوات المجال والشبكات والمجموعات ، Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften، المجلد.  290 (  الطبعة الثالثة)، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-0-387-98585-5، MR 0920369 

• كتالوج الشبكات (من تأليف نيبي وسلون)