التكامل الإهليلجي

في حساب التكامل ، يُعد التكامل الإهليلجي أحد الدوال المرتبطة به، والتي تُعرَّف بأنها قيمة تكاملات معينة، وقد درسها لأول مرة جوليو فانيانو وليونهارد أويلر ( حوالي عام 1750 ). ويعود اسمها إلى ارتباطها بمسألة إيجاد طول قوس القطع الناقص .

تُعرّف الرياضيات الحديثة "التكامل الإهليلجي" بأنه أي دالة f يمكن التعبير عنها بالشكل التالي:

$${\displaystyle f(x)=\int _{c}^{x}R{\left({\textstyle t,{\sqrt {P(t)}}}\right)}\,dt,}$$

حيث R دالة كسرية لمتغيريها، و P متعددة حدود من الدرجة 3 أو 4 بدون جذور متكررة، و c ثابت.

بشكل عام، لا يمكن التعبير عن التكاملات بهذا الشكل بدلالة الدوال الأولية . وتُستثنى من هذه القاعدة العامة الحالات التالية: عندما يكون للدالة P جذور مكررة، وعندما لا تحتوي R ( x , y ) على قوى فردية لـ y ، وعندما يكون التكامل شبه إهليلجي. مع ذلك، باستخدام صيغة الاختزال المناسبة ، يمكن تحويل أي تكامل إهليلجي إلى شكل يتضمن تكاملات على دوال كسرية والأشكال القانونية الثلاثة لليجندر ، والمعروفة أيضًا بالتكاملات الإهليلجية من النوع الأول والثاني والثالث.

إلى جانب صيغة ليجندر الموضحة أدناه، يمكن التعبير عن التكاملات الإهليلجية أيضًا بصيغة كارلسون المتناظرة . ويمكن اكتساب فهم أعمق لنظرية التكامل الإهليلجي من خلال دراسة تحويل شوارتز-كريستوفيل . تاريخيًا، اكتُشفت الدوال الإهليلجية كدوال عكسية للتكاملات الإهليلجية.

التكاملات الإهليلجية غير الكاملة هي دوال لمتغيرين، بينما التكاملات الإهليلجية الكاملة هي دوال لمتغير واحد. تُعبّر هذه المتغيرات بطرق مختلفة ومتكافئة، إذ تُعطي جميعها نفس التكامل الإهليلجي. تلتزم معظم المراجع بنظام تسمية معياري، باستخدام اصطلاحات التسمية التالية.

للتعبير عن حجة واحدة:

• α ، الزاوية المعيارية
• k = sin α ، معامل القطع الناقص أو اللامركزية
• m = k ² = sin ² α ، المعامل

كل كمية من الكميات الثلاث المذكورة أعلاه تتحدد تمامًا بأي من الكميات الأخرى (بشرط أن تكون غير سالبة). وبالتالي، يمكن استخدامها بشكل متبادل.

ويمكن التعبير عن الحجة الأخرى بالمثل على أنها φ ، السعة ، أو على أنها x أو u ، حيث x = sin φ = sn u و sn هي إحدى الدوال الإهليلجية اليعقوبية .

يؤدي تحديد قيمة أيٍّ من هذه الكميات إلى تحديد قيم الكميات الأخرى. لاحظ أن u تعتمد أيضًا على m . تتضمن بعض العلاقات الإضافية التي تشمل u ما يلي:$${\displaystyle \cos \varphi =\operatorname {cn} u,\quad {\textrm {and}}\quad {\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.}$$

يُطلق على الأخير أحيانًا اسم سعة دلتا ، ويُكتب على النحو التالي: Δ( φ ) = dn u . وتشير بعض المراجع أيضًا إلى المعامل التكميلي ، أو المعامل التكميلي، أو زاوية المعامل التكميلية . وقد تم تعريف هذه المصطلحات بمزيد من التفصيل في مقالة أرباع الدورة .

في هذه الصيغة، يشير استخدام الخط العمودي كفاصل إلى أن الوسيط الذي يليه هو "المعامل" (كما هو مُعرَّف أعلاه)، بينما تشير الشرطة المائلة العكسية إلى أنه الزاوية المعيارية. أما استخدام الفاصلة المنقوطة فيشير إلى أن الوسيط الذي يسبقها هو جيب السعة. $${\displaystyle F(\varphi ,\sin \alpha )=F\left(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha \right)=F(\varphi \setminus \alpha )=F(\sin \varphi$$ ;\sin \alpha ).} إن هذا الاستخدام الذي قد يكون مربكًا لمحددات الوسائط المختلفة هو أمر تقليدي في التكاملات الإهليلجية، ويتوافق الكثير من الترميز مع ذلك المستخدم في الكتاب المرجعي لأبراموفيتز وستيجون، ومع ذلك المستخدم في جداول التكامل بواسطة جرادشتين وريزيك .

لا تزال هناك اصطلاحات أخرى لترميز التكاملات الإهليلجية المستخدمة في المراجع. يُصادف غالبًا الترميز ذو الوسائط المتبادلة، F ( k , φ ) ، وبالمثل E ( k , φ ) للتكامل من النوع الثاني. يستبدل أبراموفيتز وستيجون التكامل من النوع الأول، F ( φ , k ) ، بالوسيط φ في تعريفهما للتكاملات من النوعين الثاني والثالث، إلا إذا تبع هذا الوسيط خط عمودي: أي E ( F ( φ , k ) | k² ) بدلًا من E ( φ | ^k² ) . علاوة ^على ذلك ، تستخدم تكاملاتهما الكاملة المعامل k² كوسيط ^بدلًا من القيمة المطلقة k ، أي K ( k² ) بدلًا من K ( ^k ) . والتكامل من النوع الثالث الذي حدده غرادشتين وريزيك ، Π( φ , n , k ) ، يضع السعة φ أولاً وليس "الخاصية" n .

لذا، يجب توخي الحذر عند استخدام هذه الدوال، لأن العديد من المراجع الموثوقة وحزم البرامج تستخدم اصطلاحات مختلفة في تعريف الدوال الإهليلجية. على سبيل المثال، يُعرّف برنامج Mathematica من Wolfram وبرنامج Wolfram Alpha التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول بدلالة المعامل m ، بدلاً من المعامل الإهليلجي k .

يُعرَّف التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأول F على النحو التالي :

$${\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \mid k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}$$

هذا هو الشكل المثلثي لليجندر للتكامل الإهليلجي؛ بالتعويض عن t = sin θ و x = sin φ ، نحصل على الشكل الجبري لجاكوبي:

$${\displaystyle F(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}}.}$$

وبصورة مكافئة، من حيث السعة والزاوية المعيارية، يكون لدينا: $${\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}.}$$

مع x = sn( u , k ) يكون لدينا: $${\displaystyle F(x;k)=u;}$$مما يدل على أن دالة جاكوبيان الإهليلجية هذه هي معكوس بسيط للتكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأول.

للتكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأول نظرية الجمع التالية : $${\displaystyle F\left[\arctan(x),k\right]+F\left[\arctan(y),k\right]=F\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}$$

يمكن تحويل المعامل الإهليلجي بهذه الطريقة: $${\displaystyle F\left[\arcsin(x),k\right]={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}F{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}}$$

التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الثاني E في الصيغة المثلثية لليجندر هو

$${\displaystyle E(\varphi ,k)=E\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=E(\sin \varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta .}$$

وباستبدال t = sin θ و x = sin φ ، نحصل على الصيغة الجبرية لجاكوبي:

$${\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt.}$$

وبصورة مكافئة، من حيث السعة والزاوية المعيارية: $${\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}\,d\theta .}$$

تشمل العلاقات مع الدوال الإهليلجية لجاكوبي ما يلي:$${\displaystyle {\begin{aligned}E{\left(\operatorname {sn} (u;k);k\right)}=\int _{0}^{u}\operatorname {dn} ^{2}(w;k)\,dw&=u-k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {sn} ^{2}(w;k)\,dw\\[1ex]&=\left(1-k^{2}\right)u+k^{2}\int _{0}^{u}\operatorname {cn} ^{2}(w;k)\,dw.\end{aligned}}}$$

يُكتب طول قوس خط الزوال من خط الاستواء إلى خط العرض φ بدلالة E : $${\displaystyle m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),}$$ حيث a هو المحور شبه الرئيسي ، و e هو الانحراف المركزي .

للتكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الثاني نظرية الجمع التالية:$${\displaystyle {\begin{aligned}&E{\left[\arctan(x),k\right]}+E{\left[\arctan(y),k\right]}\\[1ex]&\quad =E{\left[\arctan \left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}\right)+\arctan \left({\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right),k\right]}\\[1ex]&\qquad +{\frac {k^{2}xy}{k'^{2}x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}+1}}\left({\frac {x{\sqrt {k'^{2}y^{2}+1}}}{\sqrt {y^{2}+1}}}+{\frac {y{\sqrt {k'^{2}x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)\end{aligned}}}$$

يمكن تحويل المعامل الإهليلجي بهذه الطريقة: $${\displaystyle {\begin{aligned}E{\left[\arcsin(x),k\right]}&=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)E{\left[\arcsin \left({\frac {\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)x}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\right),{\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right]}\\[.5ex]&\quad -{\sqrt {1-k^{2}}}F{\left[\arcsin(x),k\right]}+{\frac {k^{2}x{\sqrt {1-x^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\end{aligned}}}$$

التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الثالث Π هو $${\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\left(\sin \theta \sin \alpha \right)^{2}}}}}$$

أو

$${\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-mt^{2}\right)\left(1-t^{2}\right)}}}.}$$

يُطلق على العدد n اسم الخاصية ، ويمكن أن يأخذ أي قيمة، بغض النظر عن المتغيرات الأخرى. مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن قيمة Π (1; π / 2 | m ) لانهائية، لأي قيمة لـ m .

توجد علاقة مع الدوال الإهليلجية اليعقوبية وهي $${\displaystyle \Pi \left(n;\,\operatorname {am} (u;k);\,k\right)=\int _{0}^{u}{\frac {dw}{1-n\,\operatorname {sn} ^{2}(w;k)}}.}$$

يرتبط طول قوس خط الزوال من خط الاستواء إلى خط العرض φ أيضًا بحالة خاصة من Π :

$${\displaystyle m(\varphi )=a\left(1-e^{2}\right)\Pi \left(e^{2};\varphi \,|\,e^{2}\right).}$$

يُقال إن التكاملات الإهليلجية "كاملة" عندما تكون السعة φ = π / 2 ، وبالتالي x = 1. ويمكن تعريف التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول K على النحو التالي :$${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {\left(1-t^{2}\right)\left(1-k^{2}t^{2}\right)}}},}$$ أو بشكل أكثر إيجازًا بدلالة التكامل غير الكامل من النوع الأول كما $${\displaystyle K(k)=F\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\tfrac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F(1;k).}$$

ويمكن التعبير عنها كمتسلسلة قوى$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}k^{2n}={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(P_{2n}(0)\right)^{2}k^{2n},}$$

حيث P _n هي كثيرات حدود ليجندر ، وهو ما يعادل

$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\cdots +\left({\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\cdots \right),}$$

حيث يرمز n !! إلى المضروب المزدوج . وباستخدام دالة غاوس فوق الهندسية ، يمكن التعبير عن التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول على النحو التالي:

$${\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}$$

يُطلق على التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الأول أحيانًا اسم ربع الدورة . ويمكن حسابه بكفاءة عالية باستخدام المتوسط ​​الحسابي الهندسي : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}.}$$

لذلك، يمكن تحويل المعامل على النحو التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}K(k)&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{2\operatorname {agm} \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {1-k^{2}}}{2}},{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {\pi }{\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\operatorname {agm} \left(1,{\frac {2{\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}}\\[4pt]&={\frac {2}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}K{\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)}\end{aligned}}}$$

هذا التعبير صحيح للجميع${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$و 0 ≤ k ≤ 1 :

$${\displaystyle K(k)=n\left[\sum _{a=1}^{n}\operatorname {dn} \left({\frac {2a}{n}}K(k);k\right)\right]^{-1}K\left[k^{n}\prod _{a=1}^{n}\operatorname {sn} \left({\frac {2a-1}{n}}K(k);k\right)^{2}\right]}$$

يُعرَّف التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الثاني E على النحو التالي:

$${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,d\theta =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,dt,}$$

أو بشكل أكثر إيجازًا بدلالة التكامل غير الكامل من النوع الثاني E ( φ , k ) كما

$${\displaystyle E(k)=E\left({\tfrac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k).}$$

بالنسبة لقطع ناقص ذي محور رئيسي نصفي a ومحور ثانوي نصفي b وانحراف مركزي e = √ (1 - b² / a² ^{) ،} فإن التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الثاني E ( e ) يساوي ربع محيط القطع الناقص C مقاسًا بوحدات المحور الرئيسي النصفي a . بعبارة أخرى:

$${\displaystyle C=4aE(e).}$$

يمكن التعبير عن التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الثاني على شكل متسلسلة قوى ^{[ 9 ]}

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}},}$$

وهو ما يعادل

$${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right).}$$

باستخدام دالة غاوس فوق الهندسية ، يمكن التعبير عن التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الثاني على النحو التالي:

$${\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right).}$$

يمكن تحويل المعامل بهذه الطريقة: $${\displaystyle E(k)=\left(1+{\sqrt {1-k^{2}}}\right)\,E\left({\frac {1-{\sqrt {1-k^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k^{2}}}}}\right)-{\sqrt {1-k^{2}}}\,K(k)}$$

يمكن تعريف التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الثالث Π على النحو التالي :

$${\displaystyle \Pi (n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1-n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$$

لاحظ أنه في بعض الأحيان يتم تعريف التكامل الإهليلجي من النوع الثالث بإشارة معكوسة للخاصية n ، $${\displaystyle \Pi '(n,k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\left(1+n\sin ^{2}\theta \right){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}$$

وكما هو الحال مع التكاملات الإهليلجية الكاملة من النوع الأول والثاني، يمكن حساب التكامل الإهليلجي الكامل من النوع الثالث بكفاءة عالية باستخدام المتوسط ​​الحسابي الهندسي. ^{[ 1 ]}

في عام 1829، عرّف جاكوبي دالة جاكوبي زيتا : $${\displaystyle Z(\varphi ,k)=E(\varphi ,k)-{\frac {E(k)}{K(k)}}F(\varphi ,k).}$$ وهو دوري في${\displaystyle \varphi }$بفترة زمنية قصيرة${\displaystyle \pi }$وهي مرتبطة بدالة جاكوبي zn من خلال${\displaystyle Z(\varphi ,k)=\operatorname {zn} (F(\varphi ,k),k)}$في الأدبيات (على سبيل المثال، ويتاكر وواتسون (1927))، أحيانًا${\displaystyle Z}$يعني ويكيبيديا${\displaystyle \operatorname {zn} }$يستخدم بعض المؤلفين (مثل كينج (1924))${\displaystyle Z}$لكلا من ويكيبيديا${\displaystyle Z}$و${\displaystyle \operatorname {zn} }$.

تُظهر علاقة ليجندر أو متطابقة ليجندر العلاقة بين التكاملين K و E لمعامل إهليلجي ونظيره المضاد ^{[ 11 ] [ 12 ]} في معادلة تكاملية من الدرجة الثانية:

بالنسبة لوحدتين هما نظيران فيثاغورسيان لبعضهما البعض، تكون هذه العلاقة صحيحة:

$${\displaystyle K(\varepsilon )E{\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)}+E(\varepsilon )K{\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)}-K(\varepsilon )K{\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)}={\frac {\pi }{2}}}$$

على سبيل المثال: $${\displaystyle K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})E({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})+E({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})-K({\color {blueviolet}{\tfrac {3}{5}}})K({\color {blue}{\tfrac {4}{5}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$$

وبالنسبة لوحدتين متقابلتين بشكل مماس، تكون العلاقة التالية صحيحة:

$${\displaystyle (1+\varepsilon )K(\varepsilon )E({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})+{\tfrac {2}{1+\varepsilon }}E(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})-2K(\varepsilon )K({\tfrac {1-\varepsilon }{1+\varepsilon }})={\tfrac {1}{2}}\pi }$$

على سبيل المثال: $${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})E({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})+{\tfrac {3}{2}}E({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})-2K({\color {blue}{\tfrac {1}{3}}})K({\color {green}{\tfrac {1}{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$$

تنتج علاقة ليجندر للنظائر المعيارية المماسية مباشرة من هوية ليجندر للنظائر المعيارية الفيثاغورية باستخدام تحويل لاندن المعياري على المعامل المضاد الفيثاغوري.