تمثيل جيلفاند

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 27 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يكون تمثيل جيلفاند في التحليل الوظيفي (المسمى على اسم آي إم جيلفاند ) أحد أمرين:

في الحالة الأولى، يمكن اعتبار تمثيل جيلفاند تعميمًا واسع النطاق لتحويل فورييه لدالة قابلة للتكامل. أما في الحالة الثانية، فتُعدّ نظرية تمثيل جيلفاند-نايمارك أحد مسارات تطوير النظرية الطيفية للمؤثرات العادية ، وتُعمّم مفهوم قطريّة المصفوفة العادية .

ملاحظات تاريخية

كان أحد التطبيقات الأصلية لجيلفاند (والذي حفز تاريخيًا الكثير من دراسة جبر باناخ ) هو تقديم برهان أقصر وأكثر تجريدًا لفرضية نوربرت وينر الشهيرة (انظر الاقتباس أدناه)، والتي تميز عناصر جبر المجموعة L 1 ( R ) وℓ1(Z){\displaystyle \ell ^{1}({\mathbf {Z} })}والتي تمتد ترجماتها عبر فضاءات فرعية كثيفة في الجبر المعني.

الجبر النموذجي

بالنسبة لأي فضاء طوبولوجي هاوسدورف مضغوط محليًا X ، فإن الفضاء C 0 ( X ) للدوال المركبة المستمرة على X والتي تتلاشى عند اللانهاية هو بطريقة طبيعية جبر C* تبادلي:

  • يتم الحصول على البنية الجبرية للأعداد المركبة من خلال النظر في العمليات النقطية للجمع والضرب.
  • الانعكاس هو اقتران معقد نقطي.
  • المعيار هو المعيار الموحد على الدوال.

تكمن أهمية كون X فضاءً متراصًا محليًا وهاوسدورف في تحويله إلى فضاء منتظم تمامًا . في هذا الفضاء، تُعدّ كل مجموعة جزئية مغلقة من X مجموعة الأصفار المشتركة لعائلة من الدوال المركبة المتصلة على X ، مما يسمح باستعادة طوبولوجيا X من C₀ ( X ).

لاحظ أن C 0 ( X ) أحادي إذا وفقط إذا كانت X مضغوطة ، وفي هذه الحالة يكون C 0 ( X ) مساوياً لـ C ( X )، وهو جبر جميع الدوال المركبة المستمرة على X.

تمثيل جيلفاند لجبر باناخ التبادلي

يتركأ{\displaystyle A}ليكن جبر باناخ تبادلي ، معرف على الحقلج{\displaystyle \mathbb {C} }من الأعداد المركبة. تشاكل جبري غير صفري (دالة خطية ضربية)Φ:أ→ج{\displaystyle \Phi \colon A\to \mathbb {C} }يُطلق عليه اسم شخصيةأ{\displaystyle A}؛ مجموعة جميع أحرفأ{\displaystyle A}يُرمز إليه بـΦأ{\displaystyle \Phi _{A}}.

يمكن إثبات أن كل حرف علىأ{\displaystyle A}وهي متصلة تلقائياً، وبالتاليΦأ{\displaystyle \Phi _{A}}هي مجموعة جزئية من الفضاءأ*{\displaystyle A^{*}}الدوال الخطية المتصلة علىأ{\displaystyle A}علاوة على ذلك، عند تجهيزها بطوبولوجيا ضعيفة نسبياً ،Φأ{\displaystyle \Phi _{A}}اتضح أن الفضاء متراص محليًا وله خاصية هاوسدورف. (يستنتج هذا من نظرية باناش-ألاوغلو ).Φأ{\displaystyle \Phi _{A}}تكون المجموعة متراصة (في الطوبولوجيا المحددة للتو) إذا وفقط إذا كانت الجبرأ{\displaystyle A}يحتوي على عنصر هوية. [ 1 ]

منحأ∈أ{\displaystyle a\in A}، يحدد المرء الوظيفةأ^:Φأ→ج{\displaystyle {\widehat {a}}:\Phi _{A}\to {\mathbb {C} }}بواسطةأ^(ϕ)=ϕ(أ){\displaystyle {\widehat {a}}(\phi )=\phi (a)}تعريفΦأ{\displaystyle \Phi _{A}}وتضمن البنية الطوبولوجية لذلكأ^{\displaystyle {\widehat {a}}}[ 2 ] دالة متصلة وتتلاشى عند اللانهاية ، وأن الخريطةأ↦أ^{\displaystyle a\mapsto {\widehat {a}}}يُعرّف هذا تعريفًا لتشاكل جبري مُخفِّض للمعيار وحافظ على الوحدة منأ{\displaystyle A}لج0(Φأ){\displaystyle C_{0}(\Phi _{A})}هذا التشاكل هو تمثيل جيلفاند لـأ{\displaystyle A}، وأ^{\displaystyle {\widehat {a}}}هو تحويل جيلفاند للعنصرأ{\displaystyle a}. بشكل عام، التمثيل ليس حقنيًا ولا شاملًا.

في الحالة التيأ{\displaystyle A}إذا كان له عنصر محايد، فهناك تقابل بينΦأ{\displaystyle \Phi _{A}}ومجموعة المُثُل العليا فيأ{\displaystyle A}(يعتمد هذا على نظرية جيلفاند-مازور ). ونتيجة لذلك، فإن نواة تمثيل جيلفاندأ→ج0(Φأ){\displaystyle A\to C_{0}(\Phi _{A})}يمكن تحديدها مع جذر جاكوبسون لـأ{\displaystyle A}وبالتالي، يكون تمثيل جيلفاند أحاديًا إذا وفقط إذاأ{\displaystyle A}هو (جاكوبسون) شبه بسيط .

أمثلة

مساحة باناشأ=ل1(R){\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} )}هي جبر باناخ تحت الالتفاف، جبر المجموعة لـR{\displaystyle \mathbb {R} }. ثمΦأ{\displaystyle \Phi _{A}}متماثل الشكل معR{\displaystyle \mathbb {R} }وتحويل جيلفاند لـو∈ل1(R){\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}هو تحويل فورييهو~{\displaystyle {\tilde {f}}}وبالمثل، معأ=ل1(R+){\displaystyle A=L^{1}(\mathbb {R} _{+})}، في جبر المجموعة للأعداد الحقيقية الضربية، يكون تحويل جيلفاند هو تحويل ميلين .

لأ=ℓ∞{\displaystyle A=\ell ^{\infty }}، فضاء التمثيل هو تكثيف ستون-تشيكβشمال{\displaystyle \beta \mathbb {N} }وبشكل أعم، إذاX{\displaystyle X}إذا كان فضاء هاوسدورف منتظمًا تمامًا، فإن فضاء تمثيل جبر باناخ للدوال المتصلة المحدودة هو تكثيف ستون-تشيك لـX{\displaystyle X}[ 2 ]​

حالة الجبر C*

كدافع، لننظر في الحالة الخاصة A = C 0 ( X ). بفرض x في X ، ليكنφx∈أ*{\displaystyle \varphi _{x}\in A^{*}}التقييم النقطي عند x ، أيφx(و)=و(x){\displaystyle \varphi _{x}(f)=f(x)}. ثمφx{\displaystyle \varphi _{x}}هي خاصية على A ، ويمكن إثبات أن جميع خصائص A هي من هذا الشكل؛ ويُظهر تحليل أكثر دقة أنه يمكننا تعريف Φ A مع X ، ليس فقط كمجموعات، بل كفضاءات طوبولوجية. وبالتالي، فإن تمثيل جيلفاند هو تماثل.

ج0(X)→ج0(Φأ). {\displaystyle C_{0}(X)\to C_{0}(\Phi _{A}).\ }

طيف الجبر التبادلي C*

يتألف طيف أو فضاء غيلفاند لجبر C* تبديلي A ، ويرمز له بـ Â ، من مجموعة التشاكلات * غير الصفرية من A إلى الأعداد المركبة. تُسمى عناصر الطيف خصائص على A. (يمكن إثبات أن كل تشاكل جبري من A إلى الأعداد المركبة هو تلقائيًا تشاكل * ، لذا فإن هذا التعريف لمصطلح "الخاصية" يتوافق مع التعريف أعلاه).

على وجه الخصوص، يُعد طيف جبر C* التبادلي فضاء هاوسدورف متراصًا محليًا: في حالة الوحدة، أي عندما يكون لجبر C* عنصر ضربي يساوي 1، يجب أن تكون جميع الدوال f أحادية، أي أن f (1) هو العدد المركب 1. هذا يستبعد التشاكل الصفري. لذا فإن Â مغلق تحت التقارب الضعيف-*، والطيف متراص بالفعل . في حالة عدم الوحدة، يكون الإغلاق الضعيف-* لـ Â هو Â ∪ {0}، حيث 0 هو التشاكل الصفري، وإزالة نقطة واحدة من فضاء هاوسدورف متراص ينتج عنه فضاء هاوسدورف متراص محليًا.

لاحظ أن مصطلح "الطيف" له دلالات متعددة. فهو يشير أيضًا إلى طيف σ( x ) لعنصر x في جبر ذي وحدة 1، أي مجموعة الأعداد المركبة r التي لا يكون فيها x  − r 1 قابلاً للعكس في A. بالنسبة لجبر C* ذي الوحدة، يرتبط المفهومان على النحو التالي: σ( x ) هي مجموعة الأعداد المركبة f ( x ) حيث f تتنقل على فضاء غيلفاند لـ A. بالاقتران مع صيغة نصف قطر الطيف ، يُظهر هذا أن Â هي مجموعة جزئية من كرة الوحدة لـ A*، وبالتالي يمكن إعطاؤها طوبولوجيا * الضعيفة النسبية. هذه هي طوبولوجيا التقارب النقطي. تتقارب شبكة { fₖ } ₖ من عناصر طيف A إلى f إذا وفقط إذا كان لكل x في A ، تتقارب شبكة الأعداد المركبة { fₖ ( x )} ₖ إلى f ( x ) . 

إذا كانت A جبرًا قابلًا للفصل من نوع C*، فإن طوبولوجيا * الضعيفة قابلة للقياس على المجموعات الجزئية المحدودة. وبالتالي، يمكن اعتبار طيف جبر C* التبادلي القابل للفصل A فضاءً متريًا. ومن ثم، يمكن توصيف الطوبولوجيا من خلال تقارب المتتاليات.

وبالمثل، فإن σ( x ) هو مدى γ( x )، حيث γ هو تمثيل جيلفاند.

نص نظرية جيلفاند-نايمارك التبادلية

ليكن A جبرًا تبديليًا من نوع C*، وليكن X طيف A.

γ:أ→ج0(X){\displaystyle \gamma :A\to C_{0}(X)}

ليكن تمثيل جيلفاند المحدد أعلاه.

نظرية . خريطة جيلفاند γ هي تماثل متساوي القياس * من A إلى C 0 ( X ).

انظر إلى مرجع أرفيسون أدناه.

يمكن أيضًا اعتبار طيف الجبر التبادلي C* بمثابة مجموعة جميع المُثُل القصوى m في A ، مع طوبولوجيا الغلاف-النواة . (انظر الملاحظات السابقة لحالة جبر باناخ التبادلي العام). لأي m من هذا القبيل، يكون جبر القسمة A/m أحادي البعد (بحسب نظرية جيلفاند-مازور)، وبالتالي فإن أي a في A يُنتج دالة ذات قيم مركبة على Y.

في حالة جبر C* ذي الوحدة، يُنتج تطبيق الطيف دالة متغايرة من فئة جبر C* التبادلي ذي الوحدة والتشاكلات المستمرة *-الحافظة للوحدة، إلى فئة فضاءات هاوسدورف المدمجة والخرائط المستمرة. تُمثل هذه الدالة نصف تكافؤ متغاير بين هاتين الفئتين (حيث يكون مرافقها هو الدالة التي تُسند إلى كل فضاء هاوسدورف مدمج X جبر C*، C₀ ( X ) ). على وجه الخصوص، إذا كان لدينا فضاءا هاوسدورف مدمجان X و Y ، فإن C ( X ) متماثل مع C ( Y ) (كجبر C*) إذا وفقط إذا كان X متماثلًا مع Y.

إن نظرية جيلفاند-نايمارك "الكاملة" هي نتيجة للجبر C*- التبديلي (المجرد) التعسفي A ، والتي على الرغم من أنها ليست مماثلة تمامًا لتمثيل جيلفاند، إلا أنها توفر تمثيلًا ملموسًا لـ A كجبر للمؤثرات.

التطبيقات

من أهم تطبيقات هذا المفهوم وجود حساب دالي متصل للعناصر العادية في جبر C*-A : يكون العنصر x عاديًا إذا وفقط إذا كان x يتبادل مع مرافقه x* ، أو بصورة مكافئة إذا وفقط إذا كان يولد جبر C*-تبديليًا C*( x ). وبتطبيق تماثل غيلفاند على C*( x )، يكون هذا الجبر متماثلًا *-مع جبر الدوال المتصلة على فضاء متراص محليًا. تقود هذه الملاحظة مباشرةً إلى:

نظرية . ليكن A جبرًا من نوع C* مع عنصر محايد، وليكن x عنصرًا طبيعيًا في A. عندئذٍ يوجد تشاكل * من f → f ( x ) من جبر الدوال المتصلة على الطيف σ( x ) إلى A بحيث

  • إنها تربط 1 بالعنصر المحايد الضربي لـ A ؛
  • إنها ترسم دالة التطابق على الطيف إلى x .

وهذا يسمح لنا بتطبيق الدوال المتصلة على المؤثرات الطبيعية المحدودة على فضاء هيلبرت.

مراجع

  1. ↑ تشارلز ريكارت (1974)، النظرية العامة لجبر باناخ ، فان نوستراند، ص  114
  2. 1 2 إيبرهارد كاينوث (2009)، دورة في جبر باناخ التبادلي ، سبرينغر