تنوع الأعلام المعمم

في الرياضيات ، يُعرف فضاء الأعلام المعمم (أو ببساطة فضاء الأعلام ) بأنه فضاء متجانس تكون نقاطه أعلامًا في فضاء متجهي محدود الأبعاد V فوق حقل F. عندما يكون F مجموعة الأعداد الحقيقية أو المركبة، يكون فضاء الأعلام المعمم متعدد الشعب أملسًا أو مركبًا ، ويُسمى متعدد شعب الأعلام الحقيقي أو المركب . تُعد فضاءات الأعلام بطبيعتها فضاءات إسقاطية .

يمكن تعريف أصناف الأعلام بدرجات متفاوتة من العمومية. النموذج الأولي هو صنف الأعلام الكاملة في فضاء متجهي V فوق حقل F ، وهو صنف أعلام للمجموعة الخطية الخاصة فوق F. تنشأ أصناف أعلام أخرى من خلال النظر في الأعلام الجزئية، أو عن طريق التقييد من المجموعة الخطية الخاصة إلى مجموعات فرعية مثل المجموعة التبادلية . بالنسبة للأعلام الجزئية، يلزم تحديد تسلسل أبعاد الأعلام قيد الدراسة. أما بالنسبة للمجموعات الفرعية للمجموعة الخطية، فيجب فرض شروط إضافية على الأعلام.

بالمعنى الأعم، يُعرَّف تنوع العلم المعمم بأنه تنوع متجانس إسقاطي ، أي تنوع إسقاطي أملس X على حقل F مع تأثير متعدٍّ لمجموعة اختزالية G (ومجموعة فرعية مثبتة ملساء؛ وهذا لا يُقيِّد F ذات خاصية صفرية). إذا كان لـ X نقطة عقلانية F ، فإنه يكون متماثلًا مع G / P لبعض المجموعات الفرعية المكافئة P من G. يمكن أيضًا تمثيل التنوع المتجانس الإسقاطي كمدار لمتجه ذي وزن أعلى في تمثيل إسقاطي لـ G. تُعد التنوعات المتجانسة الإسقاطية المركبة فضاءات نموذجية مسطحة مضغوطة لهندسات كارتان من النوع المكافئ. وهي مشعبات ريمانية متجانسة تحت أي مجموعة فرعية مضغوطة قصوى من G ، وهي تحديدًا المدارات المرافقة لمجموعات لي المضغوطة .

يمكن أن تكون فضاءات العلم فضاءات متناظرة . في مجموعة الأعداد المركبة، تُسمى فضاءات العلم المقابلة لها بالفضاءات المتناظرة الهرميتية . أما في مجموعة الأعداد الحقيقية، فيُعتبر فضاء R مرادفًا لفضاء العلم الحقيقي، وتُسمى الفضاءات المتناظرة المقابلة له بالفضاءات المتناظرة R.

العلم في فضاء متجهي محدود الأبعاد V فوق حقل F هو سلسلة متزايدة من الفضاءات الجزئية ، حيث تعني كلمة "متزايدة" أن كل منها هو فضاء جزئي مناسب للفضاء التالي (انظر الترشيح ):

${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subsetneq V_{1}\subsetneq V_{2}\subsetneq \cdots \subsetneq V_{k}=V.}$

إذا كتبنا dim V _i = di _، فسنحصل على

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,}$

حيث n هو بُعد V. لذا، يجب أن يكون k ≤ n . يُسمى العلم علمًا كاملاً إذا كان dᵢ ₌ i لكل i ، وإلا يُسمى علمًا جزئيًا . توقيع العلم هو المتتالية ( d₁ _, ..., dₖ ₎ .

يمكن الحصول على علم جزئي من علم كامل عن طريق حذف بعض المساحات الفرعية. وعلى العكس من ذلك، يمكن إكمال أي علم جزئي (بطرق عديدة ومختلفة) عن طريق إدراج مساحات فرعية مناسبة.

وفقًا للنتائج الأساسية للجبر الخطي ، فإن أي علمين كاملين في فضاء متجهي V ذي n بُعد على حقل F لا يختلفان عن بعضهما البعض من وجهة نظر هندسية. أي أن المجموعة الخطية العامة تؤثر بشكل متعدٍ على مجموعة جميع الأعلام الكاملة.

لنثبت أساسًا مرتبًا للفضاء V ، ونعرّفه بـ F ^_n ، الذي زمرته الخطية العامة هي زمرة المصفوفات القابلة للعكس من الرتبة n × n ، GL( n , F ) . العلم القياسي المرتبط بهذا الأساس هو العلم الذي يمتد فيه الفضاء الجزئي i بواسطة المتجهات i الأولى من الأساس. بالنسبة لهذا الأساس، فإن مُثبِّت العلم القياسي هو زمرة المصفوفات المثلثية السفلية غير المنفردة ، والتي نرمز لها بـ B _{_n} . بالتالي، يمكن كتابة تنوع العلم الكامل كفضاء متجانس GL( n , F ) / B _{_n} ، مما يُظهر على وجه الخصوص أن بُعده هو n ( n - 1)/2 على F.

لاحظ أن مضاعفات الوحدة تؤثر بشكل تافه على جميع الأعلام، وبالتالي يمكن للمرء أن يقصر الاهتمام على المجموعة الخطية الخاصة SL( n , F ) للمصفوفات ذات المحدد واحد، وهي مجموعة جبرية شبه بسيطة؛ مجموعة المصفوفات المثلثية السفلية ذات المحدد واحد هي مجموعة فرعية بوريل .

إذا كان الحقل F هو الأعداد الحقيقية أو المركبة، فيمكننا تعريف جداء داخلي على V بحيث يكون الأساس المختار متعامدًا . عندئذٍ، ينقسم أي علم كامل إلى مجموع مباشر لفضاءات فرعية أحادية البعد بأخذ المكملات المتعامدة. ويترتب على ذلك أن فضاء العلم الكامل على الأعداد المركبة هو فضاء متجانس.

${\displaystyle U(n)/T^{n}}$

حيث U( n ) هي المجموعة الوحدوية وTn ^هي الحلقة n-الطورية للمصفوفات الوحدوية القطرية. يوجد وصف مماثل على الأعداد الحقيقية مع استبدال U( n ) بالمجموعة المتعامدة O( n )، وTn ^{بالمصفوفات} المتعامدة القطرية (التي تحتوي عناصرها القطرية على ±1).

نوع العلم الجزئي

${\displaystyle F(d_{1},d_{2},\ldots d_{k},\mathbb {F} )}$

هي فضاء جميع أعلام التوقيع ( d1 _, d2 , ..., _dk ) _في فضاء متجهي V ذي بُعد n = dk على F. وتُعدّ مجموعة الأعلام الكاملة الحالة الخاصة التي يكون فيها di ₌ i لجميع i . عندما k = 2 ، يكون هذا فضاء غراسمانيًا للفضاءات _{الجزئية ذات} البُعد d1 من V.

هذا فضاء متجانس للمجموعة الخطية العامة G للفضاء V على F. وللتوضيح، نأخذ V = Fⁿ بحيث يكون G = GL( n , F ⁾ . يمكن اعتبار مُثبِّت علم الفضاءات الفرعية المتداخلة Vi ذات البعد _{dᵢ هو} مجموعة المصفوفات المثلثية السفلية غير _{المنفردة} ، حيث أبعاد الكتل هي nᵢ _: = dᵢ ₋ dᵢ − ₁ (مع d₀ = _{0 )} . 

وبالاقتصار على المصفوفات ذات المحدد الواحد، فإن هذه مجموعة فرعية مكافئة P من SL( n , F )، وبالتالي فإن مجموعة العلم الجزئية متماثلة مع الفضاء المتجانس SL( n , F )/ P .

إذا كانت F هي الأعداد الحقيقية أو المركبة، فيمكن استخدام الضرب الداخلي لتقسيم أي علم إلى مجموع مباشر، وبالتالي فإن تنوع العلم الجزئي يكون متماثلًا أيضًا مع الفضاء المتجانس

${\displaystyle U(n)/U(n_{1})\times \cdots \times U(n_{k})}$

في الحالة المعقدة، أو

${\displaystyle O(n)/O(n_{1})\times \cdots \times O(n_{k})}$

في الحالة الحقيقية.

المصفوفات المثلثية العلوية ذات المحدد الواحد هي زمرة بوريل جزئية من SL( n , F )، وبالتالي فإن مثبتات الأعلام الجزئية هي زمر جزئية مكافئة. علاوة على ذلك، يتم تحديد العلم الجزئي بواسطة الزمرة الجزئية المكافئة التي تثبته.

وبالتالي، وبشكل أعم، إذا كانت G زمرة جبرية أو زمرة لي شبه بسيطة ، فإن صنف العلم (المعمم) لـ G هو G / P حيث P زمرة جزئية مكافئة من G. ويتيح التوافق بين الزمر الجزئية المكافئة وأصناف العلم المعممة فهم كل منهما بدلالة الآخر.

يُعدّ توسيع مصطلح "متنوعة الرايات" منطقيًا، إذ لا يزال بالإمكان وصف نقاط G / P باستخدام الرايات. ويكون هذا واضحًا بشكل خاص عندما تكون G زمرة كلاسيكية ، مثل الزمرة التبسيطية أو الزمرة المتعامدة . إذا كان ( V , ω ) فضاءً متجهيًا تبسيطيًا، فإن الراية الجزئية في V تكون متناحية إذا انعدم شكلها التبسيطي على الفضاءات الجزئية المناسبة من V في الراية. ومثبت الراية المتناحية هو زمرة جزئية مكافئة من الزمرة التبسيطية Sp( V , ω ). بالنسبة للزمر المتعامدة، توجد صورة مشابهة، مع بعض التعقيدات. أولًا، إذا لم تكن F مغلقة جبريًا، فقد لا توجد فضاءات جزئية متناحية: وللحصول على نظرية عامة، يلزم استخدام الزمر المتعامدة المنقسمة . ثانيًا، بالنسبة للفضاءات المتجهة ذات البعد الزوجي 2 م ، تأتي الفضاءات الفرعية المتساوية الخواص ذات البعد م بنوعين ("ذاتية مزدوجة" و "مضادة للذاتية المزدوجة") ويحتاج المرء إلى التمييز بينهما للحصول على فضاء متجانس.

إذا كانت G زمرة لي متصلة ومتراصة، فإنها تحتوي على طارة عظمى T ، ويكون فضاء G / T من المشاركات اليسرى مع طوبولوجيا القسمة فضاءً حقيقيًا متراصًا. وإذا كانت H أي زمرة فرعية أخرى متصلة ومغلقة من G تحتوي على T ، فإن G / H فضاء حقيقي متراص آخر. (كلاهما في الواقع فضاءان متجانسان معقدان بطريقة قياسية من خلال التعقيد ).

إن وجود بنية معقدة وتماثل خلوي (مشترك) يُسهّل ملاحظة أن حلقة التماثل المشترك لـ G / H تتركز في الدرجات الزوجية، ولكن في الواقع، يمكن قول شيء أقوى من ذلك بكثير. بما أن G → G/H حزمة رئيسية من النوع H ، فإنه يوجد تطبيق تصنيفي G / H → BH يستهدف فضاء التصنيف BH . إذا استبدلنا G / H بمعامل التماثل GH في المتتالية G → G/H → BH ، _فإننا نحصل على حزمة رئيسية من النوع G تُسمى تليف بوريل لفعل الضرب الأيمن لـ H على G ، ويمكننا استخدام متتالية سير الطيفية المتماثلة لهذه الحزمة لفهم تماثل تقييد الألياف H *( G / H ) → H *( G ) والتطبيق المميز H *( BH ) → H *( G / H )، والذي سُمي كذلك لأن صورته، وهي الحلقة الفرعية المميزة لـ H *( G / H )، تحمل الفئات المميزة للحزمة الأصلية H → G → G / H .

لنُقيّد الآن حلقة المعاملات لدينا لتكون حقلاً k ذا خاصية صفرية، بحيث يكون H *( G ) جبرًا خارجيًا على مولدات ذات درجة فردية (الفضاء الجزئي للعناصر الأولية ) وفقًا لنظرية هوبف . ويترتب على ذلك أن تشاكلات الحواف

${\displaystyle E_{r+1}^{0,r}\to E_{r+1}^{r+1,0}}$

يجب أن تأخذ المتتالية الطيفية في النهاية فضاء العناصر الأولية في العمود الأيسر H *( G ) من الصفحة E ₂ بشكل تقابلي في الصف السفلي H *( BH ): نعلم أن G و H لهما نفس الرتبة ، لذلك إذا لم تكن مجموعة تشاكلات الحواف كاملة الرتبة على الفضاء الفرعي الأولي، فإن صورة الصف السفلي H *( BH ) في الصفحة الأخيرة H *( G / H ) من المتتالية ستكون لانهائية الأبعاد كفضاء متجه k ، وهو أمر مستحيل، على سبيل المثال عن طريق علم التماثل الخلوي مرة أخرى، لأن الفضاء المتجانس المضغوط يقبل بنية CW محدودة .

وبالتالي، فإن تطبيق الحلقة H *( G / H ) → H *( G ) تافه في هذه الحالة، والتطبيق المميز شامل، لذا فإن H *( G / H ) هو خارج قسمة H *( BH ). نواة التطبيق هي المثالي الناتج عن صور العناصر الأولية تحت تشاكلات الحواف، وهو أيضًا المثالي الناتج عن العناصر ذات الدرجة الموجبة في صورة التطبيق القانوني H *( BG ) → H *( BH ) الناتج عن تضمين H في G.

التطبيق H *( BG ) → H *( BT ) أحادي، وكذلك بالنسبة لـ H ، مع صورة الحلقة الفرعية H *( BT ) ^{W ( G )} للعناصر الثابتة تحت تأثير زمرة فايل ، وبالتالي نحصل في النهاية على الوصف الموجز

${\displaystyle H^{*}(G/H)\cong H^{*}(BT)^{W(H)}/{\big (}{\widetilde {H}}^{*}(BT)^{W(G)}{\big )},}$

أين${\displaystyle {\widetilde {H}}^{*}}$يشير الرمز إلى العناصر ذات الدرجة الموجبة، وتشير الأقواس إلى توليد مثالي. على سبيل المثال، بالنسبة لمتشعب العلم المركب الكامل U ( n )/ Tn ^، يكون لدينا

${\displaystyle H^{*}{\big (}U(n)/T^{n}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},\ldots ,t_{n}]/(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),}$

حيث تكون t_{_j} من الدرجة 2، وσ_{_j} هي أول n متعددة حدود متناظرة ابتدائية في المتغيرات t_{_j}. ولتوضيح ذلك بمثال أكثر تحديدًا، لنأخذ n = 2، بحيث يكون U ( 2 )/[ U (1) × U (1)] هو فضاء غراسمان المركب Gr(1,${\displaystyle \mathbb {C} }$² ) ≈${\displaystyle \mathbb {C} }$P ¹ ≈ S ^2. عندئذٍ نتوقع أن تكون حلقة التماثل جبرًا خارجيًا على مولد من الدرجة الثانية ( الفئة الأساسية )، وبالفعل،

${\displaystyle H^{*}{\big (}U(2)/T^{2}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},t_{2}]/(t_{1}+t_{2},t_{1}t_{2})\cong \mathbb {Q} [t_{1}]/(t_{1}^{2}),}$

كما كان مأمولاً.

إذا كانت G زمرة جبرية شبه بسيطة (أو زمرة لي)، و V تمثيلًا (محدود الأبعاد) لأعلى وزن لـ G ، فإن فضاء أعلى وزن هو نقطة في الفضاء الإسقاطي P( V )، ومدارها تحت تأثير G هو تنوع جبري إسقاطي . هذا التنوع هو تنوع علم (معمم)، وعلاوة على ذلك، ينشأ كل تنوع علم (معمم) لـ G بهذه الطريقة.

أظهر أرماند بوريل أن هذا يميز أصناف العلم لمجموعة جبرية شبه بسيطة عامة G : إنها بالضبط الفضاءات المتجانسة الكاملة لـ G ، أو بشكل مكافئ (في هذا السياق)، أصناف G المتجانسة الإسقاطية .

لتكن G زمرة لي شبه بسيطة ذات زمرة جزئية مدمجة قصوى K. عندئذٍ، تؤثر K بشكل متعدٍ على أي فئة اقتران من الزمر الجزئية المكافئة، وبالتالي فإن صنف العلم المعمم G / P هو متعدد شعب ريماني متجانس مدمج K /( K ∩ P ) مع زمرة قياس K. علاوة على ذلك، إذا كانت G زمرة لي معقدة، فإن G / P متعدد شعب كاهلر متجانس .

وبقلب هذا الأمر، فإن الفضاءات المتجانسة الريمانية

M = K /( K ∩ P )

تقبل مجموعة لي أكبر بكثير من التحويلات، وهي G. وبالتخصيص للحالة التي يكون فيها M فضاءً متناظرًا ، فإن هذه الملاحظة تؤدي إلى جميع الفضاءات المتناظرة التي تقبل مجموعة تناظر أكبر، وقد تم تصنيف هذه الفضاءات بواسطة كوباياشي وناغانو.

إذا كانت G زمرة لي معقدة، فإن الفضاءات المتناظرة M التي تنشأ بهذه الطريقة هي الفضاءات المتناظرة الهرميتية المدمجة : K هي زمرة التماثل، و G هي زمرة التماثل الثنائي لـ M.

يُطلق على فضاء الأعلام الحقيقي في مجموعة الأعداد الحقيقية اسم فضاء-R ، وتُعرف فضاءات-R المتناظرة ريمانية تحت تأثير K باسم فضاءات-R المتناظرة . أما فضاءات-R المتناظرة غير المتناظرة هيرميتيًا، فتُحصل عليها بأخذ G كصيغة حقيقية لمجموعة التماثل الثنائي G  c  لفضاء متناظر هيرميتي G c / P  c بحيث يكون P  := P c ∩ G زمرة جزئية مكافئة من G. ومن الأمثلة على ذلك الفضاءات الإسقاطية (حيث G c هي زمرة التحويلات الإسقاطية ) والكرات (حيث Gc  هي زمرة التحويلات المطابقة ).

• جبر لي المكافئ
• تحلل بروهات

• روبرت ج. باستون ومايكل ج. إيستوود، تحويل بنروز: تفاعله مع نظرية التمثيل ، مطبعة جامعة أكسفورد، 1989.
• يورغن بيرندت، تأثيرات زمرة لي على المشعبات ، ملاحظات المحاضرات، طوكيو، 2002.
• يورغن بيرندت، سيرجيو كونسول وكارلوس أولموس، Submanifolds and Holonomy ، Chapman & Hall/CRC Press، 2003.
• ميشيل بريون، محاضرات حول هندسة أنواع الأعلام ، ملاحظات المحاضرات، وارسو، 2003.
• جيمس إي. همفريز ، المجموعات الجبرية الخطية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، 21، سبرينغر-فيرلاغ، 1972.
• S. Kobayashi and T. Nagano, On filtered Lie algebras and engineering structures I, II, J. Math. Mech. 13 (1964), 875–907, 14 (1965) 513–521.