الانحدار الكمي

جزء من سلسلة عن
تحليل الانحدار
نماذج
الانحدار الخطي الانحدار البسيط الانحدار المتعدد الحدود النموذج الخطي العام
لويس نموذج خطي معمم نموذج خطي معمم متجه اختيار منفصل الانحدار الثنائي الانحدار الثنائي الانحدار اللوجستي الانحدار اللوجستي المتعدد الحدود لوجيت مختلط بروبيت بروبيت متعدد الحدود تم ترتيب اللوجيت بروبيت مرتب سمكة
نموذج متعدد المستويات تأثيرات ثابتة تأثيرات عشوائية نموذج التأثيرات المختلطة الخطية نموذج التأثيرات المختلطة غير الخطية
الانحدار غير الخطي غير معياري شبه معلمية قوي كمية متساوي التوتر المكونات الرئيسية أقل زاوية محلي مجزأة
أخطاء في المتغيرات
تقدير
المربعات الصغرى خطي غير خطي
عادي موزون معمم معادلة التقدير المعممة
جزئي المجموع غير سلبي انحدار التلال منظم
أقل الانحرافات المطلقة تمت إعادة الترجيح بشكل متكرر بايزية متعدد المتغيرات البايزية التحليل الطيفي لأقل المربعات
خلفية
التحقق من صحة الانحدار المتوسط ​​والاستجابة المتوقعة الأخطاء والمخلفات جودة الملاءمة المتبقي من الدراسة نظرية جاوس-ماركوف
بوابة الرياضيات
ف ت هـ

الانحدار الكمي هو نوع من تحليل الانحدار المستخدم في الإحصاء والاقتصاد القياسي. في حين أن طريقة المربعات الصغرى تقدر المتوسط ​​الشرطي لمتغير الاستجابة عبر قيم المتغيرات التنبؤية، فإن الانحدار الكمي يقدر الوسيط الشرطي (أو الكميات الأخرى ) لمتغير الاستجابة. [هناك أيضًا طريقة للتنبؤ بالمتوسط ​​الهندسي الشرطي لمتغير الاستجابة، ^[1] .] الانحدار الكمي هو امتداد للانحدار الخطي المستخدم عندما لا يتم استيفاء شروط الانحدار الخطي.

تتمثل إحدى مزايا الانحدار الكمي مقارنة بالانحدار باستخدام المربعات الصغرى العادية في أن تقديرات الانحدار الكمي أكثر قوة ضد القيم المتطرفة في قياسات الاستجابة. ومع ذلك، فإن الجاذبية الرئيسية للانحدار الكمي تتجاوز هذا وتكون مفيدة عندما تكون الدوال الكمومية الشرطية موضع اهتمام. يمكن استخدام مقاييس مختلفة للاتجاه المركزي والتشتت الإحصائي لتحليل العلاقة بين المتغيرات بشكل أكثر شمولاً. ^[2]

في علم البيئة ، تم اقتراح الانحدار الكمي واستخدامه كوسيلة لاكتشاف علاقات تنبؤية أكثر فائدة بين المتغيرات في الحالات التي لا توجد فيها علاقة أو علاقة ضعيفة فقط بين متوسطات هذه المتغيرات. وقد عُزيت الحاجة إلى الانحدار الكمي ونجاحه في علم البيئة إلى تعقيد التفاعلات بين العوامل المختلفة التي تؤدي إلى بيانات ذات تباين غير متساوٍ لمتغير واحد لنطاقات مختلفة من متغير آخر. ^[3]

هناك تطبيق آخر للانحدار الكمي في مجالات مخططات النمو، حيث تُستخدم المنحنيات المئوية عادةً لفحص النمو غير الطبيعي. ^{[4] [5]}

تم اقتراح فكرة تقدير منحدر الانحدار المتوسط، وهي نظرية رئيسية حول تقليل مجموع الانحرافات المطلقة وخوارزمية هندسية لبناء الانحدار المتوسط ​​في عام 1760 من قبل رودر جوزيب بوسكوفيتش ، وهو قس كاثوليكي يسوعي من دوبروفنيك. ^{[2] : 4  [6]} كان مهتمًا بإهليلجية الأرض، بناءً على اقتراح إسحاق نيوتن بأن دورانها يمكن أن يتسبب في انتفاخها عند خط الاستواء مع تسطيح مماثل عند القطبين. ^[7] وأخيرًا أنتج أول إجراء هندسي لتحديد خط استواء كوكب دوار من ثلاث ملاحظات لسمة سطحية. والأهم من ذلك بالنسبة للانحدار الكمي، أنه كان قادرًا على تطوير أول دليل على معيار أقل قيمة مطلقة وسبق المربعات الصغرى التي قدمها ليجاندر في عام 1805 بخمسين عامًا. ^[8]

بدأ مفكرون آخرون في البناء على فكرة بوسكوفيتش مثل بيير سيمون لابلاس ، الذي طور ما يسمى "methode de situation". أدى هذا إلى الوسيط المتعدد لفرانسيس إيدجوورث ^[9] - وهو نهج هندسي للانحدار الوسيط - ويُعترف به باعتباره مقدمة لطريقة السمبلكس . ^[8] تم الاعتراف بأعمال بوسكوفيتش ولابلاس وإيدجوورث كمقدمة لمساهمات روجر كوينكر في الانحدار الكمي.

إن حسابات الانحدار المتوسط ​​لمجموعات البيانات الأكبر حجمًا مملة للغاية مقارنة بطريقة المربعات الصغرى، ولهذا السبب فقد ولدت تاريخيًا نقصًا في الشعبية بين الإحصائيين، حتى التبني الواسع النطاق لأجهزة الكمبيوتر في الجزء الأخير من القرن العشرين.

يعبر الانحدار الكمي عن الكميات الشرطية لمتغير تابع كدالة خطية للمتغيرات التفسيرية. ومن الأهمية بمكان لتحقيق جدوى الانحدار الكمي أن الكميات يمكن التعبير عنها كحل لمشكلة التقليل، كما سنوضح في هذا القسم قبل مناقشة الكميات الشرطية في القسم التالي.

ليكن متغير عشوائي ذو قيمة حقيقية مع دالة توزيع تراكمية . يتم إعطاء النسبة المئوية لـ Y بواسطة ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)}$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle q_{Y}(\tau )=F_{Y}^{-1}(\tau )=\inf \left\{y:F_{Y}(y)\geq \tau \right\}}$

أين${\displaystyle \tau \in (0,1).}$

عرف دالة الخسارة على أنها ، حيث هي دالة مؤشر . يمكن إيجاد نسبة مئوية محددة عن طريق تقليل الخسارة المتوقعة فيما يتعلق بـ : ^[2] (ص 5-6): ${\displaystyle \rho _{\tau }(m)=m(\tau -\mathbb {I} _{(m<0)})}$${\displaystyle \mathbb {I} }$${\displaystyle Y-u}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle q_{Y}(\tau )={\underset {u}{\mbox{arg min}}}E(\rho _{\tau }(Y-u))={\underset {u}{\mbox{arg min}}}{\biggl \{}(\tau -1)\int _{-\infty }^{u}(y-u)dF_{Y}(y)+\tau \int _{u}^{\infty }(y-u)dF_{Y}(y){\biggr \}}.}$

يمكن إظهار ذلك عن طريق حساب المشتق للخسارة المتوقعة فيما يتعلق بتطبيق قاعدة تكامل لايبنيز ، وتعيينها إلى 0، والسماح بأن يكون الحل لـ ${\displaystyle u}$${\displaystyle q_{\tau }}$

${\displaystyle 0=(1-\tau )\int _{-\infty }^{q_{\tau }}dF_{Y}(y)-\tau \int _{q_{\tau }}^{\infty }dF_{Y}(y).}$

هذه المعادلة تتلخص في

${\displaystyle 0=F_{Y}(q_{\tau })-\tau ,}$

ومن ثم الى

${\displaystyle F_{Y}(q_{\tau })=\tau .}$

إذا لم يكن الحل فريدًا ، فيجب علينا أخذ أصغر حل من هذا القبيل للحصول على النسبة المئوية للمتغير العشوائي Y.${\displaystyle q_{\tau }}$${\displaystyle \tau }$

ليكن متغير عشوائي منفصل يأخذ قيمًا باحتمالات متساوية. المهمة هي إيجاد متوسط ​​Y، ومن ثم يتم اختيار القيمة. إذن الخسارة المتوقعة هي ${\displaystyle Y}$${\displaystyle y_{i}=i}$${\displaystyle i=1,2,\dots ,9}$${\displaystyle \tau =0.5}$${\displaystyle Y-u}$

${\displaystyle L(u)=E(\rho _{\tau }(Y-u))={\frac {(\tau -1)}{9}}\sum _{y_{i}<u}}$${\displaystyle (y_{i}-u)}$${\displaystyle +{\frac {\tau }{9}}\sum _{y_{i}\geq u}}$${\displaystyle (y_{i}-u)}$${\displaystyle ={\frac {0.5}{9}}{\Bigl (}}$${\displaystyle -}$${\displaystyle \sum _{y_{i}<u}}$${\displaystyle (y_{i}-u)}$${\displaystyle +\sum _{y_{i}\geq u}}$${\displaystyle (y_{i}-u)}$${\displaystyle {\Bigr )}.}$

نظرًا لأن ثابت، فيمكن إخراجه من دالة الخسارة المتوقعة (هذا صحيح فقط إذا ). عند u = 3، ${\displaystyle {0.5/9}}$${\displaystyle \tau =0.5}$

${\displaystyle L(3)\propto \sum _{i=1}^{2}}$${\displaystyle -(i-3)}$${\displaystyle +\sum _{i=3}^{9}}$${\displaystyle (i-3)}$${\displaystyle =[(2+1)+(0+1+2+...+6)]=24.}$

افترض أن u زادت بمقدار وحدة واحدة. عندئذٍ ستتغير الخسارة المتوقعة بمقدار عند تغيير u إلى 4. إذا كانت u = 5، فإن الخسارة المتوقعة هي ${\displaystyle (3)-(6)=-3}$

${\displaystyle L(5)\propto \sum _{i=1}^{4}i+\sum _{i=0}^{4}i=20,}$

وأي تغيير في u سيزيد من الخسارة المتوقعة. وبالتالي فإن u = 5 هو الوسيط. يوضح الجدول أدناه الخسارة المتوقعة (مقسومة على ) لقيم مختلفة من u . ${\displaystyle {0.5/9}}$

انت	1	2	3	4	5	6	7	8	9
الخسارة المتوقعة	36	29	24	21	20	21	24	29	36

اعتبر q ودعه يكون تخمينًا أوليًا لـ . الخسارة المتوقعة المقدرة عند q هي ${\displaystyle \tau =0.5}$${\displaystyle q_{\tau }}$

${\displaystyle L(q)=-0.5\int _{-\infty }^{q}(y-q)dF_{Y}(y)+0.5\int _{q}^{\infty }(y-q)dF_{Y}(y).}$

من أجل تقليل الخسارة المتوقعة، نحرك قيمة q قليلاً لنرى ما إذا كانت الخسارة المتوقعة سترتفع أم تنخفض. لنفترض أننا نزيد قيمة q بمقدار وحدة واحدة. عندئذٍ سيكون التغير في الخسارة المتوقعة

${\displaystyle \int _{-\infty }^{q}1dF_{Y}(y)-\int _{q}^{\infty }1dF_{Y}(y).}$

الحد الأول للمعادلة هو والحد الثاني للمعادلة هو . وبالتالي، فإن تغير دالة الخسارة المتوقعة يكون سالبًا إذا وفقط إذا ، أي إذا وفقط إذا كانت q أصغر من الوسيط. وبالمثل، إذا قللنا q بمقدار وحدة واحدة، فإن تغير دالة الخسارة المتوقعة يكون سالبًا إذا وفقط إذا كانت q أكبر من الوسيط. ${\displaystyle F_{Y}(q)}$${\displaystyle 1-F_{Y}(q)}$${\displaystyle F_{Y}(q)<0.5}$

لتقليل دالة الخسارة المتوقعة، سنزيد (ننقص) L ( q ) إذا كانت q أصغر (أكبر) من المتوسط، حتى تصل q إلى المتوسط. الفكرة وراء التقليل هي حساب عدد النقاط (المرجحة بالكثافة) الأكبر أو الأصغر من q ثم نقل q إلى نقطة حيث تكون q أكبر من % من النقاط. ${\displaystyle 100\tau }$

يمكن الحصول على النسبة المئوية للعينة باستخدام تقدير أخذ العينات حسب الأهمية وحل مشكلة التقليل التالية ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle {\hat {q}}_{\tau }={\underset {q\in \mathbb {R} }{\mbox{arg min}}}\sum _{i=1}^{n}\rho _{\tau }(y_{i}-q),}$

${\displaystyle ={\underset {q\in \mathbb {R} }{\mbox{arg min}}}\left[(\tau -1)\sum _{y_{i}<q}(y_{i}-q)+\tau \sum _{y_{i}\geq q}(y_{i}-q)\right]}$,

حيث تكون الدالة هي دالة القيمة المطلقة المائلة. والحدس هو نفسه بالنسبة للكمية السكانية. ${\displaystyle \rho _{\tau }}$

الربع الشرطي رقم 9 لـ given هو الربع الشرطي رقم 9 لتوزيع الاحتمال الشرطي لـ given ، ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=\inf \left\{y:F_{Y|X}(y)\geq \tau \right\}}$.

نحن نستخدم حرفًا كبيرًا للإشارة إلى النسبة المئوية الشرطية للإشارة إلى أنها متغير عشوائي. ${\displaystyle Q}$

في الانحدار الكمي للكمية الكمية رقم th، نفترض أن الكمية الكمية الشرطية رقم th تُعطى كدالة خطية للمتغيرات التفسيرية: ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=X\beta _{\tau }}$.

نظرًا لأن دالة التوزيع لـ ، يمكن الحصول عليها عن طريق حل ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \beta _{\tau }}$

${\displaystyle \beta _{\tau }={\underset {\beta \in \mathbb {R} ^{k}}{\mbox{arg min}}}E(\rho _{\tau }(Y-X\beta )).}$

حل العينة التناظرية يعطي مقدر . ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\hat {\beta _{\tau }}}={\underset {\beta \in \mathbb {R} ^{k}}{\mbox{arg min}}}\sum _{i=1}^{n}(\rho _{\tau }(Y_{i}-X_{i}\beta )).}$

لاحظ أنه عندما تكون دالة الخسارة متناسبة مع دالة القيمة المطلقة، وبالتالي فإن الانحدار المتوسط ​​هو نفسه الانحدار الخطي بأقل انحرافات مطلقة . ${\displaystyle \tau =0.5}$${\displaystyle \rho _{\tau }}$

تختلف الأشكال الرياضية الناشئة عن الانحدار الكمي عن تلك الناشئة في طريقة المربعات الصغرى . تؤدي طريقة المربعات الصغرى إلى النظر في المشكلات في فضاء المنتج الداخلي ، والتي تتضمن الإسقاط على الفضاءات الفرعية، وبالتالي يمكن تقليص مشكلة تقليل الأخطاء التربيعية إلى مشكلة في الجبر الخطي العددي . لا يحتوي الانحدار الكمي على هذا الهيكل، وبدلاً من ذلك يمكن إعادة صياغة مشكلة التقليل كمشكلة برمجة خطية

${\displaystyle {\underset {\beta ,u^{+},u^{-}\in \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} _{+}^{2n}}{\min }}\left\{\tau 1_{n}^{'}u^{+}+(1-\tau )1_{n}^{'}u^{-}|X\beta +u^{+}-u^{-}=Y\right\},}$

أين

${\displaystyle u_{j}^{+}=\max(u_{j},0)}$,    ${\displaystyle u_{j}^{-}=-\min(u_{j},0).}$

يمكن تطبيق طرق السمبلكس ^{[2] : 181} أو طرق النقطة الداخلية ^{[2] : 190} لحل مشكلة البرمجة الخطية.

بالنسبة إلى ، في ظل بعض ظروف الانتظام، يكون طبيعيًا بشكل مقارب : ${\displaystyle \tau \in (0,1)}$${\displaystyle {\hat {\beta }}_{\tau }}$

${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\beta }}_{\tau }-\beta _{\tau }){\overset {d}{\rightarrow }}N(0,\tau (1-\tau )D^{-1}\Omega _{x}D^{-1}),}$

أين

${\displaystyle D=E(f_{Y}(X\beta )XX^{\prime })}$و${\displaystyle \Omega _{x}=E(X^{\prime }X).}$

إن التقدير المباشر لمصفوفة التباين المقاربة-التغاير ليس مرضيًا دائمًا. يمكن إجراء الاستدلال على معلمات الانحدار الكمي باستخدام اختبارات رتبة الانحدار أو باستخدام أساليب إعادة التعيين. ^[10]

راجع مقدر الثبات للحصول على معلومات أساسية عن الثبات أو راجع التباين المتساوي .

لأي و${\displaystyle a>0}$${\displaystyle \tau \in [0,1]}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}(\tau ;aY,X)=a{\hat {\beta }}(\tau ;Y,X),}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}(\tau ;-aY,X)=-a{\hat {\beta }}(1-\tau ;Y,X).}$

لأي و${\displaystyle \gamma \in R^{k}}$${\displaystyle \tau \in [0,1]}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}(\tau ;Y+X\gamma ,X)={\hat {\beta }}(\tau ;Y,X)+\gamma .}$

ليكن أي مصفوفة غير مفردة و${\displaystyle A}$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle \tau \in [0,1]}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}(\tau ;Y,XA)=A^{-1}{\hat {\beta }}(\tau ;Y,X).}$

إذا كانت دالة غير متناقصة على ، فإن خاصية الثبات التالية تنطبق: ${\displaystyle h}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle h(Q_{Y|X}(\tau ))\equiv Q_{h(Y)|X}(\tau ).}$

مثال (1):

إذا و ، إذن . الانحدار المتوسط ​​ليس له نفس الخاصية لأن${\displaystyle W=\exp(Y)}$${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=X\beta _{\tau }}$${\displaystyle Q_{W|X}(\tau )=\exp(X\beta _{\tau })}$${\displaystyle \operatorname {E} (\ln(Y))\neq \ln(\operatorname {E} (Y)).}$

يحدد النموذج الخطي العلاقة المنهجية الحقيقية بشكل خاطئ عندما يكون غير خطي. ومع ذلك، يقلل من المسافة المرجحة بين النماذج الخطية. ^[11] وعلاوة على ذلك، يمكن تفسير معلمات المنحدر للنموذج الخطي كمتوسطات مرجحة للمشتقات بحيث يمكن استخدامها للاستدلال السببي. ^[12] على وجه التحديد، فإن الفرضية للجميع تعني الفرضية ، والتي يمكن اختبارها باستخدام المقدر وتوزيعه الحدي. ${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=X\beta _{\tau }}$${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=f(X,\tau )}$${\displaystyle f(\cdot ,\tau )}$${\displaystyle Q_{Y|X}(\tau )=X\beta _{\tau }}$${\displaystyle f(X,\tau )}$${\displaystyle \beta _{\tau }}$${\displaystyle \nabla f(X,\tau )}$${\displaystyle \beta _{\tau }}$${\displaystyle H_{0}:\nabla f(x,\tau )=0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H_{0}:\beta _{\tau }=0}$${\displaystyle {\hat {\beta _{\tau }}}}$

يمكن تعريف ملاءمة جودة الانحدار الكمي للكمية على النحو التالي: ^[13] حيث هو مجموع مربعات الكمية الشرطية، بينما هو مجموع مربعات الكمية غير المشروطة. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle R^{2}(\tau )=1-{\frac {{\hat {V}}_{\tau }}{{\tilde {V}}_{\tau }}},}$${\displaystyle {\hat {V}}_{\tau }}$${\displaystyle {\tilde {V}}_{\tau }}$

نظرًا لأن الانحدار الكمي لا يفترض عادةً احتمالية معيارية للتوزيعات الشرطية لـ Y|X، فإن الطرق البايزية تعمل باحتمالية عمل. يعد الاحتمال اللابلاسي غير المتماثل خيارًا مناسبًا، ^[14] لأن وضع اللاحق الناتج في ظل مسبق مسطح هو تقديرات الانحدار الكمي المعتادة. ومع ذلك، يجب تفسير الاستدلال اللاحق بعناية. قدم يانغ ووانغ وهي ^[15] تعديلًا للتباين اللاحق للاستدلال الصحيح. بالإضافة إلى ذلك، أظهر يانغ وهي ^[16] أنه يمكن للمرء أن يكون لديه استدلال لاحق صالح بشكل مقارب إذا تم اختيار الاحتمالية العاملة لتكون الاحتمالية التجريبية.

إلى جانب الانحدار الخطي البسيط، هناك العديد من طرق التعلم الآلي التي يمكن توسيعها لتشمل الانحدار الكمي. يسمح التبديل من الخطأ التربيعي إلى دالة خسارة القيمة المطلقة المائلة (المعروفة أيضًا باسم خسارة الكرة والدبابيس ^[17] ) لخوارزميات التعلم القائمة على الانحدار التدرجي بتعلم كمية محددة بدلاً من المتوسط. وهذا يعني أنه يمكننا تطبيق جميع خوارزميات الشبكة العصبية والتعلم العميق على الانحدار الكمي، ^{[18] [19]} والذي يشار إليه بعد ذلك باسم الانحدار الكمي غير المعياري . ^[20] تتوفر أيضًا خوارزميات التعلم القائمة على الشجرة للانحدار الكمي (انظر، على سبيل المثال، غابات الانحدار الكمي، ^[21] كتعميم بسيط للغابات العشوائية ).

إذا كان متغير الاستجابة خاضعًا للرقابة، فلا يمكن تحديد المتوسط ​​الشرطي بدون افتراضات توزيعية إضافية، ولكن غالبًا ما يمكن تحديد النسبة المئوية الشرطية. للاطلاع على العمل الأخير حول الانحدار النسبي الخاضع للرقابة، انظر: Portnoy ^[22] وWang and Wang ^[23]

مثال (2):

دع و . إذن . هذا هو نموذج الانحدار الكمي الخاضع للرقابة: يمكن الحصول على القيم المقدرة دون إجراء أي افتراضات توزيعية، ولكن على حساب الصعوبة الحسابية، ^[24] والتي يمكن تجنب بعضها باستخدام إجراء انحدار كمي خاضع للرقابة بسيط من ثلاث خطوات كتقريب. ^[25]${\displaystyle Y^{c}=\max(0,Y)}$${\displaystyle Q_{Y|X}=X\beta _{\tau }}$${\displaystyle Q_{Y^{c}|X}(\tau )=\max(0,X\beta _{\tau })}$

بالنسبة للرقابة العشوائية على متغيرات الاستجابة، يوفر الانحدار الكمي الخاضع للرقابة لبورتنوي (2003) ^[22] تقديرات متسقة لجميع وظائف الكميات القابلة للتحديد بناءً على إعادة ترجيح كل نقطة خاضعة للرقابة بشكل مناسب.

يرتبط الانحدار الكمي الخاضع للرقابة ارتباطًا وثيقًا بتحليل البقاء على قيد الحياة .

يجب تعديل خسارة الانحدار الكمي في وجود أخطاء غير متجانسة التباين لكي تكون فعالة . ^[26]

تتضمن العديد من حزم البرامج الإحصائية تنفيذات الانحدار الكمي:

• دالة ماتلاب quantreg^[27]
• لدى gretlquantreg الأمر. ^[28]
• تقدم R عدة حزم تنفذ الانحدار الكمي، وأبرزها quantregحزمة Roger Koenker ، ^[29] ولكن أيضًا حزمة ^[30]gbm وحزمة [ 31 ^{] وحزمة [32]} وحزمة ^[33] quantregForest qrnnqgam
• بايثون ، عبر Scikit-garden^[34] و statsmodels^[35]
• SAS حتى proc quantreg(الإصدار 9.2) ^[36] و proc quantselect(الإصدار 9.3). ^[37]
• Stata ، عبر qregالأمر. ^{[38] [39]}
• Vowpal Wabbit ، عبر --loss_function quantile. ^[40]
• حزمة Mathematica QuantileRegression.m^[41] مستضافة في مشروع MathematicaForPrediction على GitHub.
• وظيفة لغة Wolfram QuantileRegression^[42] مستضافة في مستودع وظائف Wolfram.

• انحدار أقل الانحرافات المطلقة
• التنبؤ المطابق

• أنغريست، جوشوا د .؛ بيشكي، يورن-ستيفن (2009). "الانحدار الكمي". القياس الاقتصادي غير الضار في الغالب: رفيق تجريبي . مطبعة جامعة برينستون. ص  269- 291. رقم ISBN 978-0-691-12034-8.
• كوينكر، روجر (2005). الانحدار الكمي. مطبعة جامعة كامبريدج. رقم ISBN 978-0-521-60827-5.