الفضاء ثنائي الأبعاد

الفضاء ثنائي الأبعاد هو فضاء رياضي ذو بُعدين ، أي أن النقاط فيه لها درجتان من الحرية : يمكن وصف مواقعها محليًا بإحداثيين، أو يمكنها التحرك في اتجاهين مستقلين. تُسمى الفضاءات ثنائية الأبعاد الشائعة غالبًا بالمستويات (وخاصة المستوى الإقليدي )، أو بشكل أعم، بالأسطح . وتشمل هذه الفضاءات نظائر للفضاءات الفيزيائية، مثل المستويات المستوية، والأسطح المنحنية مثل الكرات والأسطوانات والمخاريط، والتي قد تكون لانهائية أو محدودة. بعض الفضاءات الرياضية ثنائية الأبعاد لا تُستخدم لتمثيل المواقع الفيزيائية، مثل المستوى الأفيني أو المستوى المركب .

أبسط مثال على ذلك هو المستوى الإقليدي المسطح ، وهو تمثيل مثالي لسطح مستوٍ في الفضاء المادي ، مثل ورقة أو سبورة. في المستوى الإقليدي، يمكن توصيل أي نقطتين بخط مستقيم واحد فقط، ويمكن قياس المسافة بينهما . الفضاء مسطح لأن أي خطين يقطعهما خط ثالث عمودي عليهما يكونان متوازيين ، أي أنهما لا يتقاطعان أبدًا ويظلان على مسافة متساوية من بعضهما.

يمكن أن تكون الفضاءات ثنائية الأبعاد منحنية ، مثل الكرة والمستوى الزائدي ، حيث تبدو أجزاء صغيرة منها كالمستوى المسطح، ولكن الخطوط المستقيمة المتوازية محليًا لا تبقى على مسافة متساوية، بل تتقارب أو تتباعد في النهاية. تُسمى الفضاءات ثنائية الأبعاد ذات مفهوم المسافة الإقليدي محليًا، والتي قد يكون لها انحناء غير منتظم، بالأسطح الريمانية . (لا ينبغي الخلط بينها وبين أسطح ريمان ). بعض الأسطح مُضمنة في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد أو فضاء محيط آخر ، وترث بنيتها منه؛ على سبيل المثال، تحتوي الأسطح المُسطّرة كالأسطوانة والمخروط على خط مستقيم يمر بكل نقطة، وتُقلل الأسطح الدنيا مساحتها محليًا، كما هو الحال في أغشية الصابون .

تبدو الأسطح اللورنتزية محليًا كشريحة ثنائية الأبعاد من الزمكان النسبي مع بُعد مكاني واحد وبُعد زمني واحد؛ ومن الأمثلة ذات الانحناء الثابت المستوى اللورنتزي المسطح (وهو فضاء فرعي ثنائي الأبعاد من فضاء مينكوفسكي ) ومستويات دي سيتر ومضاد دي سيتر المنحنية .

تُعدّل أنواع أخرى من المستويات والأسطح الرياضية أو تُلغي البنى التي تُعرّف المستوى الإقليدي. فعلى سبيل المثال، يحتوي المستوى الأفيني على مفهوم الخطوط المتوازية، لكنه لا يحتوي على مفهوم المسافة؛ ومع ذلك، يُمكن مقارنة المساحات المُوَجَّهة بشكلٍ ذي معنى، كما هو الحال في السطح التبسيطي الأكثر عمومية . أما المستوى الإسقاطي فيُلغي كلاً من المسافة والتوازي. ويحتوي الفضاء المتري ثنائي الأبعاد على مفهوم للمسافة، لكنه لا يُشترط أن يُطابق نظيره الإقليدي. ويمكن تمديد السطح الطوبولوجي أو لفه أو ثنيه دون تغيير خصائصه الأساسية. والسطح الجبري هو مجموعة ثنائية الأبعاد من حلول نظام من المعادلات متعددة الحدود .

تتميز بعض الفضاءات الرياضية ببنية حسابية إضافية مرتبطة بنقاطها. المستوى المتجهي هو مستوى تآلفي، تتضمن نقاطه، المسماة متجهات ، نقطة أصل خاصة أو متجه صفري. يمكن جمع المتجهات أو ضربها بعدد، وقد يكون لها مفهوم المسافة الإقليدي أو اللورنتزي أو الغاليلي. أما المستوى المركب ، ومستوى الأعداد الزائدية ، ومستوى الأعداد الثنائية ، فلكل منها نقاط تُعتبر أعدادًا بحد ذاتها، ويمكن جمعها وضربها. يظهر سطح ريمان أو سطح لورنتز محليًا كما يظهر المستوى المركب أو مستوى الأعداد الزائدية، على التوالي.

غالبًا ما تُعرَّف الفضاءات الرياضية أو تُمثَّل باستخدام الأرقام بدلًا من البديهيات الهندسية . يُعدّ فضاء الإحداثيات الحقيقية ، الذي يُرمز له بـ ℝ، أحد أهم الفضاءات ثنائية الأبعاد.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$يتكون من أزواج من إحداثيات الأعداد الحقيقية . في بعض الأحيان، يمثل الفضاء كميات عشوائية بدلاً من المواضع الهندسية، كما هو الحال في فضاء المعلمات لنموذج رياضي أو فضاء التكوين لنظام فيزيائي.

• هارتشورن، روبن (2000). الهندسة: إقليدس وما بعده . سبرينغر. doi : 10.1007/978-0-387-22676-7 . ISBN 0-387-98650-2.
• كينزي، لورا كريستين (1993). طوبولوجيا الأسطح . سبرينغر. doi : 10.1007/978-1-4612-0899-0 . ISBN 0-387-94102-9.
• نيدهام، تريستان (2021). الهندسة التفاضلية المرئية والأشكال . برينستون. ISBN 0-691-20370-9.
• ستيلويل، جون (1992). هندسة الأسطح . سبرينغر. doi : 10.1007/978-1-4612-0929-4 . ISBN 0-387-97743-0.
• ياغلوم، إسحاق مويسيفيتش (1968) [1963]. الأعداد المركبة في الهندسة . ترجمة بريمروز، إريك جيه إف. دار النشر الأكاديمية. LCCN 66-26269 .