التسارع (النسبية الخاصة)

تُحسب التسارعات في النسبية الخاصة ، كما هو الحال في الميكانيكا النيوتونية ، عن طريق تفاضل السرعة بالنسبة للزمن . ومع ذلك، وبسبب تحويل لورنتز وتمدد الزمن ، تصبح مفاهيم الزمن والمسافة أكثر تعقيدًا، مما يؤدي أيضًا إلى تعريفات أكثر تعقيدًا لمفهوم "التسارع".

يمكن اشتقاق صيغ تحويل للتسارعات العادية في ثلاثة أبعاد مكانية ( التسارع الثلاثي أو تسارع الإحداثيات ) كما تُقاس في إطار مرجعي قصوري خارجي ، وكذلك للحالة الخاصة للتسارع الذاتي المقاس بواسطة مقياس تسارع متحرك . ومن الصيغ المفيدة الأخرى التسارع الرباعي ، حيث يمكن ربط مكوناته في أطر مرجعية قصورية مختلفة بتحويل لورنتز. كما يمكن صياغة معادلات حركة تربط بين التسارع والقوة .

تُستنتج معادلاتٌ لأنواعٍ عديدةٍ من تسارع الأجسام وخطوطها المنحنية من هذه الصيغ بالتكامل . ومن الحالات الخاصة المعروفة الحركة القطعية ذات التسارع الطولي الذاتي الثابت، أو الحركة الدائرية المنتظمة . وفي نهاية المطاف، يُمكن وصف هذه الظواهر في أطرٍ مُتسارعةٍ في سياق النسبية الخاصة، انظر الإطار المرجعي الذاتي (الزمكان المُسطّح) . في هذه الأطر، تنشأ تأثيراتٌ تُشابه حقول الجاذبية المتجانسة ، والتي تتشابه شكليًا مع حقول الجاذبية الحقيقية غير المتجانسة للزمكان المنحني في النسبية العامة. في حالة الحركة القطعية، يُمكن استخدام إحداثيات ريندل ، وفي حالة الحركة الدائرية المنتظمة، يُمكن استخدام إحداثيات بورن .

فيما يتعلق بالتطور التاريخي، يمكن العثور على المعادلات النسبية التي تحتوي على تسارعات في السنوات الأولى للنسبية، كما هو ملخص في الكتب المدرسية المبكرة لماكس فون لاو (1911، 1921) ^{[ 1 ]} أو فولفغانغ باولي (1921). ^{[ 2 ]} على سبيل المثال، طُوِّرت معادلات الحركة وتحويلات التسارع في أوراق هندريك أنطون لورنتز (1899، 1904)، ^{[ H1 ] [ H2 ]} وهنري بوانكاريه (1905)، ^{[ H3 ] [ H4 ]} وألبرت أينشتاين (1905)، ^{[ H5 ]} وماكس بلانك (1906)، ^{[ H6 ]} ، كما حُلِّلت التسارعات الأربعة، والتسارع الذاتي، والحركة الزائدية، وأطر الإسناد المتسارعة، وصلابة بورن ، بواسطة أينشتاين (1907)، ^{[ H7 ]} وهيرمان مينكوفسكي (1907، 1908)، ^{[ H8 ] [ H9 ]} وماكس بورن (1909)، ^{[ H10 ]} وجوستاف هيرغلوتز (1909)، ^{[ H11 ] [ H12 ]} وأرنولد سومرفيلد (1910)، ^{[ H13 ] [ ح 14 ]} فون لاو (1911)، ^{[ ح 15 ] [ ح 16 ]} فريدريش كوتلر (1912، 1914)، ^{[ ح 17 ]} انظر قسم التاريخ .

تظل النسبية الخاصة، بوصفها نظرية الزمكان المسطح لمينكوفسكي، صالحة في وجود التسارعات، لأن النسبية العامة لا تُطلب إلا عند وجود انحناء في الزمكان ناتج عن موتر الطاقة-الزخم (الذي تحدده الكتلة بشكل أساسي ). ومع ذلك، ولأن مقدار انحناء الزمكان ليس مرتفعًا بشكل خاص على الأرض أو في جوارها، تظل النسبية الخاصة صالحة لمعظم الأغراض العملية، مثل التجارب في مسرعات الجسيمات . ^{[ 3 ]}

وفقًا لكل من الميكانيكا النيوتونية والنسبية الخاصة، التسارع الثلاثي أو التسارع الإحداثي${\displaystyle \mathbf {a} =\left(a_{x},\ a_{y},\ a_{z}\right)}$هي المشتقة الأولى للسرعة${\displaystyle \mathbf {u} =\left(u_{x},\ u_{y},\ u_{z}\right)}$فيما يتعلق بالوقت الإحداثي أو المشتق الثاني للموقع${\displaystyle \mathbf {r} =\left(x,\ y,\ z\right)}$فيما يتعلق بتوقيت الإحداثيات:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {u} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$.

ومع ذلك، تختلف النظريات اختلافًا كبيرًا في تنبؤاتها فيما يتعلق بالعلاقة بين التسارعات الثلاثة المقاسة في أطر مرجعية قصورية مختلفة. في الميكانيكا النيوتونية، يكون الزمن مطلقًا.${\displaystyle t'=t}$وفقًا لتحويل جاليليو ، فإن التسارع الثلاثي المشتق منه يكون متساويًا أيضًا في جميع الأطر المرجعية العطالية: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '}$.

على النقيض من ذلك في SR، كلاهما${\displaystyle \mathbf {r} }$و${\displaystyle t}$يعتمد ذلك على تحويل لورنتز، وبالتالي فهو يعتمد أيضًا على التسارع الثلاثي${\displaystyle \mathbf {a} }$وتختلف مكوناتها في الأطر المرجعية العطالية المختلفة. عندما تكون السرعة النسبية بين الأطر موجهة في اتجاه المحور السيني بواسطة${\displaystyle v=v_{x}}$مع${\displaystyle \gamma _{v}=1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$كعامل لورنتز ، يكون لتحويل لورنتز الشكل التالي:

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}x'&=\gamma _{v}(x-vt)\\y'&=y\\z'&=z\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}x&=\gamma _{v}(x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'\right)\end{aligned}}\end{array}}}$

1أ

أو للسرعات العشوائية${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{x},\ v_{y},\ v_{z}\right)}$من حيث الحجم${\displaystyle |\mathbf {v} |=v}$: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +\mathbf {v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r\cdot v} \right)}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)-t\gamma _{v}\right]\\t^{\prime }&=\gamma _{v}\left(t-{\frac {\mathbf {r\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+\mathbf {v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r'\cdot v} \right)}{v^{2}}}\left(\gamma _{v}-1\right)+t'\gamma _{v}\right]\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {\mathbf {r'\cdot v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{array}}}$

1ب

لإيجاد تحويل التسارع الثلاثي، يجب اشتقاق الإحداثيات المكانية${\displaystyle \mathbf {r} }$و${\displaystyle \mathbf {r} '}$تحويل لورنتز بالنسبة إلى${\displaystyle t}$و${\displaystyle t'}$ومنها يتم تحويل السرعات الثلاث (وتسمى أيضًا صيغة جمع السرعات ) بين${\displaystyle \mathbf {u} }$و${\displaystyle \mathbf {u} '}$ويتبع ذلك، وفي النهاية من خلال تمايز آخر فيما يتعلق بـ${\displaystyle t}$و${\displaystyle t'}$تحويل التسارع الثلاثي بين${\displaystyle \mathbf {a} }$و${\displaystyle \mathbf {a} '}$يتبع ذلك. بدءًا من ( 1أ )، تعطي هذه العملية التحويل حيث تكون التسارعات موازية (اتجاه x) أو عمودية (اتجاه y، z) على السرعة: ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ H4 ] [ H15 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}a_{x}^{\prime }&={\frac {a_{x}}{\gamma _{v}^{3}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}^{\prime }&={\frac {a_{y}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {a_{x}{\frac {u_{y}v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{z}^{\prime }&={\frac {a_{z}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{2}}}+{\frac {a_{x}{\frac {u_{z}v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&={\frac {a_{x}^{\prime }}{\gamma _{v}^{3}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{y}&={\frac {a_{y}^{\prime }}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {a_{x}^{\prime }{\frac {u_{y}^{\prime }v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{z}&={\frac {a_{z}^{\prime }}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {a_{x}^{\prime }{\frac {u_{z}^{\prime }v}{c^{2}}}}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}\end{array}}}$

1 ج

أو بدءًا من ( 1ب ) تعطي هذه العملية النتيجة للحالة العامة للاتجاهات العشوائية للسرعات والتسارعات: ^{[ 10 ] [ 11 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} '&={\frac {\mathbf {a} }{\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a\cdot v)v} \left(\gamma _{v}-1\right)}{v^{2}\gamma _{v}^{3}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{3}}}+{\frac {\mathbf {(a\cdot v)u} }{c^{2}\gamma _{v}^{2}\left(1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}\right)^{3}}}\\\mathbf {a} &={\frac {\mathbf {a} '}{\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)v} \left(\gamma _{v}-1\right)}{v^{2}\gamma _{v}^{3}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{3}}}-{\frac {\mathbf {(a'\cdot v)u} '}{c^{2}\gamma _{v}^{2}\left(1+{\frac {\mathbf {v\cdot u} '}{c^{2}}}\right)^{3}}}\end{aligned}}}$

يوم واحد

هذا يعني أنه إذا كان هناك إطاران مرجعيان قصوريان${\displaystyle S}$و${\displaystyle S'}$بسرعة نسبية${\displaystyle \mathbf {v} }$ثم في${\displaystyle S}$التسارع${\displaystyle \mathbf {a} }$لجسم ذي سرعة لحظية${\displaystyle \mathbf {u} }$يتم قياسه، بينما في${\displaystyle S'}$يمتلك الجسم نفسه تسارعًا${\displaystyle \mathbf {a} '}$وله سرعة لحظية${\displaystyle \mathbf {u} '}$وكما هو الحال مع صيغ جمع السرعة، فإن تحويلات التسارع هذه تضمن أيضًا أن السرعة الناتجة للجسم المتسارع لا يمكن أن تصل أبدًا إلى سرعة الضوء أو تتجاوزها .

إذا تم استخدام أربعة متجهات بدلاً من ثلاثة متجهات، أي${\displaystyle \mathbf {R} }$كأربعة أوضاع و${\displaystyle \mathbf {U} }$باعتبارها سرعة رباعية ، ثم تسارع رباعي${\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{t},\ A_{x},\ A_{y},\ A_{z}\right)=\left(A_{t},\ \mathbf {A} _{r}\right)}$يتم الحصول على خصائص الجسم عن طريق التفاضل بالنسبة للزمن الخاص${\displaystyle \mathbf {\tau } }$بدلاً من إحداثيات الوقت: ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}={\frac {d^{2}\mathbf {R} }{d\tau ^{2}}}=\left(c{\frac {d^{2}t}{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{d\tau ^{2}}}\right)\\&=\left(\gamma ^{4}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}},\ \gamma ^{4}{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}+\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)\end{aligned}}}$

2أ

أين${\displaystyle \mathbf {a} }$هو التسارع الثلاثي للجسم و${\displaystyle \mathbf {u} }$سرعتها اللحظية الثلاثية المقدار${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$مع عامل لورنتز المقابل${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}}$إذا تم النظر فقط في الجزء المكاني، وعندما تكون السرعة موجهة في اتجاه المحور السيني بواسطة${\displaystyle u=u_{x}}$وإذا تم أخذ التسارعات الموازية (اتجاه x) أو العمودية (اتجاه y، z) للسرعة في الاعتبار فقط، فإن التعبير يختزل إلى: ^{[ 15 ] [ 16 ]}

${\displaystyle \mathbf {A} _{r}=\mathbf {a} \left(\gamma ^{4},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)}$

بخلاف التسارع الثلاثي الذي نوقش سابقًا، ليس من الضروري اشتقاق تحويل جديد للتسارع الرباعي، لأنه كما هو الحال مع جميع المتجهات الرباعية، فإن مكونات${\displaystyle \mathbf {A} }$و${\displaystyle \mathbf {A} '}$في إطارين مرجعيين قصوريين بسرعة نسبية${\displaystyle v}$ترتبط هذه المتجهات بتحويل لورنتز مماثل لـ ( 1أ ، 1ب ). ومن خصائص المتجهات الرباعية الأخرى ثبات الضرب الداخلي.${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}=-A_{t}^{2}+\mathbf {A} _{r}^{2}}$أو حجمها${\displaystyle |\mathbf {A} |={\sqrt {\mathbf {A} ^{2}}}}$، وهو ما يعطي في هذه الحالة: ^{[ 16 ] [ 13 ] [ 17 ]}

${\displaystyle |\mathbf {A} '|=|\mathbf {A} |={\sqrt {\gamma ^{4}\left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right]}}}$.

2ب

في فترات زمنية متناهية الصغر، يوجد دائمًا إطار مرجعي قصوري واحد، له لحظيًا نفس سرعة الجسم المتسارع، وتسري فيه تحويلات لورنتز. التسارع الثلاثي المقابل${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}=\left(a_{x}^{0},\ a_{y}^{0},\ a_{z}^{0}\right)}$في هذه الأطر، يمكن قياس التسارع مباشرةً بواسطة مقياس التسارع، ويُسمى التسارع الذاتي ^{[ 18 ] [ H 14 ]} أو تسارع السكون. ^{[ 19 ] [ H 12 ]} علاقة${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$في إطار قصوري لحظي${\displaystyle S'}$و${\displaystyle \mathbf {a} }$تم قياسها في إطار مرجعي خارجي قصوري${\displaystyle S}$ويستنتج من ( 1ج ، 1د ) مع${\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} ^{0}}$،${\displaystyle \mathbf {u} '=0}$،${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$و${\displaystyle \gamma =\gamma _{v}}$لذا، وفقًا للمعادلة ( 1ج )، عندما تكون السرعة موجهة في اتجاه المحور السيني بواسطة${\displaystyle u=u_{x}=v=v_{x}}$وعندما يتم النظر فقط في التسارعات الموازية (اتجاه x) أو العمودية (اتجاه y، z) للسرعة، فإنه يتبع: ^{[ 12 ] [ 19 ] [ 18 ] [ H 1 ] [ H 2 ] [ H 14 ] [ H 12 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}a_{x}^{0}&={\frac {a_{x}}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}\\a_{y}^{0}&={\frac {a_{y}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\a_{z}^{0}&={\frac {a_{z}}{1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&=a_{x}^{0}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}\\a_{y}&=a_{y}^{0}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)\\a_{z}&=a_{z}^{0}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {a} ^{0}&=\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)\\\mathbf {a} &=\mathbf {\mathbf {a} } ^{0}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma ^{2}}},\ {\frac {1}{\gamma ^{2}}}\right)\end{aligned}}\end{array}}}$

3أ

معممة بواسطة ( 1د ) للاتجاهات العشوائية لـ${\displaystyle \mathbf {u} }$من حيث الحجم${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$[ ^{20 ] [ 21 ] [ 17 ]​}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ^{0}&=\gamma ^{2}\left[\mathbf {a} +{\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(\gamma -1\right)\right]\\\mathbf {a} &={\frac {1}{\gamma ^{2}}}\left[\mathbf {a} ^{0}-{\frac {(\mathbf {a} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\right]\end{aligned}}}$

توجد أيضًا علاقة وثيقة بمقدار التسارع الرباعي: بما أنه ثابت، يمكن تحديده في الإطار المرجعي العطالي اللحظي${\displaystyle S'}$، حيث${\displaystyle \mathbf {A} _{r}^{\prime }=\mathbf {a} ^{0}}$وبواسطة${\displaystyle dt'/d\tau =1}$ويتبع ذلك${\displaystyle d^{2}t'/d\tau ^{2}=A_{t}^{\prime }=0}$: ^{[ 19 ] [ 12 ] [ 22 ] [ H 16 ]}

${\displaystyle |\mathbf {A} '|={\sqrt {0+\left.\mathbf {a} ^{0}\right.^{2}}}=|\mathbf {a} ^{0}|}$.

3ب

وبالتالي، فإن مقدار التسارع الرباعي يتوافق مع مقدار التسارع الذاتي. وبدمج هذا مع ( 2ب )، نحصل على طريقة بديلة لتحديد العلاقة بين${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$في${\displaystyle S'}$و${\displaystyle \mathbf {a} }$في${\displaystyle S}$معطى، وهو ^{[ 13 ] [ 17 ]}

${\displaystyle |\mathbf {a} ^{0}|=|\mathbf {A} |={\sqrt {\gamma ^{4}\left[\mathbf {a} ^{2}+\gamma ^{2}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right)^{2}\right]}}}$

ومن ثمّ ( 3أ ) مرة أخرى عندما تكون السرعة موجهة في اتجاه المحور السيني بواسطة${\displaystyle u=u_{x}}$ويتم النظر فقط في التسارعات الموازية (اتجاه x) أو العمودية (اتجاه y، z) للسرعة.

بافتراض ثبات الكتلة${\displaystyle m}$القوى الأربع${\displaystyle \mathbf {F} }$كدالة للقوة الثلاثية${\displaystyle \mathbf {f} }$يرتبط بالتسارع الرباعي ( 2a ) من خلال${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {A} }$وبالتالي: ^{[ 23 ] [ 24 ]}

${\displaystyle \mathbf {F} =\left(\gamma {\frac {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }{c}},\ \gamma \mathbf {f} \right)=m\mathbf {A} =m\left(\gamma ^{4}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}\right),\ \gamma ^{4}\left({\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c^{2}}}\right)\mathbf {u} +\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)}$

4أ

وبالتالي فإن العلاقة بين القوى الثلاث والتسارعات الثلاثة لاتجاهات السرعة العشوائية هي ^{[ 25 ] [ 26 ] [ 23 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} \\\mathbf {a} &={\frac {1}{m\gamma }}\left(\mathbf {f} -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

4ب

عندما تكون السرعة موجهة في اتجاه المحور السيني بواسطة${\displaystyle u=u_{x}}$ويتم النظر فقط في التسارعات الموازية (اتجاه x) أو العمودية (اتجاه y، z) للسرعة ^{[ 27 ] [ 26 ] [ 23 ] [ H2 ] [ H6 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {ma_{x}}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}\\f_{y}&={\frac {ma_{y}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\\f_{z}&={\frac {ma_{z}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}a_{x}&={\frac {f_{x}}{m}}\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}\\a_{y}&={\frac {f_{y}}{m}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\a_{z}&={\frac {f_{z}}{m}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {f} &=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ,\ \gamma \right)\\\mathbf {a} &={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}\end{array}}}$

4 ج

لذا، فإن تعريف نيوتن للكتلة كنسبة بين ثلاثة قوى وثلاثة تسارعات غير مناسب في النسبية الخاصة، لأن هذه الكتلة ستعتمد على كل من السرعة والاتجاه. ونتيجة لذلك، لم تعد تعريفات الكتلة التالية المستخدمة في الكتب الدراسية القديمة مستخدمة: ^{[ 27 ] [ 28 ] [ H2 ]}

${\displaystyle m_{\Vert }={\frac {f_{x}}{a_{x}}}=m\gamma ^{3}}$باعتبارها "كتلة طولية"،

${\displaystyle m_{\perp }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma }$باعتبارها " كتلة مستعرضة ".

يمكن أيضًا الحصول على العلاقة ( 4ب ) بين التسارع الثلاثي والقوة الثلاثية من معادلة الحركة ^{[ 29 ] [ 25 ] [ H2 ] [ H6 ]}

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}={\frac {d(m\gamma )}{dt}}\mathbf {u} +m\gamma {\frac {d\mathbf {u} }{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} }$

4d

أين${\displaystyle \mathbf {p} }$هو الزخم الثلاثي. التحويل المقابل للقوة الثلاثية بين${\displaystyle \mathbf {f} }$في${\displaystyle S}$و${\displaystyle \mathbf {f} '}$في${\displaystyle S'}$(عندما تكون السرعة النسبية بين الإطارات موجهة في اتجاه المحور السيني بواسطة${\displaystyle v=v_{x}}$ويتم حساب التسارعات الموازية (في اتجاه المحور السيني) أو العمودية (في اتجاهي المحورين الصادي والعيني) للسرعة فقط، وذلك عن طريق استبدال صيغ التحويل ذات الصلة.${\displaystyle \mathbf {u} }$،${\displaystyle \mathbf {a} }$،${\displaystyle m\gamma }$،${\displaystyle d(m\gamma )/dt}$أو من مكونات لورنتز المحولة للقوة الرباعية، مع النتيجة التالية: ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 24 ] [ H3 ] [ H15 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}f_{x}^{\prime }&={\frac {f_{x}-{\frac {v}{c^{2}}}(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )}{1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}}}\\f_{y}^{\prime }&={\frac {f_{y}}{\gamma _{v}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)}}\\f_{z}^{\prime }&={\frac {f_{z}}{\gamma _{v}\left(1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}\right)}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}f_{x}&={\frac {f_{x}^{\prime }+{\frac {v}{c^{2}}}(\mathbf {f} ^{\prime }\cdot \mathbf {u} ^{\prime })}{1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}}}\\f_{y}&={\frac {f_{y}^{\prime }}{\gamma _{v}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)}}\\f_{z}&={\frac {f_{z}^{\prime }}{\gamma _{v}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)}}\end{aligned}}\end{array}}}$

4هـ

أو معممة لاتجاهات عشوائية من${\displaystyle \mathbf {u} }$، إلى جانب${\displaystyle \mathbf {v} }$بحجم${\displaystyle |\mathbf {v} |=v}$:^[31][32]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} '&={\frac {{\frac {\mathbf {f} }{\gamma _{v}}}-\left\{(\mathbf {f\cdot u} ){\frac {v^{2}}{c^{2}}}-(\mathbf {f\cdot v} )\left(1-{\frac {1}{\gamma _{v}}}\right)\right\}{\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}}{1-{\frac {\mathbf {v\cdot u} }{c^{2}}}}}\\\mathbf {f} &={\frac {{\frac {\mathbf {f} '}{\gamma _{v}}}+\left\{(\mathbf {f'\cdot u} '){\frac {v^{2}}{c^{2}}}+(\mathbf {f'\cdot v} )\left(1-{\frac {1}{\gamma _{v}}}\right)\right\}{\frac {\mathbf {v} }{v^{2}}}}{1+{\frac {\mathbf {v\cdot u'} }{c^{2}}}}}\end{aligned}}}$

4f

The force ${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}}$ in a momentary inertial frame measured by a comoving spring balance can be called proper force.^[33][34] It follows from (4e, 4f) by setting ${\displaystyle \mathbf {f} '=\mathbf {f} ^{0}}$ and ${\displaystyle \mathbf {u} '=0}$ as well as ${\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {v} }$ and ${\displaystyle \gamma =\gamma _{v}}$. Thus by (4e) where only accelerations parallel (x-direction) or perpendicular (y-, z-direction) to the velocity ${\displaystyle u=u_{x}=v=v_{x}}$ are considered:^[35][33][34]

${\displaystyle {\begin{array}{c|c|cc}{\begin{aligned}f_{x}^{0}&=f_{x}\\f_{y}^{0}&={\frac {f_{y}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\\f_{z}^{0}&={\frac {f_{z}}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}f_{x}&=f_{x}^{0}\\f_{y}&=f_{y}^{0}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\\f_{z}&=f_{z}^{0}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}&{\text{or}}&{\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)\\\mathbf {f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}\end{array}}}$

5a

Generalized by (4f) for arbitrary directions of ${\displaystyle \mathbf {u} }$ of magnitude ${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$:^[35][36]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \gamma -{\frac {(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}(\gamma -1)\\\mathbf {f} &={\frac {\mathbf {f} ^{0}}{\gamma }}+{\frac {(\mathbf {f} ^{0}\cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{u^{2}}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned}}}$

Since in momentary inertial frames one has four-force ${\displaystyle \mathbf {F} =\left(0,\,\mathbf {f} ^{0}\right)}$ and four-acceleration ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(0,\,\mathbf {a} ^{0}\right)}$, equation (4a) produces the Newtonian relation ${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}}$, therefore (3a, 4c, 5a) can be summarized^[37]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=m\mathbf {a} ^{0}=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)\\\mathbf {f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)=m\mathbf {a} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)=m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ,\ \gamma \right)\end{aligned}}}$

5b

By that, the apparent contradiction in the historical definitions of transverse mass ${\displaystyle m_{\perp }}$ can be explained.^[38] Einstein (1905) described the relation between three-acceleration and proper force^{[H 5]}

${\displaystyle m_{\perp \ \mathrm {Einstein} }={\frac {f_{y}^{0}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}^{0}}{a_{z}}}=m\gamma ^{2}}$,

while Lorentz (1899, 1904) and Planck (1906) described the relation between three-acceleration and three-force^{[H 2]}

${\displaystyle m_{\perp \ \mathrm {Lorentz} }={\frac {f_{y}}{a_{y}}}={\frac {f_{z}}{a_{z}}}=m\gamma }$.

By integration of the equations of motion one obtains the curved world lines of accelerated bodies corresponding to a sequence of momentary inertial frames (here, the expression "curved" is related to the form of the worldlines in Minkowski diagrams, which should not be confused with "curved" spacetime of general relativity). In connection with this, the so-called clock hypothesis of clock postulate has to be considered:^[39][40] The proper time of comoving clocks is independent of acceleration, that is, the time dilation of these clocks as seen in an external inertial frame only depends on its relative velocity with respect to that frame. Two simple cases of curved world lines are now provided by integration of equation (3a) for proper acceleration:

a) Hyperbolic motion: The constant, longitudinal proper acceleration ${\displaystyle \alpha =a_{x}^{0}=a_{x}\gamma ^{3}}$يؤدي ( 3أ ) إلى خط العالم ^{[ 12 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 25 ] [ 41 ] [ 42 ] [ H10 ] [ H15 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&t(\tau )={\frac {c}{\alpha }}\sinh {\frac {\alpha \tau }{c}},\quad x(\tau )={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left(\cosh {\frac {\alpha \tau }{c}}-1\right),\quad y=0,\quad z=0,\\&\tau (t)={\frac {c}{\alpha }}\ln \left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}+{\frac {\alpha t}{c}}\right),\quad x(t)={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\sqrt {1+\left({\frac {\alpha t}{c}}\right)^{2}}}-1\right)\end{aligned}}}$

6أ

يتوافق خط العالم مع المعادلة القطعية الزائدة${\displaystyle c^{4}/\alpha ^{2}=\left(x+c^{2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}t^{2}}$ومنها اشتُقّ اسم الحركة الزائدية. تُستخدم هذه المعادلات غالبًا لحساب سيناريوهات مختلفة لمفارقة التوأم أو مفارقة مركبة بيل الفضائية ، أو فيما يتعلق بالسفر إلى الفضاء باستخدام تسارع ثابت .

ب) التسارع الذاتي العرضي الثابت${\displaystyle a_{y}^{0}=a_{y}\gamma ^{2}}$يمكن اعتبار ( 3a ) بمثابة تسارع مركزي ، ^{[ 13 ]} مما يؤدي إلى خط العالم لجسم يدور بشكل منتظم ^{[ 43 ] [ 44 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \Omega _{0}t=r\cos \Omega \tau \\y&=r\sin \Omega _{0}t=r\sin \Omega \tau \\z&=z\\t&=\gamma \tau ={\frac {\tau }{\sqrt {1-\left({\frac {r\Omega _{0}}{c}}\right)^{2}}}}=\tau {\sqrt {1+\left({\frac {r\Omega }{c}}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$

6ب

أين${\displaystyle v=r\Omega _{0}}$هي السرعة المماسية ،${\displaystyle r}$هو نصف قطر المدار،${\displaystyle \Omega _{0}}$تمثل السرعة الزاوية كدالة للزمن الإحداثي، و${\displaystyle \Omega =\gamma \Omega _{0}}$باعتبارها السرعة الزاوية المناسبة.

يمكن تصنيف الخطوط العالمية المنحنية باستخدام الهندسة التفاضلية للمنحنيات الثلاثية، والتي يمكن التعبير عنها بصيغ فرينيه-سيريه في الزمكان . ^{[ 45 ]} على وجه الخصوص، يمكن إثبات أن الحركة القطعية والحركة الدائرية المنتظمة هما حالتان خاصتان من الحركات ذات الانحناءات والالتواءات الثابتة ، ^{[ 46 ]} والتي تحقق شرط صلابة بورن. ^{[ H11 ] [ H17 ]} يُطلق على الجسم اسم جسم صلب بورن إذا ظلت المسافة الزمكانية بين خطوطه العالمية أو نقاطه المتباعدة بشكل متناهي الصغر ثابتة أثناء التسارع.

بدلاً من الأطر المرجعية العطالية، يمكن وصف هذه الحركات المتسارعة والخطوط العالمية المنحنية باستخدام إحداثيات متسارعة أو منحنية . يرتبط الإطار المرجعي المناسب الذي يتم تحديده بهذه الطريقة ارتباطًا وثيقًا بإحداثيات فيرمي . ^{[ 47 ] [ 48 ]} على سبيل المثال، تُسمى إحداثيات الإطار المرجعي المتسارع بشكل زائد أحيانًا بإحداثيات ريندل ، أو تُسمى إحداثيات الإطار المرجعي الدوار بانتظام بالإحداثيات الأسطوانية الدوارة (أو أحيانًا بإحداثيات بورن ). من حيث مبدأ التكافؤ ، فإن التأثيرات الناشئة في هذه الأطر المتسارعة مماثلة للتأثيرات في مجال جاذبية متجانس ووهمي. بهذه الطريقة، يتضح أن استخدام الأطر المتسارعة في النسبية الخاصة يُنتج علاقات رياضية مهمة، والتي (عند تطويرها بشكل أكبر) تلعب دورًا أساسيًا في وصف مجالات الجاذبية الحقيقية غير المتجانسة من حيث الزمكان المنحني في النسبية العامة.

للمزيد من المعلومات انظر فون لاو، ^{[ 1 ]} باولي، ^{[ 2 ]} ميلر، ^{[ 49 ]} زاهر، ^{[ 50 ]} غورغولون، ^{[ 48 ]} والمصادر التاريخية في تاريخ النسبية الخاصة .

1899 :

استنتج هندريك لورنتز ^{[ H1 ]} القيمة الصحيحة (حتى عامل معين).${\displaystyle \epsilon }$العلاقات الخاصة بالتسارعات والقوى والكتل بين أنظمة الجسيمات الكهروستاتيكية الساكنة${\displaystyle S_{0}}$(في أثير ثابت )، ونظام${\displaystyle S}$الخروج منها بإضافة ترجمة، مع${\displaystyle k}$كعامل لورنتز:

${\displaystyle {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}}$،${\displaystyle {\frac {1}{k\varepsilon ^{2}}}}$،${\displaystyle {\frac {1}{k\varepsilon ^{2}}}}$ل${\displaystyle \mathbf {f} /\mathbf {f} ^{0}}$بواسطة ( 5أ )؛

${\displaystyle {\frac {1}{k^{3}\varepsilon }}}$،${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}\varepsilon }}}$،${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}\varepsilon }}}$ل${\displaystyle \mathbf {a} /\mathbf {a} ^{0}}$بواسطة ( 3أ )؛

${\displaystyle {\frac {k^{3}}{\varepsilon }}}$،${\displaystyle {\frac {k}{\varepsilon }}}$،${\displaystyle {\frac {k}{\varepsilon }}}$ل${\displaystyle \mathbf {f} /(m\mathbf {a} )}$وبالتالي الكتلة الطولية والعرضية بواسطة ( 4ج )؛

أوضح لورنتز أنه لا يملك أي وسيلة لتحديد قيمة${\displaystyle \varepsilon }$لو كان قد حدد${\displaystyle \varepsilon =1}$، كانت تعابيره ستتخذ الشكل النسبي الدقيق.

1904 :

استنتج لورنتز ^{[ H2 ]} العلاقات السابقة بطريقة أكثر تفصيلاً، وتحديداً فيما يتعلق بخصائص الجسيمات الموجودة في النظام.${\displaystyle \Sigma '}$ونظام النقل${\displaystyle \Sigma }$، مع المتغير المساعد الجديد${\displaystyle l}$يساوي${\displaystyle 1/\epsilon }$بالمقارنة مع تلك التي كانت في عام 1899، على النحو التالي:

${\displaystyle {\mathfrak {F}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right){\mathfrak {F}}(\Sigma ')}$ل${\displaystyle \mathbf {f} }$كدالة لـ${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}}$بواسطة ( 5أ )؛

${\displaystyle m{\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left(l^{2},\ {\frac {l^{2}}{k}},\ {\frac {l^{2}}{k}}\right)m{\mathfrak {j}}(\Sigma ')}$ل${\displaystyle m\mathbf {a} }$كدالة لـ${\displaystyle m\mathbf {a} ^{0}}$بواسطة ( 5ب )؛

${\displaystyle {\mathfrak {j}}(\Sigma )=\left({\frac {l}{k^{3}}},\ {\frac {l}{k^{2}}},\ {\frac {l}{k^{2}}}\right){\mathfrak {j}}(\Sigma ')}$ل${\displaystyle \mathbf {a} }$كدالة لـ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}}$بواسطة ( 3أ )؛

${\displaystyle m(\Sigma )=\left(k^{3}l,\ kl,\ kl\right)m(\Sigma ')}$بالنسبة للكتلة الطولية والعرضية كدالة لكتلة السكون بواسطة ( 4c ، 5b ).

هذه المرة، يستطيع لورنتز أن يثبت ذلك.${\displaystyle l=1}$وبذلك تتخذ صيغه الشكل النسبي الدقيق. كما صاغ معادلة الحركة

${\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {F}}={\frac {d{\mathfrak {G}}}{dt}}}}$مع${\displaystyle {\displaystyle {\mathfrak {G}}={\frac {e^{2}}{6\pi c^{2}R}}kl{\mathfrak {w}}}}$

وهو ما يتوافق مع ( 4d ) مع${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}}$، مع${\displaystyle l=1}$،${\displaystyle {\mathfrak {F}}=\mathbf {f} }$،${\displaystyle {\mathfrak {G}}=\mathbf {p} }$،${\displaystyle {\mathfrak {w}}=\mathbf {u} }$،${\displaystyle k=\gamma }$، و${\displaystyle e^{2}/(6\pi c^{2}R)=m}$باعتبارها كتلة سكون كهرومغناطيسية . علاوة على ذلك، جادل بأن هذه الصيغ لا ينبغي أن تنطبق فقط على القوى وكتل الجسيمات المشحونة كهربائياً، ولكن أيضاً على العمليات الأخرى بحيث تظل حركة الأرض عبر الأثير غير قابلة للكشف.

1905 :

قدم هنري بوانكاريه ^{[ H 3 ]} تحويل القوة الثلاثية ( 4e ):

${\displaystyle X_{1}^{\prime }={\frac {k}{l^{3}}}{\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}\left(X_{1}+\epsilon \Sigma X_{1}\xi \right),\quad Y_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Y_{1}}{l^{3}}},\quad Z_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Z_{1}}{l^{3}}}}$

مع${\displaystyle {\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}={\frac {k}{l^{3}}}(1+\epsilon \xi )}$، و${\displaystyle k}$كعامل لورنتز،${\displaystyle \rho }$كثافة الشحنة . أو بالصيغة الحديثة:${\displaystyle \epsilon =v}$،${\displaystyle \xi =u_{x}}$،${\displaystyle \left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f} }$، و${\displaystyle \Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$بصفته لورنتز، قام بـ${\displaystyle l=1}$.

1905 :

استنتج ألبرت أينشتاين ^{[ H 5 ]} معادلات الحركة بناءً على نظريته النسبية الخاصة، والتي تمثل العلاقة بين أطر مرجعية قصورية متساوية الصلاحية دون تدخل الأثير الميكانيكي. وخلص أينشتاين إلى أنه في إطار مرجعي قصوري لحظي${\displaystyle k}$تحتفظ معادلات الحركة بصيغتها النيوتونية:

${\displaystyle \mu {\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}}=\epsilon X',\quad \mu {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Y',\quad \mu {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}=\epsilon Z'}$.

وهذا يتوافق مع${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}=m\mathbf {a} ^{0}}$، لأن${\displaystyle \mu =m}$و${\displaystyle \left({\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\zeta }{d\tau ^{2}}}\right)=\mathbf {a} ^{0}}$و${\displaystyle \left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}}$عن طريق التحول إلى نظام متحرك نسبياً${\displaystyle K}$وقد حصل على المعادلات الخاصة بالمكونات الكهربائية والمغناطيسية التي لوحظت في ذلك الإطار:

${\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta ^{3}}}X,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu }}{\frac {1}{\beta }}\left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)}$.

وهذا يتوافق مع ( 4ج ) مع${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\frac {1}{\gamma ^{3}}},\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)}$، لأن${\displaystyle \mu =m}$و${\displaystyle \left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right)=\mathbf {a} }$و${\displaystyle \left[\epsilon X,\ \epsilon \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right),\ \epsilon \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)\right]=\mathbf {f} }$و${\displaystyle \beta =\gamma }$وبالتالي، حدد أينشتاين الكتلة الطولية والعرضية، على الرغم من أنه ربطها بالقوة.${\displaystyle \left(\epsilon X',\ \epsilon Y',\ \epsilon Z'\right)=\mathbf {f} ^{0}}$في إطار السكون اللحظي الذي تم قياسه بواسطة ميزان زنبركي متحرك، وإلى التسارع الثلاثي${\displaystyle \mathbf {a} }$في النظام${\displaystyle K}$: ^{[ 38 ]}

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}\mu \beta ^{3}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=\epsilon X=\epsilon X'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Y-{\frac {v}{V}}N\right)=\epsilon Y'\\\mu \beta ^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&=\epsilon \beta \left(Z+{\frac {v}{V}}M\right)=\epsilon Z'\end{aligned}}&{\begin{aligned}{\frac {\mu }{\left({\sqrt {1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}\right)^{3}}}&\ {\text{longitudinal mass}}\\\\{\frac {\mu }{1-\left({\frac {v}{V}}\right)^{2}}}&\ {\text{transverse mass}}\end{aligned}}\end{array}}}$

وهذا يتوافق مع ( 5ب ) مع${\displaystyle m\mathbf {a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ^{2},\ \gamma ^{2}\right)=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)=\mathbf {f} ^{0}}$.

1905 :

يقدم بوانكاريه ^{[ H 4 ]} تحويل التسارع الثلاثي ( 1c ):

${\displaystyle {\frac {d\xi ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\xi }{dt}}{\frac {1}{k^{3}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\eta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\eta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\eta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}},\quad {\frac {d\zeta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\zeta }{dt}}{\frac {1}{k^{2}\mu ^{2}}}-{\frac {d\xi }{dt}}{\frac {\zeta \epsilon }{k^{2}\mu ^{3}}}}$

أين${\displaystyle \left(\xi ,\ \eta ,\ \zeta \right)=\mathbf {u} }$إلى جانب${\displaystyle k=\gamma }$و${\displaystyle \epsilon =v}$و${\displaystyle \mu =1+\xi \epsilon =1+u_{x}v}$.

علاوة على ذلك، قدم مفهوم القوة الرباعية بالشكل التالي:

${\displaystyle k_{0}X_{1},\quad k_{0}Y_{1},\quad k_{0}Z_{1},\quad k_{0}T_{1}}$

أين${\displaystyle k_{0}=\gamma _{0}}$و${\displaystyle \left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f} }$و${\displaystyle T_{1}=\Sigma X_{1}\xi =\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$.

1906 :

اشتق ماكس بلانك ^{[ H 6 ]} معادلة الحركة

${\displaystyle {\frac {m{\ddot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}=e{\mathfrak {E}}_{x}-{\frac {e{\dot {x}}}{c^{2}}}\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)\ {\text{etc.}}}$

مع

${\displaystyle e\left({\dot {x}}{\mathfrak {E}}_{x}+{\dot {y}}{\mathfrak {E}}_{y}+{\dot {z}}{\mathfrak {E}}_{z}\right)={\frac {m\left({\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}\right)}{\left(1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}\right)^{3/2}}}}$و${\displaystyle e{\mathfrak {E}}_{x}+{\frac {e}{c}}\left({\dot {y}}{\mathfrak {H}}_{z}-{\dot {z}}{\mathfrak {H}}_{y}\right)=X\ {\text{etc.}}}$

و

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left\{{\frac {m{\dot {x}}}{\sqrt {1-{\frac {q^{2}}{c^{2}}}}}}\right\}=X\ {\text{etc.}}}$

تتوافق المعادلات مع ( 4d ) مع

${\displaystyle \mathbf {f} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\gamma \mathbf {u} )}{dt}}=m\gamma ^{3}\left({\frac {(\mathbf {a} \cdot \mathbf {u} )\mathbf {u} }{c^{2}}}\right)+m\gamma \mathbf {a} }$، مع${\displaystyle X=f_{x}}$و${\displaystyle q=v}$و${\displaystyle {\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}=\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }$، بما يتفق مع تلك التي قدمها لورنتز (1904).

1907 :

قام أينشتاين ^{[ H 7 ]} بتحليل إطار مرجعي متسارع بشكل منتظم وحصل على صيغ لتمدد الزمن المعتمد على الإحداثيات وسرعة الضوء، على غرار تلك التي تم الحصول عليها بواسطة إحداثيات كوتلر-مولر-ريندلير.