هودج ستار أوبير

في بُعدين مع المقياس الإقليدي المعياري والاتجاه المحدد بالترتيب ( x , y ) ، يُعطى نجم هودج على الأشكال k بالصيغة التالية:$${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,1&=dx\wedge dy\\{\star }\,dx&=dy\\{\star }\,dy&=-dx\\{\star }(dx\wedge dy)&=1.\end{aligned}}}$$

من الأمثلة الشائعة لمؤثر هودج النجمي الحالة n = 3 ، حيث يمكن اعتباره بمثابة تناظر بين المتجهات والمتجهات الثنائية. تحديدًا، بالنسبة للفضاء ^{الإقليدي} R³ ذي الأساس${\displaystyle dx,dy,dz}$من بين الأشكال التفاضلية الأحادية التي تُستخدم غالبًا في حساب المتجهات ، نجد أن $${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\,dx&=dy\wedge dz\\{\star }\,dy&=dz\wedge dx\\{\star }\,dz&=dx\wedge dy.\end{aligned}}}$$

تربط نجمة هودج بين الضرب الخارجي والضرب الاتجاهي في ثلاثة أبعاد: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\star }(\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )=\mathbf {u} \times \mathbf {v} \qquad {\star }(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} .}$$عند تطبيقها على ثلاثة أبعاد، توفر نجمة هودج تماثلًا بين المتجهات المحورية والمتجهات الثنائية ، لذلك يرتبط كل متجه محوري a بمتجه ثنائي A والعكس صحيح، أي: ^{[ 3 ]}${\displaystyle \mathbf {A} ={\star }\mathbf {a} ,\ \ \mathbf {a} ={\star }\mathbf {A} }$.

يمكن أيضًا تفسير نجمة هودج على أنها شكل من أشكال التناظر الهندسي بين محور دوران ودوران متناهي الصغر (انظر أيضًا: مجموعة الدوران ثلاثية الأبعاد#جبر لي ) حول المحور، بسرعة تساوي طول محور الدوران. الضرب القياسي على فضاء متجهي${\displaystyle V}$يعطي تماثلًا${\displaystyle V\cong V^{*}\!}$ تحديد${\displaystyle V}$بفضائها المزدوج ، والفضاء المتجهي${\displaystyle L(V,V)}$متماثل بشكل طبيعي مع حاصل الضرب الموتري${\displaystyle V^{*}\!\!\otimes V\cong V\otimes V}$وهكذا بالنسبة لـ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$رسم خرائط النجوم${\textstyle \textstyle {\star }:V\to \bigwedge ^{\!2}\!V\subset V\otimes V}$يأخذ كل متجه${\displaystyle \mathbf {v} }$إلى متجه ثنائي${\displaystyle {\star }\mathbf {v} \in V\otimes V}$، وهو ما يتوافق مع عامل خطي${\displaystyle L_{\mathbf {v} }:V\to V}$. خاصة،${\displaystyle L_{\mathbf {v} }}$هو مؤثر متناظر معكوس ، وهو ما يتوافق مع دوران متناهي الصغر: أي الدورانات الكلية حول المحور${\displaystyle \mathbb {v} }$يتم تحديدها بواسطة الدالة الأسية للمصفوفة${\displaystyle \exp(tL_{\mathbf {v} })}$فيما يتعلق بالأساس${\displaystyle dx,dy,dz}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$، الموتر${\displaystyle dx\otimes dy}$يتوافق مع مصفوفة إحداثيات تحتوي على 1 في${\displaystyle dx}$صف و${\displaystyle dy}$العمود، وما إلى ذلك، والوتد${\displaystyle dx\wedge dy\,=\,dx\otimes dy-dy\otimes dx}$هي المصفوفة المتناظرة المائلة${\displaystyle \scriptscriptstyle \left[{\begin{array}{rrr}\,0\!\!&\!\!1&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,\!-1\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\\[-.5em]\,0\!\!&\!\!0\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!\!\!\end{array}}\!\!\!\right]}$إلخ. أي أنه يمكننا تفسير عامل النجمة على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbf {v} =a\,dx+b\,dy+c\,dz\quad \longrightarrow \quad {\star }{\mathbf {v} }\ \cong \ L_{\mathbf {v} }\ =\left[{\begin{array}{rrr}0&c&-b\\-c&0&a\\b&-a&0\end{array}}\right].}$$ في إطار هذه المراسلات، يتوافق الضرب الاتجاهي للمتجهات مع قوس لي التبادلي للمؤثرات الخطية:${\displaystyle L_{\mathbf {u} \times \mathbf {v} }=L_{\mathbf {v} }L_{\mathbf {u} }-L_{\mathbf {u} }L_{\mathbf {v} }=-\left[L_{\mathbf {u} },L_{\mathbf {v} }\right]}$.

في حالة${\displaystyle n=4}$يعمل نجم هودج كتشاكل داخلي للقوة الخارجية الثانية (أي أنه يحول الأشكال الثنائية إلى أشكال ثنائية أخرى، لأن 4 - 2 = 2 ). إذا كانت إشارة موتر القياس موجبة بالكامل، أي على مشعب ريماني ، فإن نجم هودج يكون انعكاسًا . أما إذا كانت الإشارة مختلطة، أي شبه ريماني ، فإن تطبيق المؤثر مرتين سيعيد الوسيط حتى الإشارة - انظر قسم  الازدواجية أدناه. هذه الخاصية المميزة للتشاكل الداخلي للأشكال الثنائية في أربعة أبعاد تجعل الأشكال الثنائية ذاتية الازدواجية والمضادة للازدواجية الذاتية كائنات هندسية طبيعية للدراسة. أي أنه يمكن وصف فضاء الأشكال الثنائية في أربعة أبعاد بأساس "يقطري" مؤثر نجم هودج بقيم ذاتية.${\displaystyle \pm 1}$(أو${\displaystyle \pm i}$(حسب التوقيع).

وللتوضيح، نناقش مؤثر هودج النجمي في فضاء مينكوفسكي حيث${\displaystyle n=4}$مع التوقيع المتري (− + + +) والإحداثيات${\displaystyle (t,x,y,z)}$يتم توجيه شكل الحجم على النحو التالي${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1}$بالنسبة للصيغ الأحادية ، $${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }dt&=-dx\wedge dy\wedge dz\,,\\{\star }dx&=-dt\wedge dy\wedge dz\,,\\{\star }dy&=-dt\wedge dz\wedge dx\,,\\{\star }dz&=-dt\wedge dx\wedge dy\,,\end{aligned}}}$$ أما بالنسبة للصيغ الثنائية ، $${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }(dt\wedge dx)&=-dy\wedge dz\,,\\{\star }(dt\wedge dy)&=-dz\wedge dx\,,\\{\star }(dt\wedge dz)&=-dx\wedge dy\,,\\{\star }(dx\wedge dy)&=dt\wedge dz\,,\\{\star }(dz\wedge dx)&=dt\wedge dy\,,\\{\star }(dy\wedge dz)&=dt\wedge dx\,.\end{aligned}}}$$

يتم تلخيص هذه في رمز الفهرس كما يلي $${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }(dx^{\mu })&=\eta ^{\mu \lambda }\varepsilon _{\lambda \nu \rho \sigma }{\frac {1}{3!}}dx^{\nu }\wedge dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,,\\{\star }(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })&=\eta ^{\mu \kappa }\eta ^{\nu \lambda }\varepsilon _{\kappa \lambda \rho \sigma }{\frac {1}{2!}}dx^{\rho }\wedge dx^{\sigma }\,.\end{aligned}}}$$

يمكن استنتاج ثنائية هودج للأشكال الثلاثية والرباعية بسهولة من حقيقة أنه في التوقيع اللورنتزي،${\displaystyle {\star }^{2}=1}$بالنسبة للأشكال ذات الرتبة الفردية و${\displaystyle {\star }^{2}=-1}$بالنسبة للصيغ ذات الرتبة الزوجية. القاعدة السهلة التي يجب تذكرها لعمليات هودج هذه هي أنه بالنظر إلى صيغة${\displaystyle \alpha }$، ثنائي هودج${\displaystyle {\star }\alpha }$يمكن الحصول عليها عن طريق كتابة المكونات غير المشاركة في${\displaystyle \alpha }$بترتيب بحيث${\displaystyle \alpha \wedge ({\star }\alpha )=dt\wedge dx\wedge dy\wedge dz}$ستدخل علامة ناقص إضافية فقط إذا${\displaystyle \alpha }$يتضمن${\displaystyle dt}$(بالنسبة لـ (+ − − −) ، يتم وضع علامة الطرح فقط إذا${\displaystyle \alpha }$يتضمن عددًا فرديًا من الأشكال المرتبطة بالفضاء${\displaystyle dx}$،${\displaystyle dy}$و${\displaystyle dz}$.)

لاحظ أن التركيبات $${\displaystyle (dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }:={\frac {1}{2}}{\big (}dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }\mp i{\star }(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu }){\big )}}$$ يأخذ${\displaystyle \pm i}$باعتبارها القيمة الذاتية لمؤثر هودج النجمي، أي $${\displaystyle {\star }(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm }=\pm i(dx^{\mu }\wedge dx^{\nu })^{\pm },}$$ ولذا تستحق هذه الأشكال اسم الأشكال الثنائية ذاتية التناظر والمضادة للتناظر الذاتي. إن فهم هندسة أو حركية فضاء مينكوفسكي في القطاعات ذاتية التناظر والمضادة للتناظر الذاتي يُعدّ ذا فائدة كبيرة من الناحيتين الرياضية والفيزيائية ، إذ يربط بين استخدام لغة الدوران الثنائي في الفيزياء الحديثة، مثل صيغة الدوران الحلزوني أو نظرية التويستر .

نجمة هودج ثابتة توافقياً على الأشكال من الرتبة n في فضاء متجهي ذي 2n بُعد .${\displaystyle V}$أي إذا${\displaystyle g}$هو مقياس على${\displaystyle V}$و${\displaystyle \lambda >0}$ثم نجوم هودج المستحثة $${\displaystyle {\star }_{g},{\star }_{\lambda g}:\Lambda ^{n}V\to \Lambda ^{n}V}$$ هما متماثلان.

مزيج من${\displaystyle {\star }}$يُولّد المؤثر والمشتق الخارجي d المؤثرات الكلاسيكية grad و curl و div على حقول المتجهات في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد. ويتحقق ذلك كما يلي: يُحوّل d الشكل الصفري (دالة) إلى شكل أحادي، والشكل الأحادي إلى شكل ثنائي، والشكل الثنائي إلى شكل ثلاثي (ويُحوّل الشكل الثلاثي إلى الصفر). بالنسبة للشكل الصفري${\displaystyle f=f(x,y,z)}$، الحالة الأولى المكتوبة بالمكونات تعطي: $${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\,dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}\,dz.}$$

يُحدد الضرب القياسي الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى ذات الحقول المتجهة على النحو التالي:${\displaystyle dx\mapsto (1,0,0)}$إلخ، بحيث${\displaystyle df}$يصبح${\textstyle \operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)}$.

في الحالة الثانية، حقل متجهي${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$يتوافق مع الشكل 1${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$، والتي لها مشتق خارجي: $${\displaystyle d\varphi =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}}\right)dy\wedge dz+\left({\frac {\partial C}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial z}}\right)dx\wedge dz+\left({\partial B \over \partial x}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)dx\wedge dy.}$$

تطبيق نجمة هودج يعطي الشكل 1: $${\displaystyle {\star }d\varphi =\left({\partial C \over \partial y}-{\partial B \over \partial z}\right)\,dx-\left({\partial C \over \partial x}-{\partial A \over \partial z}\right)\,dy+\left({\partial B \over \partial x}-{\partial A \over \partial y}\right)\,dz,}$$ والذي يصبح حقل المتجهات${\textstyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\left({\frac {\partial C}{\partial y}}-{\frac {\partial B}{\partial z}},\,-{\frac {\partial C}{\partial x}}+{\frac {\partial A}{\partial z}},\,{\frac {\partial B}{\partial x}}-{\frac {\partial A}{\partial y}}\right)}$.

في الحالة الثالثة،${\displaystyle \mathbf {F} =(A,B,C)}$يتوافق مرة أخرى مع${\displaystyle \varphi =A\,dx+B\,dy+C\,dz}$تطبيق نجمة هودج، والمشتق الخارجي، ثم نجمة هودج مرة أخرى: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\star }\varphi &=A\,dy\wedge dz-B\,dx\wedge dz+C\,dx\wedge dy,\\d{\star \varphi }&=\left({\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}\right)dx\wedge dy\wedge dz,\\{\star }d{\star }\varphi &={\frac {\partial A}{\partial x}}+{\frac {\partial B}{\partial y}}+{\frac {\partial C}{\partial z}}=\operatorname {div} \mathbf {F} .\end{aligned}}}$$

إحدى مزايا هذا التعبير هي أن المتطابقة d² = 0 ^، الصحيحة في جميع الحالات، لها حالتان خاصتان: (1) curl grad f = 0 ، و(2) div curl F = 0. وبشكل خاص، تتخذ معادلات ماكسويل شكلاً بسيطاً وأنيقاً للغاية عند التعبير عنها بدلالة المشتقة الخارجية ونجمة هودج.${\displaystyle {\star }d{\star }}$(مضروبًا في قوة مناسبة لـ −1) يسمى التفاضل المشترك ؛ يتم تعريفه بشكل عام تمامًا، لأي بُعد، في المقال أدناه.

يمكن أيضًا الحصول على لابلاس Δ f = div grad f بدلالة العمليات المذكورة أعلاه: $${\displaystyle \Delta f={\star }d{\star }df={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

يمكن أيضًا اعتبار لابلاس حالة خاصة من مؤثر لابلاس-دي رام الأكثر عمومية${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$حيث في ثلاثة أبعاد،${\displaystyle \delta =(-1)^{k}{\star }d{\star }}$هو التفاضل المشترك لـ${\displaystyle k}$-النماذج. أي دالة${\displaystyle f}$هو شكل من أشكال الصفر، و${\displaystyle \delta f=0}$وبالتالي، يختزل هذا إلى لابلاس العادي. بالنسبة للشكل 1${\displaystyle \varphi }$أعلاه، التفاضل المشترك هو${\displaystyle \delta =-{\star }d{\star }}$وبعد بعض الحسابات البسيطة، يمكن الحصول على لابلاس المؤثر على${\displaystyle \varphi }$.

نحسب باستخدام ترميز مؤشر الموتر بالنسبة إلى أساس (ليس بالضرورة متعامدًا)${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$في مساحة مماسية${\displaystyle V=T_{p}M}$وأساسها المزدوج${\displaystyle \{dx_{1},\ldots ,dx_{n}\}}$في${\displaystyle V^{*}=T_{p}^{*}M}$، مع وجود مصفوفة القياس${\textstyle (g_{ij})=\left(\left\langle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right\rangle \right)}$ومصفوفة معكوسها${\displaystyle (g^{ij})=(\langle dx^{i},dx^{j}\rangle )}$. الشكل الثنائي لهودج لشكل k القابل للتحليل هو: $${\displaystyle {\star }\left(dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\right)\ =\ {\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}{(n-k)!}}g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}dx^{j_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{j_{n}}.}$$

هنا${\displaystyle \varepsilon _{j_{1}\dots j_{n}}}$هو رمز ليفي-تشيفيتا مع${\displaystyle \varepsilon _{1\dots n}=1}$ونقوم ضمنيًا بأخذ المجموع على جميع قيم المؤشرات المتكررة${\displaystyle j_{1},\ldots ,j_{n}}$المضروب${\displaystyle (n-k)!}$يُراعي هذا الأمر الازدواجية في الحساب، ولا يكون موجودًا إذا تم تقييد مؤشرات الجمع بحيث${\displaystyle j_{k+1}<\dots <j_{n}}$. القيمة المطلقة للمحدد ضرورية لأنها قد تكون سالبة، كما هو الحال بالنسبة للفضاءات المماسية لمتشعبات لورنتز .

يمكن كتابة أي صيغة تفاضلية على النحو التالي: $${\displaystyle \alpha \ =\ {\frac {1}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}\ =\ \sum _{i_{1}<\dots <i_{k}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}.}$$

المضروب${\displaystyle k!}$يُدرج هذا العنصر مرة أخرى لمراعاة الازدواجية في الحساب عند السماح بمؤشرات غير متزايدة. نود تعريف ثنائي المكون${\displaystyle \alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}}$بحيث يُعطى الشكل الثنائي لهودج بالصيغة التالية $${\displaystyle {\star }\alpha ={\frac {1}{(n-k)!}}({\star }\alpha )_{i_{k+1},\dots ,i_{n}}dx^{i_{k+1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{n}}.}$$

باستخدام التعبير أعلاه للثنائي الهودجي لـ${\displaystyle dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k}}}$، نجد: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle ({\star }\alpha )_{j_{k+1},\dots ,j_{n}}={\frac {\sqrt {\left|\det[g_{ab}]\right|}}{k!}}\alpha _{i_{1},\dots ,i_{k}}\,g^{i_{1}j_{1}}\cdots g^{i_{k}j_{k}}\,\varepsilon _{j_{1},\dots ,j_{n}}\,.}$$

على الرغم من أنه يمكن تطبيق هذا التعبير على أي موتر${\displaystyle \alpha }$والنتيجة متناظرة عكسيًا، لأن الانكماش باستخدام رمز ليفي-تشيفيتا المتناظر عكسيًا تمامًا يلغي كل شيء ما عدا الجزء المتناظر عكسيًا تمامًا من الموتر. وبالتالي، فهو مكافئ لعملية التناظر العكسي متبوعة بتطبيق نجمة هودج.

شكل وحدة الحجم${\textstyle \omega ={\star }1\in \bigwedge ^{n}V^{*}}$يُعطى بواسطة: $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\left|\det[g_{ij}]\right|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}.}$$

أهم تطبيق لنجمة هودج على المشعبات هو تعريف التفاضل المشترك${\displaystyle \delta }$على${\displaystyle k}$-forms. Let $${\displaystyle \delta =(-1)^{n(k+1)+1}s\ {\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d{\star }}$$ أين${\displaystyle d}$هو المشتق الخارجي أو التفاضلي، و${\displaystyle s=1}$بالنسبة للمشعبات الريمانية. ثم $${\displaystyle d:\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k+1}(M)}$$ بينما $${\displaystyle \delta$$ :\Omega ^{k}(M)\to \Omega ^{k-1}(M).}

إن الدالة التفاضلية المشتركة ليست دالة مضادة على الجبر الخارجي، على عكس المشتق الخارجي.

الدالة التفاضلية المرافقة هي الدالة المرافقة للمشتقة الخارجية بالنسبة للجداء القياسي القابل للتكامل التربيعي: $${\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle \ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle ,}$$ أين${\displaystyle \zeta }$هو${\displaystyle k}$-form و${\displaystyle \eta }$أ${\displaystyle (k\!-\!1)}$-form. هذه الخاصية مفيدة لأنها تُستخدم لتعريف التفاضل المشترك حتى عندما يكون التشعب غير قابل للتوجيه (وعندما يكون مؤثر هودج النجمي غير مُعرَّف). يمكن إثبات هذه الخاصية من نظرية ستوكس للأشكال الملساء. $${\displaystyle 0\ =\ \int _{M}d(\eta \wedge {\star }\zeta )\ =\ \int _{M}\left(d\eta \wedge {\star }\zeta +(-1)^{k-1}\eta \wedge {\star }\,{\star }^{-1}d\,{\star }\zeta \right)\ =\ \langle \!\langle d\eta ,\zeta \rangle \!\rangle -\langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle ,}$$ متاح${\displaystyle M}$له حدود فارغة، أو${\displaystyle \eta }$أو${\displaystyle {\star }\zeta }$لها قيم حدية صفرية. (يتطلب التعريف الصحيح لما سبق تحديد فضاء متجهي طوبولوجي مغلق وكامل على فضاء الأشكال الملساء. يُستخدم فضاء سوبوليف عادةً؛ فهو يسمح بتسلسل الأشكال المتقاربة${\displaystyle \zeta _{i}\to \zeta }$(مثل${\displaystyle i\to \infty }$) ليتم استبدالها بالعمليات التفاضلية والتكاملية المدمجة، بحيث${\displaystyle \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta _{i}\rangle \!\rangle \to \langle \!\langle \eta ,\delta \zeta \rangle \!\rangle }$وبالمثل بالنسبة للمتتاليات التي تتقارب إلى${\displaystyle \eta }$.)

بما أن التفاضل يحقق${\displaystyle d^{2}=0}$، يتمتع التفاضل المشترك بالخاصية المقابلة $${\displaystyle \delta ^{2}=(-1)^{n}s^{2}{\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{nk+k+1}s^{3}{\star }d^{2}{\star }=0.}$$

يُعطى مؤثر لابلاس-دي رام بالصيغة التالية :$${\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta }$$ وهي تقع في صميم نظرية هودج . وهي متناظرة: $${\displaystyle \langle \!\langle \Delta \zeta ,\eta \rangle \!\rangle =\langle \!\langle \zeta ,\Delta \eta \rangle \!\rangle }$$ وغير سالب: $${\displaystyle \langle \!\langle \Delta \eta ,\eta \rangle \!\rangle \geq 0.}$$

تُرسل نجمة هودج الأشكال التوافقية إلى أشكال توافقية أخرى. وكنتيجة لنظرية هودج ، فإن علم التماثل دي رام متماثل بطبيعته مع فضاء الأشكال التوافقية من الرتبة k ، وبالتالي تُحدث نجمة هودج تماثلًا بين مجموعات علم التماثل. $${\displaystyle {\star }:H_{\Delta }^{k}(M)\to H_{\Delta }^{n-k}(M),}$$ والذي بدوره يعطي تعريفات قانونية عبر ازدواجية بوانكاريه لـ H ^k ( M ) مع فضاءها المزدوج .

في الإحداثيات، باستخدام الترميز كما سبق، يكون التفاضل المشترك على الصورة${\displaystyle \alpha }$يمكن كتابتها على النحو التالي $${\displaystyle \delta \alpha =\ -{\frac {1}{k!}}g^{ml}\left({\frac {\partial }{\partial x_{l}}}\alpha _{m,i_{1},\dots ,i_{k-1}}-\Gamma _{ml}^{j}\alpha _{j,i_{1},\dots ,i_{k-1}}\right)dx^{i_{1}}\wedge \dots \wedge dx^{i_{k-1}},}$$ أين هنا${\displaystyle \Gamma _{ml}^{j}}$يشير إلى رموز كريستوفيل ${\textstyle \left\{{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right\}}$.